章末检测（五） 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在0到2π范围内，与角－终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
2.sin 600°＋tan 240°＝（ ）
A.－ B. C.－＋ D.＋
3.已知α∈（0，π），且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝（ ）
A. B. C. D.
4.实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示，弓臂BAC是圆弧形，A是的中点，D是弦BC的中点，测得AD＝10 cm，BC＝60 cm，设所对的圆心角（正角）为θ（单位：弧度），则的长为（ ）
A.30θ B.40θ C.100θ D.120θ
5.函数f（x）＝，x∈（－，）的图象大致是（ ）
6.若α∈，且sin α＝，则sin－cos（π－α）＝（ ）
A. B.－ C. D.－
7.已知f（x）＝sin，ω＞0，｜φ｜＜，f（x）是奇函数，直线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A.f（x）在上单调递减 B.f（x）在上单调递减
C.f（x）在上单调递增 D.f（x）在上单调递增
8.函数f（x）＝3sin cos ＋sin2－＋m，若对于任意的－≤x≤有f（x）≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A.m≥ B.m≥－ C.m≥－ D.m≥
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列结论正确的是（ ）
A.－是第三象限角
B.若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
C.若角α的终边上有一点P（－3，4），则cos α＝－
D.若角α为锐角，则角2α为钝角
10.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）在区间［－，］上的图象.为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x（x∈R）的图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
11.已知函数f（x）＝sin（3x＋φ）的图象关于直线x＝对称，则（ ）
A.函数f为奇函数
B.函数f（x）在上单调递增
C.若｜f（x1）－f（x2）｜＝2，则｜x1－x2｜的最小值为
D.函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数y＝－cos 3x的图象
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为 .
13.设函数f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋a（a为实数）在区间上的最小值为－4，那么a＝ .
14.已知f（x）＝2sin（2x＋），若 x1，x2，x3∈［0，］，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），且x1＋x2＋x3的最大值为M，最小值为N，则M＋N＝ .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝sin2x－cos2x＋2sin x·cos x.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（α）＝，求cos（4α－）的值.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝sin（2x－）.
（1）求函数f（x）的最大值和最小值及相应自变量x的集合；
（2）画出函数y＝f（x）在区间[0，π]内的图象.
17.（本小题满分15分）在①f（x）的图象关于直线x＝对称；②f（x）的图象关于点对称；③f（x）在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由.
已知函数f（x）＝4sin＋a（ω∈N*）的最小正周期不小于，且 ，是否存在正实数a，使得函数f（x）在上有最大值3？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分17分）如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
（1）如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
（2）沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选择A，D位置，使步行小路的距离最远？
19.（本小题满分17分）设函数f（x）＝2sin（2ωx－）＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0＜ω＜.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数y＝f（x）的图象过点（π，0），求f（x）在上的值域.
章末检测（五） 三角函数
1.C 与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得与角－终边相同的角是，故选C.
2.B sin 600°＝sin（360°＋240°）＝sin 240°＝sin（180°＋60°）＝－sin 60°＝－，tan 240°＝tan（180°＋60°）＝tan 60°＝，因此sin 600°＋tan 240°＝.
3.A 由3cos 2α－8cos α＝5，得3（2cos2α－1）－8cos α－5＝0，即3cos2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2（舍去）或cos α＝－.∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sin α＝＝＝.
4.C 如图，作出弓形所在圆的圆心O，连接DO，BO，设圆O的半径为r，则在Rt△BDO中，302＋（r－10）2＝r2，解得r＝50，故的长为50×2θ＝100θ.
5.A 函数f（－x）＝＝－＝－f（x），则函数f（x）是奇函数，排除D；当0＜x＜时，2cos x－1＞0，则f（x）＞0，排除B、C.
6.B ∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－，∴sin－cos（π－α）＝sin α＋cos α＋cos α＝sin α＋cos α＝×－×＝－.
7.A 因为f（x）是奇函数，所以φ＝0，所以f（x）＝sin ωx.又由已知得T＝，所以＝，所以ω＝4，所以f（x）＝sin 4x.由函数的解析式可知f（x）在上单调递减.故选A.
8.D f（x）＝3sin cos ＋sin2－＋m＝sin ＋－＋m＝sin（－）＋m，因为－≤x≤，所以－≤－≤，所以f（x）的最小值－＋m≥0，所以m≥.
9.BC 选项A中，－＝－2π＋是第二象限角，A错误；选项B中，设半径为r，则·r＝π r＝3 S＝××32＝，B正确；选项C中，＝5，∴cos α＝－，C正确；选项D中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误.故选B、C.
10.AC 由图象知，A＝1，T＝π，所以ω＝2，y＝sin（2x＋φ），将（－，0）代入得sin（φ－）＝0，所以φ－＝kπ，k∈Z，取φ＝，得y＝sin（2x＋），将y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（x＋）的图象，然后各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝sin（2x＋）的图象，故A正确，B错误，D错误；将y＝sin x各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到函数y＝sin 2x的图象.然后向左平移个单位长度，得y＝sin 2（x＋）＝sin（2x＋），故C正确.
11.AC 由已知得3×＋φ＝＋kπ（k∈Z），则φ＝－＋kπ（k∈Z），又因为－＜φ＜，所以φ＝－，故f（x）＝sin.对于选项A，f＝sin＝sin 3x，所以f为奇函数，故A正确；对于选项B，令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ（k∈Z），则－＋≤x≤＋（k∈Z），当k＝0时，f（x）在上单调递增，故B错误；对于选项C，由｜f（x1）－f（x2）｜＝2，知f（x1）和f（x2）必有一个最大值一个最小值，从而｜x1－x2｜min＝T＝，故C正确；对于选项D，f＝sin［3（x－）－］＝sin（3x－π）＝－sin 3x，故D错误.故选A、C.
12.［2k－，2k－］，k∈Z 解析：由图象知T＝＝2，∴ω＝π，由五点作图法得＋φ＝π，即φ＝，∴f（x）＝sin（πx＋），令2kπ－≤πx＋≤2kπ＋，k∈Z，解得2k－≤x≤2k－，k∈Z.∴f（x）的单调递增区间为［2k－，2k－］，k∈Z.
13.－4 解析：f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a＝2sin＋a＋1.当x∈时，2x＋∈，∴f（x）min＝2×＋a＋1＝－4.∴a＝－4.
14. 解析：作出f（x）＝2sin（2x＋）在［0，］上的图象（如图所示）.
因为f（0）＝2sin＝，f（）＝2sin（π＋）＝－，所以当f（x）的图象与直线y＝相交时，此时和最小为N，设前三个交点横坐标依次为x1，x2，x3，由2sin（2x＋）＝，得sin（2x＋）＝，则x1＝0，x2＝，x3＝π，N＝；当f（x）的图象与直线y＝－相交时，设三个交点横坐标依次为x1，x2，x3，此时和最大为M，由2sin（2x＋）＝－，得sin（2x＋）＝－，则x1＋x2＝，x3＝，M＝.所以M＋N＝.
15.解：（1）f（x）＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝2（sin 2x－cos 2x）＝2sin（2x－），∴T＝π.
（2）由（1）得f（α）＝2sin（2α－）＝，sin（2α－）＝，
∴cos（4α－）＝cos［2（2α－）］＝1－2sin2（2α－）＝1－＝.
16.解：（1）当2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f（x）取到最大值，
∴f（x）取得最大值时相应x的集合为{x｜x＝＋kπ，k∈Z}；
当2x－＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f（x）取到最小值－，
∴f（x）取得最小值时相应x的集合为{x｜x＝－＋kπ，k∈Z}.
（2）列表：
2x－ － 0 π
x 0 π
f（x） －1 0 0 － －1
描点、连线，f（x）的图象如图所示.
17.解：由于函数f（x）的最小正周期不小于，
所以≥，所以1≤ω≤6，ω∈N*.
若选择①，即f（x）的图象关于直线x＝对称，
则有ω＋＝kπ＋（k∈Z），解得ω＝k＋（k∈Z），
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4.
此时，f（x）＝4sin＋a.
由x∈，得4x＋∈，
因此当4x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值4＋a，
令4＋a＝3，解得a＝－1，不符合题意.
故不存在正实数a，使得函数f（x）在上有最大值3.
若选择②，即f（x）的图象关于点对称，
则有ω＋＝kπ（k∈Z），
解得ω＝k－（k∈Z），
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3.
此时，f（x）＝4sin（3x＋）＋a.
由x∈，得3x＋∈，
因此当3x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值4sin ＋a＝＋＋a，
令＋＋a＝3，解得a＝3－－，不符合题意.
故不存在正实数a，使得函数f（x）在上有最大值3.
若选择③，即f（x）在上单调递增，
则有（k∈Z），
解得（k∈Z），
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝0，ω＝1.
此时，f（x）＝4sin＋a.
由x∈，得x＋∈，
因此当x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值2＋a，
令2＋a＝3，解得a＝3－2，符合题意.
故存在正实数a＝3－2，使得函数f（x）在上有最大值3.
18.解：（1）连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈（0，）.
因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈（0，），所以2θ∈（0，π），
所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400（m2）.
此时AO＝DO＝10（m）.
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
（2）由（1）知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ，
所以AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin（θ＋），
又θ∈（0，），所以θ＋∈（，），
当θ＋＝，即θ＝时，（AB＋BC＋CD）max＝40（m），
此时AO＝DO＝10（m），
即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远.
19.解：（1）由函数f（x）＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，
则2ω×π－＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝＋，k∈Z，
又0＜ω＜，则当k＝0时，ω＝，
即f（x）＝2sin＋m，f（x）的最小正周期为T＝＝3π.
（2）由函数y＝f（x）的图象过点（π，0），
则f（π）＝2sin＋m＝0，解得m＝－2，
故f（x）＝2sin－2，
∵0≤x≤，∴0≤x≤π，－≤x－≤，
则－≤sin≤1，－3≤2sin（x－）－2≤0，
∴f（x）在上的值域为[－3，0].
1 / 3(共41张PPT)
章末检测（五）
三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在0到2π范围内，与角－ 终边相同的角是（ ）
解析： 与角－ 终边相同的角是2 k π＋ ， k ∈Z，令 k ＝
1，可得与角－ 终边相同的角是 ，故选C.
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2. sin 600°＋tan 240°＝（ ）
解析： sin 600°＝ sin （360°＋240°）＝ sin 240°＝ sin
（180°＋60°）＝－ sin 60°＝－ ，tan 240°＝tan（180°＋
60°）＝tan 60°＝ ，因此 sin 600°＋tan 240°＝ .
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3. 已知α∈（0，π），且3 cos 2α－8 cos α＝5，则 sin α＝
（ ）
解析： 由3 cos 2α－8 cos α＝5，得3（2 cos 2α－1）－8 cos
α－5＝0，即3 cos 2α－4 cos α－4＝0，解得 cos α＝2（舍去）
或 cos α＝－ .∵α∈（0，π），∴α∈（ ，π），则 sin α＝
＝ ＝ .
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4. 实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示，弓臂 BAC 是圆弧形， A 是 的中点， D 是弦 BC 的中点，测得 AD ＝10 cm， BC ＝60 cm，设 所对的圆心角（正角）为θ（单位：弧度），则 的长为（ ）
A. 30θ B. 40θ
C. 100θ D. 120θ
解析： 如图，作出弓形所在圆的圆心 O ，连接
DO ， BO ，设圆 O 的半径为 r ，则在Rt△ BDO 中，302
＋（ r －10）2＝ r2，解得 r ＝50，故 的长为50×2θ
＝100θ.
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5. 函数 f （ x ）＝ ， x ∈（－ ， ）的图象大致是（ ）
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解析： 函数 f （－ x ）＝ ＝－ ＝－ f （ x ），则
函数 f （ x ）是奇函数，排除D；当0＜ x ＜ 时，2 cos x －1＞0，则
f （ x ）＞0，排除B、C.
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6. 若α∈ ，且 sin α＝ ，则 sin － cos （π－α）＝
（ ）
解析： ∵ sin α＝ ，α∈ ，∴ cos α＝－ ，∴ sin
－ cos （π－α）＝ sin α＋ cos α＋ cos α＝ sin
α＋ cos α＝ × － × ＝－ .
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7. 已知 f （ x ）＝ sin ，ω＞0，｜φ｜＜ ， f （ x ）是奇函
数，直线 y ＝1与函数 f （ x ）的图象的两个相邻交点的横坐标之差
的绝对值为 ，则（ ）
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解析： 因为 f （ x ）是奇函数，所以φ＝0，所以 f （ x ）＝ sin ω
x .又由已知得 T ＝ ，所以 ＝ ，所以ω＝4，所以 f （ x ）＝ sin
4 x .由函数的解析式可知 f （ x ）在 上单调递减.故选A.
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8. 函数 f （ x ）＝3 sin cos ＋ sin 2 － ＋ m ，若对于任意的－
≤ x ≤ 有 f （ x ）≥0恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
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解析： f （ x ）＝3 sin cos ＋ sin 2 － ＋ m ＝ sin ＋
－ ＋ m ＝ sin （ － ）＋ m ，因为－ ≤ x ≤
，所以－ ≤ － ≤ ，所以 f （ x ）的最小值－ ＋ m ≥0，所
以 m ≥ .
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
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解析： 选项A中，－ ＝－2π＋ 是第二象限角，A错误；
选项B中，设半径为 r ，则 · r ＝π r ＝3 S ＝ × ×32＝ ，B
正确；选项C中， ＝5，∴ cos α＝－ ，C正确；选
项D中，α＝30°是锐角，但2α＝60°不是钝角，D错误.故选
B、C.
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10. 如图是函数 y ＝ A sin （ω x ＋φ）（ x ∈R）在区间［－ ， ］上
的图象.为了得到这个函数的图象，只要将 y ＝ sin x （ x ∈R）的
图象上所有的点（ ）
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解析：由图象知， A ＝1， T ＝π，所以ω＝2， y ＝ sin （2 x ＋φ），将（－ ，0）代入得 sin （φ－ ）＝0，所以φ－ ＝ k π， k ∈Z，取φ＝ ，得 y ＝ sin （2 x ＋ ），将 y ＝ sin x 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y ＝ sin （ x ＋ ）的图象，然后各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y ＝ sin （2 x ＋ ）的图象，故A正确，B错误，D错误；将 y ＝ sin x 各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变得到函数 y ＝ sin 2 x 的图象.
然后向左平移 个单位长度，得 y ＝ sin 2（ x ＋ ）＝ sin （2 x ＋ ），
故C正确.
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11. 已知函数 f （ x ）＝ sin （3 x ＋φ） 的图象关于直线 x
＝ 对称，则（ ）
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解析： 由已知得3× ＋φ＝ ＋ k π（ k ∈Z），则φ＝－ ＋ k
π（ k ∈Z），又因为－ ＜φ＜ ，所以φ＝－ ，故 f （ x ）＝ sin
.对于选项A， f ＝ sin ＝ sin 3 x ，
所以 f 为奇函数，故A正确；对于选项B，令－ ＋2 k π≤3
x － ≤ ＋2 k π（ k ∈Z），则－ ＋ ≤ x ≤ ＋ （ k
∈Z），当 k ＝0时， f （ x ）在 上单调递增，故B错误；
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对于选项C，由｜ f （ x1）－ f （ x2）｜＝2，知 f （ x1）和 f （ x2）必有
一个最大值一个最小值，从而｜ x1－ x2｜min＝ T ＝ ，故C正确；对
于选项D， f ＝ sin ［3（ x － ）－ ］＝ sin （3 x －π）＝－
sin 3 x ，故D错误.故选A、C.
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［2 k － ，2 k － ］， k
∈Z
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解析：由图象知 T ＝ ＝2，∴ω＝π，由五点作图法得 ＋φ
＝π，即φ＝ ，∴ f （ x ）＝ sin （π x ＋ ），令2 k π－ ≤π x ＋
≤2 k π＋ ， k ∈Z，解得2 k － ≤ x ≤2 k － ， k ∈Z. ∴ f
（ x ）的单调递增区间为［2 k － ，2 k － ］， k ∈Z.
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13. 设函数 f （ x ）＝2 cos 2 x ＋ sin 2 x ＋ a （ a 为实数）在区间 上的最小值为－4，那么 a ＝ .
解析： f （ x ）＝2 cos 2 x ＋ sin 2 x ＋ a ＝1＋ cos 2 x ＋ sin 2 x
＋ a ＝2 sin ＋ a ＋1.当 x ∈ 时，2 x ＋ ∈
，∴ f （ x ）min＝2× ＋ a ＋1＝－4.∴ a ＝－4.
－4
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14. 已知 f （ x ）＝2 sin （2 x ＋ ），若 x1， x2， x3∈［0， ］，使
得 f （ x1）＝ f （ x2）＝ f （ x3），且 x1＋ x2＋ x3的最大值为 M ，最
小值为 N ，则 M ＋ N ＝ .
解析：作出 f （ x ）＝2 sin （2 x ＋ ）在［0， ］上的图象（如图所示）.
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因为 f （0）＝2 sin ＝ ， f （ ）＝2 sin （π＋ ）＝－ ，所以当 f （ x ）的图象与直线 y ＝ 相交时，此时和最小为 N ，设前三个交点横坐标依次为 x1， x2， x3，由2 sin （2 x ＋ ）＝ ，得 sin （2 x ＋ ）＝ ，则 x1＝0， x2＝ ， x3＝π， N ＝ ；当 f （ x ）的图象与直线 y ＝－ 相交时，设三个交点横坐标依次为 x1， x2， x3，此时和最
大为 M ，由2 sin （2 x ＋ ）＝－ ，得 sin （2 x ＋ ）＝－ ，则 x1＋ x2＝ ， x3＝ ， M ＝ .所以 M ＋ N ＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ sin 2 x － cos 2 x ＋2 sin
x · cos x .
（1）求 f （ x ）的最小正周期；
解： f （ x ）＝ sin 2 x － cos 2 x ＋2 sin x cos x ＝－ cos
2 x ＋ sin 2 x ＝2（ sin 2 x － cos 2 x ）＝2 sin （2 x －
），∴ T ＝π.
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（2）若 f （α）＝ ，求 cos （4α－ ）的值.
解： 由（1）得 f （α）＝2 sin （2α－ ）＝ ， sin
（2α－ ）＝ ，
∴ cos （4α－ ）＝ cos ［2（2α－ ）］＝1－2 sin 2
（2α－ ）＝1－ ＝ .
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16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝ sin （2 x － ）.
（1）求函数 f （ x ）的最大值和最小值及相应自变量 x 的集合；
解： 当2 x － ＝ ＋2 k π， k ∈Z，即 x ＝ ＋ k π， k
∈Z时， f （ x ）取到最大值 ，
∴ f （ x ）取得最大值时相应 x 的集合为{ x ｜ x ＝ ＋ k π， k
∈Z}；当2 x － ＝－ ＋2 k π， k ∈Z，即 x ＝－ ＋ k π， k ∈Z时， f （ x ）取到最小值－ ，
∴ f （ x ）取得最小值时相应 x 的集合为 .
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（2）画出函数 y ＝ f （ x ）在区间[0，π]内的图象.
解： 列表：
0 π
x 0 π
f （ x ） －1 0 0 －1
描点、连线， f （ x ）的图象如图所示.
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17. （本小题满分15分）在① f （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称；② f
（ x ）的图象关于点 对称；③ f （ x ）在 上单调
递增这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正
实数 a 存在，求出 a 的值；若 a 不存在，说明理由.
已知函数 f （ x ）＝4 sin ＋ a （ω∈N*）的最小正周期不
小于 ，且 ，是否存在正实数 a ，使得函数 f （ x ）在
上有最大值3？
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注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：由于函数 f （ x ）的最小正周期不小于 ，
所以 ≥ ，所以1≤ω≤6，ω∈N*.
若选择①，即 f （ x ）的图象关于直线 x ＝ 对称，
则有 ω＋ ＝ k π＋ （ k ∈Z），解得ω＝ k ＋ （ k ∈Z），
由于1≤ω≤6，ω∈N*， k ∈Z，所以 k ＝3，ω＝4.
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此时， f （ x ）＝4 sin ＋ a .
由 x ∈ ，得4 x ＋ ∈ ，
因此当4 x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时， f （ x ）取得最大值4＋ a ，
令4＋ a ＝3，解得 a ＝－1，不符合题意.
故不存在正实数 a ，使得函数 f （ x ）在 上有最大值3.
若选择②，即 f （ x ）的图象关于点 对称，
则有 ω＋ ＝ k π（ k ∈Z），
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解得ω＝ k － （ k ∈Z），
由于1≤ω≤6，ω∈N*， k ∈Z，所以 k ＝1，ω＝3.
此时， f （ x ）＝4 sin （3 x ＋ ）＋ a .
由 x ∈ ，得3 x ＋ ∈ ，
因此当3 x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时， f （ x ）取得最大值4 sin ＋ a
＝ ＋ ＋ a ，
令 ＋ ＋ a ＝3，解得 a ＝3－ － ，不符合题意.
故不存在正实数 a ，使得函数 f （ x ）在 上有最大值3.
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若选择③，即 f （ x ）在 上单调递增，则有
（ k ∈Z），
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解得（ k ∈Z），
由于1≤ω≤6，ω∈N*， k ∈Z，所以 k ＝0，ω＝1.
此时， f （ x ）＝4 sin ＋ a .
由 x ∈ ，得 x ＋ ∈ ，
因此当 x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时， f （ x ）取得最大值2 ＋ a ，
令2 ＋ a ＝3，解得 a ＝3－2 ，符合题意.
故存在正实数 a ＝3－2 ，使得函数 f （ x ）在 上有最大
值3.
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18. （本小题满分17分）如图，有一块以点 O 为圆心
的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩
形 ABCD 开辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直
径上，另两点 B ， C 落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m.
（1）如何选择关于点 O 对称的点 A ， D 的位置，可以使矩形
ABCD 的面积最大，最大值是多少？
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解： 连接 OB ，如图所示，设∠ AOB ＝θ，
则 AB ＝ OB sin θ＝20 sin θ， OA ＝ OB cos
θ＝20 cos θ，且θ∈（0， ）.
因为 A ， D 关于点 O 对称，所以 AD ＝2 OA＝40 cos θ.
设矩形 ABCD 的面积为 S ，则 S ＝ AD · AB ＝40 cos θ·20 sin θ＝400 sin 2θ.
因为θ∈（0， ），所以2θ∈（0，π），
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所以当 sin 2θ＝1，即θ＝ 时， Smax＝400（m2）.
此时 AO ＝ DO ＝10 （m）.
故当 A ， D 距离圆心 O 为10 m时，矩形
ABCD 的面积最大，其最大面积是400 m2.
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（2）沿着 AB ， BC ， CD 修一条步行小路从 A 到 D ，如何选择
A ， D 位置，使步行小路的距离最远？
解： 由（1）知 AB ＝20 sin θ， AD ＝40 cos θ，
所以 AB ＋ BC ＋ CD ＝40 sin θ＋40 cos θ＝40 sin （θ＋ ），
又θ∈（0， ），所以θ＋ ∈（ ， ），
当θ＋ ＝ ，即θ＝ 时，（ AB ＋ BC ＋ CD ）max＝40 （m），
此时 AO ＝ DO ＝10 （m），
即当 A ， D 距离圆心 O 为10 m时，步行小路的距离最远.
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19. （本小题满分17分）设函数 f （ x ）＝2 sin （2ω x － ）＋ m 的图
象关于直线 x ＝π对称，其中0＜ω＜ .
（1）求 f （ x ）的最小正周期；
解： 由函数 f （ x ）＝2 sin ＋ m 的图象关于
直线 x ＝π对称，
则2ω×π－ ＝ ＋ k π， k ∈Z，解得ω＝ ＋ ， k ∈Z，
又0＜ω＜ ，则当 k ＝0时，ω＝ ，
即 f （ x ）＝2 sin ＋ m ， f （ x ）的最小正周期为 T
＝ ＝3π.
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（2）若函数 y ＝ f （ x ）的图象过点（π，0），求 f （ x ）在
上的值域.
解： 由函数 y ＝ f （ x ）的图象过点（π，0），
则 f （π）＝2 sin ＋ m ＝0，解得 m ＝－2，
故 f （ x ）＝2 sin －2，
∵0≤ x ≤ ，∴0≤ x ≤π，－ ≤ x － ≤ ，
则－ ≤ sin ≤1，－3≤2 sin （ x － ）－2≤0，
∴ f （ x ）在 上的值域为[－3，0].
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谢 谢 观 看！
