习题课一 小船渡河和关联速度问题
要点一 小船渡河问题
1.如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至b点时，救生员乙从O点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的运动方向应为图中的（ ）
A.Oa方向 B.Ob方向
C.Oc方向 D.Od方向
2.（多选）关于轮船渡河，下列说法正确的是（ ）
A.水流的速度越大，渡河的时间越长
B.欲使渡河时间最短，船头的指向应垂直河岸
C.欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸
D.轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短
3.如图所示，甲、乙两运动员分别从水速恒定的河两岸A、B处同时下水游泳，A在B的下游位置，甲游得比乙快，为了在河中尽快相遇，两人游泳的方向应为（ ）
A.甲、乙都沿A、B连线方向
B.甲、乙都沿A、B连线偏向下游方向
C.甲、乙都沿A、B连线偏向上游方向
D.甲沿A、B连线偏向上游方向，乙沿A、B连线偏向下游方向
4.（2024·浙江宁波期末）如图所示，图甲是救援船水上渡河演练的场景，假设船头始终垂直河岸，船的速度v船大小恒定，图乙中虚线ABC是救援船渡河的轨迹示意图，其中A点是出发点，D点位于A点的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线，下列说法正确的是（ ）
A.船以该种方式渡河位移最短
B.船以该种方式渡河时间最长
C.AB段中水流速度不断增大
D.BC段中水流速度不断减小
5.（2024·河北张家口期末）如图所示，在宽度一定的河中O点固定标杆，经测量该标杆到两岸的最近距离分别为MO＝15 m、NO＝12 m，水流的速度平行河岸向右，速度大小为v0＝8 m/s，甲、乙两艘快艇在静水中的速度大小分别为v1＝16 m/s，v2＝10 m/s，分别从M、N两点同时向O点运动，则下列说法正确的是（ ）
A.甲快艇先到O点
B.乙快艇先到O点
C.甲、乙同时到O点
D.条件不足，不能确定
要点二 “关联”速度问题
6.（多选）如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则（ ）
A.vA＞vB
B.vA＜vB
C.绳的拉力等于B的重力
D.绳的拉力大于B的重力
7.（2024·四川绵阳期末）为了训练飞行员将舰载机降落在航空母舰上的能力，在陆地上建设了模拟平台进行常规训练。如图所示，阻拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止。飞机挂钩与阻拦索间不滑动。若某一时刻两端阻拦索夹角是120°，飞机沿中线运动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大小是（ ）
A.v B.v
C.v D.2v
8.如图，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着皮球（系绳延长线过球心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖直墙面从较低处上升。则在球匀速上升且未离开墙面的过程中（ ）
A.玩具小车做匀速运动
B.玩具小车做减速运动
C.绳对球的拉力大小不变
D.球对墙的压力逐渐减小
9.（2024·江苏淮安期末）如图所示，圆环与水平杆AB固定在同一竖直平面内，小球P、Q用小铰链（图中未画出）分别与轻杆两端相连，P沿圆环运动的同时Q可沿杆AB运动。若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时轻杆与水平杆AB间的夹角为θ，Q的速度大小为（ ）
A.vcos θ B.v
C. D.
10.如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以vA＝20 m/s的速度匀速向右运动，在绳子与水平轨道成α＝30°角时，物体B的速度大小vB为（ ）
A.10 m/s B. m/s
C.40 m/s D.10 m/s
11.（多选）在一条宽度d＝16 m的河流中，水流速度v水＝5 m/s，船在静水中的速度v静＝4 m/s，小船从A码头出发，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是（ ）
A.小船可以沿图中虚线所示路径从A码头运动到正对岸B码头
B.小船渡河的最短时间为4 s
C.小船渡河的最短位移为20 m
D.小船船头与上游河岸成37°角渡河时，位移最小
12.（多选）如图，小船在静水中的速度为v1＝5 m/s，当小船在A处，船头与上游河岸夹角θ＝60°过河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽 d＝180 m，小船在静水中速度大小不变，水流的速度不变，则下列说法中正确的（ ）
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船的渡河时间为24 s
C.小船的渡河时间为36 s
D.若小船在渡河过程中，仅水流速度突然增大，则小船渡河时间将会增大
13.救援人员发现一被困在车顶的人员，车不动但周围的水在流动，水流方向与安全区域平行，如图所示，已知车离安全区域最近的距离d＝20 m，救援人员乘皮筏从安全区域边缘去救援，皮筏相对静水的速度大小v1＝1 m/s，水流速度大小v2＝2 m/s，皮筏和车均视为质点，求：
（1）皮筏运动到车旁的最短时间t；
（2）在（1）中皮筏运动的位移大小x。
习题课一 小船渡河和关联速度问题
1.B 人在水中相对于水游动的同时还要随着水一起相对河岸向下游漂流，以水为参考系，落水者甲静止不动，救援者做匀速直线运动，则救援者直接沿着Ob方向即可对甲实施救助，故B正确。
2.BC 渡河的时间长短取决于船速在垂直河岸方向上的速度分量，与水流的速度无关，故A错误；船速垂直指向河对岸，此时船速垂直河岸方向的分量最大，渡河的时间最短，故B正确；欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸，故C正确；渡河的时间长短取决于船速在垂直河岸方向上的速度分量，与轮船相对水的速度没有必然联系，故D错误。
3.A 一旦A、B进入河中，他们与水流就相对静止，以水为参考系，无论他们谁快谁慢，为了在河中尽快相遇，方向都应该是A、B连线方向，故A正确，B、C、D错误。
4.D 若船头垂直于河岸方向渡河，则渡河时间最短，渡河位移不是最短，故A、B错误；若保持船头垂直于河岸，则在垂直于河岸方向上的速度不变，根据等时性可知水平分运动的时间跟竖直分运动的时间相等，AB段中相等的时间水平方向运动的位移相同，因此水流速度不变，BC段中相等的时间水平方向运动的位移变短，因此水流速度不断减小，故C错误，D正确。
5.A 甲快艇过河速度为v甲＝＝8 m/s，到达O点的时间t甲＝＝ s，乙快艇过河速度为v乙＝＝6 m/s，到达O点的时间t乙＝＝2 s，所以t甲＜t乙，甲先到达O点，故选A。
6.AD 小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcos θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B做向上的加速运动，绳的拉力大于B的重力，故A、D正确。
7.B 飞机沿阻拦索绳方向的速度分量等于阻拦索绳移动的速度大小，即v绳＝vcos 60°＝v，故选B。
8.B 设绳子与竖直方向的夹角为θ，球的速度为v，将球的速度进行分解，一个沿着绳子的方向，一个垂直于绳子的方向，则有v绳＝vcos θ，球匀速上升时的过程中θ 将增大，所以v绳将减小，即小车做减速运动，故A错误，B正确；球受重力G、绳对球的拉力FT、墙对球的压力FN三个力的作用处于平衡状态，则有FT＝，FN＝Gtan θ，当θ 增大时，FT 、FN 均增大，故C、D错误。
9.B 若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时小球P的速度方向刚好处于水平方向，设小球Q的速度为vQ，两球沿轻杆方向的分速度相等，则有vcos θ＝vQcos θ，解得Q的速度大小为vQ＝v，故选B。
10.B 将B的速度沿绳方向和垂直绳方向分解，如图所示，则有vA＝v2＝vBcos 30°，解得vB＝＝ m/s，故B正确。
11.BCD 因为水流速度大于船在静水中的速度，所以合速度的方向不可能与河岸方向垂直，不能沿虚线到达正对岸，故A错误；当船头与河岸方向垂直时，渡河时间最短，最短时间t＝ s＝4 s，故B正确；当合速度的方向与船头垂直时，渡河位移最短，设船头与上游所成的夹角为θ，则cos θ＝＝＝0.8，解得θ＝37°，最短位移s＝＝20 m，故C、D正确。
12.AB 设水流速度为v2，根据题意有v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，故A正确；小船的渡河时间为t＝＝ s＝24 s，故B正确，C错误；根据运动的独立性可知，水流速度不影响小船的过河时间，故D错误。
13.（1）20 s （2）20 m
解析：（1）皮筏方向垂直于水流方向时时间最短，则最短时间t＝
解得t＝20 s。
（2）由题意知皮筏垂直水流方向的位移大小x1＝d＝20 m
沿水流方向的位移大小x2＝v2t＝40 m
由几何关系知x＝
解得x＝20 m。
4 / 4习题课一 小船渡河和关联速度问题
要点一 小船渡河问题
1.模型构建
（1）将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的合运动。
（2）小船渡河问题涉及的三个速度
①分速度v水：水流的速度；
②分速度v船：船在静水中的速度；
③合速度v：表示船实际航行的速度。
2.小船渡河的两类常见问题
渡河时间最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足 v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
【典例1】 （多选）已知船在静水中的最大速度为8 m/s，船以该速度渡过某条河，河的两岸是平行的，船头与岸的夹角为30°时船恰好垂直于岸航行，河水流速恒定，船经过20 s到达对岸，则下列说法正确的是（ ）
A.河宽为80 m
B.河水流速大小为4 m/s
C.船的实际速度大小为12 m/s
D.若船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°
尝试解答
1.一小船（视为质点）在静水中的速度v0＝5 m/s，它要渡过一条宽d＝180 m的长直河道（两河岸平行），已知河水流速v＝3 m/s，若小船以最短路程过河，则（ ）
A.所需要的时间为60 s
B.所需要的时间为45 s
C.渡河过程中小船沿河岸方向运动的距离为135 m
D.渡河过程中小船沿河岸方向运动的距离为225 m
要点二 “关联”速度问题
1.“关联物体”问题
当绳（或杆）斜拉着物体或物体斜拉着绳（或杆）运动时，绳（或杆）两端连接的物体的速度不相同，但二者的速度有一定的关系，此类问题即为“关联物体”问题，如图甲、乙所示。
2.“关联物体”的速度关系
因为绳（或杆）不可伸长，所以绳（或杆）两端所连物体的速度沿着绳（或杆）方向的分速度大小相同。
3.“关联物体”问题的处理方法——速度分解
（1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。
（2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平行于绳（或杆）的两个分量，根据沿绳（或杆）方向的分速度大小相同列方程求解。
（3）分解结果：把上图甲、乙的速度分解，如下图甲、乙所示。
4.常见模型
【典例2】 如图所示，可视为质点的小球套在光滑的竖直杆上，一根不可伸长的细绳绕过滑轮连接小球，已知小球质量为1 kg，电动机从A端以1 m/s的速度沿水平方向匀速拉绳，绳子始终处于拉直状态。某一时刻，连接小球的绳子与竖直方向的夹角为60°，对此时小球速度及绳子中拉力的判断正确的是（ ）
A.小球速度小于1 m/s B.小球速度等于2 m/s
C.绳中拉力小于20 N D.绳中拉力等于20 N
尝试解答
2.如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ时（图中未标出），关于两球速度vA和vB的关系，下列说法正确的是（ ）
A.若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B.若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等
C.vA＝vBtan θ
D.vA＝vBsin θ
1.若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则木船渡河所需的最短时间为（ ）
A.75 s B.95 s
C.100 s D.300 s
2.（多选）（2024·四川宜宾期中）钓鱼是一项越来越受欢迎的活动，钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线，如图所示，在收尾阶段，鱼已经浮在水面不再挣扎，钓鱼者以恒定速率v收鱼线（钓鱼者和鱼竿视为不动），鱼线与水平面的夹角为θ，以下说法正确的是（ ）
A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B.当θ＝60°时，鱼的速率为2v
C.当θ＝37°时，鱼的速率为0.8v
D.鱼受到的合外力恒定
3.如图所示，河水流速以及渡船在静水中的划行速度大小均恒定，渡船从平直河岸边的A处开始渡河，当船头方向垂直河岸时，渡船到达正对岸岸边B处下游的C处，A、C连线与水流方向的夹角为60°。若要使渡船从A处开始渡河，能够沿直线到达B处，那么船头方向与水流反方向的夹角θ的正切值为（ ）
A. B.
C. D.1
习题课一 小船渡河和关联速度问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 AB 河宽为d＝vtsin 30°＝80 m，A正确；河水的流速为v'＝vcos 30°＝4 m/s，B正确；船的实际速度大小为v合＝vsin 30°＝4 m/s，C错误；若船以最短时间渡河，则船头垂直于河岸，航线与河岸的夹角满足tan α＝＝，D错误。
素养训练
1.B 因静水中的速度v0＝5 m/s大于河水流速v＝3 m/s，则小船能垂直河岸过河，故最短距离为 d＝180 m，即沿河岸方向运动距离为0，所以船头方向斜向上游，则合速度垂直河岸，小船的合速度为 v合＝＝4 m/s；所以小船要以最短距离过河时所用的时间为t＝＝ s＝45 s，故B正确，A、C、D错误。
要点二
知识精研
【典例2】 B 设小球速度为v1，绳子速度为v2，小球的运动速度可分解到沿绳方向和垂直于绳的方向上，故v2＝v1cos 60°，可得v1＝2 m/s，故A错误，B正确；小球运动过程中绳子与竖直方向的夹角θ逐渐增大，故小球在做加速运动，加速度向上，对小球受力分析可知Fcos 60°－mg＝ma，所以F＞＝20 N，故C、D错误。
素养训练
2.C 当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解可知（如图所示），沿杆方向两分速度大小相等，则vAcos θ＝vBsin θ，即vA＝vBtan θ，当θ＝30°或θ＝60°时，vA≠vB，故选C。
【教学效果·勤检测】
1.D 河宽d＝300 m一定，当木船船头垂直于河岸时，渡河用时最短，由于木船相对静水的速度v＝1 m/s，所以渡河时间最短为tmin＝＝ s＝300 s，故选D。
2.AB 如图，将鱼的速度分解为沿鱼线方向的速度和垂直于鱼线方向的速度，则v ＝ v鱼cos θ，当钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中θ增大，则v鱼增大，鱼做变加速运动，合外力不是恒定值，故A正确，D错误；根据v＝v鱼cos θ，可知当θ＝60°时v鱼＝2v，当θ＝37°时，v鱼＝1.25v，故B正确，C错误。
3.B 设船在静水中的速度为v1，水速为v2，则tan 60°＝，当船垂直渡河时，tan θ＝，解得tan θ＝，故选B。
3 / 3(共53张PPT)
习题课一 小船渡河和关联速度问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 小船渡河问题
1. 模型构建
（1）将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的
合运动。
（2）小船渡河问题涉及的三个速度
①分速度v水：水流的速度；
②分速度v船：船在静水中的速度；
③合速度v：表示船实际航行的速度。
2. 小船渡河的两类常见问题
渡河
时间
最短
渡河
位移
最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游夹角θ满足 v船
cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最
短，等于河宽d
【典例1】 （多选）已知船在静水中的最大速度为8 m/s，船以该速
度渡过某条河，河的两岸是平行的，船头与岸的夹角为30°时船恰好
垂直于岸航行，河水流速恒定，船经过20 s到达对岸，则下列说法正
确的是（ ）
A. 河宽为80 m
C. 船的实际速度大小为12 m/s
D. 若船以最短时间渡河，航线与岸的夹角为60°
解析：河宽为d＝vtsin 30°＝80 m，A正确；河水的流速为v'＝vcos
30°＝4 m/s，B正确；船的实际速度大小为v合＝vsin 30°＝4 m/s，
C错误；若船以最短时间渡河，则船头垂直于河岸，航线与河岸的夹
角满足tan α＝＝，D错误。
1. 一小船（视为质点）在静水中的速度v0＝5 m/s，它要渡过一条宽d
＝180 m的长直河道（两河岸平行），已知河水流速v＝3 m/s，若
小船以最短路程过河，则（ ）
A. 所需要的时间为60 s
B. 所需要的时间为45 s
C. 渡河过程中小船沿河岸方向运动的距离为135 m
D. 渡河过程中小船沿河岸方向运动的距离为225 m
解析： 因静水中的速度v0＝5 m/s大于河水流速v＝3 m/s，则小
船能垂直河岸过河，故最短距离为 d＝180 m，即沿河岸方向运动
距离为0，所以船头方向斜向上游，则合速度垂直河岸，小船的合
速度为 v合＝＝4 m/s；所以小船要以最短距离过河时所用
的时间为t＝＝ s＝45 s，故B正确，A、C、D错误。
要点二 “关联”速度问题
1. “关联物体”问题
当绳（或杆）斜拉着物体或物体斜拉着绳（或杆）运动时，绳（或
杆）两端连接的物体的速度不相同，但二者的速度有一定的关系，
此类问题即为“关联物体”问题，如图甲、乙所示。
2. “关联物体”的速度关系
因为绳（或杆）不可伸长，所以绳（或杆）两端所连物体的速度沿
着绳（或杆）方向的分速度大小相同。
3. “关联物体”问题的处理方法——速度分解
（1）分解依据：物体的实际运动就是合运动。
（2）分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和平
行于绳（或杆）的两个分量，根据沿绳（或杆）方向的分速
度大小相同列方程求解。
（3）分解结果：把上图甲、乙的速度分解，如下图甲、乙所示。
4. 常见模型
【典例2】 如图所示，可视为质点的小球套在光滑的竖直杆上，一
根不可伸长的细绳绕过滑轮连接小球，已知小球质量为1 kg，电动机
从A端以1 m/s的速度沿水平方向匀速拉绳，绳子始终处于拉直状态。
某一时刻，连接小球的绳子与竖直方向的夹角为60°，对此时小球速
度及绳子中拉力的判断正确的是（ ）
A. 小球速度小于1 m/s
B. 小球速度等于2 m/s
C. 绳中拉力小于20 N
D. 绳中拉力等于20 N
解析：设小球速度为v1，绳子速度为v2，小球的运动速度可分解到沿
绳方向和垂直于绳的方向上，故v2＝v1cos 60°，可得v1＝2 m/s，故A错误，B正确；小球运动过程中绳子与竖直方向的夹角θ逐渐增大，故小球在做加速运动，加速度向上，对小球受力分析可知Fcos 60°－mg＝ma，所以F＞＝20 N，故C、D错误。
2. 如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两
球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰
动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当
杆与竖直方向的夹角为θ时（图中未标出），关于两球速度vA和vB
的关系，下列说法正确的是（ ）
A. 若θ＝30°，则A、B两球的速度大小相等
B. 若θ＝60°，则A、B两球的速度大小相等
C. vA＝vBtan θ
D. vA＝vBsin θ
解析： 当杆与竖直方向的夹角为θ时，
根据运动的分解可知（如图所示），沿杆方
向两分速度大小相等，则vAcos θ＝vBsin θ，
即vA＝vBtan θ，当θ＝30°或θ＝60°时，
vA≠vB，故选C。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 若河面宽300 m，水流速度3 m/s，木船相对静水速度1 m/s，则木船
渡河所需的最短时间为（ ）
A. 75 s B. 95 s
C. 100 s D. 300 s
解析： 河宽d＝300 m一定，当木船船头垂直于河岸时，渡河用
时最短，由于木船相对静水的速度v＝1 m/s，所以渡河时间最短为
tmin＝＝ s＝300 s，故选D。
2. （多选）（2024·四川宜宾期中）钓鱼是一项越来越受欢迎的活
动，钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线，如图所示，在
收尾阶段，鱼已经浮在水面不再挣扎，钓鱼者以恒定速率v收鱼线
（钓鱼者和鱼竿视为不动），鱼线与水平面的夹角为θ，以下说法
正确的是（ ）
A. 鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大
B. 当θ＝60°时，鱼的速率为2v
C. 当θ＝37°时，鱼的速率为0.8v
D. 鱼受到的合外力恒定
解析： 如图，将鱼的速度分解为沿鱼线方向的
速度和垂直于鱼线方向的速度，则v ＝ v鱼cos θ，当
钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中θ增大，则v鱼增
大，鱼做变加速运动，合外力不是恒定值，故A正
确，D错误；根据v＝v鱼cos θ，可知当θ＝60°时v鱼＝
2v，当θ＝37°时，v鱼＝1.25v，故B正确，C错误。
3. 如图所示，河水流速以及渡船在静水中的划行速度大小均恒定，渡
船从平直河岸边的A处开始渡河，当船头方向垂直河岸时，渡船到
达正对岸岸边B处下游的C处，A、C连线与水流方向的夹角为
60°。若要使渡船从A处开始渡河，能够沿直线到达B处，那么船
头方向与水流反方向的夹角θ的正切值为（ ）
D. 1
解析： 设船在静水中的速度为v1，水速为v2，则tan 60°＝，
当船垂直渡河时，tan θ＝，解得tan θ＝，故选B。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 小船渡河问题
1. 如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至b
点时，救生员乙从O点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的运
动方向应为图中的（ ）
A. Oa方向 B. Ob方向
C. Oc方向 D. Od方向
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 人在水中相对于水游动的同时还要随着水一起相对河岸
向下游漂流，以水为参考系，落水者甲静止不动，救援者做匀速直
线运动，则救援者直接沿着Ob方向即可对甲实施救助，故B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2. （多选）关于轮船渡河，下列说法正确的是（ ）
A. 水流的速度越大，渡河的时间越长
B. 欲使渡河时间最短，船头的指向应垂直河岸
C. 欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直
河岸
D. 轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析： 渡河的时间长短取决于船速在垂直河岸方向上的速度
分量，与水流的速度无关，故A错误；船速垂直指向河对岸，此时
船速垂直河岸方向的分量最大，渡河的时间最短，故B正确；欲使
轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸，
故C正确；渡河的时间长短取决于船速在垂直河岸方向上的速度分
量，与轮船相对水的速度没有必然联系，故D错误。
1
2
3
4
5
6
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3. 如图所示，甲、乙两运动员分别从水速恒定的河两岸A、B处同时
下水游泳，A在B的下游位置，甲游得比乙快，为了在河中尽快相
遇，两人游泳的方向应为（ ）
A. 甲、乙都沿A、B连线方向
B. 甲、乙都沿A、B连线偏向下游方向
C. 甲、乙都沿A、B连线偏向上游方向
D. 甲沿A、B连线偏向上游方向，乙沿A、B连线偏向
下游方向
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解析： 一旦A、B进入河中，他们与水流就相对静止，以水为参
考系，无论他们谁快谁慢，为了在河中尽快相遇，方向都应该是
A、B连线方向，故A正确，B、C、D错误。
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4. （2024·浙江宁波期末）如图所示，图甲是救援船水上渡河演练的
场景，假设船头始终垂直河岸，船的速度v船大小恒定，图乙中虚线
ABC是救援船渡河的轨迹示意图，其中A点是出发点，D点位于A点
的正对岸，AB段是直线，BC段是曲线，下列说法正确的是
（ ）
A. 船以该种方式渡河位移最短
B. 船以该种方式渡河时间最长
C. AB段中水流速度不断增大
D. BC段中水流速度不断减小
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解析： 若船头垂直于河岸方向渡河，则渡河时间最短，渡河位
移不是最短，故A、B错误；若保持船头垂直于河岸，则在垂直于
河岸方向上的速度不变，根据等时性可知水平分运动的时间跟竖直
分运动的时间相等，AB段中相等的时间水平方向运动的位移相
同，因此水流速度不变，BC段中相等的时间水平方向运动的位移
变短，因此水流速度不断减小，故C错误，D正确。
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5. （2024·河北张家口期末）如图所示，在宽度一定的河中O点固定标
杆，经测量该标杆到两岸的最近距离分别为MO＝15 m、NO＝12
m，水流的速度平行河岸向右，速度大小为v0＝8 m/s，甲、乙两艘
快艇在静水中的速度大小分别为v1＝16 m/s，v2＝10 m/s，分别从
M、N两点同时向O点运动，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲快艇先到O点
B. 乙快艇先到O点
C. 甲、乙同时到O点
D. 条件不足，不能确定
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解析： 甲快艇过河速度为v甲＝＝8 m/s，到达O点
的时间t甲＝＝ s，乙快艇过河速度为v乙＝＝6
m/s，到达O点的时间t乙＝＝2 s，所以t甲＜t乙，甲先到达O点，故
选A。
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要点二 “关联”速度问题
6. （多选）如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮
的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则
（ ）
A. vA＞vB
B. vA＜vB
C. 绳的拉力等于B的重力
D. 绳的拉力大于B的重力
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解析： 小车A向左运动的过程中，小车的速度
是合速度，可分解为沿绳方向和垂直于绳方向的速
度，如图所示，由图可知vB＝vAcos θ，则vB＜vA，
小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B做向上
的加速运动，绳的拉力大于B的重力，故A、D正确。
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7. （2024·四川绵阳期末）为了训练飞行员将舰载机降落在航空母舰
上的能力，在陆地上建设了模拟平台进行常规训练。如图所示，阻
拦索绕过定滑轮与阻尼器连接，阻拦系统通过阻拦索对飞机施加一
作用力，使飞机在模拟甲板上短距离滑行后停止。飞机挂钩与阻拦
索间不滑动。若某一时刻两端阻拦索夹角是120°，飞机沿中线运
动速度为v，则阻尼器中的阻拦索绳移动速度大
小是（ ）
D. 2v
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解析： 飞机沿阻拦索绳方向的速度分量等于阻拦索绳移动的速
度大小，即v绳＝vcos 60°＝v，故选B。
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8. 如图，跨过光滑定滑轮的轻绳一端系着皮球（系绳延长线过球
心）、一端连在水平台上的玩具小车上，车牵引着绳使球沿光滑竖
直墙面从较低处上升。则在球匀速上升且未离开墙面的过程中
（ ）
A. 玩具小车做匀速运动
B. 玩具小车做减速运动
C. 绳对球的拉力大小不变
D. 球对墙的压力逐渐减小
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解析： 设绳子与竖直方向的夹角为θ，球的速度为v，将球的速
度进行分解，一个沿着绳子的方向，一个垂直于绳子的方向，则有
v绳＝vcos θ，球匀速上升时的过程中θ 将增大，所以v绳将减小，即
小车做减速运动，故A错误，B正确；球受重力G、绳对球的拉力
FT、墙对球的压力FN三个力的作用处于平衡状态，则有FT＝，
FN＝Gtan θ，当θ 增大时，FT 、FN 均增大，故C、D错误。
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9. （2024·江苏淮安期末）如图所示，圆环与水平杆AB固定在同一竖
直平面内，小球P、Q用小铰链（图中未画出）分别与轻杆两端相
连，P沿圆环运动的同时Q可沿杆AB运动。若P沿环运动至最低点时
的速度大小为v，此时轻杆与水平杆AB间的夹角为θ，Q的速度大小
为（ ）
A. vcos θ B. v
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解析： 若P沿环运动至最低点时的速度大小为v，此时小球P的
速度方向刚好处于水平方向，设小球Q的速度为vQ，两球沿轻杆方
向的分速度相等，则有vcos θ＝vQcos θ，解得Q的速度大小为vQ＝
v，故选B。
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10. 如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两
个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连
接，物体A以vA＝20 m/s的速度匀速向右运动，在绳子与水平轨道
成α＝30°角时，物体B的速度大小vB为（ ）
C. 40 m/s D. 10 m/s
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解析： 将B的速度沿绳方向和垂直绳方向
分解，如图所示，则有vA＝v2＝vBcos 30°，解
得vB＝＝ m/s，故B正确。
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11. （多选）在一条宽度d＝16 m的河流中，水流速度v水＝5 m/s，船
在静水中的速度v静＝4 m/s，小船从A码头出发，取sin 37°＝
0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是（ ）
A. 小船可以沿图中虚线所示路径从A码头运动到正对岸B
码头
B. 小船渡河的最短时间为4 s
C. 小船渡河的最短位移为20 m
D. 小船船头与上游河岸成37°角渡河时，位移最小
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解析： 因为水流速度大于船在静水中的速度，所以合速度
的方向不可能与河岸方向垂直，不能沿虚线到达正对岸，故A错
误；当船头与河岸方向垂直时，渡河时间最短，最短时间t＝ s
＝4 s，故B正确；当合速度的方向与船头垂直时，渡河位移最
短，设船头与上游所成的夹角为θ，则cos θ＝＝＝0.8，解得θ
＝37°，最短位移s＝＝20 m，故C、D正确。
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12. （多选）如图，小船在静水中的速度为v1＝5 m/s，当小船在A处，
船头与上游河岸夹角θ＝60°过河，经过一段时间正好到达正对岸
B处。已知河宽 d＝180 m，小船在静水中速度大小不变，水流的
速度不变，则下列说法中正确的（ ）
A. 河中水流速度为2.5 m/s
C. 小船的渡河时间为36 s
D. 若小船在渡河过程中，仅水流速度突然增大，则小船渡河时间将
会增大
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解析： 设水流速度为v2，根据题意有v2＝v1cos 60°＝2.5
m/s，故A正确；小船的渡河时间为t＝＝ s＝24 s，
故B正确，C错误；根据运动的独立性可知，水流速度不影响小船
的过河时间，故D错误。
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13. 救援人员发现一被困在车顶的人员，车不动但周围的水在流动，
水流方向与安全区域平行，如图所示，已知车离安全区域最近的
距离d＝20 m，救援人员乘皮筏从安全区域边缘去救援，皮筏相对
静水的速度大小v1＝1 m/s，水流速度大小v2＝2 m/s，皮筏和车均
视为质点，求：
（1）皮筏运动到车旁的最短时间t；
答案： 20 s
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解析： 皮筏方向垂直于水流方向时时间最短，则最短
时间t＝
解得t＝20 s。
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（2）在（1）中皮筏运动的位移大小x。
答案： 20 m
解析：由题意知皮筏垂直水流方向的位
移大小x1＝d＝20 m
沿水流方向的位移大小x2＝v2t＝40 m
由几何关系知x＝
解得x＝20 m。
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谢谢观看!
