习题课二 有约束条件的平抛运动和类平抛运动
要点一 与斜面结合的平抛运动
1.如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上。不计空气阻力，则B小球比A小球（ ）
A.先抛出，初速度大 B.后抛出，初速度大
C.先抛出，初速度小 D.后抛出，初速度小
2.如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间t为（ ）
A. B.
C. D.
3.（多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处，若不计空气阻力，下列关系式正确的是（ ）
A.va＝vb B.va＝vb
C.ta＝tb D.ta＝tb
要点二 平抛运动的临界极值问题
4.（多选）人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，落在靶心正下方，如图所示。不考虑空气阻力，只改变m、h、L、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是（ ）
A.适当减小L B.适当减小h
C.适当减小m D.适当增大v0
5.如图所示，一根长木杆AB两端分别固定在竖直墙壁AO和水平地面上，已知杆的B端与水平地面之间的夹角为53°，A点到地面的距离为10 m。从竖直墙壁上距地面8 m的C点以水平速度v0射出一颗小石子，要使小石子能在落地前碰到AB杆（重力加速度g取 10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6），则小石子出射的水平速度至少为（ ）
A.2 m/s B.3 m/s
C.5 m/s D. m/s
要点三 类平抛运动
6.如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（ ）
A. B.
C. D.
7.如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面满足方程y＝2x2，从y轴上P点将一小球以初速度v0＝2 m/s水平拋出，小球打在曲面上的M点（未反弹）。已知M点的横坐标为xM＝2 m，空气阻力不计，重力加速度g＝10 m/s2，则P点的坐标为（ ）
A.（0，5 m） B.（0，13 m）
C.（0，20 m） D.（0，28 m）
9.（多选）（2024·河南洛阳期末）A、B两球从如图所示的位置分别以v1和v2水平抛出（图中虚线为竖直线），两球落在斜面上同一个位置，已知A球在空中运动位移最短，B球垂直打在斜面上，A、B两球在空中运动时间分别为t1和t2，忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A.t1＝2t2 B.t1＝t2
C.v2＝2v1 D.v2＝v1
10.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
11.如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。求：
（1）小球从抛出到落在斜面上运动的时间。
（2）小球抛出点到斜面底端的高度。
12.（2024·安徽合肥期末）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝10 m/s的初速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为37°，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
（1）运动员在空中飞行的时间；
（2）A、B间的距离；
（3）运动员在空中离坡面的最大距离。
习题课二 有约束条件的平抛运动和类平抛运动
1.B B的竖直位移较小，根据t＝可知，B运动的时间较短，则B后抛出；B水平位移较大，根据v0＝可知，B的初速度较大。
2.C 若小球击中斜面B点，且A、B距离恰好取最小值，则AB垂直斜面，此时有tan θ＝＝，可得t＝，故选C。
3.AD a球下落的高度和水平方向上运动的距离均是b球的2倍，即ya＝2yb，xa＝2xb，而xa＝vata，ya＝g，xb＝vbtb，yb＝g，可求出ta＝tb，va＝vb。
4.AD 由平抛运动的规律可得y＝gt2，L＝v0t可知，飞镖是否能投中靶心与m无关，C错误；适当减小L，飞镖飞行时间t减小，下落位移y减小，可使飞镖投中靶心，A正确；适当减小h，飞镖飞行时间不变，下落位移不变，故飞镖会投中比原来更低的位置，B错误；适当增大v0，飞镖飞行时间t减小，下落位移y减小，可使飞镖投中靶心，D正确。
5.D 平抛运动轨迹如图所示。AC之间的距离为10 m－8 m＝2 m，由图可知x＝（y＋2）tan 37°，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝gt2，tan 53°＝＝，联立解得v0＝ m/s，故选D。
6.A 小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下有L＝gt2sin θ，水平方向位移L＝v0t，解得v0＝，A正确，B、C、D错误。
7.A 如图所示，对在B点时的速度进行分解，小球运动的时间t＝＝，则A、B间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，B、C、D错误。
8.B 由方程y＝2x2得M点的纵坐标为yM＝8 m，设P点的坐标为（0，y），水平方向有xM＝v0t，解得t＝1 s，竖直方向有y－yM＝gt2，解得y＝13 m，故B正确。
9.BD A球在空中运动位移最短，则有tan θ＝＝＝，B球垂直打在斜面上，则有tan θ＝＝，又xA＝v1t1，xB＝v2t2，xA＝xB，联立可得t1＝t2，v2＝v1，故选B、D。
10.D 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝g，水平方向上有＝v1t1，联立可得v1＝。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有 3h＝g，在水平方向有＝v2t2，联立可得v2＝，则v的最大取值范围为v1＜v＜v2，故选项D正确。
11.（1） （2）
解析：（1）设小球打到斜面上的时间为t，恰好垂直打在斜面上，根据几何关系可得tan 60°＝＝
解得t＝。
（2）设小球抛出点到斜面底端的高度为h，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝gt2
小球垂直打到斜面上，根据几何关系得
tan 30°＝
将t＝代入解得h＝。
12.（1）1.5 s （2）18.75 m （3）2.25 m
解析：（1）运动员做平抛运动，设着陆时间为t，则有x＝v0t，y＝gt2
由题图可知，运动员着陆时tan θ＝
联立解得t＝·tan θ＝1.5 s。
（2）由题意知sin 37°＝
联立（1）中的公式，解得A、B间的距离LAB＝18.75 m。
（3）取沿斜坡向下方向（x方向）与垂直于斜坡向上方向（y方向）分析运动员的运动，在垂直于斜坡方向上vy'＝v0sin θ＝6 m/s
ay＝－gcos θ＝－8 m/s2
当vy'＝0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有d＝＝2.25 m。
4 / 4习题课二 有约束条件的平抛运动和类平抛运动
要点一 与斜面结合的平抛运动
1.顺着斜面抛：如图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：
（1）速度方向与斜面夹角恒定。
（2）水平位移和竖直位移的关系：
tan θ＝＝＝。
（3）运动时间t＝。
2.对着斜面抛：如图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：
（1）速度方向与斜面垂直。
（2）水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝。
（3）运动时间t＝。
3.与斜面相切：如图所示，物体从斜面顶端切入，即速度恰好沿斜面方向，水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝。
【典例1】 （多选）（2024·湖北期末联考）如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上P点以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把水平抛出的初速度变为2v0，则下列说法正确的是（ ）
A.夹角α不变
B.夹角α变大
C.小球在空中的运动时间变为原来的2倍
D.小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2倍
尝试解答
【典例2】 如图所示，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上。在这一过程中，求：（不计空气阻力，g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，tan 37°＝）
（1）小球在空中的飞行时间；
（2）抛出点距撞击点的竖直高度；
（3）小球撞到斜面时，小球在竖直方向上下落的距离与在水平方向上通过的距离之比。
尝试解答
1.（多选）（2024·云南师大附中校考期末）如图所示，一小球从倾角为θ的斜面顶端O点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上的A点，后以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知O、B间距离是O、A间距离的3倍，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
要点二 平抛运动的临界极值问题
1.与平抛运动相关的临界情况
（1）有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在临界点。
（2）如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点。
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。
2.分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹。当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
【典例3】 如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、
距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是（ ）
A.v＞7 m/s B.v＜2.3 m/s
C.3 m/s＜v＜7 m/s D.2.3 m/s＜v＜3 m/s
尝试解答
2.（2024·浙江1月选考8题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（ ）
A. B.
C. D.（＋1）D
要点三 类平抛运动
1.受力特点
物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直。
2.研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和恒定合力方向的初速度为零的匀变速直线运动。
3.运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。
合力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。
【典例4】 如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，恰好从底端右侧Q点离开斜面，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小a；
（2）可以把物块的运动怎样分解；
（3）物块由P运动到Q所用的时间t；
（4）物块由P点水平射入时初速度的大小v0。
尝试解答
3.（2024·湖南邵阳期末）如图所示，一物体在某液体中运动时只受到重力G和恒定的浮力F的作用，且F＝。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动，最后落在N点，M、N间的竖直高度为h，则下列说法正确的是（ ）
A.从M运动到N的时间为
B.M与N之间的水平距离为v0
C.从M运动到N的轨迹为抛物线
D.减小水平初速度v0，运动时间将变长
4.如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面运动，落地点为P2，P1、P2在同一水平面内，P1和P2对应的x轴坐标分别为x1和x2，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A.x1＝x2 B.x1＞x2
C.x1＜x2 D.无法判断
1.如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球（视为质点），某次乒乓球与墙壁上的P点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的Q点。取重力加速度大小 g＝10 m/s2，不计空气阻力。若球拍与水平方向的夹角为45°，乒乓球落到球拍前瞬间的速度大小为 4 m/s，则P、Q两点的高度差为（ ）
A.0.1 m B.0.2 m
C.0.4 m D.0.8 m
2.如图所示，跳台斜坡与水平面的夹角θ＝30°，滑雪运动员从斜坡的起点A水平飞出，经过2 s落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重力加速度大小g取 10 m/s2，则运动员离开A点时的速度大小为（ ）
A.5 m/s B.5 m/s
C.10 m/s D.10 m/s
3.羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是他表演时的羽毛球场地示意图。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高。若林丹每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛运动，则（ ）
A.击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B.击中甲、乙的两球初速度v甲＞v乙
C.假设某次发球能够击中丙鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁鼓
D.击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
4.如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽s＝10 m，为使小球（可视为质点）从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v0的取值范围（围墙厚度忽略不计，忽略空气阻力，g取 10 m/s2）。
习题课二 有约束条件的平抛运动和类平抛运动
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 AC 小球做平抛运动，水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2，vy＝gt，且tan θ＝，解得t＝，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，则tan（α＋θ）＝＝＝2tan θ，由于斜面足够长，把水平抛出的初速度变为2v0，落在斜面上时，位移与水平方向的夹角不变，则夹角α不变，故B错误，A正确；由于t＝，故小球在空中的运动时间变为原来的2倍，故C正确；小球在空中运动的水平距离为x＝v0t＝，故小球在空中运动的水平距离一定变为原来的4倍，故D错误。
【典例2】 （1）2 s （2）20 m （3）2∶3
解析：（1）将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示。
由图可知θ＝37°，φ＝90°－37°＝53°
tan φ＝
则t＝tan φ＝× s＝2 s。
（2）h＝gt2＝×10×22 m＝20 m。
（3）小球在竖直方向上下落的距离y＝gt2＝20 m，小球在水平方向上通过的距离x＝v0t＝30 m，所以y∶x＝2∶3。
素养训练
1.BD 小球做平抛运动，则有x＝v0t，h＝gt2，由于O、B间距离是O、A间距离的3倍，则＝，＝，则＝，＝，故B、D正确。
要点二
知识精研
【典例3】 C 若小物件恰好经窗口上沿，则有h＝g，L＝v1t1，解得v1＝7 m/s；若小物件恰好经窗口下沿，则有h＋H＝g，L＋d＝v2t2，解得v2＝3 m/s，所以3 m/s＜v＜7 m/s，故C正确。
素养训练
2.C 设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋＝v0，解得v0＝，故选C。
要点三
知识精研
【典例4】 （1）gsin θ （2）分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿斜面向下的匀加速直线运动
（3） （4）b
解析：（1）物块合力沿斜面向下，正交分解重力，则有
mgsin θ＝ma
解得a＝gsin θ。
（2）物块沿初速度方向不受力，做匀速直线运动，合力方向初速度为0，做匀加速直线运动。
（3）沿斜面方向有l＝at2。
解得t＝。
（4）沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b。
素养训练
3.C 对该物体受力分析可知F合＝G－F＝，由牛顿第二定律可知a＝＝＝，方向竖直向下，与初速度方向垂直，故该物体做类平抛运动，所以有h＝at2，解得t＝，故A错误；水平距离x＝v0t＝v0，故B错误；该物体做类平抛运动，所以轨迹为抛物线，故C正确；做类平抛运动的物体的运动时间与初速度无关，故D错误。
4.C 设A、B质点抛出时的水平初速度为v0，下落高度为h。A质点做平抛运动，运动的时间为tA＝；B质点做类平抛运动，在斜面上沿垂直v0方向，有＝gsin θ（θ为斜面与水平面的夹角），解得tB＝，可知tB＞tA。由质点沿x轴方向的位移x＝v0t，可得x1＜x2。故A、B、D错误，C正确。
【教学效果·勤检测】
1.C 由几何关系得，乒乓球落到球拍前瞬间的竖直分速度大小为vy＝vcos 45°，又因为vy＝，解得h＝0.4 m，故选C。
2.D 运动员在竖直方向做自由落体运动，设A点与B点的距离为L，有Lsin 30°＝gt2，解得L＝40 m，设运动员离开A点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcos 30°＝v0t，解得v0＝10 m/s，故选D。
3.B 甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运动时间相同，由于水平位移x甲＞x乙，所以v甲＞v乙，A错误，B正确；同理可知v丁＞v丙，C、D错误。
4.5 m/s＜v0＜13 m/s
解析：小球做平抛运动，刚好能碰到围墙上边沿时，
水平方向：L＝v01t
竖直方向：H－h＝gt2
解得v01＝5 m/s
刚好能落到马路外边缘时，
水平方向：L＋s＝v02t'
竖直方向：H＝gt'2
解得v02＝13 m/s，
所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，v0的取值范围为5 m/s＜v0＜13 m/s。
5 / 5(共69张PPT)
习题课二 有约束条件的平抛运动和类平抛运动
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 与斜面结合的平抛运动
1. 顺着斜面抛：如图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重
新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角
等于斜面的倾角。结论有：
（1）速度方向与斜面夹角恒定。
（2）水平位移和竖直位移的关系：
tan θ＝＝＝。
（3）运动时间t＝。
2. 对着斜面抛：如图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时
物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角。结论有：
（1）速度方向与斜面垂直。
（2）水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝。
（3）运动时间t＝。
3. 与斜面相切：如图所示，物体从斜面顶端切入，即速度恰好沿斜面
方向，水平分速度与竖直分速度的关系：tan θ＝＝。
【典例1】 （多选）（2024·湖北期末联考）如图所示，从倾角为θ的
足够长的斜面上P点以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q
点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把水平抛出的初速
度变为2v0，则下列说法正确的是（ ）
A. 夹角α不变
B. 夹角α变大
C. 小球在空中的运动时间变为原来的2倍
D. 小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2倍
解析：小球做平抛运动，水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2，
vy＝gt，且tan θ＝，解得t＝，小球落在斜面上的速度与斜
面的夹角为α，则tan（α＋θ）＝＝＝2tan θ，由于斜面足够
长，把水平抛出的初速度变为2v0，落在斜面上时，位移与水平方
向的夹角不变，则夹角α不变，故B错误，A正确；由于t＝
，故小球在空中的运动时间变为原来的2倍，故C正确；
小球在空中运动的水平距离为x＝v0t＝，故小球在空中运动
的水平距离一定变为原来的4倍，故D错误。
【典例2】 如图所示，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的
斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上。在这一过程中，
求：（不计空气阻力，g取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，
tan 37°＝）
（1）小球在空中的飞行时间；
答案： 2 s
解析： 将小球垂直撞在斜面上的速度分
解，如图所示。
由图可知θ＝37°，φ＝90°－37°＝53°
tan φ＝
则t＝tan φ＝× s＝2 s。
（2）抛出点距撞击点的竖直高度；
答案： 20 m
解析： h＝gt2＝×10×22 m＝20 m。
（3）小球撞到斜面时，小球在竖直方向上下落的距离与在水平方向
上通过的距离之比。
答案： 2∶3
解析：小球在竖直方向上下落的距离y＝gt2＝20 m，小球在水平
方向上通过的距离x＝v0t＝30 m，所以y∶x＝2∶3。
1. （多选）（2024·云南师大附中校考期末）如图所示，一小球从倾
角为θ的斜面顶端О点先以速度大小v1水平抛出，用时t1落在斜面上
的A点，后以速度大小v2水平抛出，用时t2落在斜面上的B点。已知
O、B间距离是O、A间距离的3倍，不计空气阻力。下列说法正确
的是（ ）
解析： 小球做平抛运动，则有x＝v0t，h＝gt2，由于O、B间
距离是O、A间距离的3倍，则＝，＝，则＝，＝，故
B、D正确。
要点二 平抛运动的临界极值问题
1. 与平抛运动相关的临界情况
（1）有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明
题述的过程中存在临界点。
（2）如题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词
语，表明题述过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”
往往就是临界点。
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表
明题述过程中存在着极值，这些极值也往往是临界点。
2. 分析平抛运动中的临界情况关键是确定临界轨迹。当受水平位移限
制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受
下落高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到下落高度端点的一条抛
物线，确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。
【典例3】 如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d
＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P
点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口
并落在水平地面上，取g＝10 m/s2，不计空气阻力。则v的取值范围是
（ ）
A. v＞7 m/s
B. v＜2.3 m/s
C. 3 m/s＜v＜7 m/s
D. 2.3 m/s＜v＜3 m/s
解析：若小物件恰好经窗口上沿，则有h＝g，L＝v1t1，解得v1＝7
m/s；若小物件恰好经窗口下沿，则有h＋H＝g，L＋d＝v2t2，解得
v2＝3 m/s，所以3 m/s＜v＜7 m/s，故C正确。
2. （2024·浙江1月选考8题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细
水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰
好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，
则水离开出水口的速度大小为（ ）
解析： 设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A
点时x＋＝v0，解得v0＝，故选C。
要点三 类平抛运动
1. 受力特点
物体所受的合力为恒力，且与初速度方向垂直。
2. 研究方法：运动的分解
将运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和恒定合力方向的初速
度为零的匀变速直线运动。
3. 运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t。
合力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2。
【典例4】 如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物
块（可看成质点）从斜面左上方顶点P沿水平方向射入，恰好从底端
右侧Q点离开斜面，已知重力加速度为g，不计空气阻力，求：
（1）物块加速度的大小a；
答案：gsin θ
解析：物块合力沿斜面向下，正交分解重力，则有mgsin θ＝ma
解得a＝gsin θ。
（2）可以把物块的运动怎样分解；
答案：分解为沿初速度方向的匀速直线
运动和沿斜面向下的匀加速直线运动
解析：物块沿初速度方向不受力，做匀速直线运动，合力方向初
速度为0，做匀加速直线运动。
（3）物块由P运动到Q所用的时间t；
答案：
解析：沿斜面方向有l＝at2。
解得t＝。
（4）物块由P点水平射入时初速度的大小v0。
答案：b
解析：沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b。
3. （2024·湖南邵阳期末）如图所示，一物体在某液体中运动时只受
到重力G和恒定的浮力F的作用，且F＝。如果物体从M点以水平
初速度v0开始运动，最后落在N点，M、N间的竖直高度为h，则下
列说法正确的是（ ）
C. 从M运动到N的轨迹为抛物线
D. 减小水平初速度v0，运动时间将变长
解析： 对该物体受力分析可知F合＝G－F＝，由牛顿第二定律
可知a＝＝＝，方向竖直向下，与初速度方向垂直，故该物体
做类平抛运动，所以有h＝at2，解得t＝，故A错误；水平距离x
＝v0t＝v0，故B错误；该物体做类平抛运动，所以轨迹为抛物
线，故C正确；做类平抛运动的物体的运动时间与初速度无关，故
D错误。
4. 如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度从坐标原点O沿x轴正
方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1，B紧贴光滑的斜面
运动，落地点为P2，P1、P2在同一水平面内，P1和P2对应的x轴坐
标分别为x1和x2，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. x1＝x2 B. x1＞x2
C. x1＜x2 D. 无法判断
解析： 设A、B质点抛出时的水平初速度为v0，下落高度为h。A
质点做平抛运动，运动的时间为tA＝；B质点做类平抛运动，在
斜面上沿垂直v0方向，有＝gsin θ（θ为斜面与水平面的夹
角），解得tB＝，可知tB＞tA。由质点沿x轴方向的位移x＝
v0t，可得x1＜x2。故A、B、D错误，C正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球（视为质点），某次乒乓
球与墙壁上的P点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的Q点。
取重力加速度大小 g＝10 m/s2，不计空气阻力。若球拍与水平方向
的夹角为45°，乒乓球落到球拍前瞬间的速度大小为 4 m/s，则P、
Q两点的高度差为（ ）
A. 0.1 m B. 0.2 m
C. 0.4 m D. 0.8 m
解析： 由几何关系得，乒乓球落到球拍前瞬间的竖直分速度大
小为vy＝vcos 45°，又因为vy＝，解得h＝0.4 m，故选C。
2. 如图所示，跳台斜坡与水平面的夹角θ＝30°，滑雪运动员从斜坡
的起点A水平飞出，经过2 s落到斜坡上的B点。不计空气阻力，重
力加速度大小g取 10 m/s2，则运动员离开A点时的速度大小为
（ ）
解析： 运动员在竖直方向做自由落体运动，设A点与B点的距离
为L，有Lsin 30°＝gt2，解得L＝40 m，设运动员离开A点时的速
度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有Lcos 30°
＝v0t，解得v0＝10 m/s，故选D。
3. 羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图是
他表演时的羽毛球场地示意图。图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓
较低但也等高。若林丹每次发球时羽毛球飞出位置不变且均做平抛
运动，则（ ）
A. 击中甲、乙的两球初速度v甲＝v乙
B. 击中甲、乙的两球初速度v甲＞v乙
C. 假设某次发球能够击中丙鼓，用相同大小的速度发球可能击中丁
鼓
D. 击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大
解析： 甲、乙距飞出点的高度相同，击中甲、乙的羽毛球的运
动时间相同，由于水平位移x甲＞x乙，所以v甲＞v乙，A错误，B正
确；同理可知v丁＞v丙，C、D错误。
4. 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的
水平距离L＝3 m，围墙外马路宽s＝10 m，为使小球（可视为质
点）从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速
度v0的取值范围（围墙厚度忽略不计，忽略空气阻力，g取 10
m/s2）。
答案：5 m/s＜v0＜13 m/s
解析：小球做平抛运动，刚好能碰到围墙上边沿时，
水平方向：L＝v01t
竖直方向：H－h＝gt2
解得v01＝5 m/s
刚好能落到马路外边缘时，
水平方向：L＋s＝v02t'
竖直方向：H＝gt'2
解得v02＝13 m/s，
所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，v0的取值范围
为5 m/s＜v0＜13 m/s。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 与斜面结合的平抛运动
1. 如图所示，甲、乙两人在高楼不同窗口向对面的斜面上水平抛出两
个质量不等的A、B小球，分别同时落在斜面上。不计空气阻力，
则B小球比A小球（ ）
A. 先抛出，初速度大
B. 后抛出，初速度大
C. 先抛出，初速度小
D. 后抛出，初速度小
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解析： B的竖直位移较小，根据t＝可知，B运动的时间
较短，则B后抛出；B水平位移较大，根据v0＝可知，B的初速
度较大。
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2. 如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度v0抛出一个小
球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距
离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间t 为（ ）
解析： 若小球击中斜面B点，且A、B距离恰好取最小值，则AB
垂直斜面，此时有tan θ＝＝，可得t＝，故选C。
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3. （多选）如图所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经
过时间ta恰好落在斜面底端P处；在P点正上方与a等高的b处以速度
vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处，若不计
空气阻力，下列关系式正确的是（ ）
B. va＝vb
C. ta＝tb
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解析： a球下落的高度和水平方向上运动的距离均是b球的2
倍，即ya＝2yb，xa＝2xb，而xa＝vata，ya＝g，xb＝vbtb，yb＝
g，可求出ta＝tb，va＝vb。
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要点二 平抛运动的临界极值问题
4. （多选）人在距地面高h、离靶面距离L处，将质量为m的飞镖以速
度v0水平投出，落在靶心正下方，如图所示。不考虑空气阻力，只
改变m、h、L、v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是
（ ）
A. 适当减小L B. 适当减小h
C. 适当减小m D. 适当增大v0
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解析： 由平抛运动的规律可得y＝gt2，L＝v0t可知，飞镖是否
能投中靶心与m无关，C错误；适当减小L，飞镖飞行时间t减小，
下落位移y减小，可使飞镖投中靶心，A正确；适当减小h，飞镖飞
行时间不变，下落位移不变，故飞镖会投中比原来更低的位置，B
错误；适当增大v0，飞镖飞行时间t减小，下落位移y减小，可使飞
镖投中靶心，D正确。
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5. 如图所示，一根长木杆AB两端分别固定在竖直墙壁AO和水平地面
上，已知杆的B端与水平地面之间的夹角为53°，A点到地面的距
离为10 m。从竖直墙壁上距地面8 m的C点以水平速度v0射出一颗小
石子，要使小石子能在落地前碰到AB杆（重力加速度g取 10 m/s2，
sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6），则小石子出射的水平速度至少为
（ ）
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解析： 平抛运动轨迹如图所示。AC之间的距离
为10 m－8 m＝2 m，由图可知x＝（y＋2）tan
37°，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝gt2，tan
53°＝＝，联立解得v0＝ m/s，故选D。
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要点三 类平抛运动
6. 如图，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L
的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，小球做
平抛运动，结果恰好落在斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重
力加速度为g，则小球水平抛出的初速度大小为（ ）
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解析： 小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下有L
＝gt2sin θ，水平方向位移L＝v0t，解得v0＝，A正确，B、
C、D错误。
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7. 如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方
向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B
点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度为g，不计空气阻力，
则A、B之间的水平距离为（ ）
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解析： 如图所示，对在B点时的速度进行
分解，小球运动的时间t＝＝，则A、
B间的水平距离x＝v0t＝，故A正确，
B、C、D错误。
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8. 如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面满足方程y＝2x2，从y轴
上P点将一小球以初速度v0＝2 m/s水平拋出，小球打在曲面上的M
点（未反弹）。已知M点的横坐标为xM＝2 m，空气阻力不计，重
力加速度g＝10 m/s2，则P点的坐标为（ ）
A. （0，5 m） B. （0，13 m）
C. （0，20 m） D. （0，28 m）
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解析： 由方程y＝2x2得M点的纵坐标为yM＝8 m，设P点的坐标
为（0，y），水平方向有xM＝v0t，解得t＝1 s，竖直方向有y－yM＝
gt2，解得y＝13 m，故B正确。
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9. （多选）（2024·河南洛阳期末）A、B两球从如图所示的位置分别
以v1和v2水平抛出（图中虚线为竖直线），两球落在斜面上同一个
位置，已知A球在空中运动位移最短，B球垂直打在斜面上，A、B
两球在空中运动时间分别为t1和t2，忽略空气阻力，则下列说法正
确的是（ ）
A. t1＝2t2
C. v2＝2v1
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解析： A球在空中运动位移最短，则有tan θ＝＝＝
，B球垂直打在斜面上，则有tan θ＝＝，又xA＝v1t1，xB＝
v2t2，xA＝xB，联立可得t1＝t2，v2＝v1，故选B、D。
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10. 一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分
别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中
点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台
面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的
发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到
球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（ ）
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解析： 设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中
间。则竖直方向上有3h－h＝g，水平方向上有＝v1t1，联立
可得v1＝。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网
右侧台面的两角处，在竖直方向有 3h＝g，在水平方向有
＝v2t2，联立可得v2＝，则v的最大
取值范围为v1＜v＜v2，故选项D正确。
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11. 如图所示，倾角为30°的斜面体固定在水平地面上，斜面底端正
上方某高度处有一小球以水平速度v0抛出，恰好垂直打在斜面
上，已知重力加速度为g，不计空气阻力。求：
（1）小球从抛出到落在斜面上运动的时间。
答案：
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解析：设小球打到斜面上的时间为t，恰好垂直打在斜
面上，根据几何关系可得tan 60°＝＝
解得t＝。
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（2）小球抛出点到斜面底端的高度。
答案：
解析：设小球抛出点到斜面底端的高度为h，根据平抛运动规
律有x＝v0t，y＝gt2
小球垂直打到斜面上，根据几何关系得
tan 30°＝
将t＝代入解得h＝。
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12. （2024·安徽合肥期末）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动
员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离
后着陆。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以v0＝10 m/s的
初速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角θ为
37°，不计空气阻力，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，
cos 37°＝0.8。求：
（1）运动员在空中飞行的时间；
答案： 1.5 s
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解析： 运动员做平抛运动，设着陆时间为t，则有x＝
v0t，y＝gt2
由题图可知，运动员着陆时tan θ＝
联立解得t＝·tan θ＝1.5 s。
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（2）A、B间的距离；
答案： 18.75 m
解析：由题意知sin 37°＝
联立（1）中的公式，解得A、B间的距离LAB＝18.75 m。
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（3）运动员在空中离坡面的最大距离。
答案： 2.25 m
解析：取沿斜坡向下方向（x方向）与垂直于斜坡向上方向
（y方向）分析运动员的运动，在垂直于斜坡方向上vy'＝
v0sin θ＝6 m/s
ay＝－gcos θ＝－8 m/s2
当vy'＝0时，运动员在空中离坡面的距离最大，则有d＝
＝2.25 m。
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谢谢观看!
