2.1 实验：探究向心力大小的表达式
1.（多选）关于圆周运动的向心力，下列说法正确的是（ ）
A.物体做匀速圆周运动的向心力是物体受到的指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的
B.向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力
C.对于匀速圆周运动，向心力是一个恒力
D.向心力的效果是改变物体线速度的大小和方向
2.如图所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中A、B为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的物体。试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素。
（1）使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆；
现象：连接A的棉线先断；
表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随 的增大而增大；
（2）使质量mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆；
现象：连接A的棉线先断；
表明：在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随 的增大而增大；
（3）对任一次断线过程进行考察；
现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的；
表明：在物体质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随 的增大而增大。
3.图甲为探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间关系的实验装置，图乙为示意图，图丙为俯视图。图乙中A、B槽分别与a、b轮同轴固定，a、b两轮在皮带的带动下匀速转动。
（1）在该实验中应用了 （选填“理想实验法”“控制变量法”或“理想模型法”）来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
（2）如图乙所示，如果两个钢球质量相等，且a、b轮半径相同，则是在验证向心力的大小F与 之间的关系。
A.质量m B.半径r C.角速度ω
（3）现有两个质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B槽的边缘，a、b轮半径相同，它们到各自转轴的距离之比为2∶1。则钢球①、②的线速度之比为 。
4.一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系。在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小Fn与半径r的数据，记录到表1中。
表1 向心力Fn与半径r的测量数据
次数 1 2 3 4 5
半径r/mm 50 60 70 80 90
向心力Fn/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83
在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物做圆周运动的角速度ω，得到几组向心力大小Fn和角速度ω的数据，记录到表2中。
表2 向心力Fn与角速度ω的测量数据
次数 1 2 3 4 5
角速度 ω/（rad·s－1） 6.8 9.3 11.0 14.4 21.8
向心力Fn/N 0.98 2.27 2.82 4.58 10.81
（1）根据上面的测量结果，分别在图甲和图乙中作出Fn-r图线和Fn-ω图线。
（2）若作出的Fn-ω图线不是直线，可以尝试作Fn-ω2图线，试在图丙中作出Fn-ω2图线。
（3）通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成 ，与角速度的平方成 。
5.图甲为DIS向心力实验器，可用来探究影响向心力大小的因素。
实验中可以用力传感器测出砝码做圆周运动所需要的向心力大小，用光电门传感器辅助测量砝码转动的角速度。
（1）电脑通过光电门传感器测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门传感器的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为 。
（2）图乙中①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知，曲线①对应的砝码质量 （选填“大于”或“小于”）曲线②对应的砝码质量。
6.（2024·河北石家庄期末）如图所示，图甲是“探究向心力大小F与质量m、半径r、角速度ω的关系”的实验装置示意图。电动机带动转台匀速转动，改变电动机的电压可以改变转台的转速：质量为m的金属块放在转台上随转台一起转动，金属块到转轴的水平距离为r，用一轻质细线绕过固定在转台中心的光滑小滑轮与力传感器连接，可直接测量向心力的大小F；转台一端下方固定挡光宽度为d的挡光杆，挡光杆经过光电门时，系统将自动记录其挡光时间。金属块与转台之间的摩擦力忽略不计。
（1）某同学测出挡光杆到转轴的水平距离为R，转台匀速转动时挡光杆经过光电门时的挡光时间为Δt，转台的角速度ω的表达式为 （用题目中所给物理量的字母表示）。
（2）该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，需要控制 和 两个量保持不变；多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数据，作出F-ω2图像如图乙所示，若已知金属块质量m＝0.45 kg，且测得向心力与m、ω、r的关系为F＝mω2r，则金属块到转轴的水平距离r＝ m。（结果保留两位有效数字）
2.1 实验：探究向心力大小的表达式
1.AB 物体做匀速圆周运动时的向心力是物体所受的合力，向心力是根据作用效果命名的，故A正确；向心力是物体受到的指向圆心方向的力，可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力，故B正确；向心力的方向总是指向圆心，故方向不断变化，即向心力是一个变力，故C错误；向心力的方向总是与线速度方向垂直，不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，故D错误。
2.（1）物体质量 （2）转动半径 （3）转动角速度
解析：（1）两物体的质量mA＞mB，连接A的棉线先断，即质量越大，棉线的拉力越大，则说明在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随物体质量的增大而增大。
（2）两物体质量mA＝mB，线长LA＞LB，而连接A的棉线先断，即棉线越长，所受的拉力越大；表明在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动半径的增大而增大。
（3）并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后随着转动角速度的增大线才断的，表明在物体质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动角速度的增大而增大。
3.（1）控制变量法 （2）B （3）2∶1
解析：（1）在该实验中应用了控制变量法来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
（2）如图乙所示，如果两个钢球质量m相等，且a、b轮半径相同，两球转动的角速度ω相同，则是在验证向心力的大小F与转动半径r的关系。
（3）钢球①、②的角速度相等，则根据v＝ωr可知，线速度之比为2∶1。
4.（1）
（2）
（3）正比 正比
5.（1）ω＝ （2）小于
解析：（1）物体转动的线速度v＝，根据ω＝计算得出ω＝。
（2）由向心力和角速度的关系图线可知，同样的角速度和圆周运动半径，曲线②对应的向心力偏大些，因此，曲线②对应的砝码质量大于曲线①对应的砝码质量。
6.（1）ω＝ （2）金属块的质量m 金属块到转轴的水平距离r 0.20
解析：（1）挡光杆绕转轴运动的线速度v＝
根据v＝ωR可知转台的角速度的表达式为ω＝ 。
（2）该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，需要控制金属块的质量m和金属块到转轴的水平距离r两个量保持不变；
根据F＝mrω2结合图像可得mr＝k＝＝0.09
若已知金属块质量m＝0.45 kg，则金属块到转轴的水平距离r＝0.20 m。
3 / 32.1 实验：探究向心力大小的表达式
课标要求 素养目标
通过实验，探究并了解匀速圆周运动向心力大小与半径、角速度、质量的关系 1.理解向心力的概念及其特点、表达式。（物理观念） 2.利用向心力演示器探究向心力大小的表达式。（科学探究）
知识点一 向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 。这个指向 的力就叫作向心力。
2.作用：改变速度的 。
3.方向：始终沿着 指向 。
4.向心力是根据力的 命名的，它是由 提供的。
知识点二 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 感受向心力
1.实验原理
如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋（或其他小物体），另一端握在手中。将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时，沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的 。
2.实验步骤
（1）在小沙袋的质量和角速度不变的条件下，改变小沙袋做圆周运动的半径进行实验，感受向心力与 的关系。
（2）在小沙袋的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变小沙袋的角速度进行实验，感受向心力与 的关系。
（3）换用不同质量的小沙袋，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作，感受向心力与 的关系。
3.实验结论：半径越大，角速度越 ，质量越 ，向心力越大。
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
图甲为向心力演示器，匀速转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压力提供了向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。
2.实验过程
（1）保持ω和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与质量m之间的关系（如图乙所示），记录实验数据。
（2）保持m和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与角速度ω之间的关系（如图丙所示），记录实验数据。
（3）保持ω和m相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与半径r之间的关系（如图丁所示），记录实验数据。
3.实验结果
小球做匀速圆周运动所需向心力的大小，在半径和角速度一定时，与质量成 ；在质量和半径一定时，与角速度的平方成 ；在质量和角速度一定时，与半径成 。
要点一 向心力的理解
【探究】
如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动。
（1）小球受哪些力作用？合力指向什么方向？
（2）除以上力外，小球还受不受向心力？
【归纳】
1.向心力的作用效果是改变速度方向，不改变速度大小。
2.向心力不是作为具有某种性质的力来命名的，而是根据力的作用效果命名的，它可以由某个力或几个力的合力提供，也可以由某个力的分力提供。
3.向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力。
4.当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时，物体做匀速圆周运动。
【典例1】 如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随
圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是（ ）
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
尝试解答
1.下列关于向心力的说法正确的是（ ）
A.做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力的作用
B.向心力和重力、弹力一样，是性质力
C.做匀速圆周运动的物体所受的向心力即为其所受的合力
D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
2.如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是（ ）
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
要点二 探究影响向心力大小的因素
【典例2】 如图甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素，用细绳系一纸杯（杯中有 30 mL 的水），将手举过头顶，使纸杯在水平面内做圆周运动。
（1）下列说法中正确的是 。
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
（2）如图乙所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作。
操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动二周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。则：
①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与一相比较： 相同，向心力的大小与 有关；
②物理学中此种实验方法叫 法；
③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力，而是背离圆心的力，跟书上说的不一样”，请判断该同学的说法是否正确，并说明原因：
。
尝试解答
【典例3】 （2024·湖北武汉期末）如图（a）、（b）所示，向心力演示仪的挡板A、C到转轴距离为R，挡板B到转轴距离为2R，塔轮①、④半径相同，①、②、③半径之比为1∶2∶3，④、⑤、⑥半径之比为3∶2∶1，现通过控制变量法，用该装置探究向心力大小与角速度、运动半径、质量的关系。
（1）当质量和运动半径一定时，探究向心力的大小与角速度的关系，将传动皮带套在②、④塔轮上，应将质量相同的小球分别放在挡板 （选填“A”“B”或“C”中的两个）处；
（2）当质量和角速度一定时，探究向心力的大小与运动半径之间的关系，应将皮带套在 塔轮上（选填“①”“②”“③”“④”“⑤”“⑥”中的两个）；
（3）将大小相同的铁球和橡胶球分别放置在A、C挡板处，传动皮带套在①、④两个塔轮上，图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球向心力大小的比值为3∶1，则铁球与橡胶球的质量之比为 。
尝试解答
3.探究向心力大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间关系的实验装置如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。皮带分别套在塔轮的圆盘上，可使两个槽内的小球分别以不同角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动需要的向心力由横臂的挡板提供，同时小球对挡板的弹力使弹簧测力套筒下降，从而露出测力套筒内的标尺，标尺上露出的红白相间的等分格数之比即为两个小球所受向心力的比值。已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1。
（1）探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质量 （选填“相同”或“不同”）的小球，分别放在挡板C与 （选填“挡板A”或“挡板B”）处，同时选择半径 （选填“相同”或“不同”）的两个塔轮。
（2）当用两个质量相等的小球做实验时，调整长槽中小球的转动半径是短槽中小球的2倍，转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为 1∶2，则左、右两边塔轮的半径之比为 。
1.（2024·江苏淮安期末）用如图所示的实验装置（其中挡板A、C到转轴的距离相等）探究小球向心力大小与角速度关系时，下列操作正确的是（ ）
A.将质量不同的小球分别放在挡板A和挡板C上
B.将质量相同的小球分别放在挡板B和挡板C上
C.将传动皮带套在两个半径相同的塔轮上
D.将传动皮带套在两个半径不同的塔轮上
2.两个同学做体验性实验来粗略地验证向心力公式Fn＝m和Fn＝mω2r。他们的做法如下：如图甲，绳子的一端拴一个小沙袋（或其他小物体），绳上离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，80 cm的地方打另一个绳结B。同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一：手握绳结A，如图乙，使沙袋在水平方向上做匀速圆周运动，每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
操作二：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平方向上每秒运动2周。体会此时绳子拉力的大小。
操作三：改为手握绳结B，使沙袋在水平方向上每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
根据以上操作步骤填空：操作一与操作三 （填“线速度”或“角速度”）相同，同学乙感到 （填“操作一”或“操作二”）绳子拉力比较大；操作二与操作三 （填“线速度”或“角速度”）相同，同学乙感到 （填“操作二”或“操作三”）绳子拉力比较大。
3.小吴同学用如图甲所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，塔轮自上而下有三层，每层左右半径之比由上至下分别是1∶1，2∶1和3∶1（如图乙所示）。左右塔轮通过不打滑的传动皮带连接，并可通过改变传动皮带所处的层来改变左右塔轮的角速度之比，实验时，将两个小球分别放在短槽的C处和长槽的A（或B）处，A、C分别到左右塔轮中心的距离相等，B到左塔轮中心的距离是A到左塔轮中心距离的2倍，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮一起匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。请回答相关问题：
（1）在某次实验中，小吴同学把两个质量相等的钢球放在B、C位置，将传动皮带调至第一层塔轮，转动手柄，观察左右标出的刻度，此时可研究向心力的大小与 的关系；
A.质量m B.角速度ω C.半径r
（2）若传动皮带套在塔轮第三层，则塔轮转动时，A、C两处的角速度之比为 ；
（3）在另一次实验中，小吴同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置。传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺的露出的格子数之比为 。
2.1 实验：探究向心力大小的表达式
【基础知识·准落实】
知识点一
1.圆心 圆心 2.方向 3.半径 圆心 4.作用效果 某个力或者几个力的合力
知识点二
探究方案一
1.拉力 2.（1）半径 （2）角速度 （3）质量 3.大 大
探究方案二
3.正比 正比 正比
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：（1）小球受到重力、支持力和绳的拉力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心。
（2）小球不受向心力，向心力是按效果命名的，绳的拉力提供了向心力。
【典例1】 C 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，由于没有发生相对滑动，所以其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向总是指向圆心O，故选C。
素养训练
1.C 向心力是效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，选项A、B错误；做匀速圆周运动的物体所受的合力指向圆心，完全提供向心力，非匀速圆周运动中是合力指向圆心的分力提供向心力，选项C正确，D错误。
2.B 老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，受到重力和空气对它的作用力，合力提供向心力，向心力是效果力，不是老鹰另外受到的力，故B正确，A、C、D错误。
要点二
知识精研
【典例2】 （1）BD （2）①角速度、半径 质量
②控制变量 ③见解析
解析：（1）由题意，根据向心力公式有F拉＝mω2r；保持质量、绳长不变，增大转速，则F拉变大，根据牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，故选项A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，根据F拉＝mω2r和牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将变大，故选项C错误，D正确。
（2）①根据向心力公式F＝mω2r可知，操作四与操作一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与质量有关；②物理学中将此种实验方法叫控制变量法；③说法不正确。该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯（包括水），细绳对纸杯（包括水）的拉力提供纸杯（包括水）做圆周运动的向心力，指向圆心。细绳对手的拉力与细绳对纸杯（包括水）的拉力大小相等、方向相反，背离圆心。
【典例3】 （1）A、C （2）①、④ （3）3∶1
解析：（1）需要控制两小球做圆周运动的半径相同，故应选择到转轴距离都为R的A、C两处。
（2）两个变速轮塔靠皮带传送，即皮带套在的塔轮上线速度相同，若控制角速度相同，则两塔轮的半径相同，故应将皮带套在①、④塔轮上。
（3）由题意可得，两球转动的半径和角速度相同，即两个小球向心力之比即为两个小球质量之比，故为3∶1。
素养训练
3.（1）相同 挡板B 相同 （2）2∶1
解析：（1）探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质量相同的小球（控制质量不变），分别放在挡板C与挡板B处（控制半径不同），选择半径相同的两个塔轮（控制角速度不变）。
（2）当用两个质量相等的小球做实验时，调整长槽中小球的转动半径是短槽中小球的2倍，即r左∶r右＝2∶1，转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为1∶2，即Fn左∶Fn右＝1∶2，由向心力Fn＝mω2r，解得ω左∶ω右＝1∶2，由于左、右两塔轮用皮带传动，两塔轮边缘的线速度大小相等，由v＝ωR可知，则左、右两边塔轮的半径之比为R左∶R右＝2∶1。
【教学效果·勤检测】
1.D 本实验采用控制变量法探究影响向心力大小的因素，当探究小球向心力大小与角速度关系时，应控制两小球质量和运动半径相同，并使两小球角速度不同，因此应该将质量相同的小球分别放在挡板A和挡板C上，并将传动皮带套在两个半径不同的塔轮上，故选D。
2.角速度 操作二 线速度 操作二
解析：由于操作一和操作三沙袋都是每秒运动1周，所以沙袋的角速度相同。操作二与操作三，线速度v＝，故线速度相同。设沙袋的质量为m，操作一中沙袋的角速度为ω，运动半径为r，则操作二中沙袋的角速度为2ω，半径为r，操作三种沙袋的角速度为ω，运动半径为2r。根据向心力公式可得三次操作中沙袋所受的向心力大小分别为F1＝mω2r，F2＝4mω2r，F3＝2mω2r，则F1＜F3＜F2，因此操作一与操作二相比，同学乙感到操作二绳子拉力比较大；操作二与操作三相比，同学乙感到操作二拉力比较大。
3.（1）C （2）1∶3 （3）1∶4
解析：（1）第一层皮带传动时线速度大小相等且半径相等，则两盘转动的角速度相等，将质量相等的两个小球分别放置挡板B和C处，就能保证有不同的半径，可知探究的是向心力和半径的关系；（2）若传动皮带套在塔轮第三层，同一皮带的线速度大小相等，而两轮的半径之比为3∶1，由v＝ωR可知，两塔轮的角速度之比为1∶3；（3）两个球的质量m相等，传动皮带位于第二层时，因两轮的半径R之比为2∶1，则由v＝ωR可知，两塔轮的角速度之比为1∶2；A、C分别到左右塔轮中心的距离相等即转动时的半径r相等，根据Fn＝mω2r可知向心力之比为1∶4，左右两标尺的露出的格子数为向心力的大小关系，则格子数之比为1∶4。
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第1课时 实验：探究向心力大小的表达式
课标要求 素养目标
通过实验，探究并了解匀
速圆周运动向心力大小与
半径、角速度、质量的 关系 1.理解向心力的概念及其特点、表达
式 。（物理观念）
2.利用向心力演示器探究向心力大小的
表达式。（科学探究）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 向心力
1. 定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 。这个指
向 的力就叫作向心力。
2. 作用：改变速度的 。
3. 方向：始终沿着 指向 。
4. 向心力是根据力的 命名的，它是由
提供的。
圆心
圆心
方向
半径
圆心
作用效果
某个力或者几个
力的合力
知识点二 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 感受向心力
1. 实验原理
如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋（或其他小物体），另一端
握在手中。将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此
时，沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的 。
拉力
2. 实验步骤
（1）在小沙袋的质量和角速度不变的条件下，改变小沙袋做圆周
运动的半径进行实验，感受向心力与 的关系。
（2）在小沙袋的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变小
沙袋的角速度进行实验，感受向心力与 的关系。
（3）换用不同质量的小沙袋，在角速度和半径不变的条件下，重
复上述操作，感受向心力与 的关系。
3. 实验结论：半径越大，角速度越 ，质量越 ，向心
力越大。
半径
角速度
质量
大
大
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1. 实验原理
图甲为向心力演示器，匀速转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮
匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的压
力提供了向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹
簧测力筒下降，从而露出标尺，
标尺上的红白相间的等分格显
示出两个小球所受向心力的
比值。
2. 实验过程
（1）保持ω和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与质量m之
间的关系（如图乙所示），记录实验数据。
（2）保持m和r相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与角速度ω
之间的关系（如图丙所示），记录实验数据。
（3）保持ω和m相同，研究小球做圆周运动所需向心力F与半径r之
间的关系（如图丁所示），记录实验数据。
3. 实验结果
小球做匀速圆周运动所需向心力的大小，在半径和角速度一定时，
与质量成 ；在质量和半径一定时，与角速度的平方成
；在质量和角速度一定时，与半径成 。
正比
正
比
正比
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 向心力的理解
【探究】
如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周
运动。
（1）小球受哪些力作用？合力指向什么方向？
提示：小球受到重力、支持力和绳的拉力，合力等于绳的
拉力，方向指向圆心。
（2）除以上力外，小球还受不受向心力？
提示：小球不受向心力，向心力是按效果命名的，绳的拉
力提供了向心力。
【归纳】
1. 向心力的作用效果是改变速度方向，不改变速度大小。
2. 向心力不是作为具有某种性质的力来命名的，而是根据力的作用效
果命名的，它可以由某个力或几个力的合力提供，也可以由某个力
的分力提供。
3. 向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故
向心力为变力。
4. 当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向
圆心时，物体做匀速圆周运动。
【典例1】 如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖
直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆
周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是（ ）
A. 木块A受重力、支持力和向心力
B. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，
摩擦力的方向与木块运动方向相反
C. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D. 木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向
相同
解析：由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以它在竖直
方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周
运动，由于没有发生相对滑动，所以其所需向心力由静摩擦力提供，
且静摩擦力的方向总是指向圆心O，故选C。
1. 下列关于向心力的说法正确的是（ ）
A. 做匀速圆周运动的物体除了受到重力、弹力等力外还受到向心力
的作用
B. 向心力和重力、弹力一样，是性质力
C. 做匀速圆周运动的物体所受的向心力即为其所受的合力
D. 做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
解析： 向心力是效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的
合力或某个力的分力，选项A、B错误；做匀速圆周运动的物体所
受的合力指向圆心，完全提供向心力，非匀速圆周运动中是合力指
向圆心的分力提供向心力，选项C正确，D错误。
2. 如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰
受力的说法正确的是（ ）
A. 老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B. 老鹰受重力和空气对它的作用力
C. 老鹰受重力和向心力的作用
D. 老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析： 老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，受到重力和空气
对它的作用力，合力提供向心力，向心力是效果力，不是老鹰另外
受到的力，故B正确，A、C、D错误。
要点二 探究影响向心力大小的因素
【典例2】 如图甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素，
用细绳系一纸杯（杯中有 30 mL 的水），将手举过头顶，使纸杯在水
平面内做圆周运动。
（1）下列说法中正确的是 。
A. 保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B. 保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C. 保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D. 保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
BD
解析： 由题意，根据向心力公式有F拉＝mω2r；保持质量、绳长不变，增大转速，则F拉变大，根据牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，故选项A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，根据F拉＝mω2r和牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将变大，故选项C错误，D正确。
（2）如图乙所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点
B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作。
操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心
力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心
力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动二周，体会向心
力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平面
内每秒运动一周，体会向心力的大小。则：
①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转
动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度
有关；
操作四与一相比较： 相同，向心力的大小与
有关；
角速度、半径
质
量
③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的
同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆
心的向心力，而是背离圆心的力，跟书上说的不一样”，请判
断该同学的说法是否正确，并说明原因： 。
②物理学中此种实验方法叫 法；
控制变量
见解析
解析：①根据向心力公式F＝mω2r可知，操作四与操作一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与质量有关；②物理学中将此种实验方法叫控制变量法；③说法不正确。该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯（包括水），细绳对纸杯（包括水）的拉力提供纸杯（包括水）做圆周运动的向心力，指向圆心。细绳对手的拉力与细绳对纸杯（包括水）的拉力大小相等、方向相反，背离圆心。
【典例3】 （2024·湖北武汉期末）如图（a）、（b）所示，向心力
演示仪的挡板A、C到转轴距离为R，挡板B到转轴距离为2R，塔轮
①、④半径相同，①、②、③半径之比为1∶2∶3，④、⑤、⑥半径
之比为3∶2∶1，现通过控制变量法，用该装置探究向心力大小与角
速度、运动半径、质量的关系。
（1）当质量和运动半径一定时，探究向心力的大小与角速度的关
系，将传动皮带套在②、④塔轮上，应将质量相同的小球分别
放在挡板 （选填“A”“B”或“C”中的两个）处；
解析：需要控制两小球做圆周运动的半径相同，故应选择
到转轴距离都为R的A、C两处。
A、C
（2）当质量和角速度一定时，探究向心力的大小与运动半径之间的
关系，应将皮带套在 塔轮上（选填
“①”“②”“③”“④”“⑤”“⑥”中的两个）；
解析：两个变速轮塔靠皮带传送，即皮带套在的塔轮上线
速度相同，若控制角速度相同，则两塔轮的半径相同，故应将
皮带套在①、④塔轮上。
①、④
（3）将大小相同的铁球和橡胶球分别放置在A、C挡板处，传动皮带
套在①、④两个塔轮上，图中标尺上黑白相间的等分格显示出
两个小球向心力大小的比值为3∶1，则铁球与橡胶球的质量之
比为 。
解析：由题意可得，两球转动的半径和角速度相同，即两个小球向心力之比即为两个小球质量之比，故为3∶1。
3∶1
3. 探究向心力大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间关系的实验
装置如图所示，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转
动。皮带分别套在塔轮的圆盘上，可使两个槽内的小球分别以不同
角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动需要的向心力由横臂的挡
板提供，同时小球对挡板的弹力使弹簧测力套筒下降，从而露出测
力套筒内的标尺，标尺上露出的红白
相间的等分格数之比即为两个小球所
受向心力的比值。已知小球在挡板A、
B、C处做圆周运动的轨迹半径之比
为1∶2∶1。
（1）探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质
量 （选填“相同”或“不同”）的小球，分别放在挡
板C与 （选填“挡板A”或“挡板B”）处，同时选择
半径 （选填“相同”或“不同”）的两个塔轮。
解析：探究向心力的大小与圆周运动半径的关系时，应选择两个质量相同的小球（控制质量不变），分别放在挡板C与挡板B处（控制半径不同），选择半径相同的两个塔轮（控制角速度不变）。
相同
挡板B
相同
（2）当用两个质量相等的小球做实验时，调整长槽中小球的转动
半径是短槽中小球的2倍，转动时发现左、右标尺上露出的红
白相间的等分格数之比为 1∶2，则左、右两边塔轮的半径之
比为 。
2∶1
解析：当用两个质量相等的小球做实验时，调整长槽中小球的转动半径是短槽中小球的2倍，即r左∶r右＝2∶1，转动时发现左、右标尺上露出的红白相间的等分格数之比为1∶2，即Fn左∶Fn右＝1∶2，由向心力Fn＝mω2r，解得ω左∶ω右＝1∶2，由于左、右两塔轮用皮带传动，两塔轮边缘的线速度大小相等，由v＝ωR可知，则左、右两边塔轮的半径之比为R左∶R右＝2∶1。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. （2024·江苏淮安期末）用如图所示的实验装置（其中挡板A、C到
转轴的距离相等）探究小球
向心力大小与角速度关系时，
下列操作正确的是（ ）
A. 将质量不同的小球分别放在挡板A和挡板C上
B. 将质量相同的小球分别放在挡板B和挡板C上
C. 将传动皮带套在两个半径相同的塔轮上
D. 将传动皮带套在两个半径不同的塔轮上
解析： 本实验采用控制变量法探究影响向心力大小的因素，当
探究小球向心力大小与角速度关系时，应控制两小球质量和运动半
径相同，并使两小球角速度不同，因此应该将质量相同的小球分别
放在挡板A和挡板C上，并将传动皮带套在两个半径不同的塔轮
上，故选D。
2. 两个同学做体验性实验来粗略地验证向心力公式Fn＝m和Fn＝
mω2r。他们的做法如下：如图甲，绳子的一端拴一个小沙袋（或
其他小物体），绳上离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，80
cm的地方打另一个绳结B。同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤
操作：
操作三：改为手握绳结B，使沙袋在水平方向上每秒运动1周。体会
此时绳子拉力的大小。
操作一：手握绳结A，如图乙，使沙袋在水平方向上做匀速圆周运
动，每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
操作二：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平方向上每秒运动2周。体
会此时绳子拉力的大小。
根据以上操作步骤填空：操作一与操作三 （填“线速度”
或“角速度”）相同，同学乙感到 （填“操作一”或“操
作二”）绳子拉力比较大；操作二与操作三 （填“线速
度”或“角速度”）相同，同学乙感到 （填“操作二”或
“操作三”）绳子拉力比较大。
角速度
操作二
线速度
操作二
解析：由于操作一和操作三沙袋都是每秒运动1周，所以沙袋的角
速度相同。操作二与操作三，线速度v＝，故线速度相同。设沙
袋的质量为m，操作一中沙袋的角速度为ω，运动半径为r，则操作
二中沙袋的角速度为2ω，半径为r，操作三种沙袋的角速度为ω，
运动半径为2r。根据向心力公式可得三次操作中沙袋所受的向心力
大小分别为F1＝mω2r，F2＝4mω2r，F3＝2mω2r，则F1＜F3＜F2，因
此操作一与操作二相比，同学乙感到操作二绳子拉力比较大；操作
二与操作三相比，同学乙感到操作二拉力比较大。
3. 小吴同学用如图甲所示的实验装置来探究小球做圆周运动所需向心
力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，塔轮自上而下
有三层，每层左右半径之比由上至下分别是1∶1，2∶1和3∶1（如
图乙所示）。左右塔轮通过不打滑的传动皮带连接，并可通过改变
传动皮带所处的层来改变左右塔轮的角速度之比，实验时，将两个
小球分别放在短槽的C处和长槽的A（或B）处，A、C分别到左右
塔轮中心的距离相等，B到左塔轮中心的距离是A到左塔轮中心距
离的2倍，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮一起匀速转动，
槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心
力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下
降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个小球所
受向心力的比值。请回答相关问题：
（1）在某次实验中，小吴同学把两个质量相等的钢球放在B、C位
置，将传动皮带调至第一层塔轮，转动手柄，观察左右标出
的刻度，此时可研究向心力的大小与 的关系；
A. 质量m B. 角速度ω C. 半径r
解析：第一层皮带传动时线速度大小相等且半径相等，则两盘转动的角速度相等，将质量相等的两个小球分别放置挡板B和C处，就能保证有不同的半径，可知探究的是向心力和半径的关系；
C
（2）若传动皮带套在塔轮第三层，则塔轮转动时，A、C两处的角
速度之比为 ；
解析：若传动皮带套在塔轮第三层，同一皮带的线速度大小相等，而两轮的半径之比为3∶1，由v＝ωR可知，两塔轮的角速度之比为1∶3；
1∶3
（3）在另一次实验中，小吴同学把两个质量相等的钢球放在A、C
位置。传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动
时，左右两标尺的露出的格子数之比为 。
解析：两个球的质量m相等，传动皮带位于第二层时，因两轮的半径R之比为2∶1，则由v＝ωR可知，两塔轮的角速度之比为1∶2；A、C分别到左右塔轮中心的距离相等即转动时的半径r相等，根据Fn＝mω2r可知向心力之比为1∶4，左右两标尺的露出的格子数为向心力的大小关系，则格子数之比为1∶4。
1∶4
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. （多选）关于圆周运动的向心力，下列说法正确的是（ ）
A. 物体做匀速圆周运动的向心力是物体受到的指向圆心方向的合
力，是根据力的作用效果来命名的
B. 向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力
的分力
C. 对于匀速圆周运动，向心力是一个恒力
D. 向心力的效果是改变物体线速度的大小和方向
1
2
3
4
5
6
解析： 物体做匀速圆周运动时的向心力是物体所受的合力，
向心力是根据作用效果命名的，故A正确；向心力是物体受到的指
向圆心方向的力，可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或
某一个力的分力，故B正确；向心力的方向总是指向圆心，故方向
不断变化，即向心力是一个变力，故C错误；向心力的方向总是与
线速度方向垂直，不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方
向，故D错误。
1
2
3
4
5
6
2. 如图所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中A、B为两个
穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的物体。试结合下列演示现
象，分析影响向心力的因素。
（1）使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆；
现象：连接A的棉线先断；
表明：在半径和角速度一定的条件下，
圆周运动所需向心力
随 的增大而增大；
物体质量
1
2
3
4
5
6
解析：两物体的质量mA＞mB，连接A的棉线先断，即质量越大，棉线的拉力越大，则说明在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随物体质量的增大而增大。
1
2
3
4
5
6
（2）使质量mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆；
现象：连接A的棉线先断；
表明：在物体质量和角速度一定
的条件下，圆周运动所需向
心力随 的增大而增大；
转动半径
1
2
3
4
5
6
解析：两物体质量mA＝mB，线长LA＞LB，而连接A的棉线先断，即棉线越长，所受的拉力越大；表明在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动半径的增大
而增大。
1
2
3
4
5
6
（3）对任一次断线过程进行考察；
现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间
之后线才断的；
表明：在物体质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心
力随 的增大而增大。
转动角速度
1
2
3
4
5
6
解析：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后随着转动角速度的增大线才断的，表明在物体质量和半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随转动角速度的增
大而增大。
1
2
3
4
5
6
3. 图甲为探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间关系的
实验装置，图乙为示意图，图丙为俯视图。图乙中A、B槽分别与
a、b轮同轴固定，a、b两轮在皮带的带动下匀速转动。
1
2
3
4
5
6
（1）在该实验中应用了 （选填“理想实验法”“控
制变量法”或“理想模型法”）来探究向心力的大小与质量
m、角速度ω和半径r之间的关系。
解析：在该实验中应用了控制变量法来探究向心力的大
小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
控制变量法
1
2
3
4
5
6
（2）如图乙所示，如果两个钢球质量相等，且a、b轮半径相同，
则是在验证向心力的大小F与 之间的关系。
A. 质量m B. 半径r C. 角速度ω
B
1
2
3
4
5
6
解析：如图乙所示，如果两个钢球质量m相等，且a、b
轮半径相同，两球转动的角速度ω相同，则是在验证向心力
的大小F与转动半径r的关系。
1
2
3
4
5
6
（3）现有两个质量相同的钢球，①球放在A槽的边缘，②球放在B
槽的边缘，a、b轮半径相同，它们到各自转轴的距离之比为
2∶1。则钢球①、②的线速度之比为 。
解析：钢球①、②的角速度相等，则根据v＝ωr可知，
线速度之比为2∶1。
2∶1
1
2
3
4
5
6
4. 一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运
动时向心力大小与角速度、半径的关系。在保证重物的质量m和做
圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，
得到几组向心力大小Fn与半径r的数据，记录到表1中。
表1 向心力Fn与半径r的测量数据
次数 1 2 3 4 5
半径r/mm 50 60 70 80 90
向心力Fn/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83
1
2
3
4
5
6
在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物做
圆周运动的角速度ω，得到几组向心力大小Fn和角速度ω的数据，记录
到表2中。
表2 向心力Fn与角速度ω的测量数据
次数 1 2 3 4 5
角速度 ω/（rad·s－1） 6.8 9.3 11.0 14.4 21.8
向心力Fn/N 0.98 2.27 2.82 4.58 10.81
1
2
3
4
5
6
（1）根据上面的测量结果，分别在图甲和图乙中作出Fn-r图线和Fn-ω
图线。
1
2
3
4
5
6
答案：
1
2
3
4
5
6
（2）若作出的Fn-ω图线不是直线，可以尝试作Fn-ω2图线，试在图丙
中作出Fn-ω2图线。
1
2
3
4
5
6
（3）通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成 ，与角速度
的平方成 。
答案：
正比
正比
1
2
3
4
5
6
5. 图甲为DIS向心力实验器，可用来探究影响向心力大小的因素。
实验中可以用力传感器测出砝码做圆周运动所需要的向心力大小，
用光电门传感器辅助测量砝码转动的角速度。
1
2
3
4
5
6
（1）电脑通过光电门传感器测量挡光杆通过光电门的时间，并由
挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门传感器的时间Δt、挡光杆
做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，
则其计算角速度的表达式为 。
解析：物体转动的线速度v＝，根据ω＝计算得出ω＝。
ω＝
1
2
3
4
5
6
（2）图乙中①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速
度的关系图线，由图可知，曲线①对应的砝码质量
（选填“大于”或“小于”）曲线②对应的砝码质量。
小于
1
2
3
4
5
6
解析：由向心力和角速度的关系图线可知，同样的角速
度和圆周运动半径，曲线②对应的向心力偏大些，因此，曲
线②对应的砝码质量大于曲线①对应的砝码质量。
1
2
3
4
5
6
6. （2024·河北石家庄期末）下图所示，图甲是“探究向心力大小F与
质量m、半径r、角速度ω的关系”的实验装置示意图。电动机带动
转台匀速转动，改变电动机的电压可以改变转台的转速：质量为m
的金属块放在转台上随转台一起转动，金属块到转轴的水平距离为
r，用一轻质细线绕过固定在转台中心的光滑小滑轮与力传感器连
接，可直接测量向心力的大小F；转台一端下方固定挡光宽度为d的
挡光杆，挡光杆经过光电门时，系统将自动记录其挡光时间。金属
块与转台之间的摩擦力忽略不计。
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
（1）某同学测出挡光杆到转轴的水平距离为R，转台匀速转动时挡
光杆经过光电门时的挡光时间为Δt，转台的角速度ω的表达式
为 （用题目中所给物理量的字母表示）。
解析：挡光杆绕转轴运动的线速度v＝
根据v＝ωR可知转台的角速度的表达式为ω＝ 。
ω＝
1
2
3
4
5
6
（2）该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，需要控
制 和 两个量保持
不变；多次改变转速后，记录了一系列力与对应角速度的数
据，作出F-ω2图像如图乙所示，若已知金属块质量m＝0.45
kg，且测得向心力与m、ω、r的关系为F＝mω2r，则金属块到
转轴的水平距离r＝ m。（结果保留两位有效数字）
金属块的质量m
金属块到转轴的水平距离r
0.20
1
2
3
4
5
6
解析：该同学为了探究向心力大小F与角速度ω的关系，需要控制金属块的质量m和金属块到转轴的水平距离r两个量保持不变；
根据F＝mrω2结合图像可得mr＝k＝＝0.09
若已知金属块质量m＝0.45 kg，则金属块到转轴的水平距离r
＝0.20 m。
1
2
3
4
5
6
谢谢观看!
