5.5.2 简单的三角恒等变换
1.已知α∈，cos α＝，则tan＝（ ）
A.3 B.－3
C. D.－
2.若sin（π－α）＝－且α∈，则sin（＋）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
3.设－3π＜α＜－，则＝（ ）
A.sin ＋cos B.－cos －sin
C.cos －sin D.sin －cos
4.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有（ ）
A.c＜b＜a B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.b＜c＜a
5.（多选）下列各式与tan α相等的是（ ）
A.
B.
C.·（α∈（0，π））
D.
6.（多选）下列结论正确的是（ ）
A.存在实数α，使tan 2α＝2tan α
B.＝
C.已知tan α＝－4，则tan＝
D.tan 75°＝
7.sin ＝ .
8.若sin θ＝，＜θ＜3π，则sin＝ .
9.化简：··＝ .
10.求证：＝tan.
11.设直角三角形中两锐角为A和B，则cos Acos B的取值范围是（ ）
A.（0，］ B.（0，1）
C.［，1） D.［，1）
12.（多选）已知f（x）＝sin2，若a＝f（lg 5），b＝f，则（ ）
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.a＋b＝1 D.a－b＝sin（2lg 5）
13.化简：＝ .
14.已知＜α＜3π，试化简：.
15.＋32cos212°＝（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
16.已知＜α＜π，tan α＋＝－.
（1）求tan α的值；
（2）求的值.
5.5.2 简单的三角恒等变换
1.D 因为α∈，且cos α＝，所以∈，tan＝－ ＝－ ＝－.
2.B 由题意知sin α＝－，α∈，所以cos α＝－.因为∈，所以sin＝cos ＝－＝－.故选B.
3.D ∵－3π＜α＜－，∴－＜＜－.∴sin ＞0，cos ＜0，＝＝＝｜sin －cos ｜＝sin －cos .
4.C a＝cos 6°－sin 6°＝sin（30°－6°）＝sin 24°，b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c＝＝＝（cos 20°－sin 20°）＝sin 25°，函数y＝sin x，x∈（0°，90°）单调递增，所以a＜c＜b，故选C.
5.CD A不符合，＝＝＝｜tan α｜；B不符合，＝＝tan ；C符合，因为α∈（0，π），所以原式＝·＝＝tan α；D符合，＝＝tan α.
6.AC 对于A选项，取α＝0，则tan 2α＝0＝2tan α，故A正确；对于B选项，由半角公式可知＝tan 40°≠，故B错误；对于C选项，由于tan α＝－4＝，整理得2tan2－tan－2＝0，解得tan＝，故C正确；对于D选项，由正切的半角公式知tan 75°＝，故D错误.
7. 解析：sin ＝＝＝ .
8.－ 解析：∵sin θ＝，＜θ＜3π，∴＜＜，cos θ＝－＝－，∴sin＝－＝－.
9.tan 解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan .
10.证明：左边＝
＝＝
＝＝tan＝右边.
所以原等式成立.
11.A 直角三角形中两锐角为A和B，则A＋B＝C＝，则cos Acos B＝[cos（A－B）＋cos（A＋B）]＝·cos（A－B），再结合A－B∈（－，），可得cos（A－B）∈（0，1]，∴cos（A－B）∈（0，］.
12.CD f（x）＝sin2＝＝＝·sin 2x＋.因为a＝f（lg 5），b＝f＝f（－lg 5），所以a＋b＝＋＝1，a－b＝－＝sin（2lg 5）.故选C、D.
13.tan 解析：原式＝
＝
＝＝tan .
14.解：因为＜α＜3π，所以＜＜，
所以cos α＜0，sin ＜0.
故原式＝＝＝＝－sin .
15.C 原式＝＋16·（2cos212°－1）＋16＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16＝16.
16.解：（1）因为tan α＋＝－，
所以tan α＝－3或－，
因为＜α＜π，所以tan α＞－1，
所以tan α＝－.
（2）
＝
＝＝＝＝－.
2 / 25.5.2 简单的三角恒等变换
新课程标准解读 核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想 逻辑推理
2.灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明 数学运算
类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分（如图），三角中也有倍角公式与单角公式，那么单角和半角之间的联系是什么？由两角和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪些三角恒等式？
【问题】 由cos 30°的值能否求出sin 15°和cos 15°的值？
知识点 半角公式
提醒 （1）有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的范围便可求的正弦、余弦、正切的值；
（2）由于tan ＝及tan ＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件.
1.cos 15°＝（ ）
A. B.
C.± D.±
2.已知cos α＝，α∈，则sin＝（ ）
A. B.－ C. D.
3.已知cos θ＝－，－180°＜θ＜－90°，则cos ＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
题型一 应用半角公式求值
【例1】 已知sin α＝－，π＜α＜，求sin，cos，tan的值.
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.
提醒 已知cos α的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号.
【跟踪训练】
已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos和tan.
题型二 三角函数式的化简
【例2】 化简：（0＜α＜π）.
通性通法
化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
化简：（1）＋；
（2）.
题型三 三角恒等变换的综合应用
【例3】 若logπ＜2，求使f（x）＝sin（x＋α）＋cos（x－α）（x∈R）为偶函数的实数α的个数.
通性通法
解决三角恒等变换综合问题的思路
三角恒等变换的综合问题常见的题型有化简、求值、证明等，其解题思路为“六遇六想”，即：遇切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降幂；遇特角，想求值；遇和式，想收缩.
【跟踪训练】
已知在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形.
1.已知sin 2α＝，则cos2＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
2.化简＝（ ）
A.－cos 1 B.cos 1
C.cos 1 D.－cos 1
3.（多选）已知sin α＝－，180°＜α＜270°，则下列选项正确的是（ ）
A.sin 2α＝－ B.sin＝
C.cos＝－ D.tan＝－2
4.已知cos θ＝－，θ∈（π，2π），则sin ＋cos ＝ .
5.化简：.
积化和差、和差化积公式
1.积化和差公式
cos α·cos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；
sin α·sin β＝－［cos（α＋β）－cos（α－β）］；
sin α·cos β＝；
cos α·sin β＝.
2.和差化积公式
sin α＋sin β＝2sin cos ；
sin α－sin β＝2cos sin ；
cos α＋cos β＝2cos cos ；
cos α－cos β＝－2sin sin .
【例】 求cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°的值.
方法总结
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程（组）求x，它们都体现了化归思想.
【迁移应用】
求下列各式的值：
（1）cos 29°cos 31°－cos 2°；
（2）cos＋cos－2sincos.
5.5.2 简单的三角恒等变换
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.A 因为15°角是第一象限角，所以cos 15°＞0，由半角的余弦公式可知cos 15°＝.
2.A 由题知∈，∴sin＞0，sin＝＝.
3.B 由－180°＜θ＜－90°可知－90°＜＜－45°，故cos ＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：∵π＜α＜，sin α＝－，
∴cos α＝－，且＜＜，
∴sin ＝ ＝，
cos ＝ －＝－，
tan＝＝－2.
跟踪训练
解：因为sin θ＝，且＜θ＜3π，
所以cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1，得cos2＝＝.
因为＜＜，
所以cos＝－＝－.
tan＝＝2.
【例2】 解：法一 ∵tan＝，
∴（1＋cos α）tan＝sin α.
又cos＝－sin α，1－cos α＝2sin2，
∴原式＝＝
＝－.
∵0＜α＜π，∴0＜＜，∴sin＞0.
∴原式＝－2cos.
法二 原式＝
＝＝
＝－，
∵0＜α＜π，∴0＜＜，∴sin＞0，
∴原式＝－＝－2·cos.
跟踪训练
解：（1）＋
＝＋
＝｜sin 10°＋cos 10°｜＋｜sin 10°－cos 10°｜
＝sin 10°＋cos 10°＋cos 10°－sin 10°
＝2cos 10°.
（2）原式＝＝＝＝＝tan 2α.
【例3】 解：f（x）＝sin（x＋α）＋cos（x－α）
＝sin xcos α＋cos xsin α＋cos xcos α＋sin xsin α
＝（sin x＋cos x）cos α＋（sin x＋cos x）·sin α
＝（sin x＋cos x）（sin α＋cos α）.
∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即对于任意实数x都有（sin x＋cos x）（sin α＋cos α）＝[sin（－x）＋cos（－x）]（sin α＋cos α），整理得2sin x（sin α＋cos α）＝0.
∴sin α＋cos α＝0，则sin（α＋）＝0，
∴α＝kπ－（k∈Z）.
又logπ＜2 －2＜logπ＜2，∴＜α＜π3，
∴＜kπ－＜π3，则＋＜k＜π2＋，
∴1≤k≤10，k∈Z.故这样的实数α有10个.
跟踪训练
证明：∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴sin C＝sin（A＋B）＝cos A＋cos B.
又∵cos A＋cos B＝cos（＋）＋cos（－）＝2cos cos ，
∴2sin cos ＝2cos ·cos ，
显然cos ≠0，故sin ＝cos ，
两边平方，得sin2 ＝cos2，
即＝，
∴cos（A＋B）＋cos（A－B）＝0，
∴2cos Acos B＝0，即cos A＝0或cos B＝0.
∵A，B是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ABC是直角三角形.
随堂检测
1.D cos2＝＝＝.
2.C 原式＝＝，因为0＜1＜，故原式＝cos 1.
3.BCD 因为sin α＝－，180°＜α＜270°，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×（－）×（－）＝，故A错误；因为90°＜＜135°，所以sin＝＝＝，cos＝－＝－＝－，tan＝＝－2，故B、C、D均正确.
4. 解析：因为θ∈（π，2π），所以∈，所以sin ＝＝，cos ＝－＝－，所以sin ＋cos ＝.
5.解：原式＝
＝
＝
＝＝＝－2.
拓视野 积化和差、和差化积公式
【例】 解：由积化和差、和差化积公式知，cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝2cos 120°cos 26°＋2×（cos 120°＋cos 26°）＝2××cos 26°＋＋cos 26°＝－cos 26°＋＋cos 26°＝－.
迁移应用
解：（1）cos 29°cos 31°－cos 2°
＝[cos（29°＋31°）＋cos（29°－31°）]－cos 2°＝cos 60°＋cos（－2°）－cos 2°＝.
（2）cos＋cos－2sincos
＝2cos·cos－cos
＝2coscos－cos
＝cos－cos＝0.
培优课 辅助角公式及几何问题中的三角解法
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B （2）BD 解析：（1）cos α＋sin α＝2（cos α＋sin α）＝2（sincos α＋cossin α）＝2sin（＋α）＝2×＝.
（2）2cos α－2sin α＝4（cos α－sin α）＝4（sincos α－cossin α）＝4sin（－α），故D正确；此题还可化为2cos α－2sin α＝4（cos α－sin α）＝4（coscos α－sinsin α）＝4cos（＋α），故B正确.
跟踪训练
B 由题意知解得∴＝，故选B.
【例2】 解：（1）f（x）＝（cos x－sin x）·（cos x＋sin x）＝cos2x－sin2x＝－＝cos 2x－，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）h（x）＝f（x）－g（x）＝cos 2x－sin 2x＝cos（2x＋），
当2x＋＝2kπ（k∈Z）时，h（x）有最大值，
此时x的取值集合为x｜x＝kπ－，k∈Z.
跟踪训练
解：（1）由已知，得f（x）＝－＝（cos 2x＋sin 2x）－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin（2x－），
所以f（x）的最小正周期T＝＝π.
（2）因为x∈［－，］，所以2x－∈［－，］，
所以f（x）在区间［－，－］上单调递减，在区间［－，］上单调递增，
且f（－）＝－，f（－）＝－，f（）＝，
所以f（x）在区间［－，］上的最大值为，最小值为－.
【例3】 解：如图，连接OC，设∠COB＝θ，
则0°＜θ＜45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ，所以S矩形ABCD＝AB·BC＝（cos θ－sin θ）sin θ
＝－sin2θ＋sin θcos θ＝－（1－cos 2θ）＋sin 2θ＝（sin 2θ＋cos 2θ）－＝cos（2θ－45°）－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，
Smax＝（m2），所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
跟踪训练
2 解析：∵∠ACB＝，∴A＋B＝，∴B＝－A，0＜A＜，AB＝x＋y＝＋＝＋＝＝
＝
＝
＝，∵0＜A＜，∴＜2A＋＜，∴当2A＋＝时，x＋y的最小值为2.
4 / 4(共62张PPT)
5.5.2
简单的三角恒等变换
新课程标准解读 核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三
角恒等变换的基本思想 逻辑推理
2.灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及
化简、证明 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
类似电脑输入法有“半角”和“全角”之分（如图），三角中也
有倍角公式与单角公式，那么单角和半角之间的联系是什么？由两角
和与差的正弦公式和余弦公式还可以推导出哪些三角恒等式？
【问题】 由 cos 30°的值能否求出 sin 15°和 cos 15°的值？
知识点 半角公式
提醒 （1）有了半角公式，只需知道 cos α的值及相关的角的范围
便可求 的正弦、余弦、正切的值；
（2）由于tan ＝ 及tan ＝ 不含被开方数，且不涉及符号
问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成
立的条件.
1. cos 15°＝（ ）
A. B.
C. ± D. ±
解析： 因为15°角是第一象限角，所以 cos 15°＞0，由半角的
余弦公式可知 cos 15°＝ .
2. 已知 cos α＝ ，α∈ ，则 sin ＝（ ）
A. B. －
C. D.
解析： 由题知 ∈ ，∴ sin ＞0， sin ＝ ＝
.
3. 已知 cos θ＝－ ，－180°＜θ＜－90°，则 cos ＝（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： 由－180°＜θ＜－90°可知－90°＜ ＜－45°，故
cos ＝ ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 应用半角公式求值
【例1】 已知 sin α＝－ ，π＜α＜ ，求 sin ， cos ，tan
的值.
解：∵π＜α＜ ， sin α＝－ ，∴ cos α＝－ ，且 ＜ ＜ ，
∴ sin ＝ ＝ ， cos ＝ － ＝－ ，
tan ＝ ＝－2.
通性通法
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两
倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必
依据角的范围，求出相应半角的范围.
提醒 已知 cos α的值可求 的正弦、余弦、正切值，要注意确
定其符号.
【跟踪训练】
已知 sin θ＝ ， ＜θ＜3π，求 cos 和tan .
解：因为 sin θ＝ ，且 ＜θ＜3π，
所以 cos θ＝－ ＝－ .
由 cos θ＝2 cos 2 －1，得 cos 2 ＝ ＝ .
因为 ＜ ＜ ，所以 cos ＝－ ＝－ .
tan ＝ ＝2.
题型二 三角函数式的化简
【例2】 化简： （0＜α＜π）.
解：法一 ∵tan ＝ ，
∴（1＋ cos α）tan ＝ sin α.
又 cos ＝－ sin α，1－ cos α＝2 sin 2 ，
∴原式＝ ＝
＝－ .
∵0＜α＜π，∴0＜ ＜ ，∴ sin ＞0.
∴原式＝－2 cos .
法二 原式＝
＝ ＝
＝－ ，
∵0＜α＜π，∴0＜ ＜ ，∴ sin ＞0，
∴原式＝－ ＝－2 cos .
通性通法
化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过
拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统
一为弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升
幂、降幂、配方、开方等.
【跟踪训练】
化简：（1） ＋ ；
解： ＋
＝ ＋
＝｜ sin 10°＋ cos 10°｜＋｜ sin 10°－ cos 10°｜
＝ sin 10°＋ cos 10°＋ cos 10°－ sin 10°
＝2 cos 10°.
（2） .
解： 原式＝ ＝ ＝
＝ ＝tan 2α.
题型三 三角恒等变换的综合应用
【例3】 若 logπ ＜2，求使 f （ x ）＝ sin （ x ＋α）＋ cos （ x －
α）（ x ∈R）为偶函数的实数α的个数.
解： f （ x ）＝ sin （ x ＋α）＋ cos （ x －α）
＝ sin x cos α＋ cos x sin α＋ cos x cos α＋ sin x sin α
＝（ sin x ＋ cos x ） cos α＋（ sin x ＋ cos x ） sin α
＝（ sin x ＋ cos x ）（ sin α＋ cos α）.
∵ f （ x ）为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （ x ），即对于任意实数 x 都有
（ sin x ＋ cos x ）（ sin α＋ cos α）＝[ sin （－ x ）＋ cos （－ x ）]
（ sin α＋ cos α），整理得2 sin x （ sin α＋ cos α）＝0.
∴ sin α＋ cos α＝0，则 sin （α＋ ）＝0，
∴α＝ k π－ （ k ∈Z）.
又 logπ ＜2 －2＜logπ ＜2，∴ ＜α＜π3，
∴ ＜ k π－ ＜π3，则 ＋ ＜ k ＜π2＋ ，
∴1≤ k ≤10， k ∈Z. 故这样的实数α有10个.
通性通法
解决三角恒等变换综合问题的思路
三角恒等变换的综合问题常见的题型有化简、求值、证明
等，其解题思路为“六遇六想”，即：遇切，想化弦；遇多元，
想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降幂；遇特角，想求值；
遇和式，想收缩.
【跟踪训练】
已知在△ ABC 中， cos A ＋ cos B ＝ sin C ，求证：△ ABC 是直
角三角形.
证明：∵在△ ABC 中， A ＋ B ＋ C ＝π，
∴ sin C ＝ sin （ A ＋ B ）＝ cos A ＋ cos B .
又∵ cos A ＋ cos B ＝ cos （ ＋ ）＋ cos （ － ）＝2
cos cos ，∴2 sin cos ＝2 cos cos ，
显然 cos ≠0，故 sin ＝ cos ，
两边平方，得 sin 2 ＝ cos 2 ，
即 ＝ ，
∴ cos （ A ＋ B ）＋ cos （ A － B ）＝0，
∴2 cos A cos B ＝0，即 cos A ＝0或 cos B ＝0.
∵ A ， B 是三角形的内角，故必有一个为直角，
∴△ ABC 是直角三角形.
1. 已知 sin 2α＝ ，则 cos 2 ＝（ ）
A. － B. －
C. D.
解析： cos 2 ＝ ＝ ＝ .
2. 化简 ＝（ ）
A. － cos 1
B. cos 1
C. cos 1
D. － cos 1
解析： 原式＝ ＝ ，因
为0＜1＜ ，故原式＝ cos 1.
3. （多选）已知 sin α＝－ ，180°＜α＜270°，则下列选项正确
的是（ ）
A. sin 2α＝－ B. sin ＝
C. cos ＝－ D. tan ＝－2
解析： 因为 sin α＝－ ，180°＜α＜270°，所以 cos α
＝－ ，所以 sin 2α＝2 sin α cos α＝2×（－ ）×（－ ）＝
，故A错误；因为90°＜ ＜135°，所以 sin ＝ ＝
＝ ， cos ＝－ ＝－ ＝－ ，tan ＝
＝－2，故B、C、D均正确.
4. 已知 cos θ＝－ ，θ∈（π，2π），则 sin ＋ cos ＝ .
解析：因为θ∈（π，2π），所以 ∈ ，所以 sin ＝
＝ ， cos ＝－ ＝－ ，所以 sin ＋ cos ＝ .
5. 化简： .
解：原式＝
＝
＝
＝ ＝ ＝－2.
积化和差、和差化积公式
1. 积化和差公式
cos α· cos β＝ [ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]；
sin α· sin β＝－ ；
sin α· cos β＝ ；
cos α· sin β＝ .
2. 和差化积公式
sin α＋ sin β＝2 sin cos ；
sin α－ sin β＝2 cos sin ；
cos α＋ cos β＝2 cos cos ；
cos α－ cos β＝－2 sin sin .
【例】 求 cos 146°＋ cos 94°＋2 cos 47° cos 73°的值.
解：由积化和差、和差化积公式知， cos 146°＋ cos 94°＋2 cos
47° cos 73°＝2 cos 120° cos 26°＋2× （ cos 120°＋ cos
26°）＝2× × cos 26°＋ ＋ cos 26°＝－ cos 26°＋
＋ cos 26°＝－ .
积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看
作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，
φ的三角函数式.或者把 sin α cos β看作 x ， cos α sin β看作 y ，
把等式看作 x ， y 的方程，则原问题转化为解方程（组）求 x ，它
们都体现了化归思想.
方法总结
【迁移应用】
求下列各式的值：
（1） cos 29° cos 31°－ cos 2°；
解： cos 29° cos 31°－ cos 2°
＝ [ cos （29°＋31°）＋ cos （29°－31°）]－ cos 2°
＝ cos 60°＋ cos （－2°）－ cos 2°＝ .
（2） cos ＋ cos －2 sin cos .
解： cos ＋ cos －2 sin cos
＝2 cos · cos － cos
＝2 cos cos － cos
＝ cos － cos ＝0.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知α∈ ， cos α＝ ，则tan ＝（ ）
A. 3 B. －3 C. D. －
解析： 因为α∈ ，且 cos α＝ ，所以 ∈
，tan ＝－ ＝－ ＝－ .
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2. 若 sin （π－α）＝－ 且α∈ ，则 sin （ ＋ ）＝
（ ）
A. － B. － C. D.
解析： 由题意知 sin α＝－ ，α∈ ，所以 cos α＝
－ .因为 ∈ ，所以 sin ＝ cos ＝－ ＝－
.故选B.
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3. 设－3π＜α＜－ ，则 ＝（ ）
A. sin ＋ cos B. － cos － sin
C. cos － sin D. sin － cos
解析： ∵－3π＜α＜－ ，∴－ ＜ ＜－ .∴ sin ＞0，
cos ＜0， ＝ ＝
＝｜ sin － cos ｜＝ sin － cos .
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4. 设 a ＝ cos 6°－ sin 6°， b ＝2 sin 13° cos 13°， c ＝
，则有（ ）
A. c ＜ b ＜ a B. a ＜ b ＜ c
C. a ＜ c ＜ b D. b ＜ c ＜ a
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解析： a ＝ cos 6°－ sin 6°＝ sin （30°－6°）＝ sin
24°， b ＝2 sin 13° cos 13°＝ sin 26°， c ＝ ＝
＝ （ cos 20°－ sin 20°）＝ sin 25°，函数 y ＝
sin x ， x ∈（0°，90°）单调递增，所以 a ＜ c ＜ b ，故选C.
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5. （多选）下列各式与tan α相等的是（ ）
A.
B.
C. · （α∈（0，π））
D.
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解析： A不符合， ＝ ＝ ＝｜tan
α｜；B不符合， ＝ ＝tan ；C符合，因为α∈
（0，π），所以原式＝ · ＝ ＝tan α；D符合，
＝ ＝tan α.
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6. （多选）下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数α，使tan 2α＝2tan α
B. ＝
C. 已知tan α＝－4，则tan ＝
D. tan 75°＝
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解析： 对于A选项，取α＝0，则tan 2α＝0＝2tan α，故A正
确；对于B选项，由半角公式可知 ＝tan 40°≠ ，故B错
误；对于C选项，由于tan α＝－4＝ ，整理得2tan2 －tan
－2＝0，解得tan ＝ ，故C正确；对于D选项，由正切的半角
公式知tan 75°＝ ，故D错误.
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7. sin ＝ .
解析： sin ＝ ＝ ＝ .
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8. 若 sin θ＝ ， ＜θ＜3π，则 sin ＝ － .
解析：∵ sin θ＝ ， ＜θ＜3π，∴ ＜ ＜ ， cos θ＝－
＝－ ，∴ sin ＝－ ＝－ .
－
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9. 化简： · · ＝ tan .
解析：原式＝ · · ＝ · ＝
· ＝ ＝tan .
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10. 求证： ＝tan .
证明：左边＝
＝ ＝ ＝
＝tan ＝右边.所以原等式成立.
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11. 设直角三角形中两锐角为 A 和 B ，则 cos A cos B 的取值范围是
（ ）
A. （0， ］ B. （0，1）
C. ［ ，1） D. ［ ，1）
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解析： 直角三角形中两锐角为 A 和 B ，则 A ＋ B ＝ C ＝ ，则
cos A cos B ＝ [ cos （ A － B ）＋ cos （ A ＋ B ）]＝ cos （ A －
B ），再结合 A － B ∈（－ ， ），可得 cos （ A － B ）∈（0，
1]，∴ cos （ A － B ）∈（0， ］.
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12. （多选）已知 f （ x ）＝ sin 2 ，若 a ＝ f （lg 5）， b ＝ f
，则（ ）
A. a ＋ b ＝0 B. a － b ＝0
C. a ＋ b ＝1 D. a － b ＝ sin （2lg 5）
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解析： f （ x ）＝ sin 2 ＝ ＝ ＝ sin
2 x ＋ .因为 a ＝ f （lg 5）， b ＝ f ＝ f （－lg 5），所以 a ＋ b
＝ ＋ ＝1， a － b ＝ －
＝ sin （2lg 5）.故选C、D.
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13. 化简： ＝ tan .
解析：原式＝ ＝
＝ ＝tan .
tan
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14. 已知 ＜α＜3π，试化简： .
解：因为 ＜α＜3π，所以 ＜ ＜ ，
所以 cos α＜0， sin ＜0.
故原式＝ ＝ ＝ ＝－ sin .
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15. ＋32 cos 212°＝（ ）
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
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解析： 原式＝ ＋16·（2 cos 212°－1）＋16＝
＋16 cos 24°＋16＝
＋16 cos 24°＋16＝ ＋16 cos 24°＋16＝
＋16 cos 24°＋16＝16.
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16. 已知 ＜α＜π，tan α＋ ＝－ .
（1）求tan α的值；
解： 因为tan α＋ ＝－ ，
所以tan α＝－3或－ ，
因为 ＜α＜π，所以tan α＞－1，
所以tan α＝－ .
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（2）求 的值.
解：
＝
＝ ＝ ＝ ＝－ .
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