2.2 向心力的分析与计算
要点一 向心力的来源分析
1.关于向心力的说法正确的是（ ）
A.物体由于做圆周运动而产生了向心力
B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
2.（2024·江苏盐城期末）如图所示，在粗糙的水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内做完整匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块相对木板始终静止，则（ ）
A.物块始终受到三个力作用
B.在a、b两点，水平板对物块的作用力指向圆心
C.物块全程所受的摩擦力大小不变
D.物块全程向心力大小不变
要点二 匀速圆周运动的特点及解题方法
3.一个在水平面上做匀速圆周运动的物体，如果半径不变，而速率增加为原来速率的3倍时，其向心力是36 N，则物体原来受到的向心力的大小是（ ）
A.2 N B.4 N
C.6 N D.8 N
4.辽宁舰质量为m＝6×107 kg，如图所示的是辽宁舰在海上转弯时的照片，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动的速度大小为20 m/s，圆周运动的半径为1 000 m，下列说法正确的是（ ）
A.在A点时水对舰的作用力指向圆心
B.在A点时水对舰的作用力大小约为F＝6.0×108 N
C.在A点时水对舰的作用力大小约为F＝2.4×107 N
D.在A点时水对舰的作用力大小为0
5.如图所示，轻杆的一端拴一小球，另一端与竖直杆铰接。当竖直杆以角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直杆之间的张角为θ。下列图像中能正确表示角速度ω与张角θ关系的是（ ）
要点三 变速圆周运动和一般的曲线运动
6.如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动（俯视为逆时针）。某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示（俯视图）中，正确的是（ ）
7.（2024·江苏南通期末）一汽车在水平地面上以恒定速率行驶，汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力（ ）
A.Fa＜Fb＜Fc B.Fa＞Fb＞Fc
C.Fa＞Fc＞Fb D.Fa＝Fb＝Fc
8.（多选）如图所示为甩干桶简易模型。若该模型的半径为r＝16 cm，以角速度 ω＝50 rad/s做匀速圆周运动，质量为 10 g 的小物体随桶壁一起转动，下列说法正确的是（ ）
A.甩干桶壁上某点的线速度大小为 8 m/s
B.甩干桶壁上某点的线速度大小为6.25 m/s
C.小物体对桶壁的压力为4 N
D.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力
9.如图所示，在光滑杆上穿着两个小球，其质量关系是m1＝2m2，用细线把两小球连起来，当盘架匀速转动时两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离之比r1∶r2为（ ）
A.1∶1 B.1∶
C.2∶1 D.1∶2
10.（多选）质量为m的小球用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方 处有一光滑小钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间（瞬时速度不变），设细线没有断裂，则下列说法正确的是（ ）
A.小球的角速度突然增大
B.小球的角速度突然减小
C.小球对细线的拉力突然增大
D.小球对细线的拉力保持不变
11.市面上有一种自动计数的智能呼啦圈深受女士们喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，轨道内有一滑轮，滑轮与细绳连接，细绳的另一端连接配重，其模型简化如图乙所示。已知配重质量0.5 kg，绳长为0.4 m，悬挂点到腰带中心的距离为0.2 m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动，计数器显示在1 min内运动的圈数为120，此时绳子与竖直方向夹角为θ，配重运动过程中腰带可看作不动，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是（ ）
A.匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B.配重的角速度是240π rad/s
C.θ为37°
D.若增大转速，向心力变大
12.如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力大小之比。
13.如图所示，沿半径为R的半球型碗的光滑内表面，质量为m的小球正在虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，小球离碗底的高度h＝，试求（结果可用根号表示）：
（1）此时小球对碗壁的压力大小；
（2）小球做匀速圆周运动的线速度大小；
（3）小球做匀速圆周运动的周期大小。
2.2 向心力的分析与计算
1.B 向心力是物体做圆周运动的原因，物体由于有向心力才做圆周运动，故A错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误；向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能考虑向心力，故C错误。
2.D 物块在最高点和最低点仅受到重力和支持力的作用，没有摩擦力，而在a、b两点，摩擦力最大，A、C错误；在a、b两点，水平板对物块的作用力的竖直分量与物块的重力平衡，水平分量提供物块做圆周运动的向心力，B错误；由于物块做匀速圆周运动，因此向心力大小不变，D正确。
3.B 根据向心力公式得F1＝m，当速率为原来的3倍时有F2＝m＝36 N，解得F1＝4 N，选项B正确。
4.B 舰在匀速圆周运动的过程中受到重力与水的作用力，合力的方向沿水平方向提供向心力，则合力F＝m＝ N＝2.4×107 N，由于合力的方向指向圆心，所以水的作用力的方向为斜向上，大小为F水＝，代入数据可得 F水≈6.0×108 N，故选B。
5.D 小球受到重力mg和轻杆的拉力FT的共同作用，将拉力进行分解，由圆周运动规律可知小球在水平方向上，有FTsin θ＝mω2lsin θ，式中l为杆的长度，在竖直方向上，有FTcos θ＝mg，联立解得 ω＝，根据函数关系知D正确，A、B、C错误。
6.C 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；合力的径向分力提供向心力，切向分力产生切向加速度。由于转速不断增加，做加速圆周运动，则合力与速度的夹角小于90°，故选C。
7.A 汽车在水平地面上以恒定速率行驶，通过题图中的a、b、c三处时半径逐渐减小，故由向心力公式F＝m，得Fa＜Fb＜Fc，故选A。
8.AC 甩干桶壁上某点的线速度大小为v＝ωr＝8 m/s，故A正确，B错误；桶壁对小物体的弹力提供向心力，则FN＝mω2r＝4 N，根据牛顿第三定律可知，小物体对桶壁的压力为4 N，故C正确；小物体受到重力、弹力、摩擦力作用，其合力等于向心力，故D错误。
9.D 两小球所受的细线的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有m1ω2r1＝m2ω2r2，解得r1∶r2＝1∶2，故D正确。
10.AC 根据题意，细线碰到钉子的瞬间，小球的瞬时速度v不变，但其做圆周运动的半径从L突变为，由ω＝ 可知小球的角速度突然增大，选项A正确，B错误；根据FT－mg＝m 可知小球受到的拉力增大，由牛顿第三定律知，小球对细线的拉力增大，选项C正确，D错误。
11.D 匀速转动时，配重受到的合力大小不变，方向时刻指向圆心而变化，因此是变力，故A错误；计数器显示在1 min内运动的圈数为120，可得周期为T＝ s＝0.5 s，ω＝＝4π rad/s，故B错误；对配重受力分析，如图所示，可得mgtan θ＝mr，而配重做圆周运动的半径为r＝r0＋Lsin θ，联立解得θ不等于37°，故C错误；若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角θ将增大，由 mg＝FTcos θ，FTsin θ＝Fn，可知配重在竖直方向平衡，拉力FT变大，向心力Fn变大，故D正确。
12.3∶2
解析：球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，故球的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供。
分别隔离A、B受力分析，如图所示。A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，则由向心力公式可得
对A：FOA－FAB＝mω2r，
对B：FAB'＝2mω2r
又FAB＝FAB'，
联立三式解得FOA∶FAB＝3∶2。
13.（1）2mg （2） （3）π
解析：（1）由几何关系可知，支持力与水平方向的夹角为θ＝30°
对小球受力分析，可知FN sin 30°＝mg，
解得FN＝2mg。
根据牛顿第三定律可知小球对碗壁的压力大小为2mg。
（2）根据牛顿第二定律可知
FNcos 30°＝m
解得v＝。
（3）根据T＝
可得T＝π 。
4 / 42.2 向心力的分析与计算
课标要求 素养目标
能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力 1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能进行计算。（科学思维） 2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点。（科学思维）
知识点一 向心力的大小及来源分析
1.向心力的公式
Fn＝ 或Fn＝m。
2.来源：向心力可以是由某个力或几个力的 提供，也可以是某个力的分力提供，向心力是根据力的作用效果命名的。
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个效果，如图所示。
（1）跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的 。
（2）指向圆心的分力Fn：改变线速度的 。
2.一般的曲线运动
（1）一般的曲线运动：运动轨迹既不是 也不是 的曲线运动。
（2）处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作 的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用 运动的分析方法来处理。
【情景思辨】
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，在秋千由上向下荡下的过程中。
（1）小朋友做的是匀速圆周运动。（ ）
（2）绳子拉力与小朋友受到的重力的合力指向悬挂点。（ ）
（3）小朋友在最低点时所受向心力最大。（ ）
（4）向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。（ ）
要点一 向心力的来源分析和计算
【探究】
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
（1）物体做圆周运动需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
（2）当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？
【归纳】
1.向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝mr。
2.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力的一个分力提供向心力。
3.几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力（弹力）提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力（或拉力与重力的合力）提供向心力
【典例1】 （多选）用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B.小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C.向心力的大小可以表示为 Fn＝mrω2，也可以表示为Fn＝mgtan θ
D.小球所受合力为恒力
尝试解答
1.如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力及其方向的判定正确的有（ ）
A.圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B.圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C.物体B受到圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D.物体B受到圆盘对B的摩擦力和向心力
要点二 匀速圆周运动的特点及解题方法
1.质点做匀速圆周运动的条件：合力的大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是速度的方向变化而速度大小不变的运动，所以向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。
2.匀速圆周运动的三个特点
（1）线速度大小不变、方向时刻改变。
（2）角速度、周期、频率都恒定不变。
（3）向心力的大小恒定不变，但方向时刻改变。
3.匀速圆周运动问题的解题步骤
【典例2】 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO'转动，设绳长l＝10 m，质点的质量 m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m。转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
（1）绳子拉力的大小；
（2）转盘角速度的大小。
思路点拨
（1）质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。
（2）质点到竖直轴OO'间的距离为质点圆周运动的半径。
尝试解答
规律总结
几种常见的圆周运动的动力学方程
图形 受力 分析 力的分 解方法 满足的方程
或mgtan θ＝mω2lsin θ
或mgtan θ＝mω2r
或mgtan θ＝mω2r
2.两根长度不同的细线下面分别悬挂小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是（ ）
3.（多选）一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则（ ）
A.A球的角速度小于B球的角速度
B.A球的线速度小于B球的线速度
C.A球运动的周期大于B球运动的周期
D.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
要点三 变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动
（1）受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果。
（2）某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解。
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。
（1）合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来越大。
（2）合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小。
【典例3】 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（ ）
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
尝试解答
4.如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则（ ）
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C.物体的合力就是向心力
D.物体的合力方向始终不与其运动方向垂直（最低点除外）
1.飞机沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐增大。在此过程中飞机所受合力F的方向可能是（ ）
2.（多选）如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉子A、B均在一条直线上（图示位置），且细绳的一大部分沿顺时针方向缠绕在两钉子上（俯视）。现使小球以初速度v0在水平面上沿逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是（ ）
A.小球的速度变大
B.小球的角速度变小
C.小球的向心力变小
D.细绳对小球的拉力变大
3.如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0. 8 m的细绳悬于以大小为v＝4 m/s的速度向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比FB∶FA为（g＝10 m/s2）（ ）
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶3 D.1∶4
4.质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到小球对其的作用力的大小为（ ）
A.mω2R B.m
C.m D.不能确定
5.如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求：（重力加速度为g）
（1）轻绳的拉力大小；
（2）小球A做匀速圆周运动的线速度大小。
2.2 向心力的分析与计算
【基础知识·准落实】
知识点一
1.mω2r 2.合力
知识点二
1.（1）大小 （2）方向 2.（1）直线 圆周 （2）圆周运动 圆周
情景思辨
（1）× （2）× （3）√ （4）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：（1）物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
（2）当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r可知需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
【典例1】 BC 因为向心力是效果力，并不是实际受力，受力分析时不分析，A错误；小球受重力和绳子的拉力而做匀速圆周运动，所以圆周运动的向心力是由重力和绳子的拉力的合力提供的，B正确；根据向心力公式可知Fn＝mrω2，根据受力分析可得Fn＝mgtan θ，C正确；小球所受合力提供向心力，方向时刻指向圆心，力的方向一直在变化，是变力，D错误。
素养训练
1.B A和B一起随圆盘做匀速圆周运动，A做圆周运动的向心力由B对A的静摩擦力提供，所以B对A的摩擦力方向指向圆心，则A对B的摩擦力方向背离圆心；B做圆周运动的向心力由A对B的摩擦力和圆盘对B的摩擦力的合力提供，向心力指向圆心，又因为A对B的摩擦力背离圆心，则圆盘对B的摩擦力指向圆心，故A错误，B正确。向心力是效果力，不是物体实际受到的力，不能说物体受到向心力作用，故C、D错误。
要点二
知识精研
【典例2】 （1）750 N （2） rad/s
解析：（1）如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向，有Fcos 37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
（2）人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有mgtan 37°＝mω2R
根据几何关系，有R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝＝ rad/s。
素养训练
2.B 小球做匀速圆周运动，设细线与竖直方向的夹角为θ，mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得Lcos θ＝，即两球处于同一高度，故B正确。
3.AC
两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，这两个力的合力提供向心力，如图所示，F合＝，由牛顿第二定律可得＝mω2R＝＝
所以ω＝ ①
v＝ ②
T＝2π ③
筒壁对小球的弹力FN＝ ④
A球运动的半径大于B球运动的半径。由①式可知A球的角速度小于B球的角速度；由②式可知A球的线速度大于B球的线速度；由③式可知A球的运动周期大于B球的运动周期；由④式结合牛顿第三定律可知A球对筒壁的压力一定等于B球对筒壁的压力。综合以上，选项A、C正确。
要点三
知识精研
【典例3】 A 转盘匀速转动一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，物块P所受的重力和支持力平衡，均在竖直方向不充当向心力，因而只能由摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A正确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D错误。
素养训练
4.D 物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心（最低点除外），合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确。
【教学效果·勤检测】
1.B 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于飞机速度逐渐增大，则合力F的方向沿切线方向的分力与速度方向相同，B正确，C错误。
2.BC 小球所受的拉力始终与其速度方向垂直，不改变速度大小，故A错误；由v＝ωr可知，v不变，r变大，则角速度ω变小，故B正确；小球的向心力Fn＝m，v不变，r变大，则向心力变小，故C正确；细绳对小球的拉力提供向心力，有F＝m，v不变，r变大，则F变小，故D错误。
3.C FB＝mg，FA＝mg＋m＝3mg，所以 FB∶FA＝1∶3，故C正确。
4.C 对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力充当向心力。由平行四边形定则可得F＝m，再根据牛顿第三定律，可知杆的上端受到小球对其的作用力的大小为F'＝F＝m，故选项C正确。
5.（1）m2g （2）
解析：（1）物块B受力平衡，故轻绳拉力大小 FT＝m2g。
（2）小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力FT提供，根据牛顿第二定律有m2g＝m1
解得v＝。
7 / 7(共77张PPT)
第2课时 向心力的分析与计算
课标要求 素养目标
能用牛顿第二定
律分析匀速圆周
运动的向心力 1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并
能进行计算。（科学思维）
2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点。
（科学思维）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 向心力的大小及来源分析
1. 向心力的公式
Fn＝ 或Fn＝m。
2. 来源：向心力可以是由某个力或几个力的 提供，也可以是
某个力的分力提供，向心力是根据力的作用效果命名的。
mω2r
合力
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1. 变速圆周运动的合力：
变速圆周运动的合力产生两个效果，如图所示。
（1）跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的 。
（2）指向圆心的分力Fn：改变线速度的 。
大小
方向
2. 一般的曲线运动
（1）一般的曲线运动：运动轨迹既不是 也不是
的曲线运动。
（2）处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小
段的运动都可以看作 的一部分，分析质点经过
曲线上某位置的运动时，可以采用 运动的分析方法
来处理。
直线
圆周
圆周运动
圆周
【情景思辨】
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，在秋千由上向下荡下的过程中。
（1）小朋友做的是匀速圆周运动。 （ × ）
（2）绳子拉力与小朋友受到的重力的合力指向悬挂点。 （ × ）
（3）小朋友在最低点时所受向心力最大。 （ √ ）
×
×
√
（4）向心力只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
（ √ ）
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 向心力的来源分析和计算
【探究】
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
（1）物体做圆周运动需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力
沿什么方向？
提示：物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力
作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
（2）当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受
的摩擦力大小怎样变化？
提示：当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r可知需要
的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
【归纳】
1. 向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝mr。
2. 向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力。在非匀速圆周运动中，物
体合力不是始终指向圆心，合力的一个分力提供向心力。
3. 几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力（弹力）提
供向心力
3. 几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
物体随转盘做匀速圆周
运动，且物体相对于转
盘静止 静摩擦力提供向心力
实例分析 图例 向心力来源
用细绳拴住小球在竖直
平面内做圆周运动，当
小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在
水平面内做匀速圆周运
动时 绳的拉力的水平分力（或拉力
与重力的合力）提供向心力
【典例1】 （多选）用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图所示，下
列说法正确的是（ ）
A. 小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用
B. 小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力
C. 向心力的大小可以表示为 Fn＝mrω2，也可以表示为Fn＝mgtan θ
D. 小球所受合力为恒力
解析：因为向心力是效果力，并不是实际受力，受力分析时不分析，
A错误；小球受重力和绳子的拉力而做匀速圆周运动，所以圆周运动
的向心力是由重力和绳子的拉力的合力提供的，B正确；根据向心力公式可知Fn＝mrω2，根据受力分析可得Fn＝mgtan θ，C正确；小球所受合力提供向心力，方向时刻指向圆心，力的方向一直在变化，是变力，D错误。
1. 如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向
所受的作用力及其方向的判定正确的有（ ）
A. 圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B. 圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C. 物体B受到圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D. 物体B受到圆盘对B的摩擦力和向心力
解析： A和B一起随圆盘做匀速圆周运动，A做圆周运动的向心
力由B对A的静摩擦力提供，所以B对A的摩擦力方向指向圆心，则
A对B的摩擦力方向背离圆心；B做圆周运动的向心力由A对B的摩
擦力和圆盘对B的摩擦力的合力提供，向心力指向圆心，又因为A
对B的摩擦力背离圆心，则圆盘对B的摩擦力指向圆心，故A错误，
B正确。向心力是效果力，不是物体实际受到的力，不能说物体受
到向心力作用，故C、D错误。
要点二 匀速圆周运动的特点及解题方法
1. 质点做匀速圆周运动的条件：合力的大小不变，方向始终与速度方
向垂直且指向圆心。匀速圆周运动是速度的方向变化而速度大小不
变的运动，所以向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合力。
2. 匀速圆周运动的三个特点
（1）线速度大小不变、方向时刻改变。
（2）角速度、周期、频率都恒定不变。
（3）向心力的大小恒定不变，但方向时刻改变。
3. 匀速圆周运动问题的解题步骤
【典例2】 图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装
置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在
座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可
简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕
竖直转轴OO'转动，设绳长l＝10 m，质点的质量 m＝60 kg，转盘静止
时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m。转盘逐渐加速转动，经过一段时
间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝
37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，g取10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
（1）绳子拉力的大小；
（2）转盘角速度的大小。
答案：（1）750 N（2） rad/s
思路点拨
（1）质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。
（2）质点到竖直轴OO'间的距离为质点圆周运动的半径。
解析：（1）如图所示，对人和座椅进行受力
分析，图中F为绳子的拉力，在竖直方向，有
Fcos 37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
（2）人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的
合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有mgtan 37°＝mω2R
根据几何关系，有R＝d＋lsin 37°
联立解得ω＝＝ rad/s。
规律总结
几种常见的圆周运动的动力学方程
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程
2. 两根长度不同的细线下面分别悬挂小球，细线上端固定在同一点，
若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆
周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是
（ ）
解析： 小球做匀速圆周运动，设细线与竖直方向的夹角为θ，
mgtan θ＝mω2Lsin θ，整理得Lcos θ＝，即两球处于同一高度，故
B正确。
3. （多选）一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质
量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运
动，如图所示，A的运动半径较大，则（ ）
A. A球的角速度小于B球的角速度
B. A球的线速度小于B球的线速度
C. A球运动的周期大于B球运动的周期
D. A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力
解析： 两球均贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用，这两个力的合力提供向心力，如图所示，F合＝，由牛顿第二定律可得＝mω2R＝＝
所以ω＝ ①
v＝ ②
T＝2π ③
筒壁对小球的弹力FN＝ ④
A球运动的半径大于B球运动的半径。由①式可知A球的角速度小于
B球的角速度；由②式可知A球的线速度大于B球的线速度；由③式
可知A球的运动周期大于B球的运动周期；由④式结合牛顿第三定
律可知A球对筒壁的压力一定等于B球对筒壁的压力。综合以上，
选项A、C正确。
要点三 变速圆周运动和一般的曲线运动
1. 变速圆周运动
（1）受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变
线速度大小和方向两个作用效果。
（2）某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解。
2. 一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与
合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。
（1）合力方向与速度方向夹角为锐角时，力为动力，速率越来
越大。
（2）合力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来
越小。
【典例3】 如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中
c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下
列说法正确的是（ ）
A. 当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B. 当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C. 当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D. 当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
解析：转盘匀速转动一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，物块
P所受的重力和支持力平衡，均在竖直方向不充当向心力，因而只能
由摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向为c，A正
确，B错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c
方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增
大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C错误；当转盘减速转
动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还
有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方
向，不可能沿b方向，D错误。
4. 如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程
中，物体的速率逐渐增大，则（ ）
A. 物体的合力为零
B. 物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C. 物体的合力就是向心力
D. 物体的合力方向始终不与其运动方向垂直（最低点除外）
解析： 物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速
度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心（最低点除外），合力沿
半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变
大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐
角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 飞机沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐增大。在此过程
中飞机所受合力F的方向可能是（ ）
解析： 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，
A、D错误；由于飞机速度逐渐增大，则合力F的方向沿切线方向的
分力与速度方向相同，B正确，C错误。
2. （多选）如图所示，在光滑水平面上钉有两个钉子A和B，一根长
细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A上，开始时小球与钉
子A、B均在一条直线上（图示位置），且细绳的一大部分沿顺时
针方向缠绕在两钉子上（俯视）。现使小球以初速度v0在水平面上
沿逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在
绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是（ ）
A. 小球的速度变大
B. 小球的角速度变小
C. 小球的向心力变小
D. 细绳对小球的拉力变大
解析： 小球所受的拉力始终与其速度方向垂直，不改变速度
大小，故A错误；由v＝ωr可知，v不变，r变大，则角速度ω变小，
故B正确；小球的向心力Fn＝m，v不变，r变大，则向心力变小，
故C正确；细绳对小球的拉力提供向心力，有F＝m，v不变，r变
大，则F变小，故D错误。
3. 如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0. 8 m的细绳悬于以
大小为v＝4 m/s的速度向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后
壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比
FB∶FA为（g＝10 m/s2）（ ）
A. 1∶1 B. 1∶2
C. 1∶3 D. 1∶4
解析： FB＝mg，FA＝mg＋m＝3mg，所以 FB∶FA＝1∶3，故
C正确。
4. 质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一
个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运
动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到小球对其的作用力
的大小为（ ）
A. mω2R
D. 不能确定
解析： 对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，
另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力充当向心力。由平行
四边形定则可得F＝m，再根据牛顿第三定律，可知杆
的上端受到小球对其的作用力的大小为F'＝F＝m，故
选项C正确。
5. 如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相
连，轻绳穿过光滑水平板绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块
B刚好保持静止。求：（重力加速度为g）
（1）轻绳的拉力大小；
答案：m2g
解析：物块B受力平衡，故轻绳拉力大小 FT＝m2g。
（2）小球A做匀速圆周运动的线速度大小。
答案：
解析：小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力FT提供，根
据牛顿第二定律有m2g＝m1
解得v＝。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 向心力的来源分析
1. 关于向心力的说法正确的是（ ）
A. 物体由于做圆周运动而产生了向心力
B. 向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C. 对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D. 做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
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解析： 向心力是物体做圆周运动的原因，物体由于有向心力才
做圆周运动，故A错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所以它
不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合力完全提供向心
力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，
即向心力是变力，故B正确，D错误；向心力是根据力的作用效果
命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力
的合力，受力分析时不能考虑向心力，故C错误。
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2. （2024·江苏盐城期末）如图所示，在粗糙的水平板上放一个物
块，使水平板和物块一起在竖直平面内做完整匀速圆周运动，ab为
水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物块
相对木板始终静止，则（ ）
A. 物块始终受到三个力作用
B. 在a、b两点，水平板对物块的作用力指向圆心
C. 物块全程所受的摩擦力大小不变
D. 物块全程向心力大小不变
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解析： 物块在最高点和最低点仅受到重力和支持力的作用，没
有摩擦力，而在a、b两点，摩擦力最大，A、C错误；在a、b两
点，水平板对物块的作用力的竖直分量与物块的重力平衡，水平分
量提供物块做圆周运动的向心力，B错误；由于物块做匀速圆周运
动，因此向心力大小不变，D正确。
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要点二 匀速圆周运动的特点及解题方法
3. 一个在水平面上做匀速圆周运动的物体，如果半径不变，而速率增
加为原来速率的3倍时，其向心力是36 N，则物体原来受到的向心
力的大小是（ ）
A. 2 N B. 4 N
C. 6 N D. 8 N
解析： 根据向心力公式得F1＝m，当速率为原来的3倍时有F2
＝m＝36 N，解得F1＝4 N，选项B正确。
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4. 辽宁舰质量为m＝6×107 kg，如图所示的是辽宁舰在海上转弯时的
照片，假设整个过程中辽宁舰做匀速圆周运动的速度大小为20
m/s，圆周运动的半径为1 000 m，下列说法正确的是（ ）
A. 在A点时水对舰的作用力指向圆心
B. 在A点时水对舰的作用力大小约为F＝6.0×108 N
C. 在A点时水对舰的作用力大小约为F＝2.4×107 N
D. 在A点时水对舰的作用力大小为0
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解析： 舰在匀速圆周运动的过程中受到重力与水的作用力，合
力的方向沿水平方向提供向心力，则合力F＝m＝ N＝
2.4×107 N，由于合力的方向指向圆心，所以水的作用力的方向为
斜向上，大小为F水＝，代入数据可得 F水
≈6.0×108 N，故选B。
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5. 如图所示，轻杆的一端拴一小球，另一端与竖直杆铰接。当竖直杆
以角速度ω匀速转动时，轻杆与竖直杆之间的张角为θ。下列图像
中能正确表示角速度ω与张角θ关系的是（ ）
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解析： 小球受到重力mg和轻杆的拉力FT的共同作用，将拉力进
行分解，由圆周运动规律可知小球在水平方向上，有FTsin θ＝
mω2lsin θ，式中l为杆的长度，在竖直方向上，有FTcos θ＝mg，联
立解得 ω＝，根据函数关系知D正确，A、B、C错误。
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要点三 变速圆周运动和一般的曲线运动
6. 如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在
圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动（俯视为逆时针）。某
段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间
内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示（俯视图）中，正确
的是（ ）
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解析： 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向
圆周的内侧；合力的径向分力提供向心力，切向分力产生切向加速
度。由于转速不断增加，做加速圆周运动，则合力与速度的夹角小
于90°，故选C。
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7. （2024·江苏南通期末）一汽车在水平地面上以恒定速率行驶，汽
车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力（ ）
A. Fa＜Fb＜Fc B. Fa＞Fb＞Fc
C. Fa＞Fc＞Fb D. Fa＝Fb＝Fc
解析： 汽车在水平地面上以恒定速率行驶，通过题图中的a、
b、c三处时半径逐渐减小，故由向心力公式F＝m，得Fa＜Fb＜
Fc，故选A。
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8. （多选）如图所示为甩干桶简易模型。若该模型的半径为r＝16
cm，以角速度 ω＝50 rad/s做匀速圆周运动，质量为 10 g 的小物体
随桶壁一起转动，下列说法正确的是（ ）
A. 甩干桶壁上某点的线速度大小为 8 m/s
B. 甩干桶壁上某点的线速度大小为6.25 m/s
C. 小物体对桶壁的压力为4 N
D. 小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力
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解析： 甩干桶壁上某点的线速度大小为v＝ωr＝8 m/s，故A正
确，B错误；桶壁对小物体的弹力提供向心力，则FN＝mω2r＝4
N，根据牛顿第三定律可知，小物体对桶壁的压力为4 N，故C正
确；小物体受到重力、弹力、摩擦力作用，其合力等于向心力，故
D错误。
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9. 如图所示，在光滑杆上穿着两个小球，其质量关系是m1＝2m2，用
细线把两小球连起来，当盘架匀速转动时两小球刚好能与杆保持无
相对滑动，此时两小球到转轴的距离之比r1∶r2为（ ）
A. 1∶1
C. 2∶1 D. 1∶2
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解析： 两小球所受的细线的拉力提供向心力，所以向心力相
等，角速度又相等，则有m1ω2r1＝m2ω2r2，解得r1∶r2＝1∶2，故D
正确。
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10. （多选）质量为m的小球用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点
的正下方 处有一光滑小钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图所
示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间（瞬时速度不
变），设细线没有断裂，则下列说法正确的是（ ）
A. 小球的角速度突然增大
B. 小球的角速度突然减小
C. 小球对细线的拉力突然增大
D. 小球对细线的拉力保持不变
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解析： 根据题意，细线碰到钉子的瞬间，小球的瞬时速度v
不变，但其做圆周运动的半径从L突变为，由ω＝ 可知小球的角
速度突然增大，选项A正确，B错误；根据FT－mg＝m 可知小球
受到的拉力增大，由牛顿第三定律知，小球对细线的拉力增大，
选项C正确，D错误。
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11. 市面上有一种自动计数的智能呼啦圈深受女士们喜爱。如图甲所
示，腰带外侧带有轨道，轨道内有一滑轮，滑轮与细绳连接，细
绳的另一端连接配重，其模型简化如图乙所示。已知配重质量0.5
kg，绳长为0.4 m，悬挂点到腰带中心的距离为0.2 m，水平固定
好腰带，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运
动，计数器显示在1 min内运动的圈数为120，此时绳子与竖直方
向夹角为θ，配重运动过程中腰带可看作不动，g＝10 m/s2，sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是（ ）
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A. 匀速转动时，配重受到的合力恒定不变
B. 配重的角速度是240π rad/s
C. θ为37°
D. 若增大转速，向心力变大
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解析： 匀速转动时，配重受到的合力大小不变，方向
时刻指向圆心而变化，因此是变力，故A错误；计数器显
示在1 min内运动的圈数为120，可得周期为T＝ s＝0.5
s，ω＝＝4π rad/s，故B错误；对配重受力分析，如图所
示，可得mgtan θ＝mr，而配重做圆周运动的半径为r＝
r0＋Lsin θ，联立解得θ不等于37°，故C错误；若增大转
速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹
角θ将增大，由 mg＝FTcos θ，FTsin θ＝Fn，可知配重在竖
直方向平衡，拉力FT变大，向心力Fn变大，故D正确。
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12. 如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，
当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对
球的拉力大小之比。
答案：3∶2
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解析：球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，故球的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供。
分别隔离A、B受力分析，如图所示。
A、B固定在同一根轻杆上，所以A、
B的角速度相同，设角速度为ω，则由
向心力公式可得
对A：FOA－FAB＝mω2r，
对B：FAB'＝2mω2r
又FAB＝FAB'，
联立三式解得FOA∶FAB＝3∶2。
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13. 如图所示，沿半径为R的半球型碗的光滑内表面，质量为m的小球
正在虚线所示的水平面内做匀速圆周运动，小球离碗底的高度h＝
，试求（结果可用根号表示）：
（1）此时小球对碗壁的压力大小；
答案：2mg
解析：由几何关系可知，支持力与水平方向的夹角为θ＝30°
对小球受力分析，可知FN sin 30°＝mg，
解得FN＝2mg。
根据牛顿第三定律可知小球对碗壁的压力大小为2mg。
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（2）小球做匀速圆周运动的线速度大小；
答案：
解析：根据牛顿第二定律可知
FNcos 30°＝m
解得v＝。
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（3）小球做匀速圆周运动的周期大小。
答案：π
解析：根据T＝
可得T＝π 。
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