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沪科版22.3相似三角形的性质 分类训练
一．选择题（共36小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A B A D C B C D C C
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 A B D A A B D D C C B
题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
答案 C B D B C C A D D B A
题号 34 35 36
答案 C C D
一．相似三角形的性质（共6小题）
1．如图，△ABC∽△A′B′C′．若∠B＝66°，则∠B的对应角∠B′的大小为（ ）
A．65° B．66° C．67° D．68°
【思路点拔】利用相似三角形的性质直接写出答案即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B＝66°，
∴∠B′＝∠B＝66°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等，难度不大．
2．若两个相似三角形的周长比是2：3，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．2：1
【思路点拔】两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比是相似比的平方，据此即可得出答案．
【解答】解：根据题意知：两个相似三角形的相似比为2：3，而面积比为相似比的平方，所以面积比是4：9．
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质，牢固掌握其性质是解题的关键．
3．已知两个相似三角形的对应边的比为4：1，则它们对应高线的比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C．1：2 D．16：1
【思路点拔】根据相似三角形对应高的比等于相似比可得答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的对应边的比为4：1，
∴其相似比为4：1，
∴它们对应高线的比为4：1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先根据相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质求解．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，
∴（）2，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
5．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍
C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍
【思路点拔】将一个三角形的三边扩大为原来的5倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：5：1，利用面积比是相似比的平方，即可得解．
【解答】解：∵把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，
∴新的三角形与原三角形相似，相似比为：5：1，
∴两个三角形的面积比为：25：1，即这个三角形的面积扩大为原来的25倍，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
6．如图，矩形ABCD中，CE＝2DE，点P在BC边上且恰好存在点P使△ABP和△PCE相似，若AB＝3，BC＝5，则BP长为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或4
【思路点拔】先根据矩形的性质以及CE＝2DE可得CE＝2，设BP＝x，则CP＝5﹣x，然后分△ABP∽△PCE和△ABP∽△ECP两种情况，分别利用相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵矩形ABCD中，CE＝2DE，AB＝3，BC＝5，
∴AB＝CD＝3，∠C＝∠B＝90°，
∴，
设BP＝x，则CP＝5﹣x，
当△ABP∽△PCE时，，
∴，
解得：x1＝3，x2＝2，
经检验，x1＝3，x2＝2是分式方程的解；
当△ABP∽△ECP时，，
∴，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是分式方程的解，
综上，BP长为2或3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质、矩形的性质等知识点，熟知以上知识是解题的关键．
二．相似三角形的判定与性质（共46小题）
7．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】首先证明出△ADE∽△ABC，得到，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的性质和判定，正确进行计算是解题关键．
8．如图，在△ABC中，点D，F分别是AB的三等分点，若DE∥FG∥BC，则S△ADE：S四边形FBCG的值为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【思路点拔】由点D，F分别是AB的三等分点，推导出，，由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，则，所以S△ADES△ABC，由FG∥BC，证明△AFG∽△ABC，则，所以S△AFGS△ABC，求得S四边形FBCGS△ABC，所以S△ADE：S四边形FBCG＝1：5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵点D，F分别是AB的三等分点，
∴ADAB，AFAB，
∴，，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ADES△ABC，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴，
∴S△AFGS△ABC，
∴S四边形FBCG＝S△ABCS△ABCS△ABC，
∴，
∴S△ADE：S四边形FBCG＝1：5，
故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC及△AFG∽△ABC是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC．若AB＝6，AD＝4，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拔】由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，而AB＝6，AD＝4，所以，则，可判断A正确，C正确；由BD＝AB﹣AD＝2，根据平行线分线段成比例定理得，可判断B正确；由S△ADES△ABC，得S四边形DBCE＝S△ABCS△ABCS△ABC，则，可判断D错误，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵DE∥BC，AB＝6，AD＝4，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故A正确；
∴，
故C正确；
∵BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，
∴，
故B正确；
∵S△ADES△ABC，
∴S四边形DBCE＝S△ABCS△ABCS△ABC，
∴，
故D错误，
故选：D．
【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则S△ADE：S△BCE等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9
【思路点拔】由，得，则S△ADES△ABE，由DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，则，所以S△ABES△ABC，则S△ADES△ABC，S△BCES△ABC，求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵，
∴，
∴S△ADES△ABE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴S△ABES△ABC，
∴S△ADES△ABCS△ABC，S△BCE＝S△ABCS△ABCS△ABC，
∴，即S△ADE：S△BCE＝1：6，
故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC，进而推导出S△ADES△ABC，S△BCES△ABC是解题的关键．
11．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，3，且∠AED＝∠B，则△AED与△ABC的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．3：16 D．4：9
【思路点拔】根据∠AED＝∠B，∠A＝∠A，证得△ADE∽△ACB，得到比例式，又3，得到ADAB，AEAC，于是推出4AD2AC2得到，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵3，
∴ADAB，AEAC，
∴4AD2AC2
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，D为AC的中点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则DE的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【思路点拔】利用勾股定理求得AB＝5，证明△EAD∽△CAB，利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，
由勾股定理得：，
∵D为AB的中点，DE⊥AB，交AB于点E，
∴，∠AED＝∠C＝90°，
∵∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
∴，即，
解得：，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
13．将一副三角板按图叠放，则△AOD与△BOC的面积之比为（ ）
A． B．1：3 C． D．1：2
【思路点拔】由题意得∠DAB＝∠ABC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，则∠ABD＝∠D＝45°，所以AB＝AD，AC＝2AB，CBABAD，则，由AD∥CB，证明△AOD∽△BOC，则，所以△AOD与△BOC的面积之比为1：3，于是得到问题的答案．
【解答】解：由题意得∠DAB＝∠ABC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，
∴∠ABD＝∠D＝45°，
∴AB＝AD，AC＝2AB，
∴CBABAD，
∴，
∵∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥CB，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
∴△AOD与△BOC的面积之比为1：3，
故选：B．
【点评】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AOD∽△BOC是解题的关键．
14．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，CD＝6，BD＝4，那么Rt△ADC与Rt△CDB的面积之比是（ ）
A．2：1 B．3：2 C．4：1 D．9：4
【思路点拔】利用直角三角形的性质和余角的性质可证△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：由条件可知∠A+∠ACD＝90°，∠A+∠B＝90°，∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴CD：BD＝AD：CD，
即6：4＝AD：6，
解得：AD＝9，
∴Rt△ADC与Rt△CDB的面积之比，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的性质．
15．如图，AD、BE是△ABC的两条高，连接DE，CD＝6，AC＝8，若DE＝kAB，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】利用相似三角形点P的与性质解答即可．
【解答】解：∵AD、BE是△ABC的两条高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∵∠C＝C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴DEAB．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的高线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】证明△EAF∽△DCF是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到AB＝CD，AB∥CD，可证明△EAF∽△DCF，得到，由进一步即可得到答案．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠AEF＝∠CDF，∠EAF＝∠DCF，
∴△EAF∽△DCF，
∴，
∴，即，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
17．如图，在矩形ABCD中，等边三角形ABE的顶点E恰好落在CD边上，AC与BE交于点F．若矩形ABCD的面积为12，则△AEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】证明Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），得到，再证明△CEF∽△ABF，得到，则，据此可得．
【解答】解：由题意可得：AD＝CB，∠D＝∠BCD＝90°，CD∥AB，CD＝AB，
∴AE＝BE，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴，
∵CD∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，正确进行计算是解题关键．
18．如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，点F是CD上一点，连接BE，BF，EF，若∠BEF＝90°，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意得出△ABE∽△DEF，设AE＝DE＝2k，则AB＝DC＝3k，进而得出DF，CF，即可求解．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠BEF＝90°，
∴∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝90°﹣∠DEF＝∠DFE，
∴△ABE∽△DEF，
∴，
∵，
∴，
∵点E是AD中点，
∴，
∴设AE＝DE＝2k，则AB＝DC＝3k，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
19．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：FE＝（ ）
A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：2
【思路点拔】根据题意及平行四边形的性质，证明△ABF∽△CEF，即可解答．
【解答】解：∵DE：EC＝1：2，
∴EC：CD＝2：3，
∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
即EC：AB＝2：3，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴BF：EF＝AB：EC＝3：2，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键．
20．如图，在 ABCD中，BE是∠ABC的平分线，延长BE交CD的延长线于点F．若DF＝6，AB＝12，则BC的长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【思路点拔】先根据平行四边形的性质得到CD∥AB，AD∥BC，则∠AEB＝∠ABE，再证明∠ABE＝∠AEB得到AE＝AB＝12，接着证明△DEF∽△AEB，利用相似比求出DE＝6，然后计算出AD的长，从而得到BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝12，
∵DF∥AB，
∴△DEF∽△AEB，
∴DE：AE＝DF：AB，
即DE：12＝6：12，
解得DE＝6，
∴AD＝AE+DE＝12+6＝18，
∴BC＝18．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G．延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和即可得结果．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形．
22．如图，点E在矩形ABCD边CD上，且AB＝BE，AC与BE相交于点F．已知CE＝3，AD＝4，则EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【思路点拔】由矩形的性质得BC＝AD＝4，∠BCD＝90°，DC∥AB，由勾股定理求出BE＝5，可得AB＝5，再证明△CEF∽△ABF得，进一步可求出EF的长．
【解答】解：点E在矩形ABCD边CD上，CE＝3，AD＝4，
∴BC＝AD＝4，∠BCD＝90°，DC∥AB，
在直角三角形BCE中，由勾股定理得：
∴，
又∵AB＝BE，
∴BE＝5，
∵DC∥AB，
∴∠ECF＝∠BAF，∠CEF＝∠ABF，
∴△CEF∽△ABF，
∴，即，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【思路点拔】根据正方形性质及勾股定理求出AE＝BE＝2，CE，证明△BCE和△AEF相似得EF，再根据三角形的面积公式即可得出△CEF的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴AB＝BC＝4，∠A＝∠B＝90°，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BEAB＝2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE，
∠A＝∠B＝90°，EF⊥EC，
∴∠BCE+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝∠AEF，
∴△BCE∽△AEF，
∴，
∴EF，
∴△CEF的面积为：CE EF5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE长为（ ）
A．2 B． C． D．5
【思路点拔】首先根据矩形的性质，求得AD∥BC，即可得到∠DAE＝∠AMB，又由∠DEA＝∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABM∽△DEA，由△ABM∽△DEA可以得到，根据勾股定理可以求得AD的长，继而得到答案．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵M是边BC的中点，BC＝3，AB＝2，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AMB，
∵∠DEA＝∠B＝90°，
∴△ABM∽△DEA，
∴，
即，
∴．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，掌握相关形式是解题的关键．
25．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（ ）
A． B． C． D．1
【思路点拔】首先利用矩形的性质可以分别求出BC、AC，然后利用面积公式可以求出CE，最后利用平行线分线段成比例即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，
∴BC＝2，
∴根据勾股定理得AC2，
∵S△ABCAB×BCAC×BE，
∴BE，
根据勾股定理得CE，
∴AE＝AC﹣CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴CF：AB＝CE：AE，
∴CF1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、勾股定理，有一定的综合性．
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G．若EG＝FG，则BG的长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由矩形的性质得CD＝AB＝6cm，∠EBF＝∠C＝90°，求得DB10cm，而AE＝2cm，则BE＝4cm，因为EG＝FG，所以BG＝FGEF，则∠BFE＝∠CBD，即可证明△BFE∽△CBD，得，则EFDB，所以BG，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在边AB，BC上，
∴CD＝AB＝6cm，∠EBF＝∠C＝90°，
∴DB10（cm），
∵AE＝2cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm），
∵BD，EF交于点G，且EG＝FG，
∴BG＝FG＝EGEF，
∴∠BFE＝∠CBD，
∴△BFE∽△CBD，
∴，
∴EFDB10，
∴BG，
故选：B．
【点评】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BFE∽△CBD是解题的关键．
27．如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC、BE交于点F，若FG∥BC．若S△AEF：S△BFC＝1：9，则FG的长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由矩形的性质得AD∥CB，∠D＝90°，因为CD＝8，AC＝10，所以CB＝AD6，可证明△AEF∽△BFC，得，则，所以，再证明△AFG∽△ACB，得，则FGCB，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，CD＝8，AC＝10，
∴AD∥CB，∠D＝90°，
∴CB＝AD6，
∵AE∥CB，S△AEF：S△BFC＝1：9，
∴△AEF∽△BFC，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ACB，
∴，
∴FGCB6，
故选：C．
【点评】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AEF∽△BFC及△AFG∽△ACB是解题的关键．
28．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在OB上，且BE＝OE，连接CE并延长交DA的延长线于点F，则AF：FD的值为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
【思路点拔】设CF交AB于点H，由正方形的性质得OB＝ODBD，因为BE＝OEOBBD，所以DEBD，则，由BH∥DC，证明△BHE∽△DCE，求得，则BHDC，所以AHDC，则，由AH∥DC，证明△FAH∽△FDC，得，于是得到问题的答案．
【解答】解：设CF交AB于点H，
∵四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，
∴AB∥DC，AB＝DC，OB＝ODBD，
∵点E在OB上，且BE＝OE，
∴BEOBBDBD，
∴DE＝BDBDBD，
∴，
∵BH∥DC，
∴△BHE∽△DCE，
∴，
∴BHDC，
∴AH＝AB﹣BH＝DCDCDC，
∴，
∵点F在DA的延长线上，AH∥DC，
∴△FAH∽△FDC，
∴，即AF：FD＝2：3，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BHE∽△DCE及△FAH∽△FDC是解题的关键．
29．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则BC的值是（ ）
A．6 B．5 C．8 D．4
【思路点拔】由四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC＝2AE，AD∥BC，在证明△AFG∽△ACB，△BFG∽△BEA，利用相似三角形的性质即可得解．
【解答】解：∵E是AD的中点，
∴AD＝2AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝2AE，AD∥BC，
∵AD∥FG，
∴AD∥FG∥BC，
∴△AFG∽△ACB，△BFG∽△BEA，
∴，，
∴，
解得BC＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质即可得解．
30．如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连接AC，BE交于点O，过点O作OF∥AB交BC于点F，若AB＝4，则OF的长度是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】可得△CFO∽△CBA，△BFO∽△BCE，则，，两式相加得：即可求解．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，
∵OF∥AB，
∴OF∥AB∥CD，
∴△CFO∽△CBA，△BFO∽△BCE，
∴，，
∵E为CD中点，
∵CE＝2，
两式相加得：，
解得：，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
31．如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，BE交对角线AC于点F，FG∥AD交AB于点G，若FG＝2，则AD的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【思路点拔】由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，则可证明△AEF∽△CBF，得到，则，再证明△AGF∽△ABC，得到，则BC＝3FG＝6，据此可得答案．
【解答】解：由题意可得：AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵FG∥AD，
∴FG∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
∴BC＝3FG＝6，
∴AD＝BC＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确进行计算解题关键．
32．如图，在 ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD分别交于点G、F，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC
∵AB∥CD
∴ 故A正确
∵AB∥CD
∴故B错误
∵AD∥BC
∴即故C正确
∵AD∥BC，AB∥CD
∴，
∴故D正确
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键
33．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E为BC边上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．设AE，DF的长度分别为x，y，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．y＝3x+5
【思路点拔】先根据题意得出△ABE∽△DFA，然后根据对应边成比例即可解答．
【解答】解：∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，∠BAE+∠FAD＝90°，BC＝AD＝5，
∴∠B＝∠AFD，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DFA，
∴，即，
∴y．
故选：A．
【点评】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
34．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由菱形的面积公式得到FG＝AE＝3，由勾股定理求出AG＝2，判定△EAG∽△DAE，推出AE：AD＝AG：AE，求出AD，即可得到菱形的边长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，BC＝CD，
∵EF⊥BC，
∴EF⊥AD，
∵AE⊥CD，
∴形ABCD的面积＝BC FG＝CD AE，
∴FG＝AE＝3，
∴EG＝EF﹣FG＝4﹣3＝1，
∴AG2，
∵∠AGE＝∠AED＝90°，∠EAG＝∠DAE，
∴△EAG∽△DAE，
∴AE：AD＝AG：AE，
∴3：AD＝2：3，
∴AD，
∴菱形的边长为．
故选：C．
【点评】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由菱形的面积公式推出FG＝AE＝3，判定△EAG∽△DAE，推出AE：AD＝AG：AE．
35．已知△ABC中，AD∥BC，CD交AB于E，EF∥BC，AE：EB＝1：2，S△ADE＝1，则S△AEF＝（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】已知AD∥EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得出AE：EB＝AF：FC，也就求出EF与AD的比例关系；由于△ADE和△AEF等高，因此它们的面积比等于底边比，已知了EF、AD的比例关系，根据△ADE的面积即可求出△AEF的面积．
【解答】解：∵AD∥EF∥BC，
∴，
∴，
∴S△AEF：S△ADE＝EF：AD＝2：3，
∵S△ADE＝1，
∴S△AEF．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理以及三角形的面积的计算公式．注意，同底（或等底）三角形的面积比等于该底上的高的比；同高（或等高）三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方．
36．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y的图象上．若点B在反比例函数y的图象上，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【思路点拔】求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到2，然后用待定系数法即可．
【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因为点A在反比例函数y的图象上，则mn＝2，
∵点B在反比例函数y的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），
∴k＝﹣2n 2m＝﹣4mn＝﹣8．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．
37．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C，若DE＝4，，则AD的长是 ．
【思路点拔】由平行四边形的性质得出AD＝BC，∠A＝∠C，结合已知得出△DFE∽△DEA，利用相似三角形的性质结合题意求出AD的长度即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
∵∠DEF＝∠C，
∴∠DEF＝∠A，
∵∠EDF＝∠ADE，
∴△DFE∽△DEA，
∴，
∵DE＝4，，
∴，
∴，
∴，
∴或AD＝﹣3（舍去），
经检验，AD符合题意，
∴AD的长是，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE并延长交BC延长线于点F．若BC＝CF＝CE＝AE＝1，则DF＝ ．
【思路点拔】过点C作CH∥DF，交AB于H，设DE＝x，根据相似三角形的性质得到CH＝2x，DF＝4x，根据勾股定理求出EF，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出DF．
【解答】解：如图，过点C作CH∥DF，交AB于H，
则△BCH∽△BFD，△ADE∽△AHC，
∴，，
设DE＝x，则CH＝2x，
∴DF＝4x，
在Rt△ECF中，CF＝CE＝1，
由勾股定理得：EF，
则4x＝x，
解得：x，
∴DF＝4x，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
39．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝ 4：25 ．
【思路点拔】根据S△BDE：S△CDE＝2：3可得，从而得到，再根据相似三角形的判定与性质可得，最后再根据△ODE∽△OCA可得．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵DE∥AC，
∴△ODE∽△OCA，
∴，
即S△DOE：S△AOC＝4：25，
故答案为：4：25．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若，BD＝1，求AD．
【思路点拔】（1）由CD⊥AB于点D，得∠ADC＝∠CDB＝90°，由∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，得∠A＝∠BCD，则△ACD∽△CBD；
（2）由相似三角形的性质得，因为CD，BD＝1，所以AD2．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD．
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴，
∵CD，BD＝1，
∴AD2，
∴AD的长是2．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠A＝∠BCD，进而证明△ACD∽△CBD是解题的关键．
41．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，已知∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若CE＝7，DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【思路点拔】（1）由CD＝CE，得∠CED＝∠CDE，可证明∠CEA＝∠ADB，而∠DAC＝∠B，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACE∽△BAD；
（2）由相似三角形的性质得，而CE＝7，DE＝3，BD＝4，则，求得AE＝4．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴180°﹣∠CDE＝180°﹣∠CDE，
∴∠CEA＝∠ADB，
∵∠DAC＝∠B，即∠EAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD．
（2）解：∵△ACE∽△BAD，
∴，
∵CE＝7，DE＝3，BD＝4，
∴，
解得AE＝4或AE＝﹣7符合题意，舍去），
∴AE的长为4．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠CEA＝∠ADB，进而证明△ACE∽△BAD是解题的关键．
42．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接BE，交对角线AC于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：；
（2）若AE＝2，EF＝1，，求CF的长．
【思路点拔】（1）先由平行四边形的性质得到AD∥BC，进而根据平行线的性质和已知条件得到∠EAF＝∠ABE，进而证明△AEF∽△BEA，再根据相似三角形的性质即可证明结论；
（2）由（1）可得，再结合已知条件可得BE＝4，进而得到BF＝3，再证明△AEF∽△CBF，最后根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，交对角线AC于点F，且∠ACB＝∠ABE，
∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ACB；
∴∠EAF＝∠ABE，
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴；
（2）解：∵，
由（1）知：，即，
∴BE＝4，
∴BF＝BE﹣EF＝3，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴，即，
解得：FC＝4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
43．如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上．
（1）求证：△BDG∽△FEC；
（2）若正方形DEFG的边长是6cm，CE＝3cm，求BC的长．
【思路点拔】（1）由∠A＝90°，得∠B+∠C＝90°，因为正方形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上，所以∠BDG＝∠FEC＝90°，则∠CFE+∠C＝90°，推导出∠B＝∠CFE，则△BDG∽△FEC；
（2）由正方形DEFG的边长是6cm，得GD＝DE＝FE＝6cm，由相似三角形的性质得，而CE＝3cm，则BD12cm，求得BC＝BD+DE+CE＝21cm．
【解答】（1）证明：∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵正方形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上，
∴∠GDE＝∠DEF＝90°，
∴∠BDG＝∠FEC＝90°，
∴∠CFE+∠C＝90°，
∴∠B＝∠CFE，
∴△BDG∽△FEC．
（2）解：∵正方形DEFG的边长是6cm，CE＝3cm，
∴GD＝DE＝FE＝6cm，
∵△BDG∽△FEC，
∴，
∴BD12（cm），
∴BC＝BD+DE+CE＝12+6+3＝21（cm），
∴BC的长是21cm．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠B＝∠CFE，进而证明△BDG∽△FEC是解题的关键．
44．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，E在AB边上且DE⊥AB．
（1）求证：BD2＝BE BA；
（2）AB＝6，BC＝4，求DE的长．
【思路点拔】（1）连接AD，由AB＝AC，D为BC中点，得AD⊥BC，因为DE⊥AB于点E，所以∠DEB＝∠ADB＝90°，而∠B＝∠B，则△DBE∽△ADB，所以，则BD2＝BE BA；
（2）因为AB＝6，BC＝4，所以BD＝CD＝2，求得AD4，由S△ABD6DE2×4，求得DE．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△DBE∽△ADB，
∴，
∴BD2＝BE BA．
（2）解：∵AB＝6，BC＝4，
∴BD＝CDBC＝2，
∵∠ADB＝90°，
∴AD4，
∵S△ABDAB DEBD AD，
∴6DE2×4，
∴DE，
∴DE的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．
45．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
【思路点拔】（1）根据CD＝CE，可得∠CDE＝∠CED，即有∠ADB＝∠AEC，结合∠DAC＝∠B，可得△ACE∽△BAD；
（2）根据△ACE∽△BAD，可得，即，问题随之得解．
【解答】（1）证明：∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠ADB＝180°﹣∠CDE，∠AEC＝180°﹣∠CED，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠DAC＝∠B，
∴△ACE∽△BAD，
（2）解：∵在（1）中已证明△ACE∽△BAD，
∴，，
∵CE＝3，BD＝4，AE＝2，
∴，
∴ED＝AD﹣AE＝6﹣2＝4．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
46．如图，在矩形ABCD中，点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥AE交线段CD于点F，AB＝6，BC＝8，BE＝3．
（1）求CF的长；
（2）连接AC交EF于点G，求CG的长．
【思路点拔】（1）证明△ABE∽△ECF，结合勾股定理，解答即可．
（2）过点E作EH⊥BC交AC于点H，得到，△CHE∽△CAB，△HEG∽△CFG，解答即可．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵EF⊥AE
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠BEA＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，BE＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，
∴，
∴．
（2）如图，过点E作EH⊥BC交AC于点H，
∴AB∥EH∥FC，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴△CHE∽△CAB，△HEG∽△CFG，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
47．如图所示是由三个小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE，根据要求完成下列题目．
求证：（1）△ACD∽△ECA；
（2）∠ADB+∠AEB＝45°．
【思路点拔】（1）可证明三个小正方形的边长相等，且B、C、D、E四点在同一条直线上，设AB＝BC＝CD＝DE＝m，则CE＝2m，CAm，则，而∠ACD＝∠ECA，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ECA；
（2）由AB＝BC，∠B＝90°，得∠ACB＝∠BAC＝45°，则∠ADB+∠DAC＝45°，由相似三角形的性质得∠DAC＝∠AEB，则∠ADB+∠AEB＝45°．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCH、四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形，
∴AB＝BC＝CH＝CD＝DG＝DE，∠B＝∠BCH＝∠HCD＝∠CDG＝∠GDE＝90°，
∴∠BCH+∠HCD＝180°，∠CDG+∠GDE＝180°，
∴B、C、D、E四点在同一条直线上，
设AB＝BC＝CD＝DE＝m，则CE＝2m，CAm，
∵，，
∴，
∵∠ACD＝∠ECA，
∴△ACD∽△ECA．
（2）∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∵∠ACB＝∠ADB+∠DAC，
∴∠ADB+∠DAC＝45°，
∵△ACD∽△ECA，
∴∠DAC＝∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝45°．
【点评】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△ACD∽△ECA是解题的关键．
48．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，点E是BD上一点，且∠ACD＝∠BCE＝∠ABD．求证：AB CD＝AC DE．
【思路点拔】设AC交BD于点F，由∠ACD＝∠BCE，推导出∠DCE＝∠ACB，因为∠ACD＝∠ABD，所以∠EDC＝∠AFD﹣∠ACD＝∠AFD﹣∠ABD，而∠BAC＝∠AFD﹣ABD，则∠EDC＝∠BAC，即可证明△DEC∽△ABC，得，则AB CD＝AC DE．
【解答】证明：设AC交BD于点F，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠EDC＝∠AFD﹣∠ACD＝∠AFD﹣∠ABD，
∵∠BAC＝∠AFD﹣ABD，
∴∠EDC＝∠BAC，
∴△DEC∽△ABC，
∴，
∴AB CD＝AC DE．
【点评】此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DEC∽△ABC是解题的关键．
49．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE AB．连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE，求AE的长．
【思路点拔】（1）根据AD是∠BAC的角平分线可得出∠BAD＝∠EAD，由AD2＝AE AB可得出，进而即可证出△ABD∽△ADE；
（2）证明△ABD∽△ADE可得出∠ADB＝∠AED，根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠CDE＝∠CAD，结合公共角相等可得出△DCE∽△ACD，再利用相似三角形的性质即可求出AC的长度，则AE的长可求出．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵AD2＝AE AB，
∴，
∴△ABD∽△ADE；
（2）解：∵△ABD∽△ADE，
∴∠ADB＝∠AED．
∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∠ADB+∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠DAE，即∠CDE＝∠CAD．
又∵∠DCE＝∠ACD，
△DCE∽△ACD，
∴，
∴，
∴AC＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
50．如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）若BC＝3，AC＝3CD，则DH＝ 2 ．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质得到∠A＝∠HDC，得到∠HDC＝∠CBD，即可证明结论；
（2）先证明∠HDC＝∠CBD，得到，求出CH＝1，由（1）知△HCD∽△HDB，得到，求出DH＝2．
【解答】（1）证明：在△ABC中，D为AC延长线上一点，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB交BC的延长线于点H．
∴∠A＝∠HDC
∵∠CBD＝∠A，
∴∠HDC＝∠CBD，
∵∠H＝∠H，
∴△HCD∽△HDB；
（2）解：∵DH∥AB，
∴∠HDC＝∠CBD，
∴，
∵BC＝3，AC＝3CD，
∴，
∴CH＝1，
∴BH＝BC+CH＝3+1＝4，
由（1）知△HCD∽△HDB，
∴，
∴DH2＝4，
∴DH＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
51．如图，在矩形ABCD中，点E为边BC上的一点，DF⊥AE于点F．
（1）证明：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，BE＝4，AD＝6，求DF的长．
【思路点拔】（1）由矩形的性质得BC∥AD，则∠AEB＝∠DAF，而DF⊥AE于点F，∠B＝∠DFA＝90°，即可证明△ABE∽△DFA；
（2）由∠B＝90°，AB＝3，BE＝4，求得EA5，由相似三角形的性质得，而AD＝6，则DF．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE于点F，
∴∠DFA＝90°，
∴∠B＝∠DFA，
∴△ABE∽△DFA．
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝3，BE＝4，
∴EA5，
∵△ABE∽△DFA，AD＝6，
∴，
∴DF，
∴DF的长是．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠DFA，进而证明△ABE∽△DFA是解题的关键．
52．如图，已知△ABC是边长为a等边三角形，D为边AB上一点，且，作点A关于CD的对称点A′，连接A'C，A′D，A′D与BC交于点E．
（1）求的值；
（2）求的值．
【思路点拔】（1）由轴对称的性质得到CA′＝CA＝AB，DA′＝DA，∠A′＝∠A，求出，ADa，得到，判定△CEA′∽△DEB，推出；
（2）令CE＝5x，DE＝2x，由△CEA′∽△DEB，推出，得到，求出xa，得到CEa，求出BEa，即可得到的值．
【解答】解：（1）∵等边△ABC的边长是a，
∴BC＝AB＝AC＝a，
∵点A关于CD的对称点是A′，
∴CA′＝CA＝AB，DA′＝DA，∠A′＝∠A，
∵，
∴，ADa，
∴，
∵∠CEA′＝∠BED，∠A′＝∠A，
∴△CEA′∽△DEB，
∴；
（2）令CE＝5x，DE＝2x，
∴BE＝a﹣5x，EA′a﹣2x，
∵△CEA′∽△DEB，
∴，
∴，
∴xa，
∴CE＝5xa，
∴BE＝BC﹣CEa，
∴．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，关键是判定△CEA′∽△DEB，推出．
三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
53．如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）求证：△BED∽△AEF；
（2）过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，连接CG，如图2．若DE2＝AE AD，求证：四边形ADCG是矩形．
【思路点拔】（1）先证明△ACD≌△BED得出∠EBD＝∠CAD，再由对顶角的性质，即可证明△BED∽△AEF；
（2）先证明△AEG∽△DCA，得出，进而得出AE AD＝DC AG，由DE2＝AE AD，DE＝DC，得出DC＝AG，继而证明四边形ADCG是平行四边形，即可证明四边形ADCG是矩形．
【解答】证明：（1）如图1，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDE＝90°，
∵AD＝BD，DC＝DE，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠EBD＝∠CAD，
∵∠BED＝∠AEF，
∴△BED∽△AEF；
（2）如图2，
∵AG∥BC，
∴∠AGE＝∠EDB，
∵∠EBD＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠CAD，
∵∠AEG＝∠BED＝∠ACD，
∴△AEG∽△DCA，
∴，
∴AE AD＝DC AG，
∵DE2＝AE AD，
∴DC AG＝DE2，
∵DE＝DC，
∴DC AG＝DC2，
∴DC＝AG，
∵AG∥DC，
∴四边形ADCG是平行四边形，
∵AD⊥BC，
∴四边形ADCG是矩形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定，掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定方法是解决问题的关键．
四．作图-相似变换（共2小题）
54．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作一个△CDE，使△CDE与△ABC相似（相似比不为1，只需作一个即可）；
（2）在图2中的线段AC上找一个点P，使．
【思路点拔】（1）利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，从而解决问题；
（2）构造相似比为的相似三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，
∴△CDE即为所求；
（2）如图，构造相似比为的相似三角形，此时，则点P即为所求．
【点评】本题主要考查了作图﹣相似变换，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
55．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且；
（2）在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且．
【思路点拔】（1）结合相似三角形的判定与性质，在AB上取点D，使AD：AB＝3：4，再过点D作BC的平行线，交AC于点E，则点D、E即为所求．
（2）结合相似三角形的判定与性质，在BC上取格点F，使BF＝2，再取格点M，N，使BM：AN＝2：1，且BM∥AN，连接MN交AB于点G，则点F、G即为所求．
【解答】解：（1）∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠ABC，
∴DE∥BC．
如图①，在AB上取点D，使AD：AB＝3：4，再过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则点D、E即为所求．
（2）∵△BFG∽△BCA，
∴．
如图②，在BC上取格点F，使BF＝2，再取格点M，N，使BM：AN＝2：1，且BM∥AN，连接MN交AB于点G，
此时△AGN∽△BGM，
∴，
∴，
则点F、G即为所求．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版22.3相似三角形的性质 分类训练
一．相似三角形的性质（共6小题）
1．如图，△ABC∽△A′B′C′．若∠B＝66°，则∠B的对应角∠B′的大小为（ ）
A．65° B．66° C．67° D．68°
2．若两个相似三角形的周长比是2：3，则这两个三角形的面积比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C．3：2 D．2：1
3．已知两个相似三角形的对应边的比为4：1，则它们对应高线的比为（ ）
A．2：1 B．4：1 C．1：2 D．16：1
4．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，△ADE∽△ABC，且相似比为3：5，则（ ）
A． B． C． D．
5．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（ ）
A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍
C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍
6．如图，矩形ABCD中，CE＝2DE，点P在BC边上且恰好存在点P使△ABP和△PCE相似，若AB＝3，BC＝5，则BP长为（ ）
A．2 B．3 C．2或3 D．3或4
二．相似三角形的判定与性质（共46小题）
7．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，点D，F分别是AB的三等分点，若DE∥FG∥BC，则S△ADE：S四边形FBCG的值为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC．若AB＝6，AD＝4，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则S△ADE：S△BCE等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9
11．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，3，且∠AED＝∠B，则△AED与△ABC的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．3：16 D．4：9
12．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，D为AC的中点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则DE的长为（ ）
A． B． C．2 D．
13．将一副三角板按图叠放，则△AOD与△BOC的面积之比为（ ）
A． B．1：3 C． D．1：2
14．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，CD＝6，BD＝4，那么Rt△ADC与Rt△CDB的面积之比是（ ）
A．2：1 B．3：2 C．4：1 D．9：4
15．如图，AD、BE是△ABC的两条高，连接DE，CD＝6，AC＝8，若DE＝kAB，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连接AC，DE交于点F．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在矩形ABCD中，等边三角形ABE的顶点E恰好落在CD边上，AC与BE交于点F．若矩形ABCD的面积为12，则△AEF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．如图，在矩形ABCD中，点E是AD中点，点F是CD上一点，连接BE，BF，EF，若∠BEF＝90°，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
19．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：FE＝（ ）
A．4：3 B．3：1 C．2：1 D．3：2
20．如图，在 ABCD中，BE是∠ABC的平分线，延长BE交CD的延长线于点F．若DF＝6，AB＝12，则BC的长为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
21．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G．延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，点E在矩形ABCD边CD上，且AB＝BE，AC与BE相交于点F．已知CE＝3，AD＝4，则EF的长为（ ）
A．2 B． C． D．
23．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
24．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE长为（ ）
A．2 B． C． D．5
25．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（ ）
A． B． C． D．1
26．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G．若EG＝FG，则BG的长为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在矩形ABCD中，CD＝8，AC＝10，E为AD上一点且AC、BE交于点F，若FG∥BC．若S△AEF：S△BFC＝1：9，则FG的长为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在OB上，且BE＝OE，连接CE并延长交DA的延长线于点F，则AF：FD的值为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
29．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则BC的值是（ ）
A．6 B．5 C．8 D．4
30．如图，点E为平行四边形ABCD的边CD的中点，连接AC，BE交于点O，过点O作OF∥AB交BC于点F，若AB＝4，则OF的长度是（ ）
A． B． C． D．
31．如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，BE交对角线AC于点F，FG∥AD交AB于点G，若FG＝2，则AD的长是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
32．如图，在 ABCD中，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD分别交于点G、F，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
33．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，E为BC边上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．设AE，DF的长度分别为x，y，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．y＝3x+5
34．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，过点E作EF⊥BC，垂足为F．若AE＝3，EF＝4，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
35．已知△ABC中，AD∥BC，CD交AB于E，EF∥BC，AE：EB＝1：2，S△ADE＝1，则S△AEF＝（ ）
A． B． C． D．
36．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y的图象上．若点B在反比例函数y的图象上，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
37．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，∠DEF＝∠C，若DE＝4，，则AD的长是 ．
38．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE并延长交BC延长线于点F．若BC＝CF＝CE＝AE＝1，则DF＝ ．
39．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝ ．
40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）若，BD＝1，求AD．
41．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，已知∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD；
（2）若CE＝7，DE＝3，BD＝4，求AE的长．
42．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接BE，交对角线AC于点F，且∠ACB＝∠ABE．
（1）求证：；
（2）若AE＝2，EF＝1，，求CF的长．
43．如图，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的四个顶点都在△ABC的边上．
（1）求证：△BDG∽△FEC；
（2）若正方形DEFG的边长是6cm，CE＝3cm，求BC的长．
44．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，E在AB边上且DE⊥AB．
（1）求证：BD2＝BE BA；
（2）AB＝6，BC＝4，求DE的长．
45．如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为AD上一点，如果∠DAC＝∠B，CD＝CE．
（1）求证：△ACE∽△BAD．
（2）若CE＝3，BD＝4，AE＝2，求ED的长．
46．如图，在矩形ABCD中，点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥AE交线段CD于点F，AB＝6，BC＝8，BE＝3．
（1）求CF的长；
（2）连接AC交EF于点G，求CG的长．
47．如图所示是由三个小正方形组成的网格，连接AC，AD，AE，根据要求完成下列题目．
求证：（1）△ACD∽△ECA；
（2）∠ADB+∠AEB＝45°．
48．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，点E是BD上一点，且∠ACD＝∠BCE＝∠ABD．求证：AB CD＝AC DE．
49．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2＝AE AB．连接DE．
（1）求证：△ABD∽△ADE；
（2）若CD＝3，CE，求AE的长．
50．如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，∠CBD＝∠A，过D作DH∥AB交BC的延长线于点H．
（1）求证：△HCD∽△HDB．
（2）若BC＝3，AC＝3CD，则DH＝ ．
51．如图，在矩形ABCD中，点E为边BC上的一点，DF⊥AE于点F．
（1）证明：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝3，BE＝4，AD＝6，求DF的长．
52．如图，已知△ABC是边长为a等边三角形，D为边AB上一点，且，作点A关于CD的对称点A′，连接A'C，A′D，A′D与BC交于点E．
（1）求的值；
（2）求的值．
三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
53．如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，连接BE并延长，交AC于点F．
（1）求证：△BED∽△AEF；
（2）过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，连接CG，如图2．若DE2＝AE AD，求证：四边形ADCG是矩形．
四．作图-相似变换（共2小题）
54．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作一个△CDE，使△CDE与△ABC相似（相似比不为1，只需作一个即可）；
（2）在图2中的线段AC上找一个点P，使．
55．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点（网格线的交点）．△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，分别在边AB、AC上画点D、E，连接DE，使△ADE∽△ABC，且；
（2）在图②中，分别在边BC、AB上画点F、G，连接FG，使△BFG∽△BCA，且．
