2026年中考数学一轮复习 一元一次方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年中考数学一轮复习 一元一次方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 431.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-06 12:53:35 | ||
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文档简介
2026年中考数学一轮复习 一元一次方程
一．选择题（共14小题）
1．如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB＝（ ）
A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29
2．小李年初向建设银行贷款5万元用于购房，年利率为5%，按复利计算，若这笔借款分15次等额归还，每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还大约（ ）
A．4819元 B．4818元 C．4817元 D．4816元
3．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（ ）
A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶
4．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．14人
6．已知对于任意的x1，x2，…，x2022[0≤xi≤4（i＝1，2，3，…，2022）]，关于x的方程|x﹣x1|+|x﹣x2|+…+|x﹣x2022|＝2022a，在0≤x≤4的范围内至少有一个根，则a＝（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
7．我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
8．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为h；若如图3放置时，测得液面高为h．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是（ ）
A． B． C． D．
9．为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的，第二班领取100棵和余下的，第三班领取200棵和余下的，第四班领取300棵和余下的，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则树苗总棵数为（ ）
A．6400 B．8100 C．9000 D．4900
10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；
②[﹣5.3]＝﹣5；
③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；
④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25．
A．4 B．3 C．2 D．1
11．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（ ）小时．
A．10 B．9 C．8 D．12
12．某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与以上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（ ）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
13．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（ ）
A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个
14．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共13小题）
15．用 表示一种运算，它的含义是：A B．如果，那么3 4＝ ．
16．为响应学校“多读书，读好书”活动，开学初七年级（1）班班委分上半期和下半期制定了一个读书心得交流活动时间表，规定班上45位同学每位同学可在上半期或下半期自选一个时间作一次交流，也可以在上半期和下半期各选一个时间分别作一次交流（即每人该学期至少作一次交流，最多作两次交流），据统计：有13名男生、18名女生选择在上半期作交流；有10名男生、8名女生选择在下半期作交流；其中有3名女生选择在上半期和下半期都作交流．那么选择在上半期和下半期都作交流的男生有 名．
17．五羊中学数学竞赛，满分120分．规定不少于100分的获金牌，80～99分的获银牌，统计得金牌数比银牌数少8，奖牌数比不获奖人数少9．后来改为不少于90分的获金牌，70～89分的获银牌，那么金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是95和75分，则总参赛人数是 ．
18．已知x＝﹣2是方程20x+|k﹣1|＝﹣40的解，则k的值是 ．
19．随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是35%，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了，销售爆炸瓜的利润率比第一周下降了，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是 ．（利润率100%）
20．若关于x的方程|x+1|＝2，则此方程的解为 ．
21．如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t＝ s．
22．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，这个长方体的高为 cm．
23．某公司的电话号码是八位数，这个号码的前四位数字相同，后五位数字是连续减少1的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，那么，该公司的电话号码是 ．
24．记f（x）＝|x+1|+|x|﹣|x﹣2|，则方程f（f（x））+1＝0所有解的和为 ．
25．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
26．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是 千米．
27．“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．若两人同时出发，小张车速为20千米/小时，小李车速为15千米/小时，经过 小时能相遇．
三．解答题（共10小题）
28．已知关于x的方程4x+2m+1＝2x+5，若该方程的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，求m2﹣2的值．
29．小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣20时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝﹣4，求a的值和原方程的解．
30．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解．
31．已知：（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次三项式，且a、b、c满足（c﹣18）2+|a+b|＝0．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．
（1）则a＝ ，c＝ ．
（2）若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
（3）如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段AO、OB、BC三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在OB上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在BO下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在OA段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值．
32．我们规定，若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝ab，则称该方程为“乘解方程”．
例知：2+x＝﹣2的解为x＝﹣4，
且x＝2×（﹣2）＝﹣4，所以方程2+x＝﹣2是“乘解方程”，
请回答下列问题：
（1）判断4+x＝7是不是“乘解方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，求a的值．
33．某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？
34．身体质量指数即BMI指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的常用指标，计算公式为：．中国成年人的BMI分类标准如下表：
BMI指数范围 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24 24≤BMI＜28 BMI≥28
身体状态描述 偏瘦 正常 超重 肥胖
已知王老师体重76千克，身高1.70米，请根据题意完成下列问题：
（1）通过计算说明王老师的身体状态描述情况．
（2）若王老师身体状态描述情况要达到“正常”，则他的最大体重为 kg．（精确到1kg）
35．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
36．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于或等于200 0.5
第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 0.7
第三档 大于450时，超出450的部分 1
（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 元．
（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？
37．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数之和为S2．
（1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为 ；
（2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则S2的值可以是90吗？请说明理由．
2026年中考数学一轮复习 一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB＝（ ）
A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29
【答案】D
【分析】可设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，因为将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形，可表示出灰色长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽，从而可求解．
【解答】解：设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，
2（5x+3x）+4＝148
x＝9
5x＝45，3x＝27，
AD＝45+2＝47，
AB＝27+2＝29，
．
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是看到灰色长方形的周长和148个小正方形的关系，以及灰色长方形的边长和大长方形的边长的关系．
2．小李年初向建设银行贷款5万元用于购房，年利率为5%，按复利计算，若这笔借款分15次等额归还，每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还大约（ ）
A．4819元 B．4818元 C．4817元 D．4816元
【答案】C
【分析】根据题中的意思可以知道15年还清，则可以设每年还x元，则根据题意贷款5万元，年利率为5%，15年还清可以列出方程，从而用计算器求出答案．
【解答】解：设每年应还x元，则根据题意可知：
50000×（1+0.05）15＝x×（1+0.05）14+x×（1+0.05）13+…+x．
用计算器得出：x＝4817
故选：C．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，本题比较复杂，可用计算器算出答案．
3．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（ ）
A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶
【答案】C
【分析】先求得每天喝的饮料的代数式，等量关系为：第一天喝的饮料数+第二天喝的饮料数+第三天喝的饮料数＝妈妈买的饮料数，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设妈妈买的饮料一共有x瓶，则第一天喝了（x+0.5）瓶，那么剩下（xx﹣0.5）瓶，
则第二天喝了（xx﹣0.5）+0.5（瓶），那么剩下（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]（瓶），
所以第三天喝了{（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]}+0.5（瓶），
（x+0.5）+[（xx﹣0.5）+0.5]{（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]}+0.5＝x，
解得x＝7．
故选：C．
【点评】考查一元一次方程的应用，得到每天喝的饮料的代数式是解决本题的突破点，得到总饮料数的等量关系是解决本题的关键．
4．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义，则x2系数为0，且x系数≠0，得出m＝﹣3；由|a|≤|m|，得a﹣m≥0，a+m≤0，
∴|a+m|+|a﹣m|＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．
【解答】解：∵一元一次方程则x2系数为0，且x系数≠0
∴m2﹣9＝0，m2＝9，
m＝±3，﹣（m﹣3）≠0，
m≠3，
∴m＝﹣3，
|a|≤|﹣3|＝3，
∴﹣3≤a≤3，
∴m≤a≤﹣m，
∴a﹣m≥0，|a﹣m|＝a﹣m，
a+m≤0，|a+m|＝﹣a﹣m，
∴原式＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1．根据一元一次方程的定义求m的值．去绝对值时注意a+m、a﹣m与0的关系．
5．某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．14人
【答案】C
【分析】设A组所检验的每个车间原有成品a件，每个车间1天生产b件，可得A组前两天检验的总件数和后三天检验的总件数为．根据检验员的检验速度相同，可列式等式得到a和b的关系，即可得A组一名检验员每天检验的成品数．再根据B组检验员的人数＝五个车间的所有成品÷A组一名检验员每天检验的成品数，列式即可得解．
【解答】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同得：
，
解得a＝4b；
则A组每名检验员每天检验的成品数为：2（a+2b）÷（2×8）＝12b÷16b．
那么B组检验员的人数为：5（a+5b）÷（b）÷5＝45bb÷5＝12（人）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题是一道叙述比较长的题目，解题时应认真读题，理解各种量之间的关系列出等式．
6．已知对于任意的x1，x2，…，x2022[0≤xi≤4（i＝1，2，3，…，2022）]，关于x的方程|x﹣x1|+|x﹣x2|+…+|x﹣x2022|＝2022a，在0≤x≤4的范围内至少有一个根，则a＝（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设f（x）＝|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+……+|x﹣x2022|，然后找到极限值进行化解即可．
【解答】设f（x）＝|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+……+|x﹣x2022|，
则f（x）＝2022×4﹣2（x1+x2+x3+……+x2022），
2022×4﹣2022×2＝2022a，
∴2022a≥2022×2，
∴a≥2，
故选C．
【点评】本题主要考查的是含绝对值符号的一元一次方程，通过转化是解本题的关键．
7．我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
【答案】D
【分析】根据题意，先求出左上角的数是﹣2020，不妨设正中间的数字为a，即可列出关于x的方程，从而可以求出x的值．
【解答】解：2+3﹣2025＝﹣2020，
如图所示，
设正中间的数字为a，
由题意可得﹣2020+a+3＝a+x+2，
解得x＝﹣2019．
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
8．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为h；若如图3放置时，测得液面高为h．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出结论．
【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
π×a2h＝V﹣π×a2×（hh），
解得V，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．
9．为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的，第二班领取100棵和余下的，第三班领取200棵和余下的，第四班领取300棵和余下的，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则树苗总棵数为（ ）
A．6400 B．8100 C．9000 D．4900
【答案】C
【分析】设树苗总数为x棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，由此可得出方程．
【解答】解：设树苗总数x棵，根据题意得：
x＝100（xx﹣100），
解得：x＝9000，
答：树苗总数是9000棵．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等，这个等量关系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量关系．
10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；
②[﹣5.3]＝﹣5；
③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；
④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据新定义可以判断出①②，求出x＝1.4或x＝﹣1.6的{x}判断③，根据新定义得到4[x]+1＝4x，得出x＝0.25以判断④．
【解答】解：由题意得，[2.8]＝2，故①正确；
[﹣5.3]＝﹣6，故②错误；
当x＝1.4时，[1.4]＝1，{1.4}＝1.4﹣1＝0.4，
当x＝﹣1.6时，[﹣1.6]＝﹣2，{﹣1.6}＝﹣1.6﹣（﹣2）＝0.4，故③正确；
∵x＝[x]+{x}，3[x]+1＝{x}+3x，
∴3[x]+1＝{x}+3（[x]+{x}），
∴4{x}＝1，
∵0≤{x}＜1，
∴x＝0.25或x＝1.25或x＝2.25等，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是新定义、有理数的运算与方程的解，其中正确运用新定义是解题的关键．
11．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（ ）小时．
A．10 B．9 C．8 D．12
【答案】A
【分析】先设静水速度为x千米/时，再根据静水速度＝顺水速度﹣水流速度，静水速度＝逆水速度+水流速度，即可列出方程并求解出静水速度，接着根据时间＝路程÷速度，即可求出答案．
【解答】解：设静水速度为x千米/时，
由题可列方程：x＝x，
解得：x＝15，
150÷15＝10（小时），
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确掌握静水速度、顺水速度和逆水速度的公式．
12．某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与以上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（ ）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
【答案】C
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过200，即是168元．第二次就有两种情况，一种是超过200元但不超过600元一律9折；一种是购物超过600元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第二次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元．
（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470．
①第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去）
即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元．
综上所述，他两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此一次性购买可以按照8折付款：
638×0.8＝510.4（元）
综上所述，她应付款510.4元．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是第二次购物的432元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
13．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（ ）
A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，就是表示一点到另一点的距离，可以对x的范围进行讨论，即可作出判断．
【解答】解：|x|+|x﹣2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d．显然，当0≤x≤2002时，d＝2002；
当x＜0或x＞2002时，d＞2002．
同理，|x﹣1001|+|x﹣3003|是数轴上的点x到两点1001和3003的距离之和，记为d′，显然当1001≤x≤3003时，d′＝2002；
当x＜1001或x＞3003时，d′＞2002．
因此，如果，1001≤x≤2002，则d＝d′＝2002；
如果2002＜x≤3003，则d＞2002＝d′；
如果0≤x＜1001，则d′＞2002＝d；
如果x＞3003，则d＝x+（x﹣2002）＞（x﹣1001）+（x﹣3003）＝d′；
如果x＜0，则d＝﹣x+（2002﹣x）＜（1001﹣x）+（3003﹣x）＝d′．
所以题设方程是符合1001≤x≤2002的所有整数，共有1002个．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，利用讨论正确去掉绝对值符号是解决本题的关键．
14．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到关于k的x的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）整理化简，可得
kx＝5，即x，
∵该方程的解是整数，k为整数，
∴x＝1或﹣1或5或﹣5，
即1或﹣1或5或﹣5，
解得：k＝5或﹣5或1或﹣1，
∴整数k的取值个数是4个，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
二．填空题（共13小题）
15．用 表示一种运算，它的含义是：A B．如果，那么3 4＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题中的新定义化简已知等式求出x的值，所求式子利用新定义化简后，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：2 1，
去分母得：2+x＝10，即x＝8，
则3 4．
故答案为：
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
16．为响应学校“多读书，读好书”活动，开学初七年级（1）班班委分上半期和下半期制定了一个读书心得交流活动时间表，规定班上45位同学每位同学可在上半期或下半期自选一个时间作一次交流，也可以在上半期和下半期各选一个时间分别作一次交流（即每人该学期至少作一次交流，最多作两次交流），据统计：有13名男生、18名女生选择在上半期作交流；有10名男生、8名女生选择在下半期作交流；其中有3名女生选择在上半期和下半期都作交流．那么选择在上半期和下半期都作交流的男生有 1 名．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设在上半期和下半期都作交流的男生有x名，根据等量关系：学生人数一共45位，列出方程计算即可求解．
【解答】解：设在上半期和下半期都作交流的男生有x名，依题意有
13+10﹣x+18+8﹣3＝45，
解得x＝1．
答：在上半期和下半期都作交流的男生有1名．
故答案为：1．
【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
17．五羊中学数学竞赛，满分120分．规定不少于100分的获金牌，80～99分的获银牌，统计得金牌数比银牌数少8，奖牌数比不获奖人数少9．后来改为不少于90分的获金牌，70～89分的获银牌，那么金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是95和75分，则总参赛人数是 125 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题设出原来获金牌的人数，利用前后两次对比，得出每一个阶段的人数，再由金牌选手和银牌选手的总分刚好相同列方程解答即可．
【解答】解：设不少于100分的有x人，由题意知，
90～99分的有5人，80～89分的有x+3人，70～79的有10人，69分以下的有2x+7人，
且95（x+5）＝75（x+3+10），
解得x＝25，
总参赛人数是2（x+x+8）+9＝125．
故答案为125．
【点评】解决此题的关键分析前后数据的变化，找出每一段人数，再由金银选手的得分相同解决问题．
18．已知x＝﹣2是方程20x+|k﹣1|＝﹣40的解，则k的值是 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x＝﹣2代入方程可得关于k的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：把x＝﹣2代入20x+|k﹣1|＝﹣40中得：20×（﹣2）+|k﹣1|＝﹣40，
解得：|k﹣1|＝0，
故：k＝1．
【点评】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．
19．随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是35%，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了，销售爆炸瓜的利润率比第一周下降了，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是 6：7 ．（利润率100%）
【答案】6：7．
【分析】设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为m，n，第一周爆炸瓜销量为x，则麒麟瓜销量为2x，根据第一周这两种西瓜的总利润率是35%，可以得到m＝2n，设第四周麒麟瓜、爆炸瓜销量分别为a，b，根据第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，列出方程可求四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比．
【解答】解：设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为m，n，第一周爆炸瓜销量为x，则麒麟瓜销量为2x，依题意有：
（1+30%）m×2x+（1+40%）×nx＝（1+35%）（m×2x+nx），
整理得：n＝2m，
设第四周麒麟瓜、爆炸瓜销量分别为a，b，依题意有：
[1+（1）×30%]ma+[1+（1）×40%]×nb＝（1+27%）（ma+nb），
∴1.2ma+2.6mb＝1.27ma+2.54mb，
1.2a+2.6b＝1.27a+2.54b，
0.07a＝0.06b，
∴a：b＝6：7．
故第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比是6：7．
故答案为：6：7．
【点评】本题考查了应用类问题，所以成本利润问题中的应用，理清题中的数量关系，是解题的关键．
20．若关于x的方程|x+1|＝2，则此方程的解为 1或﹣3 ．
【答案】1或﹣3．
【分析】根据绝对值的性质可得：x+1＝±2即可得答案．
【解答】解：由题意可知：|x+1|＝2，
∴x+1＝±2，
∴x＝1或﹣3，
故答案为：1或﹣3．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，关键在于利用绝对值的性质去绝对值符号．
21．如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t＝ 0.5、2、8或9.5 s．
【答案】见试题解答内容
【分析】设经过ts，P、Q两点相距12cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解；分点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
【解答】解：共有4种可能：
①7t+10﹣3t＝12，解得：t＝0.5；
②7t+10﹣3t＝18，解得：t＝2；
③7t+10﹣3t＝42，解得：t＝8；
④7t+10﹣3t＝48，解得：t＝9.5；
综上所知，t的值为0.5、2、8或9.5．
故答案为：0.5、2、8或9.5．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，这个长方体的高为 5 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】设长方体的高为xcm，然后表示出其宽为15﹣x，利用宽是高的2倍列出方程求解即可．
【解答】解：设长方体的高为xcm，则其宽为15﹣x，
根据题意得：15﹣x＝2x，
解得：x＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．
23．某公司的电话号码是八位数，这个号码的前四位数字相同，后五位数字是连续减少1的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，那么，该公司的电话号码是 88887654 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据后五位数是依次减小的数，然后根据题意列出方程即可求出结果．
【解答】解：设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣4，
根据题意得：4x+（x﹣1）+（x﹣2）+（x﹣3）+（x﹣4）＝10（x﹣3）+（x﹣4），
解得：x＝8．
所以后四位数为7654，因此该公司的电话号码为 88887654．
故答案为：88887654．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是弄清楚后五位数是依次减小还是依次增加，有一定难度．
24．记f（x）＝|x+1|+|x|﹣|x﹣2|，则方程f（f（x））+1＝0所有解的和为 ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据绝对值的性质得，，设f（x）＝t，将方程f（f（x））+1＝0转化成f（t）的方程求得f（t），进而由前面的f（x）的公式得t的值，再把t的值代入f（x）＝t中，进一步解方程得x的值，再求所有解的和便可．
【解答】解：，
令t＝f（x），方程f（f（x））+1＝0可化为f（t）＝﹣1，
∴，
解得，t＝﹣2或t＝0
∴f（x）＝﹣2或f（x）＝0．
∴，或
解得，x＝﹣1或x＝﹣3或x，
∴﹣1+（﹣3）3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了绝对值的性质及方程解的问题的相互转化，本题关键是去掉绝对值，转化代数式．
25．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 或30 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30．
【分析】根据（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的数是9，C表示的数是15，由已知分四种情况讨论：①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30．
【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点表示的数，两点间的距离等知识，解题的关键是分类讨论．
26．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为 （90×0.5）÷（100﹣90）×100 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为 0.5 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是 450 千米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意分别利用行驶的时间差得出等式求出答案．
【解答】解：用算术方法解决这个问题，列算式为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100；
也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为：0.5；
无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是：450千米．
故答案为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100，0.5，450．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
27．“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．若两人同时出发，小张车速为20千米/小时，小李车速为15千米/小时，经过 2 小时能相遇．
【答案】见试题解答内容
【分析】小张比小李多走10千米，设经过t小时相遇，则根据他们走的路程相等列出等式，即可求出t．
【解答】解：设经过t小时相遇，则
20t＝15t+10，
解方程得：t＝2，
所以两人经过两个小时后相遇．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，难度一般，关键要根据题意找出等量关系，根据等量关系列出等式．
三．解答题（共10小题）
28．已知关于x的方程4x+2m+1＝2x+5，若该方程的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，求m2﹣2的值．
【答案】﹣2．
【分析】解方程5x+1＝2x﹣5，可得出x＝﹣2是方程5x+1＝2x﹣5的解，结合两方程的解互为相反数，可得出x＝2是关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解，将x＝2代入原方程，可得出4×2+2m+1＝2×2+5，解之可得出m的值，再将其代入m2﹣2中，即可求出结论．
【解答】解：∵5x+1＝2x﹣5，
∴x＝﹣2，
∴x＝﹣2是方程5x+1＝2x﹣5的解．
∵关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，
∴x＝2是关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解．
将x＝2代入原方程得：4×2+2m+1＝2×2+5，
解得：m＝0，
∴m2﹣2＝02﹣2＝﹣2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
29．小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣20时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝﹣4，求a的值和原方程的解．
【答案】a的值为3，原方程的解为x＝20．
【分析】根据小马虎的解方程步骤将将x＝﹣4代入即可求出a的值，然后写出正确方程求解即可．
【解答】解：由题意，得2x+ax＝﹣20，
将x＝﹣4代入，得2×（﹣4）﹣4a＝﹣20，
﹣4a＝﹣12，
∴a＝3，
∴原方程为2x＝3x﹣20，
﹣x＝﹣20，
∴x＝20，
∴a的值为3，原方程的解为x＝20．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解题意并正确计算是解题的关键．
30．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解．
【答案】（1）m＝9；
（2）或；
（3）y＝2023．
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由题意，可求出的解为x＝1﹣（﹣2023）＝2024，再变形为，则y+1＝x＝2024，从而求解．
【解答】解：（1）∵3x+m＝0，
∴，
∵4x﹣2＝x+10，
∴x＝4，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，
∴，
∴m＝9；
（2）∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为：1﹣n，
∵两个解的差为8，
∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8，
∴或；
（3）∵，
∴x＝﹣2023，
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：x＝1﹣（﹣2023）＝2024，
∵关于y的一元一次方程可化为：，
∴y+1＝x＝2024，
∴y＝2023．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
31．已知：（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次三项式，且a、b、c满足（c﹣18）2+|a+b|＝0．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．
（1）则a＝ ﹣10 ，c＝ 18 ．
（2）若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
（3）如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段AO、OB、BC三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在OB上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在BO下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在OA段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质即可求得b、c；
（2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示AB、BC，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
（3）设点P运动的路程为y，根据题意得：当0＜t≤5时，y＝2t，此时点P表示的数为2t﹣10，当5＜t≤15时，y＝5+t，此时点P表示的数为t﹣5，设点Q运动的路程为y′，根据题意得：当0＜t≤8时，y′＝t，此时点Q表示的数为18﹣t，当8＜t≤13时，y′＝2t﹣8，此时点Q表示的数为26﹣2t，当13＜t≤15时，y′＝5+t，此时点Q表示的数为13﹣t，分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，a+10＝0，
∴a＝﹣10，
∵（c﹣18）2+|a+b|＝0，
∴c﹣18＝0，a+b＝0，
∴c＝18，b＝10．
故答案为：﹣10，18．
（2）由（1）可知，AB＝10﹣（﹣10）＝20，BC＝18﹣10＝8，
设运动时间为t秒，
则AB＝20+t+2t＝20+3t，BC＝8+5t﹣2t＝8+3t，
∴BC﹣AB＝8+3t﹣（20+3t）＝8+3t﹣20﹣3t＝﹣12，
∴BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变．
（3）由（1）可知，AO＝10，OB＝10，BC＝8，
∴AC＝AO+OB+BC＝10+10+8＝28，
设点P运动的路程为y，
当0＜t≤5时，y＝2t，此时点P表示的数为2t﹣10，
当5＜t≤15时，y＝5+t，此时点P表示的数为t﹣5，
设点Q运动的路程为y′，
当0＜t≤8时，y′＝t，此时点Q表示的数为18﹣t，
当8＜t≤13时，y′＝2t﹣8，此时点Q表示的数为26﹣2t，
当13＜t≤15时，y′＝5+t，此时点Q表示的数为13﹣t，
∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位，
当点P与点Q相遇前，即点P在点Q的左侧，
t＝5时，y＝2t＝10，y′＝t＝5，则28﹣（10+5）＝13＞8，
t＝8时，y＝5+t＝13，y′＝t＝8，则28﹣（13+8）＝7＜8，
∴5＜t＜8，
∴18﹣t﹣（t﹣5）＝8，
整理得：﹣2t＝﹣15，
解得：t＝7.5，
当点P与点Q相遇后，即点P在点Q的右侧，
当5＜t≤13时，t﹣5﹣（26﹣2t）＝8，
整理得：3t＝39，
解得：t＝13，
当13＜t≤15时，t﹣5﹣（5+t）＝8，
解得，0＝8，
∴此种情况不存在，
综上，当t＝7.5或13时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．
【点评】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
32．我们规定，若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝ab，则称该方程为“乘解方程”．
例知：2+x＝﹣2的解为x＝﹣4，
且x＝2×（﹣2）＝﹣4，所以方程2+x＝﹣2是“乘解方程”，
请回答下列问题：
（1）判断4+x＝7是不是“乘解方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，求a的值．
【答案】（1）不是“乘解方程”，理由见解析；
（2）a的值为．
【分析】（1）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可；
（2）根据“乘解方程”的概念，列出关于a的一元一次方程，然后解方程即可．
【解答】解：（1）不是“乘解方程”，
4+x＝7，
解得：x＝3，
∵4×7＝28，
∴3≠28，
∴方程4+x＝7不是“乘解方程”；
（2）由5+x＝a﹣3解得：x＝a﹣8．
∵关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”
∴x＝5（a﹣3）＝a﹣8，
5a﹣15＝a﹣8，
5a﹣a＝﹣8+15，
4a＝7，
解得：，
∴a的值为．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
33．某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？
【答案】舞蹈类节目有22个．
【分析】设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有（3x﹣2）个，然后根据题意列出方程进行求解即可．
【解答】解：设歌唱类节目有x个，根据题意得：
x+3x﹣2＝30，
解得：x＝8，
∴3x﹣2＝3×8﹣2＝22；
答：舞蹈类节目有22个．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．
34．身体质量指数即BMI指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的常用指标，计算公式为：．中国成年人的BMI分类标准如下表：
BMI指数范围 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24 24≤BMI＜28 BMI≥28
身体状态描述 偏瘦 正常 超重 肥胖
已知王老师体重76千克，身高1.70米，请根据题意完成下列问题：
（1）通过计算说明王老师的身体状态描述情况．
（2）若王老师身体状态描述情况要达到“正常”，则他的最大体重为 69 kg．（精确到1kg）
【答案】（1）王老师的身体状态为超重；
（2）69．
【分析】（1）将王老师的身高、体重直接代入公式计算，再根据分类标准进行判断即可；
（2）设王老师的最大体重为x千克，根据公式列方程，进而求解即可．
【解答】解：（1）将王老师的身高、体重直接代入公式计算得王老师的BMI为，
根据分类标准，属于超重；
（2）设王老师的最大体重为x千克，由题意得
，
解得x＝69.36，
∴x≈69，
故答案为：69．
【点评】本题考查了代数式的计算，一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．
35．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝ 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】（1）①10，3； ②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）相遇点所表示的数为：4；
（3）t＝1或t＝3；
（4）不发生变化，理由见解析．
【分析】（1）根据题意即可得到答案；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可；
（3）t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，根据题意列方程即可；
（4）将点M表示的数为：，点N表示的数为：，即可得到答案．
【解答】解：（1）①AB＝8﹣（﹣2）＝10，线段AB的中点表示的数为；
②由题意可得点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
故答案为：①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴P、Q两点相遇时，﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
此时相遇点所表示的数为：﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又∵，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或t＝3；
（4）不发生变化，理由如下：
∵点M，N分别为PA，PB的中点，
∴点M表示的数为：，
点N表示的数为：，
．
点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度不发生变化．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键．
36．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于或等于200 0.5
第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 0.7
第三档 大于450时，超出450的部分 1
（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 170 元．
（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据分段计费原则直接计算即可；
（2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x）分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）200×0.5+（300﹣200）×0.7＝170（元），
故答案为：170；
（2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x），
当x≤200时，
根据题意得0.5x+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290，
解得x＝100，
则500﹣x＝400，
∴五月份用电100度，六月份用电400度；
当200＜x＜250时，
根据题意得200×0.5+（x﹣200）×0.7+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290，
此时无解舍去，
综上，五月用电为100度六月份用电400度．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
37．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数之和为S2．
（1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为 22 ；
（2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则S2的值可以是90吗？请说明理由．
【答案】（1）22；
（2）不可以；理由见解析．
【分析】（1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可；
（2）根据题意，列出方程进行求解即可．
【解答】解：（1）由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，
∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为22；
故答案为：22；
（2）不可以，理由如下：
根据题意得：x+（x﹣1）+（x+1）+（x﹣7）+（x+7）＝90，
整理得：5x＝90，
解得：x＝18，
此时不存在“十字型”，故S2的值不可以是90．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确地列出方程是解题的关键．
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一．选择题（共14小题）
1．如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB＝（ ）
A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29
2．小李年初向建设银行贷款5万元用于购房，年利率为5%，按复利计算，若这笔借款分15次等额归还，每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还大约（ ）
A．4819元 B．4818元 C．4817元 D．4816元
3．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（ ）
A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶
4．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．14人
6．已知对于任意的x1，x2，…，x2022[0≤xi≤4（i＝1，2，3，…，2022）]，关于x的方程|x﹣x1|+|x﹣x2|+…+|x﹣x2022|＝2022a，在0≤x≤4的范围内至少有一个根，则a＝（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
7．我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
8．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为h；若如图3放置时，测得液面高为h．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是（ ）
A． B． C． D．
9．为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的，第二班领取100棵和余下的，第三班领取200棵和余下的，第四班领取300棵和余下的，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则树苗总棵数为（ ）
A．6400 B．8100 C．9000 D．4900
10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；
②[﹣5.3]＝﹣5；
③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；
④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25．
A．4 B．3 C．2 D．1
11．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（ ）小时．
A．10 B．9 C．8 D．12
12．某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与以上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（ ）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
13．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（ ）
A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个
14．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共13小题）
15．用 表示一种运算，它的含义是：A B．如果，那么3 4＝ ．
16．为响应学校“多读书，读好书”活动，开学初七年级（1）班班委分上半期和下半期制定了一个读书心得交流活动时间表，规定班上45位同学每位同学可在上半期或下半期自选一个时间作一次交流，也可以在上半期和下半期各选一个时间分别作一次交流（即每人该学期至少作一次交流，最多作两次交流），据统计：有13名男生、18名女生选择在上半期作交流；有10名男生、8名女生选择在下半期作交流；其中有3名女生选择在上半期和下半期都作交流．那么选择在上半期和下半期都作交流的男生有 名．
17．五羊中学数学竞赛，满分120分．规定不少于100分的获金牌，80～99分的获银牌，统计得金牌数比银牌数少8，奖牌数比不获奖人数少9．后来改为不少于90分的获金牌，70～89分的获银牌，那么金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是95和75分，则总参赛人数是 ．
18．已知x＝﹣2是方程20x+|k﹣1|＝﹣40的解，则k的值是 ．
19．随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是35%，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了，销售爆炸瓜的利润率比第一周下降了，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是 ．（利润率100%）
20．若关于x的方程|x+1|＝2，则此方程的解为 ．
21．如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t＝ s．
22．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，这个长方体的高为 cm．
23．某公司的电话号码是八位数，这个号码的前四位数字相同，后五位数字是连续减少1的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，那么，该公司的电话号码是 ．
24．记f（x）＝|x+1|+|x|﹣|x﹣2|，则方程f（f（x））+1＝0所有解的和为 ．
25．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
26．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是 千米．
27．“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．若两人同时出发，小张车速为20千米/小时，小李车速为15千米/小时，经过 小时能相遇．
三．解答题（共10小题）
28．已知关于x的方程4x+2m+1＝2x+5，若该方程的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，求m2﹣2的值．
29．小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣20时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝﹣4，求a的值和原方程的解．
30．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解．
31．已知：（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次三项式，且a、b、c满足（c﹣18）2+|a+b|＝0．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．
（1）则a＝ ，c＝ ．
（2）若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
（3）如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段AO、OB、BC三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在OB上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在BO下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在OA段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值．
32．我们规定，若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝ab，则称该方程为“乘解方程”．
例知：2+x＝﹣2的解为x＝﹣4，
且x＝2×（﹣2）＝﹣4，所以方程2+x＝﹣2是“乘解方程”，
请回答下列问题：
（1）判断4+x＝7是不是“乘解方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，求a的值．
33．某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？
34．身体质量指数即BMI指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的常用指标，计算公式为：．中国成年人的BMI分类标准如下表：
BMI指数范围 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24 24≤BMI＜28 BMI≥28
身体状态描述 偏瘦 正常 超重 肥胖
已知王老师体重76千克，身高1.70米，请根据题意完成下列问题：
（1）通过计算说明王老师的身体状态描述情况．
（2）若王老师身体状态描述情况要达到“正常”，则他的最大体重为 kg．（精确到1kg）
35．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝ ，线段AB的中点表示的数为 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ；点Q表示的数为 ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
36．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于或等于200 0.5
第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 0.7
第三档 大于450时，超出450的部分 1
（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 元．
（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？
37．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数之和为S2．
（1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为 ；
（2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则S2的值可以是90吗？请说明理由．
2026年中考数学一轮复习 一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．如图，将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形．若灰色长方形之长与宽的比为5：3，则AD：AB＝（ ）
A．5：3 B．7：5 C．23：14 D．47：29
【答案】D
【分析】可设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，因为将长方形ABCD分割成1个灰色长方形与148个面积相等的小正方形，可表示出灰色长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽，从而可求解．
【解答】解：设灰色长方形的长上摆5x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，
2（5x+3x）+4＝148
x＝9
5x＝45，3x＝27，
AD＝45+2＝47，
AB＝27+2＝29，
．
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是看到灰色长方形的周长和148个小正方形的关系，以及灰色长方形的边长和大长方形的边长的关系．
2．小李年初向建设银行贷款5万元用于购房，年利率为5%，按复利计算，若这笔借款分15次等额归还，每年1次，15年还清，并从借后次年年初开始归还，问每年应还大约（ ）
A．4819元 B．4818元 C．4817元 D．4816元
【答案】C
【分析】根据题中的意思可以知道15年还清，则可以设每年还x元，则根据题意贷款5万元，年利率为5%，15年还清可以列出方程，从而用计算器求出答案．
【解答】解：设每年应还x元，则根据题意可知：
50000×（1+0.05）15＝x×（1+0.05）14+x×（1+0.05）13+…+x．
用计算器得出：x＝4817
故选：C．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，本题比较复杂，可用计算器算出答案．
3．李飒的妈妈买了几瓶饮料，第一天，他们全家喝了全部饮料的一半零半瓶；第二天，李飒招待来家中做客的同学，又喝了第一天剩下的饮料的一半零半瓶；第三天，李飒喝了剩下的一半零半瓶，正好喝完，则妈妈买的饮料一共有（ ）
A．5瓶 B．6瓶 C．7瓶 D．8瓶
【答案】C
【分析】先求得每天喝的饮料的代数式，等量关系为：第一天喝的饮料数+第二天喝的饮料数+第三天喝的饮料数＝妈妈买的饮料数，把相关数值代入求解即可．
【解答】解：设妈妈买的饮料一共有x瓶，则第一天喝了（x+0.5）瓶，那么剩下（xx﹣0.5）瓶，
则第二天喝了（xx﹣0.5）+0.5（瓶），那么剩下（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]（瓶），
所以第三天喝了{（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]}+0.5（瓶），
（x+0.5）+[（xx﹣0.5）+0.5]{（xx﹣0.5）﹣[（xx﹣0.5）+0.5]}+0.5＝x，
解得x＝7．
故选：C．
【点评】考查一元一次方程的应用，得到每天喝的饮料的代数式是解决本题的突破点，得到总饮料数的等量关系是解决本题的关键．
4．已知（m2﹣9）x2﹣（m﹣3）x+6＝0是以x为未知数的一元一次方程，如果|a|≤|m|，那么|a+m|+|a﹣m|的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义，则x2系数为0，且x系数≠0，得出m＝﹣3；由|a|≤|m|，得a﹣m≥0，a+m≤0，
∴|a+m|+|a﹣m|＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．
【解答】解：∵一元一次方程则x2系数为0，且x系数≠0
∴m2﹣9＝0，m2＝9，
m＝±3，﹣（m﹣3）≠0，
m≠3，
∴m＝﹣3，
|a|≤|﹣3|＝3，
∴﹣3≤a≤3，
∴m≤a≤﹣m，
∴a﹣m≥0，|a﹣m|＝a﹣m，
a+m≤0，|a+m|＝﹣a﹣m，
∴原式＝﹣a﹣m+a﹣m＝﹣2m＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1．根据一元一次方程的定义求m的值．去绝对值时注意a+m、a﹣m与0的关系．
5．某企业接到为地震灾区生产活动房的任务，此企业拥有九个生产车间，现在每个车间原有的成品活动房一样多，每个车间的生产能力也一样．有A、B两组检验员，其中A组有8名检验员前两天时间将第一、二车间的所有成品（原来的和这两天生产的）检验完毕后，再去检验第三、四车间所有成品，又用去三天时间；同时这五天时间B组检验员也检验完余下的五个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，那么B组检验员人数为（ ）
A．8人 B．10人 C．12人 D．14人
【答案】C
【分析】设A组所检验的每个车间原有成品a件，每个车间1天生产b件，可得A组前两天检验的总件数和后三天检验的总件数为．根据检验员的检验速度相同，可列式等式得到a和b的关系，即可得A组一名检验员每天检验的成品数．再根据B组检验员的人数＝五个车间的所有成品÷A组一名检验员每天检验的成品数，列式即可得解．
【解答】解：设每个车间原有成品a件，每个车间每天生产b件产品，根据检验速度相同得：
，
解得a＝4b；
则A组每名检验员每天检验的成品数为：2（a+2b）÷（2×8）＝12b÷16b．
那么B组检验员的人数为：5（a+5b）÷（b）÷5＝45bb÷5＝12（人）．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，本题是一道叙述比较长的题目，解题时应认真读题，理解各种量之间的关系列出等式．
6．已知对于任意的x1，x2，…，x2022[0≤xi≤4（i＝1，2，3，…，2022）]，关于x的方程|x﹣x1|+|x﹣x2|+…+|x﹣x2022|＝2022a，在0≤x≤4的范围内至少有一个根，则a＝（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设f（x）＝|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+……+|x﹣x2022|，然后找到极限值进行化解即可．
【解答】设f（x）＝|x﹣x1|+|x﹣x2|+|x﹣x3|+……+|x﹣x2022|，
则f（x）＝2022×4﹣2（x1+x2+x3+……+x2022），
2022×4﹣2022×2＝2022a，
∴2022a≥2022×2，
∴a≥2，
故选C．
【点评】本题主要考查的是含绝对值符号的一元一次方程，通过转化是解本题的关键．
7．我国古代的“九宫图”是由3×3的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算x的值是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣2019
【答案】D
【分析】根据题意，先求出左上角的数是﹣2020，不妨设正中间的数字为a，即可列出关于x的方程，从而可以求出x的值．
【解答】解：2+3﹣2025＝﹣2020，
如图所示，
设正中间的数字为a，
由题意可得﹣2020+a+3＝a+x+2，
解得x＝﹣2019．
故选：D．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
8．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为h；若如图3放置时，测得液面高为h．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出结论．
【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
π×a2h＝V﹣π×a2×（hh），
解得V，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的思想解答．
9．为响应习总书记“绿水青山，就是金山银山”的号召，某校今年3月争取到一批植树任务，领到一批树苗，按下列方法依次由各班领取：第一班领取全部的，第二班领取100棵和余下的，第三班领取200棵和余下的，第四班领取300棵和余下的，最后树苗全部被领完，且各班领取的树苗相等，则树苗总棵数为（ ）
A．6400 B．8100 C．9000 D．4900
【答案】C
【分析】设树苗总数为x棵，根据各班的树苗数都相等，可得出第一班和第二班领取的树苗数相等，由此可得出方程．
【解答】解：设树苗总数x棵，根据题意得：
x＝100（xx﹣100），
解得：x＝9000，
答：树苗总数是9000棵．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是得出各班的树苗数都相等，这个等量关系，因为第一班，第二班领取数量好表示，所以我们就选取这两班建立等量关系．
10．我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}，下列说法中正确的有（ ）个．
①[2.8]＝2；
②[﹣5.3]＝﹣5；
③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.6；
④方程3[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据新定义可以判断出①②，求出x＝1.4或x＝﹣1.6的{x}判断③，根据新定义得到4[x]+1＝4x，得出x＝0.25以判断④．
【解答】解：由题意得，[2.8]＝2，故①正确；
[﹣5.3]＝﹣6，故②错误；
当x＝1.4时，[1.4]＝1，{1.4}＝1.4﹣1＝0.4，
当x＝﹣1.6时，[﹣1.6]＝﹣2，{﹣1.6}＝﹣1.6﹣（﹣2）＝0.4，故③正确；
∵x＝[x]+{x}，3[x]+1＝{x}+3x，
∴3[x]+1＝{x}+3（[x]+{x}），
∴4{x}＝1，
∵0≤{x}＜1，
∴x＝0.25或x＝1.25或x＝2.25等，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是新定义、有理数的运算与方程的解，其中正确运用新定义是解题的关键．
11．甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要（ ）小时．
A．10 B．9 C．8 D．12
【答案】A
【分析】先设静水速度为x千米/时，再根据静水速度＝顺水速度﹣水流速度，静水速度＝逆水速度+水流速度，即可列出方程并求解出静水速度，接着根据时间＝路程÷速度，即可求出答案．
【解答】解：设静水速度为x千米/时，
由题可列方程：x＝x，
解得：x＝15，
150÷15＝10（小时），
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确掌握静水速度、顺水速度和逆水速度的公式．
12．某超市推出如下优惠方案：
（1）购物款不超过200元不享受优惠；
（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；
（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．
小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市一次性购买与以上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款（ ）元．
A．522.80 B．560.40 C．510.40 D．472.80
【答案】C
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过200，即是168元．第二次就有两种情况，一种是超过200元但不超过600元一律9折；一种是购物超过600元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在第二次消费168元的情况下，他的实质购物价值只能是168元．
（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过200元但不足600元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470．
①第二种情况：他消费超过600元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去）
即在第二次消费423元的情况下，他的实际购物价值可能是470元．
综上所述，他两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此一次性购买可以按照8折付款：
638×0.8＝510.4（元）
综上所述，她应付款510.4元．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是第二次购物的432元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
13．方程|x|+|x﹣2002|＝|x﹣1001|+|x﹣3003|的整数解共有（ ）
A．1002个 B．1001个 C．1000个 D．2002个
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，就是表示一点到另一点的距离，可以对x的范围进行讨论，即可作出判断．
【解答】解：|x|+|x﹣2002|是数轴上点x到0和2002的距离的之和，记为d．显然，当0≤x≤2002时，d＝2002；
当x＜0或x＞2002时，d＞2002．
同理，|x﹣1001|+|x﹣3003|是数轴上的点x到两点1001和3003的距离之和，记为d′，显然当1001≤x≤3003时，d′＝2002；
当x＜1001或x＞3003时，d′＞2002．
因此，如果，1001≤x≤2002，则d＝d′＝2002；
如果2002＜x≤3003，则d＞2002＝d′；
如果0≤x＜1001，则d′＞2002＝d；
如果x＞3003，则d＝x+（x﹣2002）＞（x﹣1001）+（x﹣3003）＝d′；
如果x＜0，则d＝﹣x+（2002﹣x）＜（1001﹣x）+（3003﹣x）＝d′．
所以题设方程是符合1001≤x≤2002的所有整数，共有1002个．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，利用讨论正确去掉绝对值符号是解决本题的关键．
14．若关于x的方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）的解是整数，则整数k的取值个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到关于k的x的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：方程（k﹣2019）x﹣2017＝7﹣2019（x+1）整理化简，可得
kx＝5，即x，
∵该方程的解是整数，k为整数，
∴x＝1或﹣1或5或﹣5，
即1或﹣1或5或﹣5，
解得：k＝5或﹣5或1或﹣1，
∴整数k的取值个数是4个，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
二．填空题（共13小题）
15．用 表示一种运算，它的含义是：A B．如果，那么3 4＝ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题中的新定义化简已知等式求出x的值，所求式子利用新定义化简后，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：2 1，
去分母得：2+x＝10，即x＝8，
则3 4．
故答案为：
【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．
16．为响应学校“多读书，读好书”活动，开学初七年级（1）班班委分上半期和下半期制定了一个读书心得交流活动时间表，规定班上45位同学每位同学可在上半期或下半期自选一个时间作一次交流，也可以在上半期和下半期各选一个时间分别作一次交流（即每人该学期至少作一次交流，最多作两次交流），据统计：有13名男生、18名女生选择在上半期作交流；有10名男生、8名女生选择在下半期作交流；其中有3名女生选择在上半期和下半期都作交流．那么选择在上半期和下半期都作交流的男生有 1 名．
【答案】见试题解答内容
【分析】可设在上半期和下半期都作交流的男生有x名，根据等量关系：学生人数一共45位，列出方程计算即可求解．
【解答】解：设在上半期和下半期都作交流的男生有x名，依题意有
13+10﹣x+18+8﹣3＝45，
解得x＝1．
答：在上半期和下半期都作交流的男生有1名．
故答案为：1．
【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
17．五羊中学数学竞赛，满分120分．规定不少于100分的获金牌，80～99分的获银牌，统计得金牌数比银牌数少8，奖牌数比不获奖人数少9．后来改为不少于90分的获金牌，70～89分的获银牌，那么金、银牌都增加了5块，而且金牌选手和银牌选手的总分刚好相同，平均分分别是95和75分，则总参赛人数是 125 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题设出原来获金牌的人数，利用前后两次对比，得出每一个阶段的人数，再由金牌选手和银牌选手的总分刚好相同列方程解答即可．
【解答】解：设不少于100分的有x人，由题意知，
90～99分的有5人，80～89分的有x+3人，70～79的有10人，69分以下的有2x+7人，
且95（x+5）＝75（x+3+10），
解得x＝25，
总参赛人数是2（x+x+8）+9＝125．
故答案为125．
【点评】解决此题的关键分析前后数据的变化，找出每一段人数，再由金银选手的得分相同解决问题．
18．已知x＝﹣2是方程20x+|k﹣1|＝﹣40的解，则k的值是 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x＝﹣2代入方程可得关于k的方程，解出即可得出答案．
【解答】解：把x＝﹣2代入20x+|k﹣1|＝﹣40中得：20×（﹣2）+|k﹣1|＝﹣40，
解得：|k﹣1|＝0，
故：k＝1．
【点评】本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式．
19．随着夏天的到来，西瓜越来越受大家欢迎，6月某水果店购进一批西瓜，第一周销售麒麟瓜的利润率是30%，销售爆炸瓜的利润率是40%，麒麟瓜销量是爆炸瓜销量的2倍，结果第一周这两种西瓜的总利润率是35%，受本地西瓜的冲击，第四周销售麒麟瓜的利润率比第一周下降了，销售爆炸瓜的利润率比第一周下降了，结果第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，则第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销量之比是 6：7 ．（利润率100%）
【答案】6：7．
【分析】设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为m，n，第一周爆炸瓜销量为x，则麒麟瓜销量为2x，根据第一周这两种西瓜的总利润率是35%，可以得到m＝2n，设第四周麒麟瓜、爆炸瓜销量分别为a，b，根据第四周这两种西瓜的总利润率达到27%，列出方程可求四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比．
【解答】解：设麒麟瓜与爆炸瓜每千克的成本分别为m，n，第一周爆炸瓜销量为x，则麒麟瓜销量为2x，依题意有：
（1+30%）m×2x+（1+40%）×nx＝（1+35%）（m×2x+nx），
整理得：n＝2m，
设第四周麒麟瓜、爆炸瓜销量分别为a，b，依题意有：
[1+（1）×30%]ma+[1+（1）×40%]×nb＝（1+27%）（ma+nb），
∴1.2ma+2.6mb＝1.27ma+2.54mb，
1.2a+2.6b＝1.27a+2.54b，
0.07a＝0.06b，
∴a：b＝6：7．
故第四周麒麟瓜、爆炸瓜的销售之比是6：7．
故答案为：6：7．
【点评】本题考查了应用类问题，所以成本利润问题中的应用，理清题中的数量关系，是解题的关键．
20．若关于x的方程|x+1|＝2，则此方程的解为 1或﹣3 ．
【答案】1或﹣3．
【分析】根据绝对值的性质可得：x+1＝±2即可得答案．
【解答】解：由题意可知：|x+1|＝2，
∴x+1＝±2，
∴x＝1或﹣3，
故答案为：1或﹣3．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，关键在于利用绝对值的性质去绝对值符号．
21．如图，已知一周长为30cm的圆形轨道上有相距10cm的A、B两点（备注：圆形轨道上两点间的距离是指圆上这两点间的较短部分展直后的线段长）．动点P从A点出发，以7cm/s的速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点Q从B点出发，以3cm/s的速度按同样的方向运动，设运动时间为t（s），在P、Q第二次相遇前，当动点P、Q在轨道上相距12cm时，则t＝ 0.5、2、8或9.5 s．
【答案】见试题解答内容
【分析】设经过ts，P、Q两点相距12cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解；分点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解．
【解答】解：共有4种可能：
①7t+10﹣3t＝12，解得：t＝0.5；
②7t+10﹣3t＝18，解得：t＝2；
③7t+10﹣3t＝42，解得：t＝8；
④7t+10﹣3t＝48，解得：t＝9.5；
综上所知，t的值为0.5、2、8或9.5．
故答案为：0.5、2、8或9.5．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．
22．图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，这个长方体的高为 5 cm．
【答案】见试题解答内容
【分析】设长方体的高为xcm，然后表示出其宽为15﹣x，利用宽是高的2倍列出方程求解即可．
【解答】解：设长方体的高为xcm，则其宽为15﹣x，
根据题意得：15﹣x＝2x，
解得：x＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系并列出方程．
23．某公司的电话号码是八位数，这个号码的前四位数字相同，后五位数字是连续减少1的自然数，全部数字之和恰好等于号码的最后两位数，那么，该公司的电话号码是 88887654 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据后五位数是依次减小的数，然后根据题意列出方程即可求出结果．
【解答】解：设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣4，
根据题意得：4x+（x﹣1）+（x﹣2）+（x﹣3）+（x﹣4）＝10（x﹣3）+（x﹣4），
解得：x＝8．
所以后四位数为7654，因此该公司的电话号码为 88887654．
故答案为：88887654．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是弄清楚后五位数是依次减小还是依次增加，有一定难度．
24．记f（x）＝|x+1|+|x|﹣|x﹣2|，则方程f（f（x））+1＝0所有解的和为 ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据绝对值的性质得，，设f（x）＝t，将方程f（f（x））+1＝0转化成f（t）的方程求得f（t），进而由前面的f（x）的公式得t的值，再把t的值代入f（x）＝t中，进一步解方程得x的值，再求所有解的和便可．
【解答】解：，
令t＝f（x），方程f（f（x））+1＝0可化为f（t）＝﹣1，
∴，
解得，t＝﹣2或t＝0
∴f（x）＝﹣2或f（x）＝0．
∴，或
解得，x＝﹣1或x＝﹣3或x，
∴﹣1+（﹣3）3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了绝对值的性质及方程解的问题的相互转化，本题关键是去掉绝对值，转化代数式．
25．已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 或30 秒时，P、Q两点到点B的距离相等．
【答案】或30．
【分析】根据（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，可得B表示的数是9，C表示的数是15，由已知分四种情况讨论：①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t，③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30．
【解答】解：∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，
∴b＝9，c＝15，
∴B表示的数是9，C表示的数是15，
①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t，
③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；
④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9），
∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒，
故答案为：或30．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，涉及数轴上的动点表示的数，两点间的距离等知识，解题的关键是分类讨论．
26．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为 （90×0.5）÷（100﹣90）×100 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为 0.5 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是 450 千米．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意分别利用行驶的时间差得出等式求出答案．
【解答】解：用算术方法解决这个问题，列算式为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100；
也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为：0.5；
无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是：450千米．
故答案为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100，0.5，450．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
27．“十一”长假期间，小张和小李决定骑自行车外出旅游，两人相约一早从各自家中出发，已知两家相距10千米，小张出发必过小李家．若两人同时出发，小张车速为20千米/小时，小李车速为15千米/小时，经过 2 小时能相遇．
【答案】见试题解答内容
【分析】小张比小李多走10千米，设经过t小时相遇，则根据他们走的路程相等列出等式，即可求出t．
【解答】解：设经过t小时相遇，则
20t＝15t+10，
解方程得：t＝2，
所以两人经过两个小时后相遇．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，难度一般，关键要根据题意找出等量关系，根据等量关系列出等式．
三．解答题（共10小题）
28．已知关于x的方程4x+2m+1＝2x+5，若该方程的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，求m2﹣2的值．
【答案】﹣2．
【分析】解方程5x+1＝2x﹣5，可得出x＝﹣2是方程5x+1＝2x﹣5的解，结合两方程的解互为相反数，可得出x＝2是关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解，将x＝2代入原方程，可得出4×2+2m+1＝2×2+5，解之可得出m的值，再将其代入m2﹣2中，即可求出结论．
【解答】解：∵5x+1＝2x﹣5，
∴x＝﹣2，
∴x＝﹣2是方程5x+1＝2x﹣5的解．
∵关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解与方程5x+1＝2x﹣5的解互为相反数，
∴x＝2是关于x的方程4x+2m+1＝2x+5的解．
将x＝2代入原方程得：4×2+2m+1＝2×2+5，
解得：m＝0，
∴m2﹣2＝02﹣2＝﹣2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
29．小马虎在解关于x的方程2x＝ax﹣20时，出现了一个失误：“在将ax移到方程的左边时，忘记了变号．”结果他得到方程的解为x＝﹣4，求a的值和原方程的解．
【答案】a的值为3，原方程的解为x＝20．
【分析】根据小马虎的解方程步骤将将x＝﹣4代入即可求出a的值，然后写出正确方程求解即可．
【解答】解：由题意，得2x+ax＝﹣20，
将x＝﹣4代入，得2×（﹣4）﹣4a＝﹣20，
﹣4a＝﹣12，
∴a＝3，
∴原方程为2x＝3x﹣20，
﹣x＝﹣20，
∴x＝20，
∴a的值为3，原方程的解为x＝20．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解题意并正确计算是解题的关键．
30．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程x+3＝2x+k和x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程（y+1）＝2y+k﹣1的解．
【答案】（1）m＝9；
（2）或；
（3）y＝2023．
【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解；
（2）根据条件建立关于n的方程，再求解；
（3）由题意，可求出的解为x＝1﹣（﹣2023）＝2024，再变形为，则y+1＝x＝2024，从而求解．
【解答】解：（1）∵3x+m＝0，
∴，
∵4x﹣2＝x+10，
∴x＝4，
∵关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程”，
∴，
∴m＝9；
（2）∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为：1﹣n，
∵两个解的差为8，
∴1﹣n﹣n＝8或n﹣（1﹣n）＝8，
∴或；
（3）∵，
∴x＝﹣2023，
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：x＝1﹣（﹣2023）＝2024，
∵关于y的一元一次方程可化为：，
∴y+1＝x＝2024，
∴y＝2023．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键．
31．已知：（a+10）x3+cx2﹣2x+5是关于x的二次三项式，且a、b、c满足（c﹣18）2+|a+b|＝0．a、b、c所对应的点分别为A、B、C．
（1）则a＝ ﹣10 ，c＝ 18 ．
（2）若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．设运动时间为t秒，请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
（3）如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段AO、OB、BC三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在OB上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在BO下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在OA段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质即可求得b、c；
（2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示AB、BC，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可；
（3）设点P运动的路程为y，根据题意得：当0＜t≤5时，y＝2t，此时点P表示的数为2t﹣10，当5＜t≤15时，y＝5+t，此时点P表示的数为t﹣5，设点Q运动的路程为y′，根据题意得：当0＜t≤8时，y′＝t，此时点Q表示的数为18﹣t，当8＜t≤13时，y′＝2t﹣8，此时点Q表示的数为26﹣2t，当13＜t≤15时，y′＝5+t，此时点Q表示的数为13﹣t，分两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，a+10＝0，
∴a＝﹣10，
∵（c﹣18）2+|a+b|＝0，
∴c﹣18＝0，a+b＝0，
∴c＝18，b＝10．
故答案为：﹣10，18．
（2）由（1）可知，AB＝10﹣（﹣10）＝20，BC＝18﹣10＝8，
设运动时间为t秒，
则AB＝20+t+2t＝20+3t，BC＝8+5t﹣2t＝8+3t，
∴BC﹣AB＝8+3t﹣（20+3t）＝8+3t﹣20﹣3t＝﹣12，
∴BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变．
（3）由（1）可知，AO＝10，OB＝10，BC＝8，
∴AC＝AO+OB+BC＝10+10+8＝28，
设点P运动的路程为y，
当0＜t≤5时，y＝2t，此时点P表示的数为2t﹣10，
当5＜t≤15时，y＝5+t，此时点P表示的数为t﹣5，
设点Q运动的路程为y′，
当0＜t≤8时，y′＝t，此时点Q表示的数为18﹣t，
当8＜t≤13时，y′＝2t﹣8，此时点Q表示的数为26﹣2t，
当13＜t≤15时，y′＝5+t，此时点Q表示的数为13﹣t，
∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位，
当点P与点Q相遇前，即点P在点Q的左侧，
t＝5时，y＝2t＝10，y′＝t＝5，则28﹣（10+5）＝13＞8，
t＝8时，y＝5+t＝13，y′＝t＝8，则28﹣（13+8）＝7＜8，
∴5＜t＜8，
∴18﹣t﹣（t﹣5）＝8，
整理得：﹣2t＝﹣15，
解得：t＝7.5，
当点P与点Q相遇后，即点P在点Q的右侧，
当5＜t≤13时，t﹣5﹣（26﹣2t）＝8，
整理得：3t＝39，
解得：t＝13，
当13＜t≤15时，t﹣5﹣（5+t）＝8，
解得，0＝8，
∴此种情况不存在，
综上，当t＝7.5或13时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．
【点评】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
32．我们规定，若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠0）的解为x＝ab，则称该方程为“乘解方程”．
例知：2+x＝﹣2的解为x＝﹣4，
且x＝2×（﹣2）＝﹣4，所以方程2+x＝﹣2是“乘解方程”，
请回答下列问题：
（1）判断4+x＝7是不是“乘解方程”，并说明理由；
（2）若关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”，求a的值．
【答案】（1）不是“乘解方程”，理由见解析；
（2）a的值为．
【分析】（1）根据“乘解方程”的概念直接进行判断即可；
（2）根据“乘解方程”的概念，列出关于a的一元一次方程，然后解方程即可．
【解答】解：（1）不是“乘解方程”，
4+x＝7，
解得：x＝3，
∵4×7＝28，
∴3≠28，
∴方程4+x＝7不是“乘解方程”；
（2）由5+x＝a﹣3解得：x＝a﹣8．
∵关于x的一元一次方程5+x＝a﹣3是“乘解方程”
∴x＝5（a﹣3）＝a﹣8，
5a﹣15＝a﹣8，
5a﹣a＝﹣8+15，
4a＝7，
解得：，
∴a的值为．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
33．某校计划举行“六一”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，规定小学部30个教学班每班要表演1个节目，报送后获悉舞蹈类节目比歌唱类节目的3倍少2个，那么舞蹈类节目有多少个？
【答案】舞蹈类节目有22个．
【分析】设歌唱类节目有x个，则舞蹈类节目有（3x﹣2）个，然后根据题意列出方程进行求解即可．
【解答】解：设歌唱类节目有x个，根据题意得：
x+3x﹣2＝30，
解得：x＝8，
∴3x﹣2＝3×8﹣2＝22；
答：舞蹈类节目有22个．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意．
34．身体质量指数即BMI指数，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的常用指标，计算公式为：．中国成年人的BMI分类标准如下表：
BMI指数范围 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24 24≤BMI＜28 BMI≥28
身体状态描述 偏瘦 正常 超重 肥胖
已知王老师体重76千克，身高1.70米，请根据题意完成下列问题：
（1）通过计算说明王老师的身体状态描述情况．
（2）若王老师身体状态描述情况要达到“正常”，则他的最大体重为 69 kg．（精确到1kg）
【答案】（1）王老师的身体状态为超重；
（2）69．
【分析】（1）将王老师的身高、体重直接代入公式计算，再根据分类标准进行判断即可；
（2）设王老师的最大体重为x千克，根据公式列方程，进而求解即可．
【解答】解：（1）将王老师的身高、体重直接代入公式计算得王老师的BMI为，
根据分类标准，属于超重；
（2）设王老师的最大体重为x千克，由题意得
，
解得x＝69.36，
∴x≈69，
故答案为：69．
【点评】本题考查了代数式的计算，一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．
35．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝ 10 ，线段AB的中点表示的数为 3 ；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 ﹣2+3t ；点Q表示的数为 8﹣2t ．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．
【答案】（1）①10，3； ②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）相遇点所表示的数为：4；
（3）t＝1或t＝3；
（4）不发生变化，理由见解析．
【分析】（1）根据题意即可得到答案；
（2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可；
（3）t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，根据题意列方程即可；
（4）将点M表示的数为：，点N表示的数为：，即可得到答案．
【解答】解：（1）①AB＝8﹣（﹣2）＝10，线段AB的中点表示的数为；
②由题意可得点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
故答案为：①10，3；②﹣2+3t，8﹣2t；
（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴P、Q两点相遇时，﹣2+3t＝8﹣2t，
解得：t＝2，
此时相遇点所表示的数为：﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，
∴PQ＝|﹣2+3t﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，
又∵，
∴|5t﹣10|＝5，
解得：t＝1或t＝3；
（4）不发生变化，理由如下：
∵点M，N分别为PA，PB的中点，
∴点M表示的数为：，
点N表示的数为：，
．
点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度不发生变化．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键．
36．为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度）
第一档 小于或等于200 0.5
第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 0.7
第三档 大于450时，超出450的部分 1
（1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费 170 元．
（2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据分段计费原则直接计算即可；
（2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x）分情况列方程求解即可．
【解答】解：（1）200×0.5+（300﹣200）×0.7＝170（元），
故答案为：170；
（2）设五月份用电为x度，则六月份用电为（500﹣x），
当x≤200时，
根据题意得0.5x+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290，
解得x＝100，
则500﹣x＝400，
∴五月份用电100度，六月份用电400度；
当200＜x＜250时，
根据题意得200×0.5+（x﹣200）×0.7+200×0.5+（500﹣x﹣200）×0.7＝290，
此时无解舍去，
综上，五月用电为100度六月份用电400度．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
37．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为S1，“十字型”覆盖的五个数之和为S2．
（1）“U型”中最小的数为13，则最大的数为 22 ；
（2）设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则S2的值可以是90吗？请说明理由．
【答案】（1）22；
（2）不可以；理由见解析．
【分析】（1）根据图形，得到“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，进行求解即可；
（2）根据题意，列出方程进行求解即可．
【解答】解：（1）由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9，
∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为22；
故答案为：22；
（2）不可以，理由如下：
根据题意得：x+（x﹣1）+（x+1）+（x﹣7）+（x+7）＝90，
整理得：5x＝90，
解得：x＝18，
此时不存在“十字型”，故S2的值不可以是90．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，数字类规律探究，找准等量关系，正确地列出方程是解题的关键．
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