(共54张PPT)
第4课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般
性的事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多.在三角恒
等变换中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？
【问题】 在公式C（α＋β），S（α＋β）和T（α＋β）中，若α＝β，公
式还成立吗？
知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. 二倍角公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝ S（α＋β） S2α
余弦 cos 2α＝ ＝ ＝ C（α＋β） C2α
正切 tan 2α＝ T（α＋β） T2α
2 sin α cos α
cos 2α－ sin 2α
2 cos 2α－1
1－2 sin 2α
提醒 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2
的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是 的2倍，也就是说，
“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
2. 二倍角公式的变形
（1）逆用：2 sin α cos α＝ sin 2α，2 cos 2α－1＝ cos 2α，1－
2 sin 2α＝ cos 2α；
（2）变形：① cos 2α＝ ， sin 2α＝ ；②1＋ cos
2α＝2 cos 2α，1－ cos 2α＝2 sin 2α.
1. 已知 cos x ＝ ，则 cos 2 x ＝（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： cos 2 x ＝2 cos 2 x －1＝2× －1＝ .
2. sin 15° cos 15°＝ .
解析： sin 15° cos 15°＝ ×2 sin 15° cos 15°＝ sin 30°＝ .
3. 若tan α＝－3，则tan 2α＝ .
解析：tan 2α＝ ＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值
【例1】 求下列各式的值：
（1） sin 2 － cos 2 ；
解： 原式＝－（ cos 2 － sin 2 ）＝－ cos ＝－ cos
（π－ ）＝ cos ＝ .
（2） ；
解： 原式＝ ＝2×
＝2× ＝2.
（3） cos 20°· cos 40°· cos 80°.
解： 原式＝
＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
通性通法
解给角求值问题的方法
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的
基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍
角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用
二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公
式的形式.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1） ；
解： 原式＝ × ＝ ×tan 45°＝ .
（2） cos 4 － sin 4 .
解： 原式＝（ cos 2 － sin 2 ）（ cos 2 ＋ sin 2 ）
＝ cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ .
题型二 给值求值（角）
【例2】 已知α是第四象限角，且 sin α＝－ ，求 sin 2α， cos
2α和tan 2α的值.
解：因为α是第四象限角，且 sin α＝－ ，所以 cos α＝ ，
所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝－ ，
cos 2α＝2 cos 2α－1＝ ，tan 2α＝ ＝－ .
通性通法
应用二倍角公式求解角的三角函数值的方法
（1）注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系；
（2）结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角
公式的形式.
【跟踪训练】
1. 已知α为锐角，且满足 cos 2α＝ sin α，则α＝（ ）
A. 75° B. 45°
C. 60° D. 30°
解析： 因为 cos 2α＝1－2 sin 2α，故由题意，知2 sin 2α＋ sin
α－1＝0，即（ sin α＋1）（2 sin α－1）＝0.因为α为锐角，所
以 sin α＝ ，所以α＝30°.故选D.
2. 已知 ＝ ，则 sin 2 x ＝（ ）
A. － B. －
C. D.
解析： ∵ ＝ ，∴ ＝ ，∴ cos x ＋ sin x
＝ ，∴1＋ sin 2 x ＝ ，∴ sin 2 x ＝－ .
题型三 化简与证明
【例3】 （1）化简： － ；
解： 原式＝ ＝ ＝tan 2θ.
（2）求证： cos 2（ A ＋ B ）－ sin 2（ A － B ）＝ cos 2 A cos 2 B .
解： 证明：左边＝ －
＝ ＝ （ cos 2 A cos 2 B － sin 2 A sin
2 B ＋ cos 2 A cos 2 B ＋ sin 2 A sin 2 B ）＝ cos 2 A cos 2 B ＝右边，
∴原等式成立.
通性通法
三角函数式的化简与证明
（1）化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂
或升幂；③一个重要结论：（ sin θ± cos θ）2＝1± sin 2θ；
（2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于
另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析
法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
【跟踪训练】
（1）求证： · ＝tan 2α；
解： 证明：左边＝ · ＝tan 2α＝右边，∴原等
式成立.
（2）化简： .
解： 原式＝
＝
＝
＝ ＝ ＝1.
1. 若 sin ＝ ，则 cos α＝（ ）
A. － B. － C. D.
解析： 因为 sin ＝ ，所以 cos α＝1－2 sin 2 ＝1－2×
＝ .
2. ＝（ ）
A. B. C. D. －
解析： ∵1－ cos 210°＝ sin 210°， cos 80°＝ sin 10°， cos
20°＝1－2 sin 210°，∴ ＝
＝ ＝ .
3. 已知 cos 2（α＋ ）＝ ，则 sin 2α＝（ ）
A. － B. C. － D.
解析： ∵ cos 2（α＋ ）＝ ＝ ＝ ，
∴ sin 2α＝ .
4. 设 sin 2α＝－ sin α，α∈（ ，π），求tan 2α的值.
解：∵ sin 2α＝－ sin α，
∴2 sin α cos α＝－ sin α.
由α∈（ ，π）知 sin α≠0，
∴ cos α＝－ ，∴α＝ ，
∴tan 2α＝tan ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知tan α＝－ ，则tan 2α＝（ ）
A. B. －
C. D. －
解析： tan 2α＝ ＝ ＝－ .
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2. 设 sin α＝ ，2π＜α＜3π，则 sin ＋ cos ＝（ ）
A. － B.
C. D. －
解析： ∵ sin α＝ ，∴ ＝1＋ sin α＝ .又2π
＜α＜3π，∴π＜ ＜ ，∴ sin ＋ cos ＝－ .
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3. 设－3π＜α＜－ ，化简 的结果是（ ）
A. sin B. cos
C. － cos D. － sin
解析： 因为－3π＜α＜－ ，所以－ ＜ ＜－ ，所以
＝ ＝ ＝－ cos .
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4. ＝（ ）
A. B. － C. －1 D. 1
解析： 原式＝ ＝－ ＝－ ＝－ .
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5. 已知tan（ x ＋ ）＝2，则 ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由tan（ x ＋ ）＝2，可得 ＝2，解得tan x ＝ ，所
以tan 2 x ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ .
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6. （多选）下列各式中，值为 的是（ ）
A.
B. cos 2 － sin 2
C. cos 15° sin 45°－ sin 15° cos 45°
D.
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解析： 选项A， ＝ ＝ sin 60°＝ ；
选项B， cos 2 － sin 2 ＝ cos ＝ ；选项C， cos 15° sin 45°
－ sin 15° cos 45°＝ sin （45°－15°）＝ sin 30°＝ ；选项
D， ＝ × ＝ tan 30°＝ × ＝ .
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7. 化简： · ＝ .
解析：原式＝ · ＝tan 2α.
tan 2α
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8. ＋ ＝ .
解析：原式＝ ＝ ＝
＝ ＝4.
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9. 等腰三角形一个底角的余弦为 ，那么这个三角形顶角的正弦值
为 .
解析：设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则 cos B ＝ ， sin B ＝
＝ ＝ .所以 sin A ＝ sin （180°－2 B ）＝
sin 2 B ＝2 sin B cos B ＝2× × ＝ .
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10. 已知α为锐角，且 sin ＋ cos ＝ ，求 sin α及tan 2α的值.
解：因为 sin ＋ cos ＝ ，
所以 sin 2 ＋2 sin cos ＋ cos 2 ＝（ ）2＝ ，
即1＋ sin α＝ ，所以 sin α＝ .
因为α为锐角，所以 cos α＝ ＝ ，
所以tan α＝ ＝ ，所以tan 2α＝ ＝ ＝ .
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11. 在锐角△ ABC 中，若 B ＝2 A ，则 的取值范围是（ ）
A. （ ， ） B. ［－ ， ］
C. （ ， ） D. （－ ， ）
解析： 在锐角△ ABC 中，由 B ＝2 A ，可得 C ＝π－3 A ，于是
解得 ＜ A ＜ ，所以 ＜ cos A ＜ ，则
＝ ＝2 cos A ∈（ ， ）.故选A.
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12. 数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，
0.618就是黄金分割比 m ＝ 的近似值，黄金分割比还可以表
示成2 sin 18°，则 ＝（ ）
A. 4 B. ＋1
C. 2 D. －1
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解析： 由题意可知2 sin 18°＝ m ＝ ，所以 m2＝4 sin
218°，则 ＝ ＝
＝ ＝2.
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13. 已知 cos （α＋β） cos （β＋ ）＋ sin （α＋β） sin （β＋
）＝ ，则 sin （2α＋ ）＝ － .
解析：因为 cos （α＋β） cos （β＋ ）＋ sin （α＋β）· sin
（β＋ ）＝ ，所以 cos ［（α＋β）－（β＋ ）］＝ ，即
cos （α－ ）＝ ，所以 cos （2α－ ）＝2 cos 2（α－ ）－1
＝－ ，即 cos （ －2α）＝－ ，所以 sin （2α＋ ）＝ sin
［ －（ －2α）］＝ cos （ －2α）＝－ .
－
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14. 已知θ∈（0，π），且 sin θ＋ cos θ＝ .
（1）求 的值；
解：由 sin θ＋ cos θ＝ ， ①
两边平方并化简得2 sin θ cos θ＝－ ＜0，
∵θ∈（0，π），∴ sin θ＞0， cos θ＜0，
sin θ－ cos θ＝ ＝ ＝ ，②
由①②得 sin θ＝ ， cos θ＝－ .
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（1）
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＝ ＝ .
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（2）求 的值.
解： ＝
＝
＝2 sin θ cos θ＝－ .
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15. “2 sin x ＝ cos x ＋1”是“tan ＝ ”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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解析： 由tan ＝ ，得tan ＝ ＝ ＝ ＝ ，
即2 sin x ＝1＋ cos x 成立，即必要性成立，当 x ＝π时，满足2 sin x
＝ cos x ＋1，但tan 无意义，即充分性不成立，则“2 sin x ＝ cos x
＋1”是“tan ＝ ”的必要不充分条件.
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16. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于
同一个常数.
cos 215°＋ cos 215°－ sin 15° sin 15°；
cos 280°＋ cos 2（－50°）－ sin 80° sin （－50°）；
cos 2170°＋ cos 2（－140°）－ sin 170° sin （－140°）.
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（1）求出这个常数；
解： cos 215°＋ cos 215°－ sin 15°· sin 15°
＝2 cos 215°－ sin 215°
＝1＋ cos 30°－ （1－ cos 30°）
＝1＋ － × ＝ .
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（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等
式，并证明你的结论.
解： 推广：当α＋β＝30°时， cos 2α＋ cos 2β－
sin α sin β＝ .
证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
cos 2α＋ cos 2β－ sin α sin β
＝ cos 2α＋ cos 2（30°－α）－ sin α sin （30°－α）
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＝ cos 2α＋ － sin α·（ cos α－
sin α）
＝ cos 2α＋ cos 2α＋ cos α sin α＋ sin 2α－ cos α
sin α＋ sin 2α
＝ cos 2α＋ sin 2α＝ .
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谢 谢 观 看！第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.已知tan α＝－，则tan 2α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
2.设sin α＝，2π＜α＜3π，则sin ＋cos ＝（ ）
A.－ B.
C. D.－
3.设－3π＜α＜－，化简的结果是（ ）
A.sin B.cos
C.－cos D.－sin
4.＝（ ）
A. B.－
C.－1 D.1
5.已知tan（x＋）＝2，则＝（ ）
A. B.
C. D.
6.（多选）下列各式中，值为的是（ ）
A.
B.cos2－sin2
C.cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°
D.
7.化简：·＝ .
8.＋＝ .
9.等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为 .
10.已知α为锐角，且sin ＋cos ＝，求sin α及tan 2α的值.
11.在锐角△ABC中，若B＝2A，则的取值范围是（ ）
A.（，） B.［－，］
C.（，） D.（－，）
12.数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝（ ）
A.4 B.＋1
C.2 D.－1
13.已知cos（α＋β）cos（β＋）＋sin（α＋β）sin（β＋）＝，则sin（2α＋）＝ .
14.已知θ∈（0，π），且sin θ＋cos θ＝.
（1）求的值；
（2）求的值.
15.“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
16.某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2（－50°）－sin 80°sin（－50°）；
cos2170°＋cos2（－140°）－sin 170°sin（－140°）.
（1）求出这个常数；
（2）结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.B tan 2α＝＝＝－.
2.A ∵sin α＝，∴＝1＋sin α＝.又2π＜α＜3π，∴π＜＜，∴sin ＋cos＝－.
3.C 因为－3π＜α＜－，所以－＜＜－，所以＝＝＝－cos.
4.B 原式＝＝－＝－＝－.
5.A 由tan（x＋）＝2，可得＝2，解得tan x＝，所以tan 2x＝＝＝，所以＝＝.
6.AB 选项A，＝＝sin 60°＝；选项B，cos2－sin2＝cos ＝；选项C，cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45°＝sin（45°－15°）＝sin 30°＝；选项D，＝×＝tan 30°＝×＝.
7.tan 2α 解析：原式＝·＝tan 2α.
8.4 解析：原式＝＝＝＝＝4.
9. 解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，sin B＝＝＝.所以sin A＝sin（180°－2B）＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝.
10.解：因为sin ＋cos ＝，
所以sin2＋2sin cos ＋cos2＝（）2＝，
即1＋sin α＝，所以sin α＝.
因为α为锐角，所以cos α＝＝，
所以tan α＝＝，
所以tan 2α＝＝＝.
11.A 在锐角△ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，所以＜cos A＜，则＝＝2cos A∈（，）.故选A.
12.C 由题意可知2sin 18°＝m＝，所以m2＝4sin218°，则＝
＝＝＝2.
13.－ 解析：因为cos（α＋β）cos（β＋）＋sin（α＋β）·sin（β＋）＝，所以cos［（α＋β）－（β＋）］＝，即cos（α－）＝，所以cos（2α－）＝2cos2（α－）－1＝－，即cos（－2α）＝－，所以sin（2α＋）＝sin［－（－2α）］＝cos（－2α）＝－.
14.解：由sin θ＋cos θ＝， ①
两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈（0，π），∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝＝＝，②
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
（1）
＝
＝＝.
（2）
＝
＝
＝2sin θcos θ＝－.
15.A 由tan ＝，得tan ＝＝＝＝，即2sin x＝1＋cos x成立，即必要性成立，当x＝π时，满足2sin x＝cos x＋1，但tan 无意义，即充分性不成立，则“2sin x＝cos x＋1”是“tan ＝”的必要不充分条件.
16.解：（1）cos215°＋cos215°－sin 15°·sin 15°＝2cos215°－sin215°
＝1＋cos 30°－（1－cos 30°）
＝1＋－×＝.
（2）推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝.
证明：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，
cos2α＋cos2β－sin αsin β＝cos2α＋cos2（30°－α）－sin αsin（30°－α）＝cos2α＋－sin α·（cos α－sin α）
＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α
＝cos2α＋sin2α＝.
2 / 2第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
世间万物，物以类聚，人以群分，如动物界和植物界，带有一般性的事物涵盖一切，而特殊性的事物内涵丰富，种类繁多.在三角恒等变换中，二倍角的正弦、余弦和正切公式又有什么特点呢？
【问题】 在公式C（α＋β），S（α＋β）和T（α＋β）中，若α＝β，公式还成立吗？
知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式
1.二倍角公式
函数 公式 β＝α 简记符号
正弦 sin 2α＝ S（α＋β） S2α
余弦 cos 2α＝ ＝ ＝ C（α＋β） C2α
正切 tan 2α＝ T（α＋β） T2α
提醒 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，也就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的.
2.二倍角公式的变形
（1）逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos 2α，1－2sin2α＝cos 2α；
（2）变形：①cos2α＝，sin2α＝；②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
1.已知cos x＝，则cos 2x＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
2.sin 15°cos 15°＝ .
3.若tan α＝－3，则tan 2α＝ .
题型一 给角求值
【例1】 求下列各式的值：
（1）sin2－cos2；
（2）；
（3）cos 20°·cos 40°·cos 80°.
通性通法
解给角求值问题的方法
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角；
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
【跟踪训练】
求下列各式的值：
（1）；
（2）cos4－sin4.
题型二 给值求值（角）
【例2】 已知α是第四象限角，且sin α＝－，求sin 2α，cos 2α和tan 2α的值.
通性通法
应用二倍角公式求解角的三角函数值的方法
（1）注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系；
（2）结合诱导公式恰当变化函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式.
【跟踪训练】
1.已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α＝（ ）
A.75° B.45°
C.60° D.30°
2.已知＝，则sin 2x＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
题型三 化简与证明
【例3】 （1）化简：－；
（2）求证：cos2（A＋B）－sin2（A－B）＝cos 2Acos 2B.
通性通法
三角函数式的化简与证明
（1）化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：（sin θ±cos θ）2＝1±sin 2θ；
（2）证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件.
【跟踪训练】
（1）求证：·＝tan 2α；
（2）化简：.
1.若sin＝，则cos α＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
2.＝（ ）
A. B.
C. D.－
3.已知cos2（α＋）＝，则sin 2α＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
4.设sin 2α＝－sin α，α∈（，π），求tan 2α的值.
第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
【基础知识·重落实】
知识点
1.2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α
自我诊断
1.D cos 2x＝2cos2x－1＝2×－1＝.
2. 解析：sin 15°cos 15°＝×2sin 15°·cos 15°＝sin 30°＝.
3. 解析：tan 2α＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）原式＝－（cos2－sin2）＝－cos ＝－cos（π－）＝cos ＝.
（2）原式＝＝2×＝2×＝2.
（3）原式＝
＝
＝
＝＝＝.
跟踪训练
解：（1）原式＝×＝×tan 45°＝.
（2）原式＝（cos2－sin2）（cos2＋sin2）＝cos2－sin2＝cos ＝.
【例2】 解：因为α是第四象限角，且sin α＝－，
所以cos α＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝，
tan 2α＝＝－.
跟踪训练
1.D 因为cos 2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sin α－1＝0，即（sin α＋1）·（2sin α－1）＝0.因为α为锐角，所以sin α＝，所以α＝30°.故选D.
2.A ∵＝，
∴＝，∴cos x＋sin x＝，∴1＋sin 2x＝，∴sin 2x＝－.
【例3】 解：（1）原式＝＝＝tan 2θ.
（2）证明：左边＝－
＝
＝（cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B）
＝cos 2Acos 2B＝右边，∴原等式成立.
跟踪训练
解：（1）证明：左边＝·＝tan 2α＝右边，∴原等式成立.
（2）原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
随堂检测
1.C 因为sin＝，所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×＝.
2.A ∵1－cos210°＝sin210°，cos 80°＝sin 10°，cos 20°＝1－2sin210°，
∴
＝
＝＝.
3.B ∵cos2（α＋）＝＝＝，∴sin 2α＝.
4.解：∵sin 2α＝－sin α，
∴2sin αcos α＝－sin α.
由α∈（，π）知sin α≠0，
∴cos α＝－，∴α＝，
∴tan 2α＝tan ＝.
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