(共64张PPT)
5.6
函数y＝Asin（ωx＋φ）
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，了解 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的实际意
义，会用“五点法”画出 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的图象
并能解决有关问题 数学抽象
2.能借助图象理解参数ω，φ， A 的意义，了解参数的
变化对函数图象的影响 数学抽象、
直观想象
第1课时
函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游
客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度 y 与时间 x 之间的
函数解析式为 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ b ，我们本节课就研究此类函数.
【问题】 （1）由函数 y ＝ sin x 的图象如何得到函数 y ＝ sin
的图象？
（2）将函数 y ＝ sin x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，所得
图象对应的函数的最小正周期是多少？
知识点 A ，ω，φ对函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的图象的影响
1. φ对函数 y ＝ sin （ x ＋φ）的图象的影响
2. ω（ω＞0）对函数 y ＝ sin （ω x ＋φ）的图象的影响
3. A （ A ＞0）对函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）的图象的影响
提醒 对 A ，ω，φ（ A ＞0，ω＞0）的三点说明：① A 越大，函数
图象的最大值越大，最大值与 A 是正比例关系；②ω越大，函数图
象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系；③φ大
于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即
“左加右减”.
1. 用“五点法”作 y ＝2 sin 3 x 的图象时，首先应描出的五点的横坐
标可以是（ ）
C. 0，π，2π，3π，4π
2. 把函数 y ＝ sin x 的图象向左平移 个单位长度后所得图象的函数解
析式为（ ）
解析： 根据图象变换的方法， y ＝ sin x 的图象向左平移 个单
位长度后得到 y ＝ sin 的图象.
3. 函数 y ＝ cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2
倍，得到图象的函数解析式为 y ＝ cos ω x ，则ω＝ .
解析：函数 y ＝ cos x y ＝ cos x ，所以ω＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数图象的平移变换
【例1】 （1）将函数 y ＝ sin x 的图象向左平移 个单位长度，再向
上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是（ ）
解析： 向左平移 个单位长度得 y ＝ sin ，再向上平
移2个单位长度得 y ＝ sin ＋2，故选D.
（2）要得到函数 y ＝ sin 的图象，只需将函数 y ＝ sin
的图象（ ）
解析：由于 y ＝ sin ＝ sin 以及 y ＝ sin
＝ sin ，结合 x － ＝ － ，故只需将函数
y ＝ sin 的图象沿着 x 轴向右平移 个单位长度就可得到
函数 y ＝ sin 的图象，故选D.
通性通法
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
（1）确定函数的图象经过变换对应的解析式，关键是明确左右平移
的方向，按“左加右减”的原则进行；
（2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解
析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.
解析：∵ y ＝ sin x ＋ cos x ＝ sin （ x ＋ ），而 y ＝ sin x － cos x ＝
sin （ x － ），∴将 y ＝ sin x ＋ cos x 的图象向右平移 个单位长度
可得到 y ＝ sin x － cos x 的图象.
向右平移 个单位长度（答案不唯
一）
题型二 三角函数图象的伸缩变换
【例2】 （1）将函数 y ＝ sin x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2
倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图象的解析式为（ ）
A. y ＝3 sin 2 x B. y ＝2 sin 3 x
解析： 将函数 y ＝ sin x 图象上各点的横坐标伸长为原来的
2倍，得到 y ＝ sin x 的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到 y
＝3 sin x 的图象.故选C.
（2）（多选）为了得到函数 y ＝ cos 的图象，只要把函数 y
＝ cos x 图象上所有的点（ ）
解析：要得到函数 y ＝ cos 的图象，可将 y ＝ cos x 图象上
所有的点向左平移 个单位长度，然后将所得图象上所有的点的
横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，也可将 y ＝ cos x 图象上所有
的点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，然后将所得图象上所
有的点向左平移 个单位长度.故选B、C.
通性通法
图象伸缩变换的关注点
（1）两个弄清：要弄清是横向还是纵向，要弄清是伸还是缩；
（2）三角函数图象伸缩变换的两种方法：
方法一： y ＝ A1 sin ω1 x
y ＝ A2 sin ω1 x y ＝ A2 sin ω2 x .
方法二： y ＝ A1 sin ω1 x
y ＝ A1 sin ω2 x y ＝ A2 sin ω2 x .
【跟踪训练】
1. 将函数 y ＝ sin 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，
纵坐标不变，得到函数 y ＝ g （ x ）的图象，则函数 g （ x ）的解析
式为 .
解析：依据图象变换可得函数 g （ x ）＝ sin .
g （ x ）＝ sin
2. 将函数 y ＝ sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 个单位长度，得到的
图象对应的函数解析式是 .
解析：将函数 y ＝ sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变）得到 y ＝ sin ，再向左平移 个单位
长度得到的解析式为 y ＝ sin ［ － ］＝ sin .
y ＝ sin
题型三 “五点法”作图
【例3】 已知函数 y ＝3 sin ＋3（ x ∈R），用“五点法”画
出它在一个周期内的闭区间上的图象.
解：列表：
0 π 2π
x
y 3 6 3 0 3
描点画图：
通性通法
1. “五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数 f （ x ）＝ A sin （ω x ＋φ）的图象，实质是
利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2. “五点法”作图的关键
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
（1）计算 x 取端点值时的ω x ＋φ的范围；
（2）取出ω x ＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的 x 值；
（3）利用ω x ＋φ的值计算 y 值；
（4）描点（ x ， y ），连线得到函数图象.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ cos ，试作出函数 f （ x ）在[0，π]上的
图象.
解： f （ x ）＝ cos ，列表如下：
0 π
x 0 π
f （ x ） 1 0 －1 0
图象如图.
1. 用“五点法”作函数 y ＝ cos 在一个周期内的图象时，第
四个关键点的坐标可以是（ ）
解析： 令4 x － ＝ ，得 x ＝ .∴该点坐标为 .
2. 将函数 y ＝ sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的
函数解析式是（ ）
A. y ＝ cos 2 x B. y ＝－ cos 2 x
D. y ＝－ sin 2 x
解析： 将函数 y ＝ sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度，得到 y
＝ sin 2 ＝ sin ＝－ cos 2 x 的图象.
3. 将函数 f （ x ）＝ sin （ω x ＋φ）（ω＞0，－ ≤φ＜ ）图象上每
一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单
位长度得到 y ＝ sin x 的图象，则 f ＝（ ）
C. 1 D. 0
解析： 把函数 y ＝ sin x 的图象向左平移 个单位长度得到 y ＝
sin 的图象，再把函数 y ＝ sin （ x ＋ ）图象上每一点的横
坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 f （ x ）＝ sin
的图象，所以 f ＝ sin （ × ＋ ）＝ sin ＝ .
4. 要得到 y ＝tan 2 x 的图象，只需把 y ＝tan（2 x － ）的图象
.
解析：设向左平移φ个单位长度得到 y ＝tan 2 x 的图象， y ＝tan
＝tan ，所以2φ－ ＝0，所以φ＝
，所以向左平移 个单位长度.
向左
平移 个单位长度（答案不唯一）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 要得到函数 y ＝ sin x 的图象，只需将函数 y ＝ sin （ x － ）的图象
（ ）
2. 将函数 f （ x ）＝ sin x 的图象上各点横坐标变为原来的 ，纵坐标不
变，再将所得图象向左平移 个单位长度，得到函数 g （ x ）的图
象，则函数 g （ x ）的解析式为（ ）
解析： 将 f （ x ）＝ sin x 图象上各点横坐标变为原来的 ，得 y
＝ sin 2 x 的图象，再向左平移 个单位长度后得 g （ x ）＝ sin 2（ x
＋ ）＝ sin （2 x ＋ ）的图象.
3. 已知函数 f （ x ）＝ sin （2 x ＋ ），为了得到函数 g （ x ）＝ cos
（2 x ＋ ）的图象只需将 y ＝ f （ x ）的图象（ ）
解析： ∵ g （ x ）＝ cos （2 x ＋ ）＝ sin （2 x ＋ ＋ ）＝ sin
（2 x ＋ ）＝ sin ［2（ x ＋ ）＋ ］，∴只需将函数 f （ x ）＝
sin （2 x ＋ ）的图象向左平移 个单位长度即可得到函数 g （ x ）
＝ cos （2 x ＋ ）的图象.
4. 若把函数 y ＝ sin 的图象向左平移 个单位长度，所得到
的图象与函数 y ＝ cos ω x 的图象重合，则ω的一个可能取值是
（ ）
A. 2
解析： y ＝ sin 和函数 y ＝ cos ω x 的图象重合，
可得 － ＝ ＋2 k π， k ∈Z，则ω＝6 k ＋2， k ∈Z. ∴ω的一个
可能值是2.
5. 函数 y ＝ sin （2 x － ）在区间［－ ，π］上的简图是（ ）
解析： 当 x ＝0时， y ＝ sin （－ ）＝－ ＜0，故排除
B、D；当 x ＝ 时， y ＝ sin （2× － ）＝ sin 0＝0，排除C，故选A.
6. （多选）已知曲线 C1： y ＝ cos x ， C2： y ＝ sin （2 x ＋ ），则下
面结论正确的是（ ）
解析： y ＝ sin （2 x ＋ ）＝ sin （2 x ＋ ＋ ）＝ cos （2 x
＋ ），所以将曲线 C1： y ＝ cos x 向左平移 个单位长度，得到曲
线 y ＝ cos （ x ＋ ），再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来
的 （纵坐标不变），得到曲线 y ＝ cos （2 x ＋ ）；或将曲线
C1： y ＝ cos x 上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得
到曲线 y ＝ cos 2 x ，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
曲线 y ＝ cos 2（ x ＋ ）＝ cos （2 x ＋ ）.
7. 将函数 y ＝ sin 的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为
原来的 倍，可得到函数 y ＝ sin （ x － ） 的图象.
解析：把 y ＝ sin 的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短
为原来的 倍，得到 y ＝ sin （ x － ）的图象.
y ＝ sin （ x － ）
8. 已知函数 y ＝ sin 2 x 的图象上每个点向左平移φ（0＜φ＜ ）个单位
长度得到函数 y ＝ sin （2 x ＋ ）的图象，则φ＝ .
解析：把函数 y ＝ sin 2 x 的图象上每个点向左平移φ（0＜φ＜ ）个
单位长度，得到函数 y ＝ sin （2 x ＋ ）＝ sin （2 x ＋2φ）的图
象，∴2φ＝ ，则φ＝ .
9. 为了得到余弦曲线 y ＝ cos x ，只需将正弦曲线 y ＝ sin x 沿 x 轴
个单位长度（填所有正确的序号）.
①向右平移 ；②向左平移 ；③向右平移 ；④向左平移 .
②
③
解析：将正弦曲线 y ＝ sin x 沿 x 轴向右平移 个单位长度，得到曲
线 y ＝ sin ＝－ cos x ，①不正确；将正弦曲线 y ＝ sin x 沿 x
轴向左平移 个单位长度，得到曲线 y ＝ sin ＝ cos x ，②正
确；将正弦曲线 y ＝ sin x 沿 x 轴向右平移 个单位长度，得到曲线
y ＝ sin （ x － ）＝ cos x ，③正确；将正弦曲线 y ＝ sin x 沿 x 轴向
左平移 个单位长度，得到曲线 y ＝ sin ＝－ cos x ，④不
正确.
10. 已知函数 y ＝ f （ x ）的图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的4
倍，横坐标伸长到原来的2倍，然后把所得的图象沿 x 轴向左平移
个单位长度，这样得到的曲线和 y ＝2 sin x 的图象相同，求函数 y
＝ f （ x ）的解析式.
解： y ＝2 sin x 的图象 y ＝2 sin 的图
象 y ＝2 sin 的图
象 y ＝ sin 的图象，即 f （ x ）＝－
cos 2 x .
11. 把函数 y ＝ cos 2 x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单
位长度，得到的图象是（ ）
解析： 由题意， y ＝ cos 2 x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长
到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的解析式为 y ＝ cos x ＋
1；再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为 y ＝ cos （ x ＋
1）＋1；最后向下平移1个单位长度，所得图象的解析式为 y ＝
cos （ x ＋1），显然点（ －1，0）在此函数图象上.
12. 已知函数 f （ x ）＝ cos 2 x － sin 2 x ，将 f （ x ）的图象向左平移 a
（ a ＞0）个单位长度后可以得到一个奇函数的图象，将 f （ x ）的
图象向右平移 b （ b ＞0）个单位长度后可以得到一个偶函数的图
象，则｜ a － b ｜的最小值为（ ）
A. 0
解析： 函数 f （ x ）＝ cos 2 x － sin 2 x ＝ cos （2 x ＋ ），
函数 f （ x ）的图象向左平移 a （ a ＞0）个单位长度后所得图象对
应的函数解析式为 g （ x ）＝ cos （2 x ＋2 a ＋ ），因为 g
（ x ）为奇函数，所以2 a ＋ ＝ k π＋ （ k ∈Z），得 a ＝ ＋
（ k ∈Z），又 a ＞0，所以 k ∈N.函数 f （ x ）的图象向右平移 b （ b ＞0）个单位长度后所得图象对应的函数解析式为 h （ x ）＝ cos （2 x －2 b ＋ ），因为 h （ x ）为偶函数，所以－2 b ＋ ＝ n π（ n ∈Z），解得 b ＝－ ＋ （ n ∈Z）.又 b ＞0，所以 b ＝ ＋ （ m ∈N），所以｜ a － b ｜的最小值为0，故选A.
13. 下列函数中：① y ＝－ sin 2 x ；② y ＝ cos 2 x ；③ y ＝3 sin
（2 x ＋ ），其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数 f
（ x ）＝ sin 2 x 的图象重合的是 .（填上符合要求的
函数对应的序号）
①②
解析： y ＝－ sin 2 x 的图象向左平移 个单位长度，可得到 y ＝－
sin 2（ x ＋ ）＝ sin 2 x 的图象，故①符合要求； y ＝ cos 2 x ＝ sin
（2 x ＋ ）的图象向右平移 个单位长度，可得到 y ＝ sin ［2（ x
－ ）＋ ］＝ sin 2 x 的图象，故②符合要求；对于③， y ＝3 sin
（2 x ＋ ），无论向左还是向右，纵坐标不变，故不符合条件.
14. 已知函数 f （ x ）＝ sin .
（1）请用“五点法”画出函数 f （ x ）在一个周期内的闭区间上
的简图；
解： 列表如下：
0 π 2π
x
f （ x ） 0 1 0 －1 0
描点连线，图象如图所示.
（2）试问 f （ x ）的图象是由 g （ x ）＝ sin x 的图象经过怎样变换
得到？
解： 先将 g （ x ）的图象向右平移 个单位长度，再将
所得函数图象的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐标不变），
即可得到 f （ x ）的图象.
15. 函数 y ＝ sin 2 x 的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到的图
象关于直线 x ＝ 对称，则φ的最小值为 .
解析：平移后解析式为 y ＝ sin （2 x －2φ），因为图象关于直线 x
＝ 对称，所以2· －2φ＝ k π＋ （ k ∈Z），所以φ＝－ －
（ k ∈Z）.又因为φ＞0，所以当 k ＝－1时，φ取最小值为 .
16. 已知函数 f （ x ）＝2 sin ω x ，其中常数ω＞0.
（1）若 y ＝ f （ x ）在［－ ， ］上单调递增，求ω的取值
范围；
解： 因为ω＞0，根据题意有解得0＜
ω≤ .
所以ω的取值范围是（0， ］.
（2）令ω＝2，将函数 y ＝ f （ x ）的图象向左平移 个单位长度，
再向上平移1个单位长度，得到函数 y ＝ g （ x ）的图象，区
间[ a ， b ]（ a ， b ∈R且 a ＜ b ）满足： y ＝ g （ x ）在[ a ，
b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[ a ， b ]
中，求 b － a 的最小值.
解： 由 f （ x ）＝2 sin 2 x 可得， g （ x ）＝2 sin 2（ x ＋
）＋1＝2 sin （2 x ＋ ）＋1，
g （ x ）＝0 sin （2 x ＋ ）＝－ x ＝ k π－ 或 x ＝ k π－
π， k ∈Z，
即 g （ x ）的零点相邻间隔依次为 和 ，
故若 y ＝ g （ x ）在[ a ， b ]上至少含有30个零点，
则 b － a 的最小值为14× ＋15× ＝ .
谢 谢 观 看！5.6 函数y＝Asin（ωx＋φ）
新课程标准解读 核心素养
1.结合具体实例，了解y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义，会用“五点法”画出y＝Asin（ωx＋φ）的图象并能解决有关问题 数学抽象
2.能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响 数学抽象、直观想象
第1课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解析式为y＝Asin（ωx＋φ）＋b，我们本节课就研究此类函数.
【问题】 （1）由函数y＝sin x的图象如何得到函数y＝sin的图象？
（2）将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象对应的函数的最小正周期是多少？
知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
1.φ对函数y＝sin（x＋φ）的图象的影响
2.ω（ω＞0）对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响
3.A（A＞0）对函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的影响
提醒 对A，ω，φ（A＞0，ω＞0）的三点说明：①A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系；②ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系；③φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”.
1.用“五点法”作y＝2sin 3x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A.0，，π，，2π
B.0，，，，
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，
2.把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后所得图象的函数解析式为（ ）
A.y＝sin x－
B.y＝sin x＋
C.y＝sin
D.y＝sin
3.函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数解析式为y＝cos ωx，则ω＝ .
题型一 三角函数图象的平移变换
【例1】 （1）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是（ ）
A.y＝sin＋2 B.y＝sin－2
C.y＝sin－2 D.y＝sin＋2
（2）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin的图象（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
通性通法
三角函数图象平移变换问题的分类及策略
（1）确定函数的图象经过变换对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；
（2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离.
【跟踪训练】
将函数y＝sin x＋cos x的图象经过平移得到函数y＝sin x－cos x的图象，则平移变换的具体方法为 .
题型二 三角函数图象的伸缩变换
【例2】 （1）将函数y＝sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，所得函数图象的解析式为（ ）
A.y＝3sin 2x B.y＝2sin 3x
C.y＝3sin x D.y＝sin x
（2）（多选）为了得到函数y＝cos的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍
B.向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的
C.横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
D.横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度
通性通法
图象伸缩变换的关注点
（1）两个弄清：要弄清是横向还是纵向，要弄清是伸还是缩；
（2）三角函数图象伸缩变换的两种方法：
方法一：y＝A1sin ω1x
y＝A2sin ω1xy＝A2sin ω2x.
方法二：y＝A1sin ω1x
y＝A1sin ω2xy＝A2sin ω2x.
【跟踪训练】
1.将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为 .
2.将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式是 .
题型三 “五点法”作图
【例3】 已知函数y＝3sin＋3（x∈R），用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象.
通性通法
1.“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2.“五点法”作图的关键
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
（1）计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；
（2）取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
（3）利用ωx＋φ的值计算y值；
（4）描点（x，y），连线得到函数图象.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝cos，试作出函数f（x）在[0，π]上的图象.
1.用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标可以是（ ）
A. B.
C. D.
2.将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ ）
A.y＝cos 2x B.y＝－cos 2x
C.y＝sin D.y＝－sin 2x
3.将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f＝（ ）
A. B.
C.1 D.0
4.要得到y＝tan 2x的图象，只需把y＝tan（2x－）的图象 .
第1课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.B
2.D 根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin（x＋）的图象.
3. 解析：函数y＝cos x
y＝cos x，
所以ω＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）D 解析：（1）向左平移个单位长度得y＝sin，再向上平移2个单位长度得y＝sin＋2，故选D.
（2）由于y＝sin＝sin［2（x－）］以及y＝sin＝sin，结合x－＝（x－）－，故只需将函数y＝sin（2x－）的图象沿着x轴向右平移个单位长度就可得到函数y＝sin的图象，故选D.
跟踪训练
向右平移个单位长度（答案不唯一）
解析：∵y＝sin x＋cos x＝sin（x＋），而y＝sin x－cos x＝sin（x－），∴将y＝sin x＋cos x的图象向右平移个单位长度可得到y＝sin x－cos x的图象.
【例2】 （1）C （2）BC 解析：（1）将函数y＝sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin x的图象，纵坐标伸长为原来的3倍，得到y＝3sin x的图象.故选C.
（2）要得到函数y＝cos的图象，可将y＝cos x图象上所有的点向左平移个单位长度，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，也可将y＝cos x图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后将所得图象上所有的点向左平移个单位长度.故选B、C.
跟踪训练
1.g（x）＝sin
解析：依据图象变换可得函数g（x）＝sin.
2.y＝sin 解析：将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y＝sin，再向左平移个单位长度得到的解析式为y＝sin［（x＋）－］＝sin.
【例3】 解：列表：
＋ 0 π 2π
x －
y 3 6 3 0 3
描点画图：
跟踪训练
解：f（x）＝cos，列表如下：
2x－ － 0 π π π
x 0 π π π π
f（x） 1 0 －1 0
图象如图.
随堂检测
1.A 令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为.
2.B 将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 2＝sin＝－cos 2x的图象.
3.A 把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再把函数y＝sin（x＋）图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f（x）＝sin的图象，所以f＝sin（×＋）＝sin ＝.
4.向左平移个单位长度（答案不唯一） 解析：设向左平移φ个单位长度得到y＝tan 2x的图象，y＝tan［2（x＋φ）－］＝tan（2x＋2φ－），所以2φ－＝0，所以φ＝，所以向左平移个单位长度.
4 / 45.6 函数y＝Asin（ωx＋φ）
第1课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
1.要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝sin（x－）的图象（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
2.将函数f（x）＝sin x的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析式为（ ）
A.g（x）＝sin（x＋）
B.g（x）＝sin（x＋）
C.g（x）＝sin（2x＋）
D.g（x）＝sin（2x＋）
3.已知函数f（x）＝sin（2x＋），为了得到函数g（x）＝cos（2x＋）的图象只需将y＝f（x）的图象（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是（ ）
A.2 B.
C. D.
5.函数y＝sin（2x－）在区间［－，π］上的简图是（ ）
6.（多选）已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x＋），则下面结论正确的是（ ）
A.把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线C2
B.把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线C2
C.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D.把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
7.将函数y＝sin的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，可得到函数 的图象.
8.已知函数y＝sin 2x的图象上每个点向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度得到函数y＝sin（2x＋）的图象，则φ＝ .
9.为了得到余弦曲线y＝cos x，只需将正弦曲线y＝sin x沿x轴 个单位长度（填所有正确的序号）.
①向右平移；②向左平移；③向右平移；④向左平移.
10.已知函数y＝f（x）的图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标伸长到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的曲线和y＝2sin x的图象相同，求函数y＝f（x）的解析式.
11.把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移1个单位长度，最后向下平移1个单位长度，得到的图象是（ ）
12.已知函数f（x）＝cos 2x－sin 2x，将f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后可以得到一个奇函数的图象，将f（x）的图象向右平移b（b＞0）个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，则｜a－b｜的最小值为（ ）
A.0 B. C. D.
13.下列函数中：①y＝－sin 2x；②y＝cos 2x；③y＝3sin（2x＋），其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数f（x）＝sin 2x的图象重合的是 .（填上符合要求的函数对应的序号）
14.已知函数f（x）＝sin.
（1）请用“五点法”画出函数f（x）在一个周期内的闭区间上的简图；
（2）试问f（x）的图象是由g（x）＝sin x的图象经过怎样变换得到？
15.函数y＝sin 2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为 .
16.已知函数f（x）＝2sin ωx，其中常数ω＞0.
（1）若y＝f（x）在［－，］上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值.
第1课时 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
1.A
2.D 将f（x）＝sin x图象上各点横坐标变为原来的，得y＝sin 2x的图象，再向左平移个单位长度后得g（x）＝sin 2（x＋）＝sin（2x＋）的图象.
3.A ∵g（x）＝cos（2x＋）＝sin（2x＋＋）＝sin（2x＋）＝sin［2（x＋）＋］，∴只需将函数f（x）＝sin（2x＋）的图象向左平移个单位长度即可得到函数g（x）＝cos（2x＋）的图象.
4.A y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.∴ω的一个可能值是2.
5.A 当x＝0时，y＝sin（－）＝－＜0，故排除B、D；当x＝时，y＝sin（2×－）＝sin 0＝0，排除C，故选A.
6.AD y＝sin（2x＋）＝sin（2x＋＋）＝cos（2x＋），所以将曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos（x＋），再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线y＝cos（2x＋）；或将曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2（x＋）＝cos（2x＋）.
7.y＝sin（x－）
解析：把y＝sin（x－）的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的倍，得到y＝sin（x－）的图象.
8. 解析：把函数y＝sin 2x的图象上每个点向左平移φ（0＜φ＜）个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＝sin（2x＋2φ）的图象，∴2φ＝，则φ＝.
9.②③ 解析：将正弦曲线y＝sin x沿x轴向右平移个单位长度，得到曲线y＝sin＝－cos x，①不正确；将正弦曲线y＝sin x沿x轴向左平移个单位长度，得到曲线y＝sin＝cos x，②正确；将正弦曲线y＝sin x沿x轴向右平移个单位长度，得到曲线y＝sin（x－）＝cos x，③正确；将正弦曲线y＝sin x沿x轴向左平移个单位长度，得到曲线y＝sin＝－cos x，④不正确.
10.解：y＝2sin x的图象
y＝2sin（x－）的图象
y＝2sin（2x－）的图象
y＝sin（2x－）的图象，即f（x）＝－cos 2x.
11.A 由题意，y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的解析式为y＝cos x＋1；再向左平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos（x＋1）＋1；最后向下平移1个单位长度，所得图象的解析式为y＝cos（x＋1），显然点（－1，0）在此函数图象上.
12.A 函数f（x）＝cos 2x－sin 2x＝cos（2x＋），函数f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后所得图象对应的函数解析式为g（x）＝cos（2x＋2a＋），因为g（x）为奇函数，所以2a＋＝kπ＋（k∈Z），得a＝＋（k∈Z），又a＞0，所以k∈N.函数f（x）的图象向右平移b（b＞0）个单位长度后所得图象对应的函数解析式为h（x）＝cos（2x－2b＋），因为h（x）为偶函数，所以－2b＋＝nπ（n∈Z），解得b＝－＋（n∈Z）.又b＞0，所以b＝＋（m∈N），所以｜a－b｜的最小值为0，故选A.
13.①② 解析：y＝－sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y＝－sin 2（x＋）＝sin 2x的图象，故①符合要求；y＝cos 2x＝sin（2x＋）的图象向右平移个单位长度，可得到y＝sin［2（x－）＋］＝sin 2x的图象，故②符合要求；对于③，y＝3sin（2x＋），无论向左还是向右，纵坐标不变，故不符合条件.
14.解：（1）列表如下：
2x－ 0 π 2π
x
f（x） 0 1 0 －1 0
描点连线，图象如图所示.
（2）先将g（x）的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），即可得到f（x）的图象.
15. 解析：平移后解析式为y＝sin（2x－2φ），因为图象关于直线x＝对称，所以2·－2φ＝kπ＋（k∈Z），所以φ＝－－（k∈Z）.又因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ取最小值为.
16.解：（1）因为ω＞0，根据题意有解得0＜ω≤.
所以ω的取值范围是（0，］.
（2）由f（x）＝2sin 2x可得，g（x）＝2sin 2（x＋）＋1＝2sin（2x＋）＋1，
g（x）＝0 sin（2x＋）＝－ x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g（x）的零点相邻间隔依次为和，
故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×＋15×＝.
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