5.7 三角函数的应用
1.简谐运动y＝4sin的相位与初相是（ ）
A.5x－， B.5x－，4
C.5x－，－ D.4，
2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图①），各种音叉因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt（ω＞0）.图②是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（ ）
A.200 B.400
C.200π D.400π
3.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1（cm）和s2（cm）分别由下列两式确定：s1＝5sin（2t＋），s2＝5cos（2t－）.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（ ）
A.s1＞s2 B.s1＜s2
C.s1＝s2 D.不能确定
4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P（x，y）.若初始位置为P0（，），当秒针从P0（注：此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为（ ）
A.y＝sin（t＋），t∈[0，＋∞）
B.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞）
C.y＝sin（－t＋），t∈[0，＋∞）
D.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞）
5.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，在t秒内，它们引发的水面波动分别由函数y1＝sin t，y2＝sin和y3＝sin（t＋）描述，如果两个振动波同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A.仍保持平静 B.不断波动
C.周期性保持平静 D.周期性保持波动
6.（多选）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.该质点的运动周期为0.8 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
7.某人的血压满足函数式f（t）＝24sin 160πt＋110，其中f（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为 .
8.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝3cos（t＋），其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ cm.
9.如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）近似描述，则该港口在11：00的水深为 m.
10.平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位：小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
（1）根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从①y＝Asin（ωt＋φ）；②y＝Acos（ωt＋φ）＋b；③y＝－Asin ωt＋b（A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
（2）为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？
11.某市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y（每平方米的价格，单位：元）与第x季度之间近似满足：y＝500sin（ωx＋φ）＋9 500（ω＞0），已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ）
A.10 000元 B.9 500元
C.9 000元 D.8 500元
12.（多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（0＜φ＜π），则下列说法正确的是（ ）
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x＝14
C.该函数的解析式是y＝10sin＋20（6≤x≤14）
D.这一天的函数关系式也适用于第二天
13.（多选）如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心O距离水面的高度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现时的起始（图中点P0）开始计时，记f（t）为点P距离水面的高度关于时间t（s）的函数，则下列结论正确的是（ ）
A.f（3）＝9
B.f（1）＝f（7）
C.若f（t）≥6，则t∈[2＋12k，5＋12k]（k∈N）
D.不论t为何值，f（t）＋f（t＋4）＋f（t＋8）是定值
14.某地一天0～24时的气温y（单位：℃）与时间t（单位：h）的关系满足函数y＝6sin＋20（t∈[0，24]），则这一天的最低气温是 ℃.
15.已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16].
（1）求该地区这一段时间内温度的最大温差；
（2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
5.7 三角函数的应用
1.C 相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
2.D 由图象可得，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.
3.C 当t＝时，s1＝5sin（2×＋）＝－5，s2＝5cos（2×－）＝－5，∴s1＝s2.
4.C 由题意可得函数的初相为，排除B、D，又T＝60且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以｜ω｜＝，即ω＝－.
5.A 因为sin t＋sin＋sin（t＋）＝sin t＋sin tcos ＋cos tsin ＋sin tcos ＋cos tsin ＝sin t－sin t＋cos t－sin t－cos t＝sin t－sin t＝0，即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静，故选A.
6.ABD 由题图可知，＝0.7－0.3＝0.4，所以T＝0.8 s；最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动的端点，所以速度为0.
7.80 解析：因为f（t）＝24sin 160πt＋110，所以T＝＝＝，f＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80.
8. 解析：由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.
9.4 解析：由题意得函数y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）的周期为T＝12，解得∴ω＝＝，∴y＝2sin t＋5，∴该港口在11：00的水深为y＝2sin π＋5＝4（m）.
10.解：（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示.
依题意，选②y＝Acos（ωt＋φ）＋b作为函数模型，
∴A＝＝，b＝＝，T＝12，
∴ω＝＝，
∴y＝cos＋，
又∵函数图象过点（3，2.4），
即2.4＝cos＋，
∴cos＝1，∴sin φ＝－1，
又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－，
∴y＝cos＋
＝sin t＋（0≤t≤24）.
（2）由（1）知，y＝sin t＋，
令y≥1.05，即sin t＋≥1.05，
∴sin t≥－，
∴2kπ－≤t≤2kπ＋（k∈Z），
∴12k－1≤t≤12k＋7（k∈Z），
又∵5≤t≤18，
∴5≤t≤7或11≤t≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，才能确保集训队员的安全.
11.C 因为y＝500sin（ωx＋φ）＋9 500（ω＞0），所以当x＝1时，500sin（ω＋φ）＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin（2ω＋φ）＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin（x＋π）＋9 500，所以当x＝3时，y＝9 000.
12.AB 由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵＝14－6＝8，∴T＝16，A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin（x＋φ）＋20.∵图象经过点（14，30），∴30＝10sin（×14＋φ）＋20，∴sin（×14＋φ）＝1，∴φ＝，∴y＝10sin＋20（0≤x≤24），B正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错误.
13.BD 如图，以水轮所在平面为坐标平面，以水轮的轴心O为坐标原点，x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得，OP在t（s）内所转过的弧度数为t，则∠POx＝t－，则点P的纵坐标为y＝6sin（t－），所以点P距离水面的高度关于时间t（s）的函数为f（t）＝6sin（t－）＋3.f（3）＝6sin（－）＋3＝3＋3，选项A错误；因为f（1）＝6sin（－）＋3＝3，f（7）＝6sin（－）＋3＝3，所以f（1）＝f（7），选项B正确；由f（t）≥6，得sin（t－）≥，解得t∈[2＋12k，6＋12k]（k∈N），选项C错误；由f（t）＋f（t＋4）＋f（t＋8）＝6sin（t－）＋3＋6sin（t＋）＋3＋6sin（t＋）＋3，展开整理得f（t）＋f（t＋4）＋f（t＋8）＝9为定值，选项D正确.
14.14 解析：因为0≤t≤24，所以－≤t－≤，故当t－＝－，即t＝2时函数取最小值－6＋20＝14.
15.解：（1）由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；
当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.
所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
（2）令10sin＋20＝15，
可得sin＝－.
而x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌的存活时间为－＝小时.
3 / 35.7 三角函数的应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 数学建模、数学运算
如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流（电刷及回路等部分省略），当线圈处于如图所示的位置时，线圈中的感应电流y达到最大值A；当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流y为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流y达到反向最大值－A；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时，线圈中的感应电流y又一次为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时，线圈中的感应电流y又一次达到最大值A.这样周而复始，形成周期变化.
【问题】 （1）交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻画？
（2）以如图位置开始计时，则模型的初相是多少？
知识点 函数y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0中参数的物理意义
提醒 （1）A：表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，称为振幅；（2）T：表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间，称为周期；（3）f：表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数，称为频率.
1.函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是（ ）
A.3π，， B.6π，，
C.3π，3，－ D.6π，3，
2.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s（cm）和时间t（s）的函数关系式为s＝6sin（2πt＋），那么单摆摆动一个周期所需的时间为（ ）
A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s
3.电流强度I（单位：A）随时间t（单位：s）变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流强度为（ ）
A.1.5 A B.2.5 A
C.3.5 A D.4.5 A
题型一 三角函数在物理中的应用
【例1】 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin（ωt＋φ）.
（1）如图所示的是I＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin（ωt＋φ）的解析式；
（2）如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin（ωt＋φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
通性通法
处理物理学问题的策略
（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性；
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其物理意义并与对应的三角函数知识结合解题.
【跟踪训练】
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s（cm）随时间t（s）的变化规律为s＝4sin（2t＋），t∈[0，＋∞）.用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
（1）小球在开始振动（t＝0）时的位移是多少？
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
题型二 三角函数在日常生活中的应用
【例2】 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第n个月的月平均最高气温G（n）可近似地用函数G（n）＝Acos（ωn＋φ）＋k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n＝1表示1月份，A和k是正整数，ω＞0，φ∈（0，π）.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为3 ℃，是一年中月平均最高气温最低的月份，随后逐月递增，直到7月份达到最高，为33 ℃.
（1）求G（n）的解析式；
（2）某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数.
通性通法
解三角函数应用问题的基本步骤
【跟踪训练】
心脏在跳动时，血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，通常认为计数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数关系式P（t）＝115＋25sin 160πt，其中P（t）为血压（mmHg），t为时间（min）.
（1）求函数P（t）的最小正周期；
（2）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较.
题型三 三角函数模型的拟合
【例3】 “海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（单位：时，0≤t≤24）周期性变化.为了了解其变化规律，该表演队观察若干天后，得到每天海浪高度的平均值与时间的关系如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0
（1）从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
（2）如果当海浪高度不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段.
通性通法
处理函数拟合和预测问题的几个步骤
（1）根据原始数据，画出散点图；
（2）通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.
【跟踪训练】
一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 .
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1.函数f（x）的最大值为，最小正周期为，初相为的函数表达式是（ ）
A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
2.如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ（－π＜θ＜π）与时间t（s）满足函数关系式θ＝sin（2t＋），则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是（ ）
A.， B.2，
C.，π D.2，π
3.交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用E＝220sin来表示，求：
（1）t＝0时电压；
（2）电压值重复出现一次的时间间隔.
5.7 三角函数的应用
【基础知识·重落实】
知识点
A
自我诊断
1.B
2.D 依题意是求函数s＝6sin（2πt＋）的周期，T＝＝1，故选D.
3.B 将t＝代入I＝5sin（100πt＋），得I＝2.5，故电流强度为2.5 A.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由题图可知A＝300，
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝，
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，
即sin（150π·＋φ）＝0，
又｜φ｜＜，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin（150πt＋）.
（2）依题意知，周期T≤，即≤（ω＞0），
∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
跟踪训练
解：列表如下：
2t＋ 0 π 2π
t －
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示.
（1）将t＝0代入s＝4sin（2t＋），得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm.
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm.
（3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
【例2】 解：（1）因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气温最高，
所以最小正周期T＝2×（7－1）＝12，
所以ω＝＝，所以cos（＋φ）＝－1，cos（＋φ）＝1.
因为φ∈（0，π），所以φ＝.
因为1月份的月平均最高气温为3 ℃，7月份的月平均最高气温为33 ℃，所以－A＋k＝3，A＋k＝33，所以A＝15，k＝18.
所以G（n）的解析式为G（n）＝15·cos（n＋）＋18，n∈[1，12]，n为正整数.
（2）因为G（n）＝15cos（n＋）＋18，n∈[1，12]，n为正整数，
所以G（n）在区间[1，7]上单调递增，在区间[7，12]上单调递减.
因为某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，且G（3）＝15cos（＋）＋18＝10.5，G（4）＝15cos（＋）＋18＝18，
所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又G（10）＝G（4）＝18，G（11）＝G（3）＝10.5，
所以该植物在11月份、12月份也可生存.
即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5.
跟踪训练
解：（1）由题意可得，函数P（t）的最小正周期T＝＝＝.
（2）函数P（t）＝115＋25sin 160πt的最大值是115＋25＝140，
最小值是115－25＝90，即此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，与标准值相比较偏高一点.
【例3】 解：（1）以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图如图所示，
由图可知选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）作为函数模型较为合适.
由图可知A＝＝，最小正周期T＝12，b＝＝1，则ω＝＝，所以y＝sin（t＋φ）＋1.
因为当t＝0时，y＝1，所以×0＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ，k∈Z，
又｜φ｜＜，所以φ＝0，
所以y＝sin t＋1（0≤t≤24）.
（2）由sin t＋1≥（0≤t≤24），得sin t≥－，
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z，
得－1＋12k≤t≤7＋12k，k∈Z，从而0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.
所以在白天11时～19时进行训练较为恰当.
跟踪训练
y＝－4cos t 解析：设y＝Asin（ωt＋φ）（A＞0，ω＞0），则从表中数据可以得到A＝4，ω＝＝＝，又由4sin φ＝－4.0，得sin φ＝－1，取φ＝－，故y＝4sin（t－），即y＝－4cos t.
随堂检测
1.D 由最小正周期为，排除A、B；由初相为，排除C.
2.A 当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为.
3.解：（1）当t＝0时，E＝110（V），即开始时的电压为110 V.
（2）T＝＝（s），即时间间隔为0.02 s.
3 / 4(共63张PPT)
5.7 三角函数的应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、
数学运算
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数
学模型 数学建模、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中
按逆时针方向匀速旋转产生交变电流（电刷及回路
等部分省略），当线圈处于如图所示的位置时，线
圈中的感应电流 y 达到最大值 A ；当线圈由此位置
逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流 y 为0；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流 y 达到反向最大值－ A ；当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂
直位置时，线圈中的感应电流 y 又一次为0；当线圈继续逆时针旋转
90°后再次到达图示位置时，线圈中的感应电流 y 又一次达到最大值
A . 这样周而复始，形成周期变化.
【问题】 （1）交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型
刻画？
（2）以如图位置开始计时，则模型的初相是多少？
知识点 函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）， A ＞0，ω＞0中参数的物理意义
提醒 （1） A ：表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离，
称为振幅；（2） T ：表示做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时
间，称为周期；（3） f ：表示做简谐运动的物体在单位时间内往复运
动的次数，称为频率.
1. 函数 y ＝ sin 的周期、振幅、初相分别是（ ）
2. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置 O 的距离 s
（cm）和时间 t （s）的函数关系式为 s ＝6 sin （2π t ＋ ），那么
单摆摆动一个周期所需的时间为（ ）
A. 2π s B. π s
C. 0.5 s D. 1 s
解析： 依题意是求函数 s ＝6 sin 的周期， T ＝ ＝
1，故选D.
3. 电流强度 I （单位：A）随时间 t （单位：s）变化的关系式是 I ＝5
sin ，则当 t ＝ 时，电流强度为（ ）
A. 1.5 A B. 2.5 A
C. 3.5 A D. 4.5 A
解析： 将 t ＝ 代入 I ＝5 sin ，得 I ＝2.5，故电流
强度为2.5 A.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数在物理中的应用
【例1】 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I ＝ A sin （ω t ＋φ）.
（1）如图所示的是 I ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）
在一个周期内的图象，根据图中数据求 I ＝ A sin （ω t ＋φ）的解
析式；
解： 由题图可知 A ＝300，
设 t1＝－ ， t2＝ ，
则周期 T ＝2（ t2－ t1）＝2（ ＋ ）＝ ，
∴ω＝ ＝150π.
又当 t ＝ 时， I ＝0，即 sin （150π· ＋φ）
＝0，
又｜φ｜＜ ，∴φ＝ .
故所求的解析式为 I ＝300 sin （150π t ＋ ）.
（2）如果 t 在任意一段 的时间内，电流 I ＝ A sin （ω t ＋φ）都能取
得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解： 依题意知，周期 T ≤ ，即 ≤
（ω＞0），
∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
通性通法
处理物理学问题的策略
（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同
的特点是具有周期性；
（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概
念，因此要熟知其物理意义并与对应的三角函数知识结合解题.
【跟踪训练】
已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s
（cm）随时间 t （s）的变化规律为 s ＝4 sin （2 t ＋ ）， t ∈[0，＋
∞）.用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：
（1）小球在开始振动（ t ＝0）时的位移是多少？
解：列表如下：
0 π 2π
t
s 0 4 0 －4 0
描点、连线，图象如图所示.
（1）将 t ＝0代入 s ＝4 sin （2 t ＋ ），得 s ＝4 sin ＝2 ，所
以小球开始振动时的位移是2 cm.
（2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
解：小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和
－4 cm.
（3）经过多长时间小球往复振动一次？
解：因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间
是π s.
题型二 三角函数在日常生活中的应用
【例2】 某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性
规律，因此第 n 个月的月平均最高气温 G （ n ）可近似地用函数 G
（ n ）＝ A cos （ω n ＋φ）＋ k 来刻画，其中正整数 n 表示月份且 n
∈[1，12]，例如 n ＝1表示1月份， A 和 k 是正整数，ω＞0，φ∈（0，
π）.统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1
月份的月平均最高气温为3 ℃，是一年中月平均最高气温最低的月
份，随后逐月递增，直到7月份达到最高，为33 ℃.
（1）求 G （ n ）的解析式；
解： 因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最
高气温最高，
所以最小正周期 T ＝2×（7－1）＝12，
所以ω＝ ＝ ，所以 cos （ ＋φ）＝－1， cos （ ＋φ）＝1.
因为φ∈（0，π），所以φ＝ .
因为1月份的月平均最高气温为3 ℃，7月份的月平均最高气温为
33 ℃，所以－ A ＋ k ＝3， A ＋ k ＝33，所以 A ＝15， k ＝18.
所以 G （ n ）的解析式为 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，12]， n 为正整数.
（2）某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，求一年
中该植物在该地区可生存的月份数.
解： 因为 G （ n ）＝15 cos （ n ＋ ）＋18， n ∈[1，
12]， n 为正整数，
所以 G （ n ）在区间[1，7]上单调递增，在区间[7，12]上单调
递减.
因为某植物在月平均最高气温低于13 ℃的环境中才可生存，且
G （3）＝15 cos （ ＋ ）＋18＝10.5， G （4）＝15 cos
（ ＋ ）＋18＝18，
所以该植物在1月份、2月份、3月份可生存.
又 G （10）＝ G （4）＝18， G （11）＝ G （3）＝10.5，
所以该植物在11月份、12月份也可生存.
即一年中该植物在该地区可生存的月份数是5.
通性通法
解三角函数应用问题的基本步骤
【跟踪训练】
心脏在跳动时，血压会升高或降低.血压的最大值和最小值分别称
为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，通常认为
计数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数关系式 P （ t ）＝
115＋25 sin 160π t ，其中 P （ t ）为血压（mmHg）， t 为时间
（min）.
（1）求函数 P （ t ）的最小正周期；
解： 由题意可得，函数 P （ t ）的最小正周期 T ＝ ＝
＝ .
（2）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较.
解： 函数 P （ t ）＝115＋25 sin 160π t 的最大值是115＋25
＝140，
最小值是115－25＝90，即此人的血压在血压计上的读数为
140/90 mmHg，与标准值相比较偏高一点.
题型三 三角函数模型的拟合
【例3】 “海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的
海浪高度 y （米）随着时间 t （单位：时，0≤ t ≤24）周期性变化.为
了了解其变化规律，该表演队观察若干天后，得到每天海浪高度的平
均值与时间的关系如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0
（1）从 y ＝ at ＋ b ， y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b （ A ＞0，ω＞0，｜φ｜
＜ ）中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
解： 以时间为横坐标，海浪高度为纵
坐标，在平面直角坐标系中作出散点图如
图所示，
由图可知选择 y ＝ A sin （ω t ＋φ）＋ b （ A
＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）作为函数模型较为合适.
由图可知 A ＝ ＝ ，最小正周期 T ＝12， b ＝ ＝1，则ω＝ ＝ ，所以 y ＝ sin （ t ＋φ）＋1.
因为当 t ＝0时， y ＝1，所以 ×0＋φ＝ k
π， k ∈Z，所以φ＝ k π， k ∈Z，
又｜φ｜＜ ，所以φ＝0，所以 y ＝ sin t
＋1（0≤ t ≤24）.
（2）如果当海浪高度不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天内恰
当的训练时间段.
解： 由 sin t ＋1≥ （0≤ t ≤24），得 sin t ≥－ ，
则－ ＋2 k π≤ t ≤ ＋2 k π， k ∈Z，
得－1＋12 k ≤ t ≤7＋12 k ， k ∈Z，从而0≤ t ≤7或11≤ t ≤19或
23≤ t ≤24.
所以在白天11时～19时进行训练较为恰当.
通性通法
处理函数拟合和预测问题的几个步骤
（1）根据原始数据，画出散点图；
（2）通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟
合曲线；
（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便
为决策和管理提供依据.
【跟踪训练】
一物体相对于某一固定位置的位移 y （cm）和时间 t （s）之间的一
组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置 y 和时间 t 之间的
关系的一个三角函数式为 .
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
y ＝－4 cos t
解析：设 y ＝ A sin （ω t ＋φ）（ A ＞0，ω＞0），则从表中数据可以
得到 A ＝4，ω＝ ＝ ＝ ，又由4 sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，
取φ＝－ ，故 y ＝4 sin （ t － ），即 y ＝－4 cos t .
1. 函数 f （ x ）的最大值为 ，最小正周期为 ，初相为 的函数表达
式是（ ）
解析： 由最小正周期为 ，排除A、B；由初相为 ，排除C.
2. 如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、 OB 为终边的角
θ（－π＜θ＜π）与时间 t （s）满足函数关系式θ＝ sin （2 t ＋
），则当 t ＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是（ ）
D. 2，π
解析： 当 t ＝0时，θ＝ sin ＝ ，由函数解析式易知单摆的周
期为 ＝π，故单摆的频率为 .
3. 交流电的电压 E （单位：V）与时间 t （单位：s）的关系可用 E ＝
220 sin 来表示，求：
（1） t ＝0时电压；
解： 当 t ＝0时， E ＝110 （V），即开始时的电压为
110 V.
（2）电压值重复出现一次的时间间隔.
解： T ＝ ＝ （s），即时间间隔为0.02 s.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 简谐运动 y ＝4 sin 的相位与初相是（ ）
解析： 相位是5 x － ，当 x ＝0时的相位为初相即－ .
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2. 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图①），各种音叉因
其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲
击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点 P 离开平衡位置的位移 y
与时间 t 的函数关系为 y ＝ sin ω t （ω＞0）.图②是该函数在一
个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为（ ）
A. 200 B. 400
C. 200π D. 400π
解析： 由图象可得， T ＝4× ＝ ，即 ＝ ，则ω＝400π.
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3. 在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1和 M2的小球，它们做上下自
由振动.已知它们在时间 t （s）时离开平衡位置的位移 s1（cm）和
s2（cm）分别由下列两式确定： s1＝5 sin （2 t ＋ ）， s2＝5 cos
（2 t － ）.则在时间 t ＝ 时， s1与 s2的大小关系是（ ）
A. s1＞ s2 B. s1＜ s2
C. s1＝ s2 D. 不能确定
解析： 当 t ＝ 时， s1＝5 sin （2× ＋ ）＝－5， s2＝5 cos
（2× － ）＝－5，∴ s1＝ s2.
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4. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针
位置 P （ x ， y ）.若初始位置为 P0（ ， ），当秒针从 P0（注：
此时 t ＝0）开始走时，点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数解析式为
（ ）
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解析： 由题意可得函数的初相为 ，排除B、D，又 T ＝60且秒
针按顺时针旋转，即 T ＝ ＝60，所以｜ω｜＝ ，即ω＝－
.
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5. 在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因
素，在 t 秒内，它们引发的水面波动分别由函数 y1＝ sin t ， y2＝ sin
和 y3＝ sin （ t ＋ ）描述，如果两个振动波同时启动，则
水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开
始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（ ）
A. 仍保持平静 B. 不断波动
C. 周期性保持平静 D. 周期性保持波动
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解析： 因为 sin t ＋ sin ＋ sin ＝ sin t ＋ sin t cos
＋ cos t sin ＋ sin t cos ＋ cos t sin ＝ sin t － sin t ＋ cos t －
sin t － cos t ＝ sin t － sin t ＝0，即三个振动源同时开始工作时，
水面仍保持平静，故选A.
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6. （多选）如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的
是（ ）
A. 该质点的运动周期为0.8 s
B. 该质点的振幅为5 cm
C. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D. 该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
解析：ABD 由题图可知， ＝0.7－0.3＝0.4，所以 T ＝0.8 s；
最小值为－5，所以振幅为5 cm；在0.1 s和0.5 s时，质点到达运动
的端点，所以速度为0.
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7. 某人的血压满足函数式 f （ t ）＝24 sin 160π t ＋110，其中 f （ t ）为
血压（单位：mmHg）， t 为时间（单位：min），则此人每分钟心
跳的次数为 .
解析：因为 f （ t ）＝24 sin 160π t ＋110，所以 T ＝ ＝ ＝ ，
f ＝ ＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80.
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8. 一根长 l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离
开平衡位置的位移 s （cm）与时间 t （s）的函数关系式为 s ＝3 cos
（ t ＋ ），其中 g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，
线长 l ＝ cm.
解析：由已知得 ＝1，所以 ＝2π， ＝4π2， l ＝ .
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9. 如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系.
时刻 t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
水深
（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0
若该港口的水深 y （m）和时刻 t （0≤ t ≤24）的关系可用函数 y ＝
A sin ω t ＋ h （其中 A ＞0，ω＞0， h ＞0）近似描述，则该港口在
11：00的水深为 m.
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解析：由题意得函数 y ＝ A sin ω t ＋ h （其中 A ＞0，ω＞0， h ＞0）
的周期为 T ＝12，解得∴ω＝ ＝ ，∴ y ＝
2 sin t ＋5，∴该港口在11：00的水深为 y ＝2 sin π＋5＝4（m）.
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10. 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行
集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深 y （米）是随着一
天的时间 t （0≤ t ≤24，单位：小时）呈周期性变化，某天各时
刻 t 的水深数据的近似值如下表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
（1）根据表中近似数据画出散点图.观察散点图，从① y ＝ A sin
（ω t ＋φ）；② y ＝ A cos （ω t ＋φ）＋ b ；③ y ＝－ A sin ω t
＋ b （ A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0）中选择一个合适的函数模
型，并求出该拟合模型的函数解析式；
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解： 根据表中近似数据画出散点图，如图所示.
依题意，选② y ＝ A cos （ω t ＋φ）＋ b 作为函数模型，
∴ A ＝ ＝ ， b ＝ ＝ ， T ＝12，∴ω＝ ＝ ，
∴ y ＝ cos ＋ ，又∵函数图象过点（3，2.4），
即2.4＝ cos ＋ ，
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∴ cos ＝1，∴ sin φ＝－1，
又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ ，
∴ y ＝ cos ＋ ＝ sin t ＋ （0≤ t ≤24）.
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（2）为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05
米的时候进行训练，根据（1）中选择的函数解析式，试
问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队
员的安全？
解： 由（1）知， y ＝ sin t ＋ ，
令 y ≥1.05，即 sin t ＋ ≥1.05，
∴ sin t ≥－ ，
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∴2 k π－ ≤ t ≤2 k π＋ （ k ∈Z），
∴12 k －1≤ t ≤12 k ＋7（ k ∈Z），
又∵5≤ t ≤18，
∴5≤ t ≤7或11≤ t ≤18，
∴这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，才能确保集训
队员的安全.
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11. 某市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测，
发现每个季度的平均单价 y （每平方米的价格，单位：元）与第 x
季度之间近似满足： y ＝500 sin （ω x ＋φ）＋9 500（ω＞0），已
知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是（ ）
A. 10 000元 B. 9 500元
C. 9 000元 D. 8 500元
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解析： 因为 y ＝500 sin （ω x ＋φ）＋9 500（ω＞0），所以当 x
＝1时，500 sin （ω＋φ）＋9 500＝10 000；当 x ＝2时，500 sin
（2ω＋φ）＋9 500＝9 500，所以ω可取 ，φ可取π，即 y ＝500
sin （ x ＋π）＋9 500，所以当 x ＝3时， y ＝9 000.
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12. （多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似
地满足函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）＋ B （0＜φ＜π），则下列说法正
确的是（ ）
A. 该函数的周期是16
B. 该函数图象的一条对称轴是直线 x ＝14
D. 这一天的函数关系式也适用于第二天
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解析： 由题意以及函数的图象可知， A ＋ B ＝30，－ A ＋ B
＝10，∴ A ＝10， B ＝20.∵ ＝14－6＝8，∴ T ＝16，A正确；
∵ T ＝ ，∴ω＝ ，∴ y ＝10 sin （ x ＋φ）＋20.∵图象经过点
（14，30），∴30＝10 sin （ ×14＋φ）＋20，∴ sin
＝1，∴φ＝ ，∴ y ＝10 sin ＋20（0≤ x ≤24），B
正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个
关系式不一定适用，∴D错误.
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13. （多选）如图，一个水轮的半径为6 m，水轮轴心 O 距离水面的高
度为3 m，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动5圈，当水轮
上点 P 从水中浮现时的起始（图中点 P0）开始计时，记 f （ t ）为
点 P 距离水面的高度关于时间 t （s）的函数，则下列结论正确的
是（ ）
A. f （3）＝9
B. f （1）＝ f （7）
C. 若 f （ t ）≥6，则 t ∈[2＋12 k ，5＋12 k ]（ k ∈N）
D. 不论 t 为何值， f （ t ）＋ f （ t ＋4）＋ f （ t ＋8）是定值
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解析： 如图，以水轮所在平面为坐标平
面，以水轮的轴心 O 为坐标原点， x 轴和 y 轴分
别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题
意得， OP 在 t （s）内所转过的弧度数为 t ，则
∠ POx ＝ t － ，则点 P 的纵坐标为 y ＝6 sin （ t － ），所以点 P 距离水面的高度关于时间 t （s）的函数为 f （ t ）＝6 sin （ t － ）＋3.
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f （3）＝6 sin （ － ）＋3＝3 ＋3，选项A错误；因为 f （1）＝6 sin （ － ）＋3＝3， f （7）＝6 sin （ － ）＋3＝3，所以 f （1）＝ f （7），选项B正确；由 f （ t ）≥6，得 sin （ t － ）≥ ，解得 t
∈[2＋12 k ，6＋12 k ]（ k ∈N），选项C错误；由 f （ t ）＋ f （ t ＋4）＋ f （ t ＋8）＝6 sin （ t － ）＋3＋6 sin （ t ＋ ）＋3＋6 sin （ t ＋ ）＋3，展开整理得 f （ t ）＋ f （ t ＋4）＋ f （ t ＋8）＝9为定值，
选项D正确.
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14. 某地一天0～24时的气温 y （单位：℃）与时间 t （单位：h）的关
系满足函数 y ＝6 sin ＋20（ t ∈[0，24]），则这一天的
最低气温是 ℃.
解析：因为0≤ t ≤24，所以－ ≤ t － ≤ ，故当 t －
＝－ ，即 t ＝2时函数取最小值－6＋20＝14.
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15. 已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数 y ＝10
sin ＋20， x ∈[4，16].
（1）求该地区这一段时间内温度的最大温差；
解： 由函数易知，当 x ＝14时函数取最大值，即最高
温度为30 ℃；
当 x ＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.
所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
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（2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时
间内，该细菌能生存多长时间？
解： 令10 sin ＋20＝15，可得 sin ＝－ .
而 x ∈[4，16]，所以 x ＝ .
令10 sin ＋20＝25，可得 sin ＝ ，
而 x ∈[4，16]，所以 x ＝ .
故该细菌的存活时间为 － ＝ 小时.
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