模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.命题“ x＞0，ln x≥1－”的否定是（ ）
A. x≤0，ln x≥1－ B. x≤0，ln x＜1－ C. x＞0，ln x≥1－ D. x＞0，ln x＜1－
2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＜2}，则A∪（ RB）＝（ ）
A.{x｜x＞1} B.{x｜x≥1} C.{x｜x＜1} D.{x｜1＜x≤2}
3.已知p：x＋y＞3，q：x＞1且y＞2，则q是p的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数y＝sin x＋的图象大致是（ ）
5.已知a＝log23，b＝，c＝20.4，则下列结论正确的是（ ）
A.c＞b＞a B.b＞c＞a C.b＞a＞c D.a＞b＞c
6.设函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f＋f（9）＝（ ）
A.－2 B.2 C.4 D.6
7.已知函数f（x）＝sin（2ωx＋）＋cos 2ωx（ω＞0）在[0，π]内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A.［，） B.（，］ C.（，］ D.［，）
8.已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝f（x－1），则关于x的不等式g（x－3）＋g（2x－7）＞0的解集为（ ）
A.（4，＋∞） B.（－∞，4） C.（4，5） D.（4，3）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下列关于函数f（x）＝tan（2x＋）说法正确的是（ ）
A.在区间（－，）上单调递减 B.最小正周期是π
C.f（x）为非奇非偶函数 D.图象关于点（－，0）中心对称
10.若函数f（x）同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f（x）＋f（－x）＝0，②f（x）在定义域上是减函数，则称函数f（x）为“理想函数”.则下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ）
A.f（x）＝－x B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝
11.下列说法正确的是（ ）
A.若x＜1，则函数y＝x＋的最小值为3
B.若x＋2y＝2，则函数2x＋4y的最小值为4
C.函数y＝＋的最小值为3＋2
D.若x，y＞0，且x＋y＋xy＝2，则2x＋y的最小值为2－3
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.设函数f（x）＝x3cos x＋1，若f（2 024）＝－2 023，则f（－2 024）＝ .
13.若函数f（x）＝（a＞0，且a≠1）的值域是[4，＋∞），则实数a的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝sin＋，ω＞0，x∈R，且f（α）＝－，f（β）＝.若｜α－β｜的最小值为，则f＝ ；函数f（x）的单调递增区间为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知p：＜1，q：x2－3ax＋2a2＜0（其中a为常数，且a＞0）.
（1）若p为真，求x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.
16.（本小题满分15分）已知α，β为锐角，cos α＝，cos（α＋β）＝－.
（1）求sin 2α的值；
（2）求cos β的值.
17.（本小题满分15分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品.经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为y＝x2－40x＋1 600，x∈[30，50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的该种化工产品.
（1）判断该技术改进能否获利.如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝sin 2x－cos 2x，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若h（x）＝f（x＋t）的图象关于点对称，且t∈（0，π），求t的值；
（3）当x∈时，不等式｜f（x）－m｜＜3恒成立，求实数m的取值范围.
19.（本小题满分17分）设函数f（x）的定义域为D，对于区间I＝[a，b]（a＜b，I D），若满足以下两条性质之一，则称I为f（x）的一个“Ω区间”.
性质1：对任意x∈I，有f（x）∈I；
性质2：对任意x∈I，有f（x） I.
（1）分别判断区间[1，2]是否为下列两函数的“Ω区间”（直接写出结论）；
①y＝3－x；②y＝；
（2）已知定义在R上，且图象连续不断的函数f（x）单调递减，且满足：对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，有＜－1.求证：f（x）存在“Ω区间”；
（3）若[0，m]（m＞0）是函数f（x）＝－x2＋2x的“Ω区间”，求m的取值范围.
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1.D 依题意可得“ x＞0，ln x≥1－”是一个全称量词命题，则它的否定是存在量词命题，即“ x＞0，ln x＜1－”.故选D.
2.A 因为集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＜2}，则 RB＝{x｜x≥2}，因此A∪（ RB）＝{x｜x＞1}.故选A.
3.A 若x＞1且y＞2，则x＋y＞3，反之则不然，比如x＝0，y＝4，故q是p的充分不必要条件.故选A.
4.A 因为y＝sin x＋的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且令f（x）＝sin x＋，则f（－x）＝sin（－x）＋＝－（sin x＋）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，排除B、D；又f（1）＝sin 1＋＞1，所以排除C.故选A.
5.C 因为y＝log2x在（0，＋∞）上为增函数，且＜＜4，所以log2＜log2＜log24，即log2＜log23＜log222，所以＜log23＜2，即＜a＜2，b＝＝log310，因为y＝log3x在（0，＋∞）上为增函数，且10＞9，所以log310＞log39＝2，即b＞2，因为y＝2x在R上为增函数，且0＜0.4＜，所以20＜20.4＜＝＜1.5，即1＜c＜1.5，所以b＞a＞c.故选C.
6.A 因为f（x）的周期为2，所以f＝f且f（9）＝f（1），又f（x）为奇函数，所以f＝－f＝－2，f（－1）＝－f（1），但f（－1）＝f（1），故f（－1）＝f（1）＝0，故f＋f（9）＝－2，故选A.
7.A f（x）＝sin（2ωx＋）＋cos 2ωx＝sin 2ωxcos ＋cos 2ωxsin＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin（2ωx＋），∵当x∈[0，π]时，2ωx＋∈［，2πω＋］，且f（x）在[0，π]上有且仅有3个零点，∴3π≤2πω＋＜4π，综上，≤ω＜.
8.A 由已知可得g（x－3）＝f（x－4），g（2x－7）＝f（2x－8），由g（x－3）＋g（2x－7）＞0可得，f（x－4）＋f（2x－8）＞0，因为奇函数f（x）在R上是增函数，则f（2x－8）＞－f（x－4）＝f（4－x），所以2x－8＞4－x，解得x＞4.故选A.
9.CD 选项A，由x∈（－，），得2x＋∈（－，），则函数f（x）＝tan（2x＋）在区间（－，）上单调递增，故A错误；
选项B，函数f（x）＝tan（2x＋）的最小正周期是，故B错误；选项C，f（x）为非奇非偶函数，故C正确；选项D，当x＝－时，f（x）＝tan 0＝0，故f（x）关于点（－，0）中心对称，故D正确.故选C、D.
10.AD 根据f（x）＋f（－x）＝0得f（x）为奇函数，且在定义域上是减函数.f（x）＝－x是奇函数且是减函数，故A正确；f（x）＝是幂函数且为偶函数，故B错误；f（x）＝，在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，但在整个定义域上不是减函数，故C错误；由f（x）＝的大致图象（如图）可知D选项正确 .
11.BCD 对于A，x＜1 x－1＜0 y＝x＋＝x－1＋＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时，取得最大值－1，故A错误；对于B，2x＋4y≥2＝2＝4，当且仅当x＝1，y＝时，（2x＋4y）min＝4，故B正确；对于C，y＝＋＝（＋）·（sin2x＋cos2x）＝3＋＋≥3＋2，当且仅当tan2x＝时，ymin＝3＋2，故C正确；对于D，x＋y＋xy＝2 y＝ 2x＋y＝2x＋＝2（x＋1）＋－3≥2－3，当且仅当x＝－1，y＝－1时，（2x＋y）min＝2－3，故D正确.故选B、C、D.
12.2 025 解析：函数f（x）＝x3cos x＋1的定义域为R，令g（x）＝x3cos x，x∈R，则g（－x）＝（－x）3cos（－x）＝－x3cos x＝－g（x），所以g（x）为奇函数，又f（2 024）＝g（2 024）＋1＝－2 023，所以g（2 024）＝－2 024，所以f（－2 024）＝g（－2 024）＋1＝－g（2 024）＋1＝2 025.
13.（1，2] 因为f（x）＝所以当x≤2时，f（x）≥4.又函数f（x）的值域为[4，＋∞），所以当x＞2时，有解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2].
14. ，k∈Z 解析：函数f（x）＝sin＋，ω＞0，x∈R，由f（α）＝－，f（β）＝，且｜α－β｜的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f（x）＝sin＋.则f＝sin＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z.
15.解：（1）由＜1，得x＞1或x＜0，
即命题p是真命题时x的取值范围是（－∞，0）∪（1，＋∞）.
（2）由x2－3ax＋2a2＜0得（x－a）（x－2a）＜0，
因为a＞0，则a＜x＜2a，
若p是q的必要不充分条件，
则q对应的集合是p对应集合的真子集，
因为a＞0，则满足得a≥1，
即实数a的取值范围是[1，＋∞）.
16.解：（1）因为α为锐角，cos α＝，所以sin α＝，
则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
（2）由于α，β为锐角，则0＜α＋β＜π，
又cos（α＋β）＝－ sin（α＋β）＝，
所以cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－×＋×＝.
17.解：（1）当x∈[30，50]时，设该工厂获利S万元，
则S＝20x－（x2－40x＋1 600）＝－（x－30）2－700，
所以当x∈[30，50]时，Smax＝－700＜0，
因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损.
（2）由题意知，二氧化碳的平均处理成本P（x）＝＝x＋－40，x∈[30，50].
当x∈[30，50]时，P（x）＝x＋－40≥2－40＝40，
当且仅当x＝，即x＝40时等号成立，
故P（x）最小值为P（40）＝40，
所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少.
18.解：（1）因为f（x）＝sin 2x－cos 2x
＝2
＝2sin，
故f（x）的最小正周期为T＝＝π.
（2）由（1）知h（x）＝2sin.
令2×＋2t－＝kπ（k∈Z），
得t＝＋（k∈Z），
又t∈（0，π），故t＝或t＝.
（3）当x∈时，2x－∈，
所以f（x）∈[1，2].
又｜f（x）－m｜＜3，
即f（x）－3＜m＜f（x）＋3，
所以2－3＜m＜1＋3，
即－1＜m＜4.
故实数m的取值范围是（－1，4）.
19.解：（1）对①， x∈[1，2]，y＝3－x∈[1，2]，满足性质1，[1，2]是函数的“Ω区间”.
对②，当x＝1时，y＝3 [1，2]，当x＝2时，y＝∈[1，2]，故不满足性质1，2，
[1，2]不是函数的“Ω区间”.
（2）证明：对于任意区间I＝[a，b]（a＜b），记S＝{f（x）｜x∈I}，
由题意知f（x）在I上单调递减，则S＝[f（b），f（a）].
因为＜－1，所以f（a）－f（b）＞b－a，
即S的长度大于I的长度，故不满足性质1.
因此，如果I为f（x）的“Ω区间”，只能满足性质2，则S∩I＝ ，
即只需存在a∈R使得f（a）＜a，或存在b∈R使得f（b）＞b.
因为f（x）＝x不恒成立，所以上述条件满足，所以f（x）一定存在“Ω区间”.
（3）记I＝[0，m]（m＞0），S＝{f（x）｜x∈I}，注意到f（0）＝0∈[0，m]，
因此，若I为函数f（x）的“Ω区间”，则其不满足性质2，必满足性质1，即S I.
f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1.
当0＜m＜1时，f（x）在I上单调递增，且f（m）－m＝－m（m－1）＞0，
所以S＝[0，f（m）]不包含于I＝[0，m]，不合题意；
当1≤m≤2时，S＝[f（0），f（1）]＝[0，1] [0，m]＝I，符合题意；
当m＞2时，f（m）＜f（2）＝f（0）＝0，所以f（m） I，不合题意.
综上，m∈[1，2].
1 / 3(共42张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“ x ＞0，ln x ≥1－ ”的否定是（ ）
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解析： 依题意可得“ x ＞0，ln x ≥1－ ”是一个全称量
词命题，则它的否定是存在量词命题，即“ x ＞0，ln x ＜1－
”.故选D.
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2. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}， B ＝{ x ｜ x ＜2}，则 A ∪（ R B ）＝
（ ）
A. { x ｜ x ＞1} B. { x ｜ x ≥1}
C. { x ｜ x ＜1} D. { x ｜1＜ x ≤2}
解析： 因为集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}， B ＝{ x ｜ x ＜2}，则 R B ＝
{ x ｜ x ≥2}，因此 A ∪（ R B ）＝{ x ｜ x ＞1}.故选A.
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3. 已知 p ： x ＋ y ＞3， q ： x ＞1且 y ＞2，则 q 是 p 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 若 x ＞1且 y ＞2，则 x ＋ y ＞3，反之则不然，比如 x ＝
0， y ＝4，故 q 是 p 的充分不必要条件.故选A.
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4. 函数 y ＝ sin x ＋ 的图象大致是（ ）
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解析： 因为 y ＝ sin x ＋ 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋
∞），关于原点对称，且令 f （ x ）＝ sin x ＋ ，则 f （－ x ）＝ sin
（－ x ）＋ ＝－（ sin x ＋ ）＝－ f （ x ），所以 f （ x ）为奇函
数，排除B、D；又 f （1）＝ sin 1＋ ＞1，所以排除C. 故选A.
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5. 已知 a ＝log23， b ＝ ， c ＝20.4，则下列结论正确的是（ ）
A. c ＞ b ＞ a B. b ＞ c ＞ a
C. b ＞ a ＞ c D. a ＞ b ＞ c
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解析： 因为 y ＝log2 x 在（0，＋∞）上为增函数，且 ＜
＜4，所以log2 ＜log2 ＜log24，即log2 ＜log23＜log222，所
以 ＜log23＜2，即 ＜ a ＜2， b ＝ ＝log310，因为 y ＝log3 x 在
（0，＋∞）上为增函数，且10＞9，所以log310＞log39＝2，即 b ＞
2，因为 y ＝2 x 在R上为增函数，且0＜0.4＜ ，所以20＜20.4＜
＝ ＜1.5，即1＜ c ＜1.5，所以 b ＞ a ＞ c .故选C.
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6. 设函数 f （ x ）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜ x ＜1时， f
（ x ）＝4 x ，则 f ＋ f （9）＝（ ）
A. －2 B. 2
C. 4 D. 6
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解析： 因为 f （ x ）的周期为2，所以 f ＝ f 且 f （9）
＝ f （1），又 f （ x ）为奇函数，所以 f ＝－ f ＝－2， f
（－1）＝－ f （1），但 f （－1）＝ f （1），故 f （－1）＝ f （1）
＝0，故 f ＋ f （9）＝－2，故选A.
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7. 已知函数 f （ x ）＝ sin （2ω x ＋ ）＋ cos 2ω x （ω＞0）在[0，π]
内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
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解析： f （ x ）＝ sin （2ω x ＋ ）＋ cos 2ω x ＝ sin 2ω x cos ＋
cos 2ω x sin ＋ cos 2ω x ＝ sin 2ω x ＋ cos 2ω x ＝ sin （2ω x ＋
），∵当 x ∈[0，π]时，2ω x ＋ ∈［ ，2πω＋ ］，且 f （ x ）
在[0，π]上有且仅有3个零点，∴3π≤2πω＋ ＜4π，综上， ≤ω
＜ .
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8. 已知奇函数 f （ x ）在R上是增函数， g （ x ）＝ f （ x －1），则关
于 x 的不等式 g （ x －3）＋ g （2 x －7）＞0的解集为（ ）
A. （4，＋∞） B. （－∞，4）
C. （4，5）
解析： 由已知可得 g （ x －3）＝ f （ x －4）， g （2 x －7）＝ f
（2 x －8），由 g （ x －3）＋ g （2 x －7）＞0可得， f （ x －4）＋ f
（2 x －8）＞0，因为奇函数 f （ x ）在R上是增函数，则 f （2 x －
8）＞－ f （ x －4）＝ f （4－ x ），所以2 x －8＞4－ x ，解得 x ＞4.
故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列关于函数 f （ x ）＝tan（2 x ＋ ）说法正确的是（ ）
B. 最小正周期是π
C. f （ x ）为非奇非偶函数
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解析： 选项A，由 x ∈（－ ， ），得2 x ＋ ∈（－ ，
），则函数 f （ x ）＝tan（2 x ＋ ）在区间（－ ， ）上单调递
增，故A错误；选项B，函数 f （ x ）＝tan（2 x ＋ ）的最小正周期
是 ，故B错误；选项C， f （ x ）为非奇非偶函数，故C正确；选项
D，当 x ＝－ 时， f （ x ）＝tan 0＝0，故 f （ x ）关于点（－ ，
0）中心对称，故D正确.故选C、D.
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10. 若函数 f （ x ）同时满足①对于定义域上的任意 x ，恒有 f （ x ）＋ f
（－ x ）＝0，② f （ x ）在定义域上是减函数，则称函数 f （ x ）
为“理想函数”.则下列四个函数中能被称为“理想函数”的有
（ ）
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解析： 根据 f （ x ）＋ f （－ x ）＝0得 f （ x ）
为奇函数，且在定义域上是减函数. f （ x ）＝－ x
是奇函数且是减函数，故A正确； f （ x ）＝ 是幂
函数且为偶函数，故B错误； f （ x ）＝ ，在区间
（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，但在整个
定义域上不是减函数，故C错误；由 f （ x ）＝
的大致图象（如图）可知D选项
正确 .
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11. 下列说法正确的是（ ）
B. 若 x ＋2 y ＝2，则函数2 x ＋4 y 的最小值为4
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解析： 对于A， x ＜1 x －1＜0 y ＝ x ＋ ＝ x －1＋
＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当 x －1＝ ，即 x ＝0时，取得最大
值－1，故A错误；对于B，2 x ＋4 y ≥2 ＝2 ＝4，当
且仅当 x ＝1， y ＝ 时，（2 x ＋4 y ）min＝4，故B正确；对于C， y
＝ ＋ ＝（ ＋ ）·（ sin 2 x ＋ cos 2 x ）＝3＋
＋ ≥3＋2 ，当且仅当tan2 x ＝ 时， ymin＝3＋2
，故C正确；
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对于D， x ＋ y ＋ xy ＝2 y ＝ 2 x ＋ y ＝2 x ＋ ＝2（ x ＋1）＋
－3≥2 －3，当且仅当 x ＝ －1， y ＝ －1时，（2 x ＋ y ）
min＝2 －3，故D正确.故选B、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 设函数 f （ x ）＝ x3 cos x ＋1，若 f （2 024）＝－2 023，则 f （－2
024）＝ .
解析：函数 f （ x ）＝ x3 cos x ＋1的定义域为R，令 g （ x ）＝ x3
cos x ， x ∈R，则 g （－ x ）＝（－ x ）3 cos （－ x ）＝－ x3 cos x
＝－ g （ x ），所以 g （ x ）为奇函数，又 f （2 024）＝ g （2
024）＋1＝－2 023，所以 g （2 024）＝－2 024，所以 f （－2
024）＝ g （－2 024）＋1＝－ g （2 024）＋1＝2 025.
2 025
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13. 若函数 f （ x ）＝（ a ＞0，且 a ≠1）的值域是
[4，＋∞），则实数 a 的取值范围是 .
解析：因为 f （ x ）＝所以当 x ≤2时， f
（ x ）≥4.又函数 f （ x ）的值域为[4，＋∞），所以当 x ＞2时，
有解得1＜ a ≤2，所以实数 a 的取值范围是
（1，2].
（1，2]
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14. 已知函数 f （ x ）＝ sin ＋ ，ω＞0， x ∈R，且 f （α）
＝－ ， f （β）＝ .若｜α－β｜的最小值为 ，则 f
＝ ；函数 f （ x ）的单调递增区间为
.
， k ∈Z
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解析：函数 f （ x ）＝ sin ＋ ，ω＞0， x ∈R，由 f
（α）＝－ ， f （β）＝ ，且｜α－β｜的最小值为 ，得
＝ ，即 T ＝3π＝ ，所以ω＝ .所以 f （ x ）＝ sin ＋
.则 f ＝ sin ＋ ＝ .由－ ＋2 k π≤ x － ≤ ＋2 k π， k
∈Z，得－ ＋3 k π≤ x ≤π＋3 k π， k ∈Z，即函数 f （ x ）的单调
递增区间为 ， k ∈Z.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知 p ： ＜1， q ： x2－3 ax ＋2 a2＜0（其中
a 为常数，且 a ＞0）.
（1）若 p 为真，求 x 的取值范围；
解： 由 ＜1，得 x ＞1或 x ＜0，
即命题 p 是真命题时 x 的取值范围是（－∞，0）∪（1，＋
∞）.
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（2）若 p 是 q 的必要不充分条件，求 a 的取值范围.
解： 由 x2－3 ax ＋2 a2＜0得（ x － a ）（ x －2 a ）＜0，
因为 a ＞0，则 a ＜ x ＜2 a ，
若 p 是 q 的必要不充分条件，
则 q 对应的集合是 p 对应集合的真子集，
因为 a ＞0，则满足得 a ≥1，
即实数 a 的取值范围是[1，＋∞）.
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16. （本小题满分15分）已知α，β为锐角， cos α＝ ， cos （α＋
β）＝－ .
（1）求 sin 2α的值；
解： 因为α为锐角， cos α＝ ，所以 sin α＝ ，
则 sin 2α＝2 sin α cos α＝2× × ＝ .
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（2）求 cos β的值.
解： 由于α，β为锐角，则0＜α＋β＜π，
又 cos （α＋β）＝－ sin （α＋β）＝ ，
所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]
＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α
＝－ × ＋ × ＝ .
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17. （本小题满分15分）为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下
进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品.经测算，该处理
成本 y （单位：万元）与处理量 x （单位：吨）之间的函数关系可
近似表示为 y ＝ x2－40 x ＋1 600， x ∈[30，50]，已知每处理一吨
二氧化碳可获得价值20万元的该种化工产品.
（1）判断该技术改进能否获利.如果能获利，求出最大利润；
如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才
不会亏损？
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解： 当 x ∈[30，50]时，设该工厂获利 S 万元，
则 S ＝20 x －（ x2－40 x ＋1 600）＝－（ x －30）2－700，
所以当 x ∈[30，50]时， Smax＝－700＜0，
因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂
才不会亏损.
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（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
解： 由题意知，二氧化碳的平均处理成本 P （ x ）＝
＝ x ＋ －40， x ∈[30，50].
当 x ∈[30，50]时， P （ x ）＝ x ＋ －40≥2 －
40＝40，
当且仅当 x ＝ ，即 x ＝40时等号成立，
故 P （ x ）最小值为 P （40）＝40，
所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少.
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18. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝ sin 2 x － cos 2 x ， x
∈R.
（1）求 f （ x ）的最小正周期；
解： 因为 f （ x ）＝ sin 2 x － cos 2 x
＝2
＝2 sin ，
故 f （ x ）的最小正周期为 T ＝ ＝π.
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（2）若 h （ x ）＝ f （ x ＋ t ）的图象关于点 对称，且 t
∈（0，π），求 t 的值；
解： 由（1）知 h （ x ）＝2 sin .
令2× ＋2 t － ＝ k π（ k ∈Z），
得 t ＝ ＋ （ k ∈Z），
又 t ∈（0，π），故 t ＝ 或 t ＝ .
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解： 当 x ∈ 时，2 x － ∈ ，
所以 f （ x ）∈[1，2].
又｜ f （ x ）－ m ｜＜3，
即 f （ x ）－3＜ m ＜ f （ x ）＋3，
所以2－3＜ m ＜1＋3，
即－1＜ m ＜4.
故实数 m 的取值范围是（－1，4）.
（3）当 x ∈ 时，不等式｜ f （ x ）－ m ｜＜3恒成立，求实
数 m 的取值范围.
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19. （本小题满分17分）设函数 f （ x ）的定义域为 D ，对于区间 I ＝
[ a ， b ]（ a ＜ b ， I D ），若满足以下两条性质之一，则称 I 为 f
（ x ）的一个“Ω区间”.
性质1：对任意 x ∈ I ，有 f （ x ）∈ I ；
性质2：对任意 x ∈ I ，有 f （ x ） I .
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（1）分别判断区间[1，2]是否为下列两函数的“Ω区间”（直接
写出结论）；
① y ＝3－ x ；② y ＝ ；
解： 对①， x ∈[1，2]， y ＝3－ x ∈[1，2]，满足性
质1，[1，2]是函数的“Ω区间”.
对②，当 x ＝1时， y ＝3 [1，2]，当 x ＝2时， y ＝ ∈[1，
2]，故不满足性质1，2，
[1，2]不是函数的“Ω区间”.
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（2）已知定义在R上，且图象连续不断的函数 f （ x ）单调递减，
且满足：对任意 x1， x2∈R，且 x1≠ x2，有 ＜
－1.求证： f （ x ）存在“Ω区间”；
解： 证明：对于任意区间 I ＝[ a ， b ]（ a ＜ b ），记 S
＝{ f （ x ）｜ x ∈ I }，
由题意知 f （ x ）在 I 上单调递减，则 S ＝[ f （ b ）， f
（ a ）].
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因为 ＜－1，所以 f （ a ）－ f （ b ）＞ b － a ，
即 S 的长度大于 I 的长度，故不满足性质1.
因此，如果 I 为 f （ x ）的“Ω区间”，只能满足性质2，则 S
∩ I ＝ ，
即只需存在 a ∈R使得 f （ a ）＜ a ，或存在 b ∈R使得 f
（ b ）＞ b .
因为 f （ x ）＝ x 不恒成立，所以上述条件满足，所以 f
（ x ）一定存在“Ω区间”.
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（3）若[0， m ]（ m ＞0）是函数 f （ x ）＝－ x2＋2 x 的“Ω区
间”，求 m 的取值范围.
解： 记 I ＝[0， m ]（ m ＞0）， S ＝{ f （ x ）｜ x ∈
I }，注意到 f （0）＝0∈[0， m ]，
因此，若 I 为函数 f （ x ）的“Ω区间”，则其不满足性质2，
必满足性质1，即 S I .
f （ x ）＝－ x2＋2 x ＝－（ x －1）2＋1.
当0＜ m ＜1时， f （ x ）在 I 上单调递增，且 f （ m ）－ m ＝
－ m （ m －1）＞0，
所以 S ＝[0， f （ m ）]不包含于 I ＝[0， m ]，不合题意；
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当1≤ m ≤2时， S ＝[ f （0）， f （1）]＝[0，1] [0， m ]
＝ I ，符合题意；
当 m ＞2时， f （ m ）＜ f （2）＝ f （0）＝0，所以 f （ m ）
I ，不合题意.
综上， m ∈[1，2].
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谢 谢 观 看！
