(共55张PPT)
第2课时
两角和与差的正弦、余弦公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想
达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引
领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发
现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.
【问题】 （1）你能用类比的方法，由 cos （α－β）推导出 cos
（α＋β）吗？
（2）两角和与差的正弦公式如何推导出来？
知识点 两角和与差的余弦、正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的 余弦公式 C（α－β） cos （α－β）＝ cos α· cos β＋ sin α sin β α，β∈R
两角和的 余弦公式 C（α＋β） cos （α＋β）＝
α，β∈R
cos
α· cos β－ sin α sin β
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 正弦公式 S（α＋β） sin （α＋β）＝
α，β∈R
两角差的 正弦公式 S（α－β） sin （α－β）＝
α，β∈R
sin
α· cos β＋ cos α sin β
sin
α· cos β－ cos α sin β
提醒 （1）理顺公式间的联系：C（α＋β） C（α－
β） S（α－β） S（α＋β）；（2）注意公式的结构特征和
符号规律：对于公式C（α－β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号
反”；对于公式S（α－β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”.
1. sin 105°＝（ ）
解析： sin 105°＝ sin （60°＋45°）＝ sin 60° cos 45°＋
cos 60° sin 45°＝ × ＋ × ＝ .
2. cos 74° sin 14°－ sin 74° cos 14°＝（ ）
解析： cos 74° sin 14°－ sin 74° cos 14°＝ sin （14°－
74°）＝ sin （－60°）＝－ sin 60°＝－ .
3. 化简 sin ＋ cos ＝ .
解析：原式＝ cos α＋ sin α＋ cos α－ sin α＝ cos α.
cos α
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值问题
【例1】 （1） cos 70° cos 50°＋ cos 200° cos 40°＝（ ）
解析： 法一 原式＝ sin 20° sin 40°－ cos 20° cos 40°＝－（ cos 20° cos 40°－ sin 20° sin 40°）＝－ cos 60°＝－ .
法二 原式＝ cos 70° sin 40°－ cos 20° cos 40°＝ sin 40° cos
70°－ sin 70° cos 40°＝ sin （40°－70°）＝ sin （－30°）＝－
sin 30°＝－ .
（2） ＝（ ）
解析：原式＝
＝
＝
＝ ＝ .
C. 1
通性通法
解给角求值问题的策略
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局
部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变
形，否则进行各局部的变形；
（2）一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正
负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解
题时要注意逆用或变形用公式.
解析：原式＝ sin （45°－30°）＋ sin （45°＋30°）＝ sin 45°
cos 30°－ cos 45° sin 30°＋ sin 45° cos 30°＋ cos 45° sin
30°＝2 sin 45° cos 30°＝ .
解析：原式＝ sin （360°－13°） cos （180°－32°）＋ sin
（90°－13°） cos （90°－32°）＝ sin 13° cos 32°＋ cos
13° sin 32°＝ sin （13°＋32°）＝ sin 45°＝ .
题型二 给值求值问题
【例2】 已知 sin α＝ ， cos β＝－ ，且α为第一象限角，
β为第二象限角，求 sin （α＋β）， sin （α－β）， cos （α
＋β）的值.
解：因为α为第一象限角，β为第二象限角， sin α＝ ， cos β＝－
，所以 cos α＝ ， sin β＝ ，
所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ ×（－ ）＋
× ＝ .
sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ ×（－ ）－ ×
＝－ .
cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ×（－ ）－ ×
＝－ .
通性通法
解决给值求值问题的策略
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知
角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知
角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成
“已知角”.
【跟踪训练】
1. 已知 cos （α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin （α＋ ）＝
（ ）
解析： ∵ cos （α＋ ）－ sin α＝ ，∴ cos α－ sin α
＝ ，∴ cos α－ sin α＝ ，∴ sin （α＋ ）＝ sin α cos
＋ cos α sin ＝ sin α－ cos α＝－ ，故选B.
2. 已知 ＜β＜α＜ ， cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－
，求 sin 2α与 cos 2α的值.
解：因为 ＜β＜α＜ ，
所以0＜α－β＜ ，π＜α＋β＜ .
所以 sin （α－β）＝ ＝ ＝ ，
cos （α＋β）＝－ ＝－ ＝－ .
所以 sin 2α＝ sin [（α－β）＋（α＋β）]
＝ sin （α－β） cos （α＋β）＋ cos （α－β） sin （α＋β）
＝ × ＋ × ＝－ .
cos 2α＝ cos [（α＋β）＋（α－β）]
＝ cos （α＋β） cos （α－β）－ sin （α＋β） sin （α－β）
＝ × － × ＝－ .
题型三 给值求角问题
【例3】 已知 sin α＝ ， sin β＝ ，且α和β均为钝角，求α
＋β的值.
解：因为α和β均为钝角，
所以 cos α＝－ ＝－ ，
cos β＝－ ＝－ .
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，
所以 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ×
－ × ＝ .所以α＋β＝ .
通性通法
给值求角问题的求解策略
（1）解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定
角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角；
（2）选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，
则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或
三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、
三象限，则选正弦函数等.
【跟踪训练】
已知α∈ ，β∈ ，且 cos （α－β）＝ ， sin β＝
－ ，求α的值.
解：∵α∈ ，β∈ ，
∴α－β∈（0，π）.
∵ cos （α－β）＝ ，∴ sin （α－β）＝ .
∵β∈ ， sin β＝－ ，
∴ cos β＝ .
∴ sin α＝ sin [（α－β）＋β]
＝ sin （α－β） cos β＋ cos （α－β） sin β
＝ × ＋ × ＝ .
又∵α∈ ，∴α＝ .
1. cos cos － sin sin ＝（ ）
D. 1
解析： cos cos － sin sin ＝ cos ＝ cos ＝ ，故
选B.
2. ＝ .
解析：
＝
＝
＝ ＝ sin 30°＝ .
解：∵ sin （α－β） cos α－ cos （β－α） sin α
＝ sin （α－β） cos α－ cos （α－β） sin α
＝ sin （α－β－α）＝ sin （－β）＝－ sin β＝ ，
∴ sin β＝－ ，又β是第三象限角，
∴ cos β＝－ ＝－ ，
∴ sin ＝ sin β cos ＋ cos β sin
＝ × ＋ × ＝－ .
3. 已知 sin （α－β） cos α－ cos （β－α） sin α＝ ，β是第三
象限角，求 sin 的值.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 化简 sin ＋ sin ＝（ ）
A. － sin x B. sin x
C. － cos x D. cos x
解析： sin ＋ sin ＝ sin x ＋ cos x ＋ sin x －
cos x ＝ sin x .
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2. sin － cos ＝（ ）
A. 0
C. 2
解析： sin － cos ＝2（ sin － · cos ）＝2 sin （
－ ）＝2 sin （－ ）＝－ .
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3. 在△ ABC 中， sin A · sin B ＜ cos A · cos B ，则这个三角形为
（ ）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
解析： ∵在△ ABC 中， sin A · sin B ＜ cos A · cos B ，∴ cos （ A
＋ B ）＞0，即 cos （π－ C ）＞0，即－ cos C ＞0，∴ cos C ＜0，
则 C 为钝角，故△ ABC 是钝角三角形.
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4. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，则 cos α cos β
＝（ ）
A. 0
解析： cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ， cos
（α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式相加可得2
cos α cos β＝0，即 cos α cos β＝0.
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5. 已知α，β都是锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，则α＋β＝
（ ）
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解析： 因为α，β都是锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，所
以 sin α＝ ， sin β＝ ，所以 cos （α＋β）＝ cos α cos β
－ sin α sin β＝ － ＝－ .又α＋β∈（0，π），所以α
＋β＝ ，故选B.
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6. （多选） cos α－ sin α化简的结果可以是（ ）
解析： cos α－ sin α＝2 ＝2
＝2 cos ＝2 sin （ －α）.
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7. 若 sin α＝ ，α∈ ，则 cos ＝ － .
解析：因为 sin α＝ ，α∈ ，所以 cos α＝ ，故 cos
＝ cos α cos － sin α sin ＝ × － × ＝
－ .
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8. 若 cos α＝－ ， sin β＝－ ，α∈ ，β∈ ，
则 sin （α＋β）＝ .
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解析：∵ cos α＝－ ，α∈ ，∴ sin α＝ ＝
.∵ sin β＝－ ，β∈ ，∴ cos β＝ ＝
，∴ sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋
× ＝ .
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解析：∵ sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0，∴ sin 2α＋ cos
2β＋2 sin α cos β＝1①， cos 2α＋ sin 2β＋2 cos α sin β＝0
②，①②两式相加可得 sin 2α＋ cos 2α＋ sin 2β＋ cos 2β＋2
（ sin α cos β＋ cos α sin β）＝1，∴ sin （α＋β）＝－ .
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10. 化简下列各式：
（1） sin ＋2 sin － cos ；
解： 原式＝ sin x cos ＋ cos x sin ＋2 sin x cos －2 cos
x sin － cos cos x － sin sin x
＝ sin x ＋ cos x ＋ sin x － cos x ＋ cos x － sin x
＝ sin x ＋ cos x ＝0.
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（2） －2 cos （α＋β）.
解： 原式＝
＝
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11. 如图，正方形 ABCD 的边长为1，延长 BA 至 E ，使 AE ＝1，连接
EC ， ED ，则 sin ∠ CED ＝（ ）
解析： 由题意知 sin ∠ BEC ＝ ， cos ∠ BEC ＝ ，又∠
CED ＝ －∠ BEC ，所以 sin ∠ CED ＝ sin · cos ∠ BEC － cos
sin ∠ BEC ＝ × － × ＝ .
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12. 设α∈（0， ），β∈（0， ），且tan α＝ ，则
（ ）
A. 2α－β＝0
C. 2α＋β＝0
解析： ∵ ＝ sin α· cos β＝ cos α＋ cos α sin
β，∴ sin （α－β）＝ cos α＝ sin （ －α），∵－ ＜α－
β＜ ，0＜ －α＜ ，∴α－β＝ －α，∴2α－β＝ .
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13. 形如a bc d的式子叫做行列式，其运算法则为a bc d＝ ad －
bc ，则行列式sin15° 2cos15° 2的值是 .
解析：sin15° 2cos15° 2＝ sin 15°－ cos 15°＝2（
sin 15°－ cos 15°）＝2 sin （15°－45°）＝2 sin （－30°）
＝－1.
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解： 因为α，β∈ ，所以α－β∈ .
又因为 sin （α－β）＝ ＞0，所以0＜α－β＜ .
所以 sin α＝ ＝ ，
cos （α－β）＝ ＝ .
cos （2α－β）＝ cos [α＋（α－β）]＝ cos α cos （α－β）－
sin α sin （α－β）＝ × － × ＝ .
14. 已知 cos α＝ ， sin （α－β）＝ ，且α，β∈ .
求：（1） cos （2α－β）的值；
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（2）β的值.
解： cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α
－β）＋ sin α sin （α－β）＝ × ＋ × ＝
，
因为β∈ ，所以β＝ .
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15. 若方程12 x2＋π x －12π＝0的两个根分别是α，β，则 cos α cos
β－ sin α cos β－ cos α sin β－ sin α sin β＝ .
解析：由题意知α＋β＝－ ，所以 cos α cos β－ sin α cos
β－ cos α sin β－ sin α sin β＝ cos （α＋β）－ sin
（α＋β）＝2［ cos （α＋β）－ sin （α＋β）］＝2 sin
＝2 sin ＝2 sin ＝ .
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16. 已知α，β∈（0， ）， cos α＝ ， cos （α＋β）＝ .
（1）求 sin β的值；
解： ∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π），
又 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，
则 sin α＝ ＝ ，
sin （α＋β）＝ ＝ ，
∴ sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β） cos α－
cos （α＋β） sin α＝ × － × ＝ .
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（2）求2α＋β的值.
解： cos （2α＋β）＝ cos [（α＋β）＋α]＝
cos （α＋β） cos α－ sin α sin （α＋β）＝ ×
－ × ＝0.
由α，β∈（0， ），得2α＋β∈（0， ），
∴2α＋β＝ .
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谢 谢 观 看！第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
1.化简sin＋sin＝（ ）
A.－sin x B.sin x
C.－cos x D.cos x
2.sin －cos ＝（ ）
A.0 B.－
C.2 D.
3.在△ABC中，sin A·sin B＜cos A·cos B，则这个三角形为（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰三角形
4.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，则cos αcos β＝（ ）
A.0 B.
C.0或 D.0或±
5.已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝（ ）
A. B.
C.或 D.或
6.（多选）cos α－sin α化简的结果可以是（ ）
A.cos B.2cos
C.sin D.2sin
7.若sin α＝，α∈，则cos＝ .
8.若cos α＝－，sin β＝－，α∈，β∈，则sin（α＋β）＝ .
9.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝ .
10.化简下列各式：
（1）sin＋2sin－cos；
（2）－2cos（α＋β）.
11.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝（ ）
A. B.
C. D.
12.设α∈（0，），β∈（0，），且tan α＝，则（ ）
A.2α－β＝0 B.2α＋β＝
C.2α＋β＝0 D.2α－β＝
13.形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是 .
14.已知cos α＝，sin（α－β）＝，且α，β∈.
求：（1）cos（2α－β）的值；
（2）β的值.
15.若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是α，β，则cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝ .
16.已知α，β∈（0，），cos α＝，cos（α＋β）＝.
（1）求sin β的值；
（2）求2α＋β的值.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
1.B sin＋sin＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.
2.B sin －cos ＝2（sin －·cos ）＝2sin（－）＝2sin（－）＝－.
3.B ∵在△ABC中，sin A·sin B＜cos A·cos B，∴cos（A＋B）＞0，即cos（π－C）＞0，即－cos C＞0，∴cos C＜0，则C为钝角，故△ABC是钝角三角形.
4.A cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0.
5.B 因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，所以sin α＝，sin β＝，所以cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－.又α＋β∈（0，π），所以α＋β＝，故选B.
6.BD cos α－sin α＝2（cos α－sin α）＝2（cos αcos－sin αsin）＝2cos＝2sin（－α）.
7.－ 解析：因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，故cos（α＋）＝cos αcos－sin αsin＝×－×＝－.
8. 解析：∵cos α＝－，α∈，∴sin α＝＝.∵sin β＝－，β∈，∴cos β＝＝，∴sin（α＋β）＝sin α·cos β＋cos αsin β＝×＋×＝.
9.－ 解析：∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2（sin αcos β＋cos αsin β）＝1，∴sin（α＋β）＝－.
10.解：（1）原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos ·cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x＝sin x＋（－＋）cos x＝0.
（2）原式＝
＝
＝＝.
11.B 由题意知sin∠BEC＝，cos∠BEC＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sin·cos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.
12.D ∵＝ sin α·cos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin（α－β）＝cos α＝sin （－α），∵－＜α－β＜，0＜－α＜，∴α－β＝－α，∴2α－β＝.
13.－1 解析：＝sin 15°－cos 15°＝2（sin 15°－cos 15°）＝2sin（15°－45°）＝2sin（－30°）＝－1.
14.解：（1）因为α，β∈，所以α－β∈.
又因为sin（α－β）＝＞0，
所以0＜α－β＜.
所以sin α＝＝，
cos（α－β）＝＝.
cos（2α－β）＝cos[α＋（α－β）]＝cos αcos（α－β）－sin αsin（α－β）＝×－×＝.
（2）cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝×＋×＝，
因为β∈，所以β＝.
15. 解析：由题意知α＋β＝－，所以cos αcos β－sin αcos β－cos αsin β－sin αsin β＝cos（α＋β）－sin（α＋β）＝2［cos（α＋β）－sin（α＋β）］＝2sin＝2sin＝2sin ＝.
16.解：（1）∵α，β∈（0，），∴α＋β∈（0，π），
又cos α＝，cos（α＋β）＝，
则sin α＝＝，
sin（α＋β）＝＝，
∴sin β＝sin[（α＋β）－α]＝sin（α＋β）·cos α－cos（α＋β）sin α＝×－×＝.
（2）cos（2α＋β）＝cos[（α＋β）＋α]＝cos（α＋β）cos α－sin αsin（α＋β）＝×－×＝0.
由α，β∈（0，），得2α＋β∈（0，），
∴2α＋β＝.
2 / 2第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活中随处可见，类比可以推动创新.
【问题】 （1）你能用类比的方法，由cos（α－β）推导出cos（α＋β）吗？
（2）两角和与差的正弦公式如何推导出来？
知识点 两角和与差的余弦、正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的 余弦公式 C（α－β） cos（α－β）＝cos α· cos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的 余弦公式 C（α＋β） cos（α＋β）＝ α，β∈R
两角和的 正弦公式 S（α＋β） sin（α＋β）＝ α，β∈R
两角差的 正弦公式 S（α－β） sin（α－β）＝ α，β∈R
提醒 （1）理顺公式间的联系：C（α＋β）C（α－β）S（α－β）S（α＋β）；（2）注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C（α－β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S（α－β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”.
1.sin 105°＝（ ）
A. B.
C. D.
2.cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝（ ）
A.－ B.
C. D.－
3.化简sin＋cos＝ .
题型一 给角求值问题
【例1】 （1）cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
（2）＝（ ）
A. B.
C.1 D.
通性通法
解给角求值问题的策略
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形；
（2）一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变形用公式.
【跟踪训练】
1.sin 15°＋sin 75°＝ .
2.sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
题型二 给值求值问题
【例2】 已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin（α＋β），sin（α－β），cos（α＋β）的值.
通性通法
解决给值求值问题的策略
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
【跟踪训练】
1.已知cos（α＋）－sin α＝，则sin（α＋）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.已知＜β＜α＜，cos（α－β）＝，sin（α＋β）＝－，求sin 2α与cos 2α的值.
题型三 给值求角问题
【例3】 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值.
通性通法
给值求角问题的求解策略
（1）解题步骤：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角；
（2）选三角函数的方法：例如，若角的取值范围在某一个象限内，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围在一、二或三、四象限，则选余弦函数；若角的取值范围在一、四或二、三象限，则选正弦函数等.
【跟踪训练】
已知α∈，β∈，且cos（α－β）＝，sin β＝－，求α的值.
1.coscos－sinsin＝（ ）
A. B.
C. D.1
2.＝ .
3.已知sin（α－β）cos α－cos（β－α）sin α＝，β是第三象限角，求sin的值.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式
【基础知识·重落实】
知识点
cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β
自我诊断
1.D sin 105°＝sin（60°＋45°）＝sin 60°·cos 45°＋cos 60°sin 45°＝×＋×＝.
2.D cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝sin（14°－74°）＝sin（－60°）＝－sin 60°＝－.
3.cos α 解析：原式＝cos α＋sin α＋cos α－sin α＝cos α.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）A 解析：（1）法一 原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－（cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°）＝－cos 60°＝－.
法二 原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°·cos 40°＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°＝sin（40°－70°）＝sin（－30°）＝－sin 30°＝－.
（2）原式＝
＝
＝
＝＝.
跟踪训练
1. 解析：原式＝sin（45°－30°）＋sin（45°＋30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2sin 45°cos 30°＝.
2. 解析：原式＝sin（360°－13°）·cos（180°－32°）＋sin（90°－13°）cos（90°－32°）＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin（13°＋32°）＝sin 45°＝.
【例2】 解：因为α为第一象限角，β为第二象限角，sin α＝，cos β＝－，
所以cos α＝，sin β＝，
所以sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝×（－）＋×＝.
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝×（－）－×＝－.
cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×（－）－×＝－.
跟踪训练
1.B ∵cos（α＋）－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴cos α－sin α＝，∴sin（α＋）＝sin α·cos ＋cos αsin ＝sin α－cos α＝－，故选B.
2.解：因为＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
所以sin（α－β）＝＝＝，
cos（α＋β）＝－＝－＝－.
所以sin 2α＝sin[（α－β）＋（α＋β）]
＝sin（α－β）cos（α＋β）＋cos（α－β）sin（α＋β）
＝×＋×＝－.
cos 2α＝cos[（α＋β）＋（α－β）]＝cos（α＋β）cos（α－β）－sin（α＋β）sin（α－β）
＝×－×＝－.
【例3】 解：因为α和β均为钝角，
所以cos α＝－＝－，
cos β＝－＝－.
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，
所以cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
所以α＋β＝.
跟踪训练
解：∵α∈，β∈，
∴α－β∈（0，π）.
∵cos（α－β）＝，∴sin（α－β）＝.
∵β∈，sin β＝－，
∴cos β＝.
∴sin α＝sin[（α－β）＋β]
＝sin（α－β）cos β＋cos（α－β）sin β
＝×＋×＝.
又∵α∈，∴α＝.
随堂检测
1.B cos cos－sinsin＝cos（＋）＝cos＝，故选B.
2. 解析：
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
3.解：∵sin（α－β）cos α－cos（β－α）sin α
＝sin（α－β）cos α－cos（α－β）sin α
＝sin（α－β－α）＝sin（－β）＝－sin β＝，
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin＝sin βcos＋cos βsin
＝×＋×＝－.
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