（星火第三届）2026届普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试题（PDF版，含解析）

2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试
暨第三届“星火杯”线上联考
数 学
本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡相应位置；
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡指定区域，写
在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一.选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题意。
1.已知集合A= x|1A. x|1( + ) = 2.若 3 4i z i，则 z在复平面内对应点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.某校有 5个生物竞赛的参赛名额，现将这些名额分配给 3个不同的班级，且每班至少分到 1个名
额，则不同的分配方案有( )
A. 6种 B. 8种 C. 4种 D. 12种
4.空间中有四点A 0,0,0 ,B 2,4,4 ,C 3,9,8 ,D(1,m,4)，若点D∈平面ABC，则m= ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5.函数 f(x) = lg(ax2-2ax+1)的值域为 ，则 a可以是( )
1 1
A. - 2 B. - C. D. 2
2 2
6.已知A为抛物线 y= 2x2上一点，且其横坐标为 1，过A作抛物线的切线 l，则 l的横纵截距乘积
为( )
A. 1 B. 2 C. - 1 D. - 2
M 数学试卷 第 1 页（共 4 页）
7.已知随机变量X的分布列如下表所示，则D(X)的最大值为( )
X 1 2 3 4
P p 0.2 0.3 q
3 5 3
A. B. 1 C. D.
4 4 2
8.若实数 a,b满足 a2+ b2= ea+b，则一定有( )
A. a2+ b2< 1 B. a2+ b2> 1 C. a+ b<-1 D. a+ b>-1
二.选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每题给出的四个选项中，有多个选项符合题
意，全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。
9.已知等差数列 an 满足 a4= a2+ 6,a7+ a8+ a9= 66，Sn是 an 的前n项和，则( )
A. a1= 1 B. an= 3n+ 2
C. S < 3 n2n D. S2 n+1-Sn 是递增数列

10.已知A,B为随机事件，且P(A)> 0,P(B)> 0，则P(A|B) =P(A|B)的充要条件是( )

A. P(AB) =P(A)P(B) B. P(A|B) = 1
2

C. P(A|B) = 1 D. A,B相互独立
2
11.任意给定△ABC，存在m使得在曲线E上能找到三个点A1,B1,C1，使得△A1B1C1与△ABC全
等，则曲线E可以是( )
A. y= mx B. x2+ y2=m C. y=mx(m> 0) D. y= xm
三.填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
x2 y2
12.已知F1,F2是双曲线E: - = 1的左右焦点，B,C是E右支上的两点，若△F1BC是等边三
a2 b2
角形，且F2位于线段BC上，则E的离心率为
13.函数 f(x) = sin(ωx+ π ),x∈ - π ,0 恰好有两个零点，则 ω的范围是3 3
14.盒中有 4个大小形状完全相同的小球，分别编号为 0,1,2,3，每次任取一个且不放回，当取出编
号为 0的球时停止取球，则取出的球编号之和的数学期望是
M 数学试卷 第 2 页（共 4 页）
四.解答题：本题共 5小题，共 77分。
15.（13分）
记△ABC的面积为S，内角A,B,C的对边分别为 a,b,c，且顶点A,B,C均在半径为 1的圆上.
sin(A+B)
(1)求 的值；
c
3
(2)若 c= 3，S= ，求 cosAcosB.
4
16.（15分）
2 2
已知椭圆C: x + y = 1(a> b> 0)的长轴长为 2 3，短半轴长为 1.
a2 b2
(1)求C的焦距；
(2)设A,B分别为C的左顶点和下顶点，过A作直线 l交C于点P且PA=PB，求△PAB面积.
17.（15分）
已知 f(x) = 2x+a- x2.
（1）当 a= 0时，求 f(x)在 x= 2处的切线方程；
（2）若 f(x)只有一个零点，求 a的取值范围.
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18.（17分）
如图在四面体OABC中，OA=OB，CA=CB，且E,F,G,H分别是OA,OB,BC,CA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；
（2）若平面OAB 平面ABC,且AO=AB=AC，求AF与平面OAC的夹角的余弦值；
（3）若OB=OC= 2,∠AOB=∠AOC= π ，平面OBC内一点P满足
3
PA= 2PO，求 OP 的取值范围.
19.（17分）
设m,k,s,t为正整数 (sβ1= (1,1)， αn+1= αn+ βn.若 an= 0或m时， cn=-cn-1；若 bn= 0或 k时， dn=-dn-1.若存在正
整数 p使得 ap= 0或m，且 bp= 0或 k，则称数对 (s,t)是回归数对，最小的 p为回归指数.
(1)若m= k= 4，随机选择 s,t∈{1,2,3}构成数对 (s,t)，求该数对是回归数对的概率；
(2)若m= k+ 1= 4，求数对 (1,1)的回归指数 p；
(3)若m= k+ 1，证明：数对 (s,t)必为回归数对.
M 数学试卷 第 4 页（共 4 页）
2025年普通高等学校招生全国统一考试适应性测试 暨
第三届“星火杯”线上联考
数 学
一. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合
题意.
1. 已知集合 A x |1 x 5 ， B x | x2 1 3 ，则 A B （ ）
A. x |1 x 2 B. x | 2 x 5 C. x | 2 x 3 D. x |1 x 5
[解析] B 由题 A x |1 x 5 ， B x | 2 x 2 ，故 A B x | 2 x 5
2.若 (3 4i)z i，则 z在复平面内对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
D z i i(3 4i) 4 3 4 3[解析] i z i 4 3 ,对应点为 , .3 4i 25 25 25 25 25 25 25
3.某校有5个生物竞赛的参赛名额，现将这些名额分配给3个不同的班级，且每班至少分到1个名额，
则不同的分配方案有（ ）
A. 6种 B. 8种 C. 4种 D.12种
[解析] A 隔板法.等价为在 4个空中插 2块板，共C24 6种方法.
4.空间中有四点 A(0,0,0),B(2,4,4),C(3,9,8),D(1,m,4)，若点D 平面ABC，则m ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
[解析] B 平面向量基本定理. AD (1,m,4),AB (2,4,4),AC (3,9,8)
1 2 3 1
设 AD AB AC m 4 9

1

4 4 8 m 5
D 0 A 2

2A 4B 4C 0 B 2
另解：设平面 ABC的方程为 Ax By Cz D 0，则 .
3A 9B 8C 0

C 3
A mB 4C 0 m 5
5.函数 f (x) lg(ax2 2ax 1) 的值域为R ，则a的值可以是（ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D.2
2 2
[解析] D 函数值域为R ,令 g(x) ax2 2ax 1,显然 a 0 ,且 g(x)可取遍 (0, )的任意值.
故 a 0且 4a2 4a 0 a 1 .
1
6. 已知 A为抛物线 y 2x2上一点，且其横坐标为1，过 A作抛物线的切线 l，则 l的横纵截距乘积
为( )
A.1 B.2 C. 1 D. 2
[解析] C 易知 A(1,2) ,切线斜率 k 4xA 4 l : y 2 4(x 1)
令 x 0, y 2，令 y 0, x 0.5，乘积为 1.
7. 已知随机变量 X 的分布列如下表所示，则 D(X )的最大值为( )
X 1 2 3 4
P p 0.2 0.3 q
A. 3 B.1 C. 5 D. 3
4 4 2
[解析] C p q 0.5.根据方差定义，有
D(X ) E(X 2) E(X ) 2 p 16q 3.5 (p 4q 1.3)2 15q 9 4 (3q )2 9q 2 21q 19 5
5 5 25 4
当且仅当q 7 时取等.
30
8.若实数a,b满足a2 b2 ea b ，则一定有( )
A.a2 b2 1 B.a2 b2 1 C.a b 1 D.a b 1
[解析] D
对于A,B：取 a2 b2 1,此时 a b 0 2,则 a ,b 2 满足题意.
2 2
对于C,D：我们可以考虑反证法.
1 (a b)2a b 1 ea b a2 b2 1 1设 ,则 .而 (iff a b 取等),矛盾.故必有 a b 1 .
e 2 2 2
(a b)2 1
另解：利用 a2 b2 ，可得 ea b (a b)2 ，设 g(t) e t 1 t 2 ， g '(t) et t t 1 t 0，
2 2 2
则 g(t) 1 1在R 上单增，注意 g( 1) 0，故 a b 1 .
e 2
2
二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多个选项符合
题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列 an 满足 a4 a2 6,a7 a8 a9 66， Sn是 an 的前 n 项和，则( )
A. a1 1 B. an 3n 2 C. S
3
n n
2 D. Sn 1 Sn 是递增数列2
[解析] ACD
a
a d 4
a2 2d 6 a1 1
设 n 公差为 ,
a7 a8 a9 3a8 3(a1 7d ) 66

d 3
an a1 (n 1)d 3n 2 .A正确,B错误；
S n(a1 an ) n(3n 1) n 3n 3n
2
对于C: n ,C正确；2 2 2 2
S S (n 1)(3n 2) n(3n 1)对于D : n 1 n 3n 1,D正确.2 2
10. 已知 A , B为随机事件，且 P A P B 0，则P(A | B) P(A | B)的充要条件是( )
A. P AB P A P B B. P(A | B) 1
2
C. P(A | B) 1 D. A,B相互独立
2
[解析] AD
A,D P(A | B) P(A | B) P(AB) P(AB) P(AB) P(AB)对于 : P(A)
P(B) P(B) P(B) P(B)
P(B) P(AB) P(AB)
即有 1 1 P(A),整理得 P(AB) P(A)P(B) ,A,D正确；
P(B) P(B)
对于B :充分性：若 P(A | B) 1 P(A) P(A)= 1 ,有 ,而 P(A)的取值任意, B错误；
2 2
对于C:同B可知错误.
注：本质上，若事件 A与 B相互独立，则 A与 B , A与B , A与 B均相互独立.
3
11. 给定任意 ABC，均存在m使得在曲线 E 上能找到三个点 A1,B1,C1，使得 A1B1C1与
ABC全等，则曲线 E可以是( )
A. y mx B. x2 y2 m C. y m x m 0 D. y xm
[解析] ABD
分析：根据题意,符合条件的曲线 E应满足：随着m的变化，从曲线上取三点能构成任意大
小形状的三角形.
对于A : y mx ,曲线为开口大小任意的“V”形曲线.随m的变化，曲线开口大小变
化.考虑置点 A于坐标原点, B ,C 分别在曲线两支上运动,符合题意,A正确；
2 2
对于B : x y m ,曲线为半径任意的圆.只需满足该圆恰好为 ABC的外接圆即
可,B正确；
对于C: y m x m 0 ,曲线为指数函数.若m 1,显然不符题意；若m 1，其一定为
单调函数.不妨任取曲线上三点 A(x ,mx11 ),B(x
x2 x3
2 ,m ),C(x3,m ) (x1 x2 x3)
m x1 m x2 m x3 m x1 m x2 m x3 (x x )(x x ) 0,(mx1 mx x x则 或 ,且 21 2 3 2 )(m 3 m 2 ) 0

故 BA BC (x1 x2 )(x3 x
x1 x2 x3 x2
2 ) (m m )(m m ) 0 ,即 ABC只能为钝角三角形,与
ABC形状的任意性矛盾,C错误；
对于D y xm: ,曲线为幂函数.取m 2,此时曲线 E有左右两支.
考虑在曲线右支上任取两点 A,B ,并让C点落在直线 AB的左侧,显然C点的轨迹连续.
①当 AB无限靠近 x 轴时，C点一定落在曲线左支的右下方；
②当 AB无限靠近 y 轴时，C点一定落在曲线左支的左上方.
因此C点轨迹一定与曲线左支有交点，当C恰为交点时，符合题意，D正确.
4
三. 填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
2 2
12. 已知F1,F2是双曲线 E :
x y
2 2 的左右焦点，B,C是 E右支上的两点，若 F1BC是等a b
边三角形，且 F2在线段BC上，则 E的离心率为_ 3 ____.

2c 3 b
2

F1F2 3 F 2B a c
[解析] 由题 e 3 .
BF BF 2 1 2 BF2 2a b a
2a a

13. 函数 f x sin x x ,0 恰好有两个零点，则 的范围是 3 3
_ 8, 5 4,7 ____.
[解析]需特别注意 的正负.

① 0 , x , ,结合图像易知两零点分别为 x 0与 x .3 3 3 3

故 2 ,解得 4, 7 .
3 3

② 0 , x , ,结合图像易知两零点分别为 x 与 x 2 .3 3 3 3
故 2 3 ,解得 8, 5 .综上有 8, 5 4,7 .
3 3
14. 盒中有 4 个大小形状完全相同的小球，分别编号为 0,1, 2,3，每次任取一个且不放回，
当取出编号为 0 的球时停止取球，则取出的球编号之和的数学期望是__3___.
[解析]记取出球的编号之和为 X ,由题 X 的可能值为 0,1, 2,3, 4,5, 6
P(X 0) 1 ,P(X 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,P(X 2) ,P(X 3) 2
4 4 3 12 4 3 12 4 3 6
P(X 4) 1 1 1 1 1
6
,P(X 5) ,P(X 6) ,故E(X ) iP(X i) 3.4 3 12 12 4 i 1
5
注：事实上，P(X k) P(X 6 k)(0 k 6,k N)
四.解答题：本题共5小题，共77分.
15.（13分）记△ABC面积为S ,内角 A, B ,C 的对边分别为a,b, c ,已知三个顶点均在半径为
1的圆上.
sin(A B) 3
（1）求 的值； （2）若c 3, S ,求cos AcosB .c 4
1 3 1
[解析]（1） （2）
2 4 2
c
（1）由正弦定理 2R 2 sin(A B) sinC 1,故 .
sinC c c 2
sinC 3（2）由（1）知 , cosC 1
2 2
cosC 1若 ，由余弦定理 a2 b2 ab 3 3ab ab 1 S 1 absinC 3 3 ，此时 .
2 2 4 4
1
故 cosC .
2
S 1 3 ab sinC
由 2 4 ab 4sin Asin B 3 sin Asin B
3
.
a b 2R 2 4
sin A sin B
3 1
再由 cosC cos(A 1 B) sin Asin B cos Acos B cos AcosB .
2 4 2
注：上述过程可推导出面积公式 S 2R 2 sin A sin B sinC .
x2 y2
16.（15分）已知椭圆C :
a2
2 1(a b 0) 的长轴长为2 3，短半轴长为1.b
（1）求C的焦距；
（2）设 A,B分别为C的左顶点和下顶点，过 A作直线 l交C于点 P且
PA PB，求△ PAB的面积.
[解析]（1） 2 2 3（2） 3或
5
6
2a 2 3 a 3 x2
（1）由题 C : y2 1，焦距2c 2 2 .
b 1 b 1 3
（2）由题A 3,0 ,B(0, 1), AB : y 3 x 1, AB 23

由 PA PB 可知 PAB为等腰三角形，取AB中点M 3 1 , 可得PM AB .
2 2
kPM kAB 1 kPM 3 PM : y 3x 1
PM : y 3x 1

联立 x2 5x
2 3 3x 0 x 0, x 31 2 3
C : y 2 1 5
3
设P x0 , y0 ,P到直线AB距离为d ,则
3x0 3y0 3 3x0 3( 3x0 1) 3
d 2x 0 32 3 2 3
S 1 AB d d 3 3或 .
2 5
x a
17.（15分）已知 f (x) 2 x2 .
（1）当 a 0时，求 f (x)在 x 2处的切线方程；
（2）若 f (x)只有一个零点，求 a 的取值范围.
2
[解析]（1） l : y (4 ln 2 4)(x 2)（2） a (2log2 , )e ln 2
（1） f (x) 2 x x 2 f '(x) 2x ln 2 2x
令 x 2 ,得 f (2) 0, f '(2) 4ln 2 4 l : y (4ln 2 4)(x 2)
a 1 2x
（2）显然 f (0) 2 0 ,令 f (x) 0 a 2 g(x)2 x
7
x
g '(x) 2 (x ln 2 2) g '(x) 0 x 2 3 ,令 x ln 2
g(x)在 2 2 ,0 0,

,

ln 2 ln 2
2
ln 2
且 lim g(x) 0, lim g(x) , lim g(x) , g( 2 ) 2
x x 0 x ln 2 ( 2 )2
ln 2
1 2
结合图像知 a (0, g( )) a (2 log
2 , )
2 ln 2 2 e ln 2
18.（17分）
在四面体OABC中,OA OB ,CA CB ,且E,F ,G,H 分别是OA,OB,BC,CA的中点.
（1）判断四边形 EFGH 的形状，并证明；
（2）若平面OAB 平面 ABC ,求 AF 与平面OAC的夹角的余弦值；
（3）若OB OC 2, AOB AOC , 平面OBC内一点 P满足
3
PA 2PO , 求 OP 的取值范围.
2 2 3
[解析]（1） EFGH 为矩形（2） 5 （3） OP ,2 35 3
（1）由OA OB,CA CB知，OD AB,CD AB，又OD CD D，
故 AB 平面ODC，又OC 平面ODC，因此 AB OC .
又 E,F ,G,H 分别是OA,OB,BC,CA的中点,则 EF / /AD,GH / /AD
故 EF / /GH ，四边形 EFGH 是平行四边形.
同理 EH / /GF ，且 EH / /OC，又 AB OC，所以 EH EF，四边形 EFGH 是矩形.（2）
平面OAB 平面 ABC，平面OAB 平面
ABC AB ,OD 平面 ABC且OD AB
OD 平面 ABC
以点D为坐标原点，DA,DC,DO所在直线分
别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系.
8
设OA OB a,CA CB b, AB 2c ,则 A c,0,0 ,B(c,0,0)
根据勾股定理可得CD b2 c2 ,OD a2 c2 ,则O(0,0, a2 c2 ),C(0, b2 c2 ,0)
2 2
由 F为OB的中点，则 F (c ,0, a c ) .
2 2
3c 2 2
AF ,0, a c ,OA ( c,0, a 2 c 2 ),OC (0, b 2 c 2 , a 2 c 2 )
2 2

n OA 0 2 2OAC n (i, j,k) n ( a2 2
c a c
设平面 的法向量为 ,则 c , , c)
n OC 0 b
2 c2

不妨令 a b 2,c 1 3 3，则有 AF ( ,0, ),n ( 3, 1, 1)
2 2

设 AF与平面OAC夹角为 ,则 sin cos AF, n
AF n 3 5

AF n 5 3 5
2AF与平面OAC夹角的余弦值为 5 .
5
（3）由题可知OABC为棱长为 2的正四面体.
考虑以O点为坐标原点，OB所在直线为 x轴如图建立
空间直角坐标系.
O(0,0,0),B(2,0,0),C(1, 3,0),A(1, 3 , 2 6 )
3 3
设 P(x, y,0)，由题有
PA2 (x 1)2 (y 3)2 8 2PO2 2(x2 y2 )
3 3
整理得 (x 1)2 (y 3 )2 16 P点轨迹为以M ( 1, 3) r 4 3 为圆心，半径 的圆.
3 3 3 3
d OM 2 3记 .由几何关系知当且仅当O,P,M 共线时， OP 取得最值.
3
OP d r 2 3
2 3
, OP d r 2 3 .综上 OP ,2 3 .
min 3 max 3
9
19.（17分）
设 m,k , s,t 为 正 整 数 (s m,t k) , 定 义 向 量序 列 n (an ,bn ), n (cn ,dn ) , 其中
1 (s,t), 1 (1,1), n 1 n n .若 an 0 或 m 时 , cn cn 1 ；若 bn 0 或 k 时，
dn dn 1.若存在正整数 p使得 ap 0或m ,且bp 0或 k ，则称数对 (s,t)是回归数对，
最小的 p为回归指数.
（1）若m k 4，随机选择一符合条件的数对 (s,t)，求它是回归数对的概率；
（2）若m k 1 4，求数对 (1,1)的回归指数 p；
（3）若m k 1，证明：数对 (s,t)必为回归数对.
1
[解析]（1） （2） p 12（3）见解析
3
（1）当m k 4时，有 s,t 1,2,3 ，数对总数：32 9 .
①若 s t ,取 p 4 s ,此时 p (4,4)为回归数对；
②若 s t ,考虑证明： p N ,不可能同时存在 ap ,bp 均为 4的倍数.
事实上， 0 ap bp s t 4 ，故原命题成立.即此时 (s,t)不为回归数对.
综上，回归数对有 (1,1),(2,2),(3,3)共三组，概率 p 3 1 .
9 3
（2）法一：列举法
列出 n序列如下：
(1,1) (2,2) (3,3) (4,2) (3,1) (2,0) (1,1) (0,2) (1,3) (2,2) (3,1) (4,0)
可知 p 12 .
法二：格点法
考虑一个大小为四行五列的网格，如图所示.
起点 1 (1,1)，终点 12 (4,0)，则 p 12 .
10
（3）我们考虑一个行数为 k 1,列数为m 1 k 2的网格.
对于这个 (k 1) (k 2)的矩形网格，根据（2）中的情形，向量序列操作可以等价为：
①从初始格点 (s,t)出发，每次沿斜 45 方向移动到相邻格点；
②每次碰到矩形边界后反弹（经过一次反弹，移动方向顺时针旋转 90 ）.
重复上述操作,直至到达边角的四个点时停止.（即 p (0,0),(k 1,0),(0,k),(k 1,k) ）
为了简化该问题，设矩形内部一格点 (s,t)，我们考虑将其反向移动至矩形下边界（即将初
始点转化到矩形下边界上）.
那么此时回归指数 p的几何意义为该格点第一次到达边角的运动路径.
引理：从矩形下边界上任意一点 ( p,0)出发，与 1 (1,1)平行的路径长度一定单调变化.
（第一次在上边界反弹（即 y k ）的格点路径长度单减；第一次在右边界反弹（即 x k 1）
的格点路径长度单增）
先考察第一次在上边界反弹的情形：
可以考虑将图形补为一个大小为 (k 2) (k 2)的正方形.注意该格点两次与 1 (1,1)平行
的路径关于该正方形对角线对称，则两路径长度应相等.但实际行数为 k 1，因此相邻路径
长度 sn 1 sn 1.（记每次沿斜 45
方向移动到相邻格点为一个单位长度）
同理可推导第一次在右边界反弹的情形.
依此类推，经过多次反弹后，第一类格点路径达到最长，即到达 p (0,0),(k 1, k)；
同理第二类格点路径达到最短，即到达 p (k 1,0),(0,k) .故原命题成立.
注:命题的推广形式：当m k 时，数对 (s,t)均为回归数对.
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