(共55张PPT)
第1课时
两角差的余弦公式
新课程标准解读 核心素养
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余
弦公式的意义 数学抽象、
逻辑推理
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、
余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，
了解它们的内在联系 逻辑推理、
数学运算
3.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二
倍角公式解决求值、化简等问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下表中的数据：
cos （60°
－30°） cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
【问题】 分析数据， cos （α－β）与 cos α， cos β， sin α，
sin β之间存在联系吗？
知识点 两角差的余弦公式
两角差的余弦公式 cos （α－β）＝
简记符号 C（α－β）
使用条件 α，β都是 角
cos α cos β
＋ sin α sin β
任意
（2）公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个
角的组合.
提醒 （1）公式的结构特征：
1. cos 43° cos 13°＋ sin 43° sin 13°＝（ ）
解析： cos 43° cos 13°＋ sin 43° sin 13°＝ cos （43°－
13°）＝ cos 30°＝ .
解析： cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ cos 60° cos 45°＋ sin
60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ .
3. 已知 cos α＝－ ，α∈（0，π），则 cos （ －α）
＝ .
解析：因为α∈（0，π），且 cos α＝－ ，所以 sin α＝
＝ ，所以 cos ＝ cos cos α＋ sin sin α＝
× ＋ × ＝ .
4. 已知 sin ＝ ，α∈ ，求 cos 的值.
解：由已知得 cos α＝ ， sin α＝－ ，
所以 cos ＝ cos α＋ sin α＝－ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值问题
【例1】 求值：（1） cos 75°；
解： 原式＝ cos （120°－45°）
＝ cos 120° cos 45°＋ sin 120° sin 45°
＝－ × ＋ ×
＝ .
（2） cos cos ＋ cos sin .
解： 原式＝ cos cos ＋ sin sin
＝ cos ＝ cos ＝ .
通性通法
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的
右边形式，然后逆用公式求值.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1） cos 80°· cos 35°＋ cos 10°· cos 55°；
解： 原式＝ cos 80°· cos 35°＋ sin 80°· sin 35°
＝ cos （80°－35°）＝ cos 45°＝ .
（2） cos 105°＋ sin 105°.
解： 原式＝ cos 60° cos 105°＋ sin 60° sin 105°
＝ cos （60°－105°）＝ cos （－45°）＝ .
题型二 给值求值问题
【例2】 （1）若 sin （π＋θ）＝－ ，θ是第二象限角， sin
＝－ ，φ是第三象限角，求 cos （θ－φ）的值；
解： ∵ sin （π＋θ）＝－ sin θ＝－ ，∴ sin θ＝ ，
又θ是第二象限角，∴ cos θ＝－ .
∵ sin ＝ cos φ＝－ ，且φ为第三象限角，
∴ sin φ＝－ ，
∴ cos （θ－φ）＝ cos θ cos φ＋ sin θ sin φ
＝ × ＋ × ＝ .
（2）已知α，β为锐角，且 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，求
cos β的值.
解： ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.
由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝
＝ ＝ .
又∵ cos α＝ ，∴ sin α＝ .
∴ cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin
（α＋β） sin α＝ × ＋ × ＝ .
通性通法
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注
意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活
地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）
＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；
④2β＝（α＋β）－（α－β）.
【跟踪训练】
已知 sin ＝－ ，且 π＜α＜ π，则 cos α＝ － .
解析：因为 π＜α＜ π，所以 π＜α＋ ＜2π，所以 cos ＞
0，所以 cos ＝ ＝ ＝ ，所以 cos α
＝ cos ＝ cos cos ＋ sin sin ＝ × ＋
× ＝－ .
－
题型三 给值求角问题
【例3】 已知 cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，且0＜β＜α＜ ，
求β的值.
解：由 cos α＝ ，0＜α＜ ，得 sin α＝ ＝
＝ .
由0＜β＜α＜ ，得0＜α－β＜ .
又∵ cos （α－β）＝ ，∴ sin （α－β）＝
＝ ＝ .
∵β＝α－（α－β），∴ cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α
cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ × ＋ × ＝ .
∵0＜β＜ ，∴β＝ .
通性通法
已知三角函数值求角的步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内
单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
提醒 由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误
答案.
【跟踪训练】
若 cos （α－β）＝ ， cos 2α＝－ ，α，β均为锐角，且α＜
β，求α＋β的值.
解：∵ cos （α－β）＝ ， cos 2α＝－ ，α，β∈ ，且
α＜β，∴α－β∈ ，2α∈（0，π），
∴ sin （α－β）＝－ ， sin 2α＝ ，
∴ cos （α＋β）＝ cos [2α－（α－β）]
＝ cos 2α cos （α－β）＋ sin 2α sin （α－β）
＝－ × ＋ × ＝－ ，
∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝ .
1. cos 20°＝（ ）
A. cos 30° cos 10°－ sin 30° sin 10°
B. cos 30° cos 10°＋ sin 30° sin 10°
C. sin 30° cos 10°－ sin 10° cos 30°
D. sin 30° cos 10°＋ sin 10° cos 30°
解析： cos 20°＝ cos （30°－10°）＝ cos 30° cos 10°＋
sin 30° sin 10°.
2. cos （α－35°） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°） sin （25°
＋α）＝（ ）
解析： 原式＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos （－
60°）＝ cos 60°＝ .
3. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 cos ＝ .
解析：由 cos α＝ ，α∈ ，得 sin α＝－ ＝
－ ＝－ .∴ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝
× ＋ × ＝ .
解：∵α，β均为锐角，∴ cos α＝ ， cos β＝ .
∴ cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋
× ＝ .
又∵ sin α＞ sin β，∴0＜β＜α＜ ，
∴0＜α－β＜ .
故α－β＝ .
4. 已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，求α－
β的值.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. cos 56° cos 26°＋ sin 56° cos 64°＝（ ）
解析： 原式＝ cos 56° cos 26°＋ sin 56° sin 26°＝ cos
（56°－26°）＝ cos 30°＝ .
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2. 已知点 P （1， ）是角α的终边上一点，则 cos （ －α）＝
（ ）
解析： 由题意可得 sin α＝ ， cos α＝ ，所以 cos （ －
α）＝ cos cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ .
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3. 已知 A ， B ， C 是△ ABC 的三个内角，且方程 x2＋ x cos A cos B ＋ sin
A sin B －1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ ABC 是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
解析： 由题意得－ cos A cos B ＝ sin A sin B －1，即 cos A cos B ＋
sin A sin B ＝1，则 cos （ A － B ）＝1，又 A ， B 为△ ABC 的内角，
所以 A ＝ B . 故△ ABC 是等腰三角形.故选B.
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4. 已知 cos ＝－ ，则 cos x ＋ cos ＝（ ）
C. －1 D. ±1
解析： cos x ＋ cos ＝ cos x ＋ cos x ＋ sin x ＝ cos x ＋
sin x ＝ （ cos x ＋ sin x ）＝ cos ＝－1.
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5. （多选）下列各式化简正确的是（ ）
A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60°
B. cos 15°＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°
C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45°
解析： 根据两角差的余弦公式A、B、C都是正确的；而对
于D， cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin
α，故D错误.
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6. （多选）若 sin x ＋ cos x ＝ cos （ x －φ），则φ的一个可能值是
（ ）
解析： 因为 sin x ＋ cos x ＝ cos （ x －φ）＝ cos x cos φ＋ sin
x sin φ，所以有所以φ＝ ＋2 k π， k ∈Z，故选A、C.
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7. 已知 cos ＝ cos α，则tan α＝ .
解析： cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α
＝ cos α，所以 sin α＝ cos α，所以 ＝ ，即tan α＝ .
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8. ＝ .
解析：原式＝
＝
＝ ＝ cos 15°＝ cos （60°－45°）＝ .
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9. 已知α∈（0， ），tan α＝2，则 cos （α－ ）＝ .
解析：因为α∈（0， ），所以 sin α＞0， cos α＞0.由
得所以 cos （α－ ）＝ cos α
cos ＋ sin α sin ＝ （ cos α＋ sin α）＝ .
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10. 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位
圆交于 A ， B 两点.
（1）如果 A ， B 两点的纵坐标分别为 ， ，求 cos α和 sin
β的值；
解： ∵ OA ＝1， OB ＝1，且点 A ，
B 的纵坐标分别为 ， ，
∴ sin α＝ ， sin β＝ ，
又∵α为锐角，∴ cos α＝ ＝ .
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（2）在（1）的条件下，求 cos （β－α）的值.
解： ∵β为钝角，∴由（1）知 cos
β＝－ ＝－ ，
∴ cos （β－α）＝ cos β cos α＋ sin β
sin α＝－ × ＋ × ＝ .
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11. 在△ ABC 中，有关系式tan A ＝ 成立，则△ ABC 为
（ ）
A. 等腰三角形
B. A ＝60°的三角形
C. 等腰三角形或 A ＝60°的三角形
D. 不能确定
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解析： 因为tan A ＝ ＝ ，所以 sin A sin C － sin A
sin B ＝ cos A cos B － cos A cos C ，所以 cos A cos C ＋ sin A sin C ＝
cos A cos B ＋ sin A sin B ，即 cos （ A － C ）＝ cos （ A － B ），所
以 A － C ＝ A － B 或 A － C ＋ A － B ＝0，所以 C ＝ B （舍）或 A ＝
60°，所以△ ABC 为 A ＝60°的三角形.
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12. （多选）满足 sin α sin β＝ ＋ cos α cos （π－β）的一组
α，β的值为（ ）
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解析： ∵ sin α sin β＝ ＋ cos α cos （π－β），∴ cos
α cos β＋ sin α sin β＝ ，即 cos （α－β）＝ .当α＝ ，
β＝ 时，α－β＝ － ＝ ，此时 cos ＝ ，∴α＝ ，β＝
符合题意，同理D也符合题意.故选B、D.
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13. 已知0＜α＜ ，－ ＜β＜0， cos （ ＋α）＝ ， cos （ －
）＝ ，则 cos （α＋ ）＝ .
解析：由题设得 ＜ ＋α＜ ， ＜ － ＜ ，∴ sin （ ＋
α）＝ ， sin （ － ）＝ ，∴ cos （α＋ ）＝ cos ［（
＋α）－（ － ）］＝ cos （ ＋α） cos （ － ）＋ sin （
＋α） sin （ － ）＝ .
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14. 已知α，β为锐角且 cos （α－β）＝ ， cos α＝ ，求 cos β
的值.
解：∵ cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，α，β为锐角，
∴ sin α＝ ， sin （α－β）＝± .
当 sin （α－β）＝ 时， cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos
α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝ .
当 sin （α－β）＝－ 时， cos β＝ cos [α－（α－β）]＝
cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α－β）＝0.
∵β为锐角，∴ cos β＝ .
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15. 设 f （ x ）＝ ，则 f （1°）＋ f （2°）＋…＋ f
（59°）＝ .
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解析：由 f （ x ）＝ ，得 f （ x ）＋ f （60°－ x ）＝
＋ ＝ ＝
＝ ，∴ f （1°）＋ f （2°）＋…＋ f （59°）
＝ .
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16. 已知函数 f （ x ）＝2 cos （其中ω＞0， x ∈R）的最小正
周期为10π.
（1）求ω的值；
解： 因为函数 f （ x ）的最小正周期为10π，所以10π＝
，所以ω＝ .
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解： 由（1）知 f （ x ）＝2 cos ，
因为 f ＝－ ，
所以2 cos ＝2 cos ＝－ ，所以 sin
α＝ .
又因为 f ＝ ，
（2）设α，β∈ ， f ＝－ ， f ＝ ，
求 cos （α－β）的值.
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所以2 cos ＝2 cos β＝ ，所以 cos β＝ .
因为α，β∈ ，所以 cos α＝ ， sin β＝ ，
所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ×
＋ × ＝ .
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谢 谢 观 看！第1课时 两角差的余弦公式
1.cos 56°cos 26°＋sin 56°cos 64°＝（ ）
A. B.－
C. D.－
2.已知点P（1，）是角α的终边上一点，则cos（－α）＝（ ）
A. B.
C.－ D.
3.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且方程x2＋xcos Acos B＋sin Asin B－1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
4.已知cos＝－，则cos x＋cos＝（ ）
A.－ B.±
C.－1 D.±1
5.（多选）下列各式化简正确的是（ ）
A.cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B.cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
C.sin（α＋45°）sin α＋cos（α＋45°）cos α＝cos 45°
D.cos＝cos α＋sin α
6.（多选）若sin x＋cos x＝cos（x－φ），则φ的一个可能值是（ ）
A. B.－
C. D.
7.已知cos＝cos α，则tan α＝ .
8.＝ .
9.已知α∈（0，），tan α＝2，则cos（α－）＝ .
10.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点.
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值；
（2）在（1）的条件下，求cos（β－α）的值.
11.在△ABC中，有关系式tan A＝成立，则△ABC为（ ）
A.等腰三角形
B.A＝60°的三角形
C.等腰三角形或A＝60°的三角形
D.不能确定
12.（多选）满足sin αsin β＝＋cos αcos（π－β）的一组α，β的值为（ ）
A.α＝，β＝ B.α＝，β＝
C.α＝，β＝ D.α＝，β＝
13.已知0＜α＜，－＜β＜0，cos（＋α）＝，cos（－）＝，则cos（α＋）＝ .
14.已知α，β为锐角且cos（α－β）＝，cos α＝，求cos β的值.
15.设f（x）＝，则f（1°）＋f（2°）＋…＋f（59°）＝ .
16.已知函数f（x）＝2cos（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π.
（1）求ω的值；
（2）设α，β∈，f＝－，f＝，求cos（α－β）的值.
第1课时 两角差的余弦公式
1.C 原式＝cos 56°cos 26°＋sin 56°sin 26°＝cos（56°－26°）＝cos 30°＝.
2.A 由题意可得sin α＝，cos α＝，所以cos（－α）＝cos cos α＋sin ·sin α＝×＋×＝.
3.B 由题意得－cos Acos B＝sin Asin B－1，即cos Acos B＋sin Asin B＝1，则cos（A－B）＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B.故△ABC是等腰三角形.故选B.
4.C cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝（cos x＋sin x）＝cos（x－）＝－1.
5.ABC 根据两角差的余弦公式A、B、C都是正确的；而对于D，cos＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α，故D错误.
6.AC 因为sin x＋cos x＝cos（x－φ）＝cos xcos φ＋sin xsin φ，所以有所以φ＝＋2kπ，k∈Z，故选A、C.
7. 解析：cos＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α＝cos α，所以sin α＝cos α，所以＝，即tan α＝.
8. 解析：原式＝
＝
＝＝cos 15°＝cos（60°－45°）＝.
9. 解析：因为α∈（0，），所以sin α＞0，cos α＞0.由得所以cos（α－）＝cos αcos ＋sin αsin ＝（cos α＋sin α）＝.
10.解：（1）∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，，
∴sin α＝，sin β＝，
又∵α为锐角，∴cos α＝＝.
（2）∵β为钝角，∴由（1）知cos β＝－＝－，
∴cos（β－α）＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝.
11.B 因为tan A＝＝，所以sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，所以cos Acos C＋sin A·sin C＝cos Acos B＋sin Asin B，即cos（A－C）＝cos（A－B），所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B（舍）或A＝60°，所以△ABC为A＝60°的三角形.
12.BD ∵sin αsin β＝＋cos αcos（π－β），∴cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos（α－β）＝.当α＝，β＝时，α－β＝－＝，此时cos ＝，∴α＝，β＝符合题意，同理D也符合题意.故选B、D.
13. 解析：由题设得＜＋α＜，＜－＜，∴sin（＋α）＝，sin（－）＝，∴cos（α＋）＝cos［（＋α）－（－）］＝cos（＋α）cos（－）＋sin（＋α）sin（－）＝.
14.解：∵cos α＝，cos（α－β）＝，α，β为锐角，
∴sin α＝，sin（α－β）＝±.
当sin（α－β）＝时，cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin α·sin（α－β）＝.
当sin（α－β）＝－时，cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin α·sin（α－β）＝0.
∵β为锐角，∴cos β＝.
15. 解析：由f（x）＝，得f（x）＋f（60°－x）＝＋＝＝＝，∴f（1°）＋f（2°）＋…＋f（59°）＝.
16.解：（1）因为函数f（x）的最小正周期为10π，所以10π＝，所以ω＝.
（2）由（1）知f（x）＝2cos，
因为f＝－，
所以2cos
＝2cos＝－，
所以sin α＝.
又因为f＝，
所以2cos＝2cos β＝，所以cos β＝.
因为α，β∈，所以cos α＝，
sin β＝，
所以cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
2 / 25.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
新课程标准解读 核心素养
1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义 数学抽象、逻辑推理
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 逻辑推理、数学运算
3.能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式解决求值、化简等问题 数学运算
第1课时 两角差的余弦公式
观察下表中的数据：
cos（60°－30°） cos 60° cos 30° sin 60° sin 30°
cos（120°－60°） cos 120° cos 60° sin 120° sin 60°
－
【问题】 分析数据，cos（α－β）与cos α，cos β，sin α，sin β之间存在联系吗？
知识点 两角差的余弦公式
两角差的余弦公式 cos（α－β）＝
简记符号 C（α－β）
使用条件 α，β都是 角
提醒 （1）公式的结构特征：
（2）公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合.
1.cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝（ ）
A. B.－
C. D.－
2.cos 15°＝ .
3.已知cos α＝－，α∈（0，π），则cos（－α）＝ .
4.已知sin＝，α∈，求cos的值.
题型一 给角求值问题
【例1】 求值：（1）cos 75°；
（2）cos cos ＋cos sin .
通性通法
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
（1）把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求值；
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1）cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°；
（2）cos 105°＋sin 105°.
题型二 给值求值问题
【例2】 （1）若sin（π＋θ）＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos（θ－φ）的值；
（2）已知α，β为锐角，且cos α＝，cos（α＋β）＝－，求cos β的值.
通性通法
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角；
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α＝（α－β）＋β；②α＝＋；③2α＝（α＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
【跟踪训练】
已知sin＝－，且π＜α＜π，则cos α＝ .
题型三 给值求角问题
【例3】 已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，求β的值.
通性通法
已知三角函数值求角的步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
提醒 由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.
【跟踪训练】
若cos（α－β）＝，cos 2α＝－，α，β均为锐角，且α＜β，求α＋β的值.
1.cos 20°＝（ ）
A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°
C.sin 30°cos 10°－sin10°cos 30°
D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30°
2.cos（α－35°）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）sin（25°＋α）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
3.已知cos α＝，α∈，则cos（α－）＝ .
4.已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值.
第1课时 两角差的余弦公式
【基础知识·重落实】
知识点
cos αcos β＋sin αsin β 任意
自我诊断
1.C cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝cos（43°－13°）＝cos 30°＝.
2. 解析：cos 15°＝cos（60°－45°）＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝.
3. 解析：因为α∈（0，π），且cos α＝－，所以sin α＝＝，所以cos＝coscos α＋sin sin α＝×＋×＝.
4.解：由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原式＝cos（120°－45°）
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°
＝－×＋×
＝.
（2）原式＝coscos＋sinsin
＝cos＝cos＝.
跟踪训练
解：（1）原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝.
（2）原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°·sin 105°＝cos（60°－105°）＝cos（－45°）＝.
【例2】 解：（1）∵sin（π＋θ）＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，∴cos θ＝－.
∵sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，
∴sin φ＝－，
∴cos（θ－φ）＝cos θcos φ＋sin θsin φ
＝×＋×＝.
（2）∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.
由cos（α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝＝＝.
又∵cos α＝，∴sin α＝.
∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）·cos α＋sin（α＋β）sin α＝×＋×＝.
跟踪训练
－ 解析：因为π＜α＜π，所以π＜α＋＜2π，所以cos＞0，所以cos＝＝ ＝，所以cos α＝cos［（α＋）－］＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－.
【例3】 解：由cos α＝，0＜α＜，得sin α＝＝＝.
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又∵cos（α－β）＝，∴sin（α－β）＝＝＝.
∵β＝α－（α－β），∴cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×＝.
∵0＜β＜，∴β＝.
跟踪训练
解：∵cos（α－β）＝，cos 2α＝－，α，β∈，且α＜β，∴α－β∈，2α∈（0，π），
∴sin（α－β）＝－，sin 2α＝，
∴cos（α＋β）＝cos[2α－（α－β）]
＝cos 2αcos（α－β）＋sin 2αsin（α－β）
＝－×＋×＝－，
∵α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.
随堂检测
1.B cos 20°＝cos（30°－10°）＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.
2.B 原式＝cos[（α－35°）－（α＋25°）]＝cos（－60°）＝cos 60°＝.
3. 解析：由cos α＝，α∈，得sin α＝－＝－＝－.∴cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝.
4.解：∵α，β均为锐角，∴cos α＝，
cos β＝.
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜.
故α－β＝.
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