3.向心加速度
要点一 向心加速度的理解
1.关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A.向心加速度是描述速率变化快慢的物理量
B.匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C.向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D.向心加速度随着轨道半径的增大而减小
2.做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1＞a2，下列判断正确的是（ ）
A.甲的线速度大于乙的线速度
B.甲的角速度比乙的角速度小
C.甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D.甲的速度方向比乙的速度方向变化快
3.大型游乐场中有一种叫“摩天轮”的娱乐设施，如图所示，坐在其中的游客随座舱的转动而做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A.游客的速度不变化，加速度为零
B.游客的速度不变化，加速度也不变化
C.游客的速度要变化，加速度却不变化
D.游客的速度要变化，加速度也要变化
要点二 向心加速度公式的应用
4.（多选）中国古代玩具饮水鸟的示意图如图所示，饮水鸟的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆动过程中（ ）
A.P点的线速度小于Q点的线速度
B.P点的角速度等于Q点的角速度
C.P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D.P、Q两点的线速度方向相反
5.A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像如图所示，其中A为双曲线的一支，由图可知（ ）
A.A物体运动的线速度大小不变
B.A物体运动的角速度不变
C.B物体运动的角速度是变化的
D.B物体运动的线速度大小不变
6.如图所示，转笔是大部分同学都会的一个小游戏，在转笔时，重的一端到支撑点的距离要近一点，这样才能使笔在手指上更稳定地绕该点转动， 假设重的一端的尾部是A点，轻的一端的尾部是B点，支撑点为O，OA∶OB＝2∶3，笔绕支撑点匀速转动，下列说法正确的是（ ）
A.相同时间内A点和B点转过的角度之比为3∶2
B.相同时间内A点和B点走过的弧长之比为3∶2
C.A、B两点向心加速度之比为2∶3
D.相同时间内OA和OB扫过的面积相等
7.如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动，则（ ）
A.A、B两点角速度大小之比为2∶1
B.A、B两点向心加速度大小之比为2∶1
C.B、C两点角速度大小之比为2∶1
D.B、C两点向心加速度大小之比为2∶1
8.如图，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，重力为G的女运动员做圆锥摆运动时身体和水平冰面的夹角约为30° 重力加速度为g，估算该女运动员（ ）
A.受到的拉力为G B.向心加速度为2g
C.受到的拉力为3G D.向心加速度为g
9.如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO'匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球，当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为（ ）
A.ω2R B.ω2r
C.ω2Lsin θ D.ω2（r＋Lsin θ）
10.如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与角速度的平方ω2的关系图像正确的是（ ）
11.如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36 m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12 s，则这位同学在沿弯道跑步时（ ）
A.角速度约为 rad/s
B.线速度约为3 m/s
C.转速约为 r/s
D.向心加速度约为 m/s2
12.（多选）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球移到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断正确的是（ ）
A.Q受到桌面的支持力变大
B.Q受到桌面的静摩擦力变大
C.小球P运动的角速度变大
D.小球P运动的向心加速度变大
13.如图所示，质量为m的小球用长为l的悬绳固定于O点。在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆动的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比和拉力之比分别为多少？（已知碰钉子时小球的速度为）
3.向心加速度
1.C 向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；根据an＝ω2r，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。
2.D 由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，所以不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，故A、B、C错误；向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1＞a2，表明甲的线速度方向比乙的线速度方向变化快，故D正确。
3.D 游客随摩天轮做匀速圆周运动时线速度大小不变，方向沿圆周的切线方向时刻改变，所以线速度是变化的；而加速度大小an＝不变，方向指向圆心，也时刻改变；即游客的速度要变化，加速度也要变化，故选D。
4.BD 根据同轴转动角速度相等知，P、Q两点的角速度大小相同，故B正确；根据v＝ωr及P点运动半径大，知P点线速度较大，故A错误；根据 an＝ω2r及P点运动半径大，知P点向心加速度较大，故C错误； P、Q两点的线速度均与杆垂直，方向相反，故D正确。
5.A 根据an＝知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，其图像为双曲线的一支；根据 an＝rω2知，当角速度ω大小为定值时，an与r成正比，其图像为过原点的倾斜直线，故A正确，B、C、D错误。
6.C A、B两点同轴转动，角速度相同，相同时间内转过的角度相同，由s＝vt＝ωrt，a＝ω2r可知弧长之比、向心加速度之比均等于半径之比，故A、B错误，C正确；相同时间内转过的角度相同，而半径不等，所以OA、OB扫过的面积不等，故D错误。
7.C 由题意可知，摩擦传动边缘点线速度大小相等，故A与B的线速度的大小相同，vA＝vB，A、C两点为同轴转动，角速度相等，即ωA＝ωC，根据v＝ωr结合题意可得ωB∶ωA∶ωC＝2∶1∶1，故C正确，A错误；根据a＝＝ω2r可得aA∶aB＝1∶2，aB∶aC＝4∶1，故B、D错误。
8.D 女运动员做圆锥摆运动，对女运动员进行受力分析可知，女运动员受到重力和男运动员对她的拉力，在竖直方向上合力为零，即Fsin 30°＝G，解得F＝2G，故A、C错误；在水平方向上，男运动员对女运动员的拉力F的水平分力提供圆周运动的向心力，即Fcos 30°＝ma向，解得a向＝g，故B错误，D正确。
9.D 小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO'的交点，所以小球做匀速圆周运动的半径为r＋Lsin θ，可知其加速度大小为an＝ω2（r＋Lsin θ），选项D正确。
10.A 设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，则对小球受力分析有Fsin θ＝mω2lsin θ，解得F＝mω2l，故A正确；根据mgtan θ＝mω2htan θ，解得h＝，故B错误；小球的向心加速度a＝ω2lsin θ，故C错误；小球的线速度v＝ωlsin θ，故D错误。
11.D 由题意知，同学在沿弯道跑步时角速度约为ω＝ rad/s，故A错误；根据v＝ωr可得线速度约为v＝3π m/s，故B错误；根据n＝得转速约为n＝ r/s，故C错误；根据an＝ω2r得向心加速度约为an＝ m/s2，故D正确。
12.BCD 对小球、金属块的受力分析如图所示。设绳子拉力的大小为F，绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长度为l，则有Fcos θ＝mg，Fsin θ＝mr，r＝lsin θ，解得T2＝ ，当小球位置升高时，夹角θ增大，周期减小，角速度增大，C正确；金属块处于平衡状态，有FN＝mQg＋Fcos θ＝（mQ＋m）g，支持力不变，A错误；Ff＝Fsin θ＝mgtan θ，小球位置升高，θ增大，静摩擦力增大，B正确；小球P的向心加速度an＝gtan θ，θ增大，an增大，D正确。
13.2∶3 4∶5
解析：在悬绳碰到钉子的前、后瞬间，速度不变，小球做圆周运动的半径从l变为l，则根据向心加速度公式有a前＝，a后＝，
所以a前∶a后＝2∶3。
在最低点有
F前－mg＝m
F后－mg＝m
解得F前＝2mg，F后＝mg
所以F前∶F后＝4∶5。
4 / 43.向心加速度
课标要求 素养目标
知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向 1.知道向心加速度及其方向，掌握向心加速度和线速度的关系、向心加速度和角速度的关系。（物理观念） 2.能够运用向心加速度表达式分析处理实际情境中的有关问题。（科学思维）
知识点一 匀速圆周运动的加速度方向
1.向心加速度：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向 ，叫作 。
2.向心加速度的特点：方向始终指向圆心，故方向是不断变化的。
知识点二 匀速圆周运动的加速度大小
1.向心加速度公式
an＝或an＝ 。
2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动。
【情景思辨】
雨天在野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会黏附一些泥巴，行驶时感觉很“沉重”。如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来， 如图所示，图中a、b为后轮轮胎边缘上的最高点与最低点，c、d为飞轮边缘上的两点。
（1）c、b两点的转速相同。（ ）
（2）后轮边缘a、b两点线速度相同。（ ）
（3）后轮边缘a、b两点的向心加速度相同。（ ）
（4）d点的向心加速度大于a点的向心加速度。（ ）
（5）c、d两点向心加速度的大小相等。（ ）
要点一 向心加速度的理解
【探究】
如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动（漫画），小球连接细绳的另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：
（1）在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
（2）向心加速度改变物体的速度大小吗？
【归纳】
对向心加速度及其方向的理解
1.向心加速度的方向：总指向圆心，时刻改变。
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
3.圆周运动的性质：由于向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运动都是变加速曲线运动。
4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度；二是切向加速度。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小，向心加速度的方向也总指向圆心。
【典例1】 下列关于向心加速度的说法正确的是（ ）
A.向心加速度的方向始终指向圆心
B.向心加速度的方向保持不变
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
尝试解答
1.（多选）关于匀速圆周运动和向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A.匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B.做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度
C.做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D.匀速圆周运动的向心加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，时刻发生变化，所以匀速圆周运动不是匀变速运动
要点二 向心加速度公式的应用
1.对向心加速度表达式的理解
（1）不同形式的表达式
（2）向心加速度与半径的关系
①当线速度一定时，根据an＝可知，向心加速度an与运动半径r成反比，如图甲所示。
②当角速度一定时，根据an＝ω2r，可知向心加速度an与运动半径r成正比，如图乙所示。
2.非匀速圆周运动的向心加速度
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
【典例2】 （多选）如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为 r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝2 D.＝
尝试解答
2.某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度（刻度尺的零刻度线与肩平齐），如图所示，然后他伸直手臂，手握手机，将手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的向心加速度大小约为（ ）
A.0.65 m/s2 B.1.3 m/s2
C.2 m/s2 D.6.5 m/s2
1.2022年北京冬奥会中我国运动员在自由式滑雪U形场地比赛中获得冠军，假设运动员从半圆形场地的坡顶下滑至最低点的过程中速率不变，则关于运动员加速度方向的说法正确的是（ ）
A.一定指向圆心
B.一定不指向圆心
C.只在最低点时指向圆心
D.不能确定是否指向圆心
2.生活中许多物体都做匀速圆周运动，对于做匀速圆周运动的物体的向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A.向心加速度方向不会发生改变
B.线速度越大的物体，向心加速度也越大
C.角速度越大的物体，向心加速度也越大
D.线速度和角速度的乘积越大的物体，向心加速度也越大
3.如图所示，A、B为某小区门口自动升降杆上的两点，杆从水平位置匀速转至竖直位置的过程中，A、B两点的角速度、线速度和加速度之间的大小关系正确的是（ ）
A.ωA＝ωB vA＜vB aA＜aB
B.ωA＝ωB vA＞vB aA＜aB
C.ωA＝ωB vA＝vB aA＞aB
D.ωA＞ωB vA＞vB aA＝aB
4.如图所示，撑开的雨伞上A、B两点到伞轴的距离分别为rA 、rB，且rB＝2rA 。当转动雨伞使A、B两点绕伞轴作匀速圆周运动时，A、B两点的（ ）
A.周期之比为2∶1
B.角速度之比为2∶1
C.线速度之比为1∶1
D.向心加速度之比为1∶2
5.如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度大小。
3.向心加速度
【基础知识·准落实】
知识点一
1.圆心 向心加速度
知识点二
1.ω2r
情景思辨
（1）√ （2）× （3）× （4）× （5）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：（1）变化。向心力或向心加速度的作用。
（2）向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
【典例1】 A 向心加速度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，故A正确，B错误；匀速圆周运动的向心加速度大小保持不变，方向时刻变化，故C、D错误。
素养训练
1.BD 做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度，且向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，向心加速度不恒定，因此匀速圆周运动有变化的加速度，不是匀变速运动，故A、C错误，B、D正确。
要点二
知识精研
【典例2】 BD 由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝可得＝＝，A错误，B正确；由于右边两轮共轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得＝＝，C错误，D正确。
素养训练
2.A 由图可知，手机转动的半径约为0.650 m，由公式an＝可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an＝＝0.65 m/s2，故选A。
【教学效果·勤检测】
1.A 运动员从坡顶下滑至最低点过程中做匀速圆周运动，匀速圆周运动中加速度为向心加速度，向心加速度始终指向圆心，A正确。
2.D 向心加速度方向始终指向圆心，因此方向时刻改变，A错误；根据an＝可得在运动半径相同的情况下，线速度越大的物体，向心加速度越大，B错误；根据an＝ω2r可得在运动半径相同的情况下，角速度越大的物体，向心加速度越大，C错误；根据an＝ωv可知线速度和角速度的乘积越大的物体，向心加速度越大，D正确。
3.A A、B两点绕同一轴转动，则角速度相等，即ωA＝ωB，rA＜rB，根据v＝ωr可知，线速度vA＜vB，根据a＝ω2r可知，加速度关系aA＜aB，故选A。
4.D 由于伞为同一个转轴，属于同轴转动，则A、B两点以相同的角速度绕伞轴做圆周运动，根据T＝可知A、B两点周期相等，故A、B错误；根据v＝ωr 可知A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝ωArA∶ωBrB＝1∶2，故C错误；根据a＝ω2r 可知 aA∶aB＝rA∶rB＝1∶2，故D正确。
5.π2g
解析：设乙下落到A点所用时间为t，则
对乙，有R＝gt2，解得t＝
这段时间内甲运动了T，即T＝
又有an＝Rω2＝R，解得an＝π2g。
5 / 5(共61张PPT)
3.向心加速度
课标要求 素养目标
知道匀速圆周运
动向心加速度的
大小和方向 1.知道向心加速度及其方向，掌握向心加速度和线
速度的关系、向心加速度和角速度的关系。（物理
观念）
2.能够运用向心加速度表达式分析处理实际情境中
的有关问题。（科学思维）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 匀速圆周运动的加速度方向
1. 向心加速度：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向 ，叫
作 。
2. 向心加速度的特点：方向始终指向圆心，故方向是不断变化的。
圆心
向心加速度
知识点二 匀速圆周运动的加速度大小
1. 向心加速度公式
an＝或an＝ 。
2. 向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆
周运动。
ω2r
【情景思辨】
雨天在野外骑车时，在自行车的后轮轮胎上常会黏附一些泥巴，行
驶时感觉很“沉重”。如果将自行车后轮撑起，使后轮离开地面而悬
空，然后用手匀速摇脚踏板，使后轮飞速转动，泥巴就被甩下来， 如
图所示，图中a、b为后轮轮胎边缘上的最高点与最低点，c、d为飞轮
边缘上的两点。
（1）c、b两点的转速相同。 （ √ ）
（2）后轮边缘a、b两点线速度相同。 （ × ）
（3）后轮边缘a、b两点的向心加速度相同。 （ × ）
（4）d点的向心加速度大于a点的向心加速度。 （ × ）
（5）c、d两点向心加速度的大小相等。 （ √ ）
√
×
×
×
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 向心加速度的理解
【探究】
如图所示，地球绕太阳做匀速圆周运动（漫画），小球连接细绳的
另一端在水平面内做匀速圆周运动，请思考：
（1）在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？
若变化，变化的原因是什么？
提示：变化。向心力或向心加速度的作用。
（2）向心加速度改变物体的速度大小吗？
提示：向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
【归纳】
对向心加速度及其方向的理解
1. 向心加速度的方向：总指向圆心，时刻改变。
2. 向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向
心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
3. 圆周运动的性质：由于向心加速度方向时刻发生变化，所以圆周运
动都是变加速曲线运动。
4. 变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是
向心加速度；二是切向加速度。向心加速度改变速度方向，切向加
速度改变速度大小，向心加速度的方向也总指向圆心。
【典例1】 下列关于向心加速度的说法正确的是（ ）
A. 向心加速度的方向始终指向圆心
B. 向心加速度的方向保持不变
C. 在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D. 在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，方向时刻变化，故A正
确，B错误；匀速圆周运动的向心加速度大小保持不变，方向时刻变
化，故C、D错误。
1. （多选）关于匀速圆周运动和向心加速度，下列说法正确的是
（ ）
A. 匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体
没有加速度
B. 做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在变，
所以必有加速度
C. 做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小保持不变，所以是匀
变速曲线运动
D. 匀速圆周运动的向心加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆
心，时刻发生变化，所以匀速圆周运动不是匀变速运动
解析： 做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时
刻在变，所以必有加速度，且向心加速度的大小不变，方向时刻指
向圆心，向心加速度不恒定，因此匀速圆周运动有变化的加速度，
不是匀变速运动，故A、C错误，B、D正确。
要点二 向心加速度公式的应用
1. 对向心加速度表达式的理解
（1）不同形式的表达式
（2）向心加速度与半径的关系
①当线速度一定时，根据an＝可知，向心加速度an与运动半
径r成反比，如图甲所示。
②当角速度一定时，根据an＝ω2r，可知向心加速度an与运动
半径r成正比，如图乙所示。
2. 非匀速圆周运动的向心加速度
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运
动，v为某位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非
匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心。
【典例2】 （多选）如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一
起共轴转动，图中三轮半径分别为 r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C
三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带
不打滑，则下列比例关系正确的是（ ）
解析：由于皮带不打滑，故v1＝v2，由an＝可得＝＝，A错误，
B正确；由于右边两轮共轴转动，故ω2＝ω3，由an＝rω2可得＝＝
，C错误，D正确。
2. 某同学在研究圆周运动时做摆臂动作，用手机内置的速度传感器测
定手的速度。该同学先用刻度尺测量手臂伸直时的长度（刻度尺的
零刻度线与肩平齐），如图所示，然后他伸直手臂，手握手机，将
手臂以肩为轴自然下摆。若当手臂摆到竖直位置时，
手机显示的速度大小约为0.65 m/s，则此时手机的
向心加速度大小约为（ ）
A. 0.65 m/s2 B. 1.3 m/s2
C. 2 m/s2 D. 6.5 m/s2
解析： 由图可知，手机转动的半径约为0.650 m，由公式an＝
可得，手臂摆到竖直位置时手机的向心加速度大小约为an＝＝
0.65 m/s2，故选A。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 2022年北京冬奥会中我国运动员在自由式滑雪U形场地比赛中获得
冠军，假设运动员从半圆形场地的坡顶下滑至最低点的过程中速
率不变，则关于运动员加速度方向的说法正确的是（ ）
A. 一定指向圆心
B. 一定不指向圆心
C. 只在最低点时指向圆心
D. 不能确定是否指向圆心
解析： 运动员从坡顶下滑至最低点过程中做匀速圆周运动，匀
速圆周运动中加速度为向心加速度，向心加速度始终指向圆心，A
正确。
2. 生活中许多物体都做匀速圆周运动，对于做匀速圆周运动的物体的
向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A. 向心加速度方向不会发生改变
B. 线速度越大的物体，向心加速度也越大
C. 角速度越大的物体，向心加速度也越大
D. 线速度和角速度的乘积越大的物体，向心加速度也越大
解析： 向心加速度方向始终指向圆心，因此方向时刻改变，
A错误；根据an＝可得在运动半径相同的情况下，线速度越大
的物体，向心加速度越大，B错误；根据an＝ω2r可得在运动半
径相同的情况下，角速度越大的物体，向心加速度越大，C错
误；根据an＝ωv可知线速度和角速度的乘积越大的物体，向心
加速度越大，D正确。
3. 如图所示，A、B为某小区门口自动升降杆上的两点，杆从水平位
置匀速转至竖直位置的过程中，A、B两点的角速度、线速度和加
速度之间的大小关系正确的是（ ）
A. ωA＝ωB vA＜vB aA＜aB
B. ωA＝ωB vA＞vB aA＜aB
C. ωA＝ωB vA＝vB aA＞aB
D. ωA＞ωB vA＞vB aA＝aB
解析： A、B两点绕同一轴转动，则角速度相等，即ωA＝ωB，rA
＜rB，根据v＝ωr可知，线速度vA＜vB，根据a＝ω2r可知，加速度关
系aA＜aB，故选A。
4. 如图所示，撑开的雨伞上A、B两点到伞轴的距离分别为rA 、rB，且
rB＝2rA 。当转动雨伞使A、B两点绕伞轴作匀速圆周运动时，A、B
两点的（ ）
A. 周期之比为2∶1
B. 角速度之比为2∶1
C. 线速度之比为1∶1
D. 向心加速度之比为1∶2
解析： 由于伞为同一个转轴，属于同轴转动，则A、B两点以相
同的角速度绕伞轴做圆周运动，根据T＝可知A、B两点周期相
等，故A、B错误；根据v＝ωr 可知A、B两点的线速度之比为vA∶vB
＝ωArA∶ωBrB＝1∶2，故C错误；根据a＝ω2r 可知 aA∶aB＝
rA∶rB＝1∶2，故D正确。
5. 如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时
针方向做匀速圆周运动，半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落
至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运
动的向心加速度大小。
答案：π2g
解析：设乙下落到A点所用时间为t，则
对乙，有R＝gt2，解得t＝
这段时间内甲运动了T，即T＝
又有an＝Rω2＝R，解得an＝π2g。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 向心加速度的理解
1. 关于向心加速度，下列说法正确的是（ ）
A. 向心加速度是描述速率变化快慢的物理量
B. 匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C. 向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D. 向心加速度随着轨道半径的增大而减小
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解析： 向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故
A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻
改变，是变化的，故B错误；根据an＝ω2r，角速度一定时，轨道半
径越大，向心加速度越大，故D错误。
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2. 做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和
a2，且a1＞a2，下列判断正确的是（ ）
A. 甲的线速度大于乙的线速度
B. 甲的角速度比乙的角速度小
C. 甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D. 甲的速度方向比乙的速度方向变化快
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解析： 由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，所以
不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，故A、B、C错误；向
心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a1＞a2，表明甲的
线速度方向比乙的线速度方向变化快，故D正确。
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3. 大型游乐场中有一种叫“摩天轮”的娱乐设施，如图所示，坐在其
中的游客随座舱的转动而做匀速圆周运动，以下说法正确的是
（ ）
A. 游客的速度不变化，加速度为零
B. 游客的速度不变化，加速度也不变化
C. 游客的速度要变化，加速度却不变化
D. 游客的速度要变化，加速度也要变化
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解析： 游客随摩天轮做匀速圆周运动时线速度大小不变，方向
沿圆周的切线方向时刻改变，所以线速度是变化的；而加速度大小
an＝不变，方向指向圆心，也时刻改变；即游客的速度要变化，
加速度也要变化，故选D。
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要点二 向心加速度公式的应用
4. （多选）中国古代玩具饮水鸟的示意图如图所示，饮水鸟的神奇之
处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，
“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身
去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rPO＞rQO，则在摆
动过程中（ ）
A. P点的线速度小于Q点的线速度
B. P点的角速度等于Q点的角速度
C. P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D. P、Q两点的线速度方向相反
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解析： 根据同轴转动角速度相等知，P、Q两点的角速度大小相同，故B正确；根据v＝ωr及P点运动半径大，知P点线速度较大，故A错误；根据 an＝ω2r及P点运动半径大，知P点向心加速度较大，故C错误； P、Q两点的线速度均与杆垂直，方向相反，故D正确。
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5. A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像如图
所示，其中A为双曲线的一支，由图可知（ ）
A. A物体运动的线速度大小不变
B. A物体运动的角速度不变
C. B物体运动的角速度是变化的
D. B物体运动的线速度大小不变
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解析： 根据an＝知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，
其图像为双曲线的一支；根据 an＝rω2知，当角速度ω大小为定值
时，an与r成正比，其图像为过原点的倾斜直线，故A正确，B、
C、D错误。
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6. 如图所示，转笔是大部分同学都会的一个小游戏，在转笔时，重的
一端到支撑点的距离要近一点，这样才能使笔在手指上更稳定地绕
该点转动， 假设重的一端的尾部是A点，轻的一端的尾部是B点，
支撑点为O，OA∶OB＝2∶3，笔绕支撑点匀速转动，下列说法正
确的是（ ）
A. 相同时间内A点和B点转过的角度之比为3∶2
B. 相同时间内A点和B点走过的弧长之比为3∶2
C. A、B两点向心加速度之比为2∶3
D. 相同时间内OA和OB扫过的面积相等
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解析： A、B两点同轴转动，角速度相同，相同时间内转过的角
度相同，由s＝vt＝ωrt，a＝ω2r可知弧长之比、向心加速度之比均
等于半径之比，故A、B错误，C正确；相同时间内转过的角度相
同，而半径不等，所以OA、OB扫过的面积不等，故D错误。
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7. 如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半
径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触
面上没有滑动，则（ ）
A. A、B两点角速度大小之比为2∶1
B. A、B两点向心加速度大小之比为2∶1
C. B、C两点角速度大小之比为2∶1
D. B、C两点向心加速度大小之比为2∶1
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解析： 由题意可知，摩擦传动边缘点线速度大小相等，故A与B
的线速度的大小相同，vA＝vB，A、C两点为同轴转动，角速度相
等，即ωA＝ωC，根据v＝ωr结合题意可得ωB∶ωA∶ωC＝2∶1∶1，
故C正确，A错误；根据a＝＝ω2r可得aA∶aB＝1∶2，aB∶aC＝
4∶1，故B、D错误。
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8. 如图，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运
动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，重力为G的女运动
员做圆锥摆运动时身体和水平冰面的夹角约为30° 重力加速度为
g，估算该女运动员（ ）
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解析： 女运动员做圆锥摆运动，对女运动员进行受力分析可
知，女运动员受到重力和男运动员对她的拉力，在竖直方向上合力
为零，即Fsin 30°＝G，解得F＝2G，故A、C错误；在水平方向
上，男运动员对女运动员的拉力F的水平分力提供圆周运动的向心
力，即Fcos 30°＝ma向，解得a向＝g，故B错误，D正确。
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9. 如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO'匀速转动，在距
轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球，当圆盘以角
速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时
细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为（ ）
A. ω2R B. ω2r
C. ω2Lsin θ D. ω2（r＋Lsin θ）
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解析： 小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，
其圆心是水平面与转轴OO'的交点，所以小球做匀速圆周运动的半
径为r＋Lsin θ，可知其加速度大小为an＝ω2（r＋Lsin θ），选项D
正确。
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10. 如图所示，用一根细绳一端系一个小球，另一端固定，给小球不
同的初速度，使小球在水平面内做角速度不同的圆周运动，则下
列细绳拉力F、悬点到轨迹圆心高度h、向心加速度a、线速度v与
角速度的平方ω2的关系图像正确的是（ ）
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解析： 设细绳长度为l，小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方
向的夹角为θ，则对小球受力分析有Fsin θ＝mω2lsin θ，解得F＝
mω2l，故A正确；根据mgtan θ＝mω2htan θ，解得h＝，故B错
误；小球的向心加速度a＝ω2lsin θ，故C错误；小球的线速度v＝
ωlsin θ，故D错误。
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11. 如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是
36 m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12 s，
则这位同学在沿弯道跑步时（ ）
B. 线速度约为3 m/s
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解析： 由题意知，同学在沿弯道跑步时角速度约为ω＝
rad/s，故A错误；根据v＝ωr可得线速度约为v＝3π m/s，故B错
误；根据n＝得转速约为n＝ r/s，故C错误；根据an＝ω2r得向
心加速度约为an＝ m/s2，故D正确。
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12. （多选）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端
固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平
面内做匀速圆周运动（圆锥摆）。现使小球移到一个更高一些的
水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持
在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下面的判断正确的
是（ ）
A. Q受到桌面的支持力变大
B. Q受到桌面的静摩擦力变大
C. 小球P运动的角速度变大
D. 小球P运动的向心加速度变大
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解析： 对小球、金属块的受力分析如图所
示。设绳子拉力的大小为F，绳子与竖直方向夹
角为θ，绳子长度为l，则有Fcos θ＝mg，Fsin θ
＝mr，r＝lsin θ，解得T2＝ ，当小球
位置升高时，夹角θ增大，周期减小，角速度增
大，C正确；金属块处于平衡状态，有FN＝mQg
＋Fcos θ＝（mQ＋m）g，支持力不变，A错误；
Ff＝Fsin θ＝mgtan θ，小球位置升高，θ增大，静
摩擦力增大，B正确；小球P的向心加速度an＝
gtan θ，θ增大，an增大，D正确。
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13. 如图所示，质量为m的小球用长为l的悬绳固定于O点。在O点的正
下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止
释放小球，则小球从右向左摆动的过程中，悬绳碰到钉子前后小
球的向心加速度之比和拉力之比分别为多少？（已知碰钉子时小
球的速度为）
答案：2∶3 4∶5
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解析：在悬绳碰到钉子的前、后瞬间，速度不变，小球做圆周运
动的半径从l变为l，则根据向心加速度公式有a前＝，a后＝，
所以a前∶a后＝2∶3。
在最低点有F前－mg＝m
F后－mg＝m
解得F前＝2mg，F后＝mg
所以F前∶F后＝4∶5。
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谢谢观看!
