2.万有引力定律
要点一 太阳与行星间的引力
1.（多选）把行星绕太阳的运动看成匀速圆周运动，关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是（ ）
A.太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B.太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C.太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D.太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律等推导出来的
2.（多选）关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（ ）
A.牛顿将天体间引力作用的规律推广到自然界中的任意两个物体间
B.引力常量G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
C.“月—地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律
D.“月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的602倍
要点二 万有引力定律
3.（2024·上海徐汇期末）从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是（ ）
4.（多选）关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（ ）
A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝G 计算
C.由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D.引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
5.两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为（ ）
A.2F B.4F C.8F D.16F
要点三 万有引力和重力的关系
6.（多选）如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A.P、Q所受地球引力大小相等
B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D.P、Q两质点受到的重力大小相等
7.地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，若不考虑地球自转，则离地球表面高处的重力加速度为（ ）
A. B.g C.g D.g
8.将地球看成质量分布均匀的球体，已知均匀球体对球外物体的万有引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球（R为地球半径），如图所示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前后受到的万有引力的比值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图所示，两个质量均为m的星体的连线的垂直平分线为MN，O为两星体连线的中点，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万有引力大小F随运动距离r变化的情况（不考虑其他星体的影响）正确的是图中的（ ）
10.上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，引力常量为G，则F的大小等于（ ）
A. B.
C. D.
11.火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么质量为50 kg的宇航员（地球表面的重力加速度g取10 m/s2）
（1）在火星表面上受到的重力是多少？
（2）若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？
12.天问一号在火星表面着陆前的最后两个运动阶段分别为动力减速阶段和着陆缓冲阶段。在动力减速阶段，探测器发动机打开，经40 s速度由87 m/s减至7 m/s。将天问一号在动力减速阶段的运动看作竖直方向的匀变速直线运动，已知天问一号的质量约为5 t，火星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分之一，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）火星表面的重力加速度g火的大小；
（2）动力减速阶段发动机提供的力的大小。
2.万有引力定律
1.AD 太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做匀速圆周运动的向心力，它的大小与行星和太阳的质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C错误，D正确。
2.AC 牛顿将天体间引力作用的规律推广到自然界中的任意两个物体间，选项A正确；引力常量G的大小是卡文迪什通过扭秤实验测出的，选项B错误；“月—地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，是同种性质的力，选项C正确，D错误。
3.C 设地球质量为M，地球半径为R，汽车质量为m，根据万有引力定律可得F＝，故选C。
4.CD 任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称作万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝G来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。
5.D 两个小铁球之间的万有引力F＝G＝G，实心小铁球的质量m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m'＝ρ·π（2r）3，所以＝＝8，故两个大铁球间的万有引力F'＝G＝16F，选项D正确。
6.AC P、Q两质点所受地球引力大小都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P做圆周运动的向心力大，故B错误，C正确；物体所受的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，故D错误。
7.C 地球表面万有引力近似等于重力，则有＝mg，同理，离地球表面高处有＝mg'，联立解得g'＝g，故选C。
8.A 未挖前，在A处的质点受到的万有引力为F1＝G，挖去部分对A处质点的万有引力为F2＝G·＝G，故A处质点在挖空前后受到的万有引力的比值为＝，故选A。
9.B 由F＝可知物体在连线的中点时所受的两个万有引力的合力为零，当物体运动到很远很远时两个万有引力的合力也为零（因为距离无穷大时万有引力为零），而物体在其他位置时所受的两个万有引力的合力不是零，所以物体从O沿OM方向运动时所受的万有引力先增大后减小，且变化不均匀，故选B。
10.B 将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d的球壳两部分，设半径为（R－d）球的质量为m1 ，球壳对小球的引力为零，则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有F＝，由密度公式得m＝ρV＝ρπR3 ，所以＝，解得F＝，B正确。
11.（1）222.2 N （2）3.375 m
解析：（1）在地球表面上有mg＝G
在火星表面上有mg'＝G
联立解得g'＝ m/s2
宇航员在火星表面上受到的重力
G'＝mg'＝50× N≈222.2 N。
（2）在地球表面宇航员跳起的高度H＝
在火星表面宇航员跳起的高度h＝
综上可知h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。
12.（1）4 m/s2 （2）3 × 104 N
解析：（1）在地球表面，重力等于万有引力，则
mg＝
在火星表面，重力等于万有引力，则
mg火＝
代入数据联立解得g火＝4 m/s2。
（2）天问一号在动力减速阶段有v＝v0－at
根据牛顿第二定律可知F－m'g火＝m'a
联立解得动力减速阶段发动机提供的力的大小为F＝3×104 N。
3 / 32.万有引力定律
课标要求 素养目标
1.通过史实，了解万有引力定律的发现过程。 2.知道万有引力定律；认识发现万有引力定律的重要意义 1.知道万有引力定律的表达式及适用范围，知道公式中r的物理意义；了解万有引力常量的大小、单位及发现意义。（物理观念） 2.经历万有引力定律的推导过程，会用该定律解决简单的引力计算问题，能根据一定的条件，自行分析和计算，进行月—地检验。（科学思维）
知识点一 行星与太阳间的引力
引力 规律
太阳对行 星的引力 太阳对不同行星的引力，与行星的质量成 ，与行星和太阳间距离的二次方成 ，即F∝
行星对太 阳的引力 行星对太阳的引力与太阳的质量成 ，与行星和太阳间距离的二次方成 ，即F'∝
太阳与 行星间 的引力 太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F＝G，G为比例系数，其大小与太阳和行星无关，引力的方向沿两者的
知识点二 月—地检验
1.检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树上苹果的吸引力是否为 的力。
2.检验方法
（1）假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G，根据牛顿第二定律可知，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝G。
（2）假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝G。
（3）＝，由于r≈60R，所以＝。
（4）结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 的规律。
知识点三 万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比，与它们之间距离r的 成反比。
2.公式：F＝ 。
知识点四 引力常量
由英国物理学家 通过实验测量得出，常取G＝ N·m2/kg2。
【情景思辨】
如图所示，生活中我们常看到苹果落向地球，而不是地球向上运动碰到苹果。请据此判断下列说法的正误。
（1）原因是苹果质量小，对地球的引力较小，而地球质量大，对苹果的引力较大。（ ）
（2）原因是地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力。（ ）
（3）原因是人站在地球表面，感觉不到地球的运动。（ ）
（4）苹果对地球的作用力和地球对苹果的作用力大小是相等的，但由于地球质量极大，地球不会产生明显的加速度。（ ）
要点一 太阳与行星间的引力
万有引力定律的得出过程
【典例1】 下列关于行星对太阳的引力的说法，正确的是（ ）
A.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B.行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C.太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D.行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳的距离成反比
尝试解答
1.（多选）根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F'∝，其中M、m、r分别为太阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是（ ）
A.由F'∝和F∝，得F∶F'＝m∶M
B.F和F'大小相等，是作用力与反作用力
C.F和F'大小相等，是同一个力
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
要点二 万有引力定律
1.对引力常量的理解
（1）引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
（2）引力常量的测定：卡文迪什采用“微量放大法”。
2.万有引力定律公式的适用条件
（1）两质点间的相互作用。当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3.万有引力的特性
普遍性 宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
【典例2】 （多选）对于万有引力定律的表达式F＝G，下面说法中正确的是（ ）
A.公式中 G 为引力常量，它的值是6.67×10－11 N·m2/kg2
B.当 r 趋近于零时，万有引力趋近无限大
C. m1与m2受到的引力总是大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力
D. m1与m2受到的引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
尝试解答
【典例3】 如图所示，一质量为m1的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质点，若将球体挖去一个半径为 的小球（两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线之间，两球表面相切），则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
尝试解答
方法技巧
“填补法”计算物体间的万有引力
计算质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力时，常采用“填补法”。所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。
2.要使两物体（两物体始终可以看作质点）间的万有引力减小到原来的，可采用的方法是（ ）
A.使两物体的质量都减为原来的，距离保持不变
B.使两物体的质量都减为原来的，距离增至原来的2倍
C.使其中一个物体的质量减为原来的，距离增至原来的2倍
D.使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的
3.地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，求该位置到月球中心和到地球中心的距离之比。
要点三 万有引力和重力的关系
1.地球表面处重力与万有引力的关系
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F'提供向心力，另一个分力为重力mg，如图所示。
（1）当物体在两极时：mg0＝F引，重力达到最大值，mg0＝G。方向与引力方向相同，指向地心。
（2）当物体在赤道上时：F'＝mω2R最大，此时重力最小，mg1＝G－mω2R。方向与引力方向相同，指向地心。
（3）由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G。
2.重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg'＝G（R为地球半径，g'为离地面h高度处的重力加速度）。在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小。
【典例4】 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的密度为（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
特别提醒
地球表面上物体的重力与万有引力的关系
（1）如果考虑地球的自转影响，则除两极外，重力是万有引力的一个分力。
（2）如果忽略地球的自转影响，则重力等于万有引力。
4.（多选）用弹簧测力计测量一个相对于地球静止且质量为m的小物体的重力，随测量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为m地，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。下列说法正确的是（ ）
A.在南极地面测量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B.在赤道地面测量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C.在南极上空高出地面h处的高山上测量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D.在赤道上空高出地面h处的高山上测量时，弹簧测力计读数为F3＝G
1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是（ ）
A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律
B.开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力
C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”
D.卡文迪什在实验室里通过扭秤实验，得出了引力常量的数值
2.2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
3.设想随着科技的进步和地球人口的增多，人类开始移民月球，不断把地球上的人、水、空气和食物向月球上运送，如果月球仍沿原来的圆周轨道运动，则地球与月球间的万有引力将（ ）
A.变大 B.变小
C.不变 D.无法确定
4.地球半径为R，一物体在地球表面受到的万有引力为F，若该物体在地球高空某处受到的万有引力为，则该处距地面的高度为（ ）
A.R B.（－1）R
C.R D.3R
2.万有引力定律
【基础知识·准落实】
知识点一
正比 反比 正比 反比 连线
知识点二
1.同一性质 2.（4）相同
知识点三
1.乘积 二次方 2.G
知识点四
卡文迪什 6.67×10－11
情景思辨
（1）× （2）× （3）× （4）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 A 行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力，是同一性质的力，遵循牛顿第三定律，大小相等，大小与太阳和行星质量的乘积成正比，与行星和太阳的距离的二次方成反比，选项A正确，B、C、D错误。
素养训练
1.BD 由于力的作用是相互的，则F'和F大小相等、方向相反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故B、D正确。
要点二
知识精研
【典例2】 AC 公式中 G 为引力常量，它的值是6.67×10－11 N·m2/kg2，选项A正确；当 r 趋近于零时，万有引力定律不再适用，选项B错误；m1与m2受到的引力总是大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力，选项C正确，D错误。
【典例3】
解析：小球未被挖去时，大球对质点的万有引力 F1＝G＝G；由体积公式知，大球的质量m1＝πR3ρ，被挖去的小球的质量m2＝πρ，则有m2＝；小球在被挖去前对质点的万有引力F2＝G＝G。因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力F＝F1－F2＝。
素养训练
2.C 根据万有引力定律表达式F＝G可知，选项C正确。
3.1∶9
解析：根据F＝G，由于引力相等，即G＝G，所以＝＝＝。
要点三
知识精研
【典例4】 B 在地球的两极处有G＝mg0，在赤道处有G－mg＝mR，又m地＝πR3ρ，联立三式可得ρ＝，故B正确。
素养训练
4.AC 小物体在两极地面时，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面测量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G，故B错误；在南极上空高出地面h处的高山上测量时，万有引力等于重力，则有F2＝G，故C正确；在赤道上空高出地面h处的高山上测量时，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重力，则有 F3＜G，故D错误。
【教学效果·勤检测】
1.D 开普勒对天体的运行做了多年的研究，最终得出了行星运行三大定律，故A错误；牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力作用，引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比，故B错误；牛顿通过比较月球公转的周期，根据万有引力充当向心力，对万有引力定律进行了“月—地检验”，故C错误；牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验准确地测出引力常量的科学家是卡文迪什，故D正确。
2.C 航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员的作用力近似为零，航天员所受地球引力大小不为零，选项A、B错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大小近似相等，选项C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所需向心力的大小，选项D错误。
3.A 设地球的质量为M，月球的质量为m，则万有引力F＝G，因为（M＋m）为定值，并且m＜M，在移民过程中，m与M的差值越来越小，所以M与m的乘积会越来越大，则万有引力将变大。故选A。
4.B 设地球的质量为M，物体在地球表面，根据万有引力定律有F＝，距地面h处，根据万有引力定律有＝，解得h＝（－1）R，选项B正确。
5 / 5(共68张PPT)
2.万有引力定律
课标要求 素养目标
1.通过史实，了解万有引
力定律的发现过程。 2.知道万有引力定律；认
识发现万有引力定律的重
要意义 1.知道万有引力定律的表达式及适用范
围，知道公式中r的物理意义；了解万有
引力常量的大小、单位及发现意义。
（物理观念）
2.经历万有引力定律的推导过程，会用
该定律解决简单的引力计算问题，能根
据一定的条件，自行分析和计算，进行
月—地检验。（科学思维）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 行星与太阳间的引力
引力 规律
太阳对行
星的引力 太阳对不同行星的引力，与行星的质量成 ，与
行星和太阳间距离的二次方成 ，即F∝
行星对太
阳的引力 行星对太阳的引力与太阳的质量成 ，与行星和
太阳间距离的二次方成 ，即F'∝
正比
反比
正比
反比
引力 规律
太阳与 行星间 的引力 太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成
正比，与两者距离的二次方成反比，即F＝G，G为
比例系数，其大小与太阳和行星无关，引力的方向沿两
者的
连线
知识点二 月—地检验
1. 检验目的：检验地球绕太阳运动、月球绕地球运动的力与地球对树
上苹果的吸引力是否为 的力。
2. 检验方法
同一性质
（1）假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一
种力，它们的表达式也应该满足F＝G，根据牛顿第二
定律可知，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝G。
（2）假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的
自由落体加速度a苹＝G。
（3）＝，由于r≈60R，所以＝。
（4）结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与
太阳、行星间的引力遵从 的规律。
相同
知识点三 万有引力定律
1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连
线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比，与它们
之间距离r的 成反比。
2. 公式：F＝ 。
乘积
二次方
G
知识点四 引力常量
由英国物理学家 通过实验测量得出，常取G
＝ N·m2/kg2。
卡文迪什
6.67×10－11
【情景思辨】
如图所示，生活中我们常看到苹果落向地球，而不是地球向上运动
碰到苹果。请据此判断下列说法的正误。
（1）原因是苹果质量小，对地球的引力较小，而地球质量大，对苹
果的引力较大。 （ × ）
×
（2）原因是地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力。
（ × ）
（3）原因是人站在地球表面，感觉不到地球的运动。 （ × ）
（4）苹果对地球的作用力和地球对苹果的作用力大小是相等的，但
由于地球质量极大，地球不会产生明显的加速度。 （ √ ）
×
×
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 太阳与行星间的引力
万有引力定律的得出过程
【典例1】 下列关于行星对太阳的引力的说法，正确的是（ ）
A. 行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B. 行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C. 太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力
D. 行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳的距
离成反比
解析：行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力和反作用力，
是同一性质的力，遵循牛顿第三定律，大小相等，大小与太阳和行星
质量的乘积成正比，与行星和太阳的距离的二次方成反比，选项A正
确，B、C、D错误。
1. （多选）根据开普勒行星运动定律和圆周运动的知识知：太阳对行
星的引力F∝，行星对太阳的引力F'∝，其中M、m、r分别为太
阳质量、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是
（ ）
A. 由F'∝和F∝，得F∶F'＝m∶M
B. F和F'大小相等，是作用力与反作用力
C. F和F'大小相等，是同一个力
D. 太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力
解析： 由于力的作用是相互的，则F'和F大小相等、方向相
反，是作用力与反作用力，太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆
周运动的向心力，故B、D正确。
要点二 万有引力定律
1. 对引力常量的理解
（1）引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其物理意义为：引力常
量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸
引力。
（2）引力常量的测定：卡文迪什采用“微量放大法”。
2. 万有引力定律公式的适用条件
（1）两质点间的相互作用。当两个物体间的距离比物体本身的尺
度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r
是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也可用此公式计
算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3. 万有引力的特性
普遍性 宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力
宏观
性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
【典例2】 （多选）对于万有引力定律的表达式F＝G，下面说
法中正确的是（ ）
A. 公式中 G 为引力常量，它的值是6.67×10－11 N·m2/kg2
B. 当 r 趋近于零时，万有引力趋近无限大
C. m1与m2受到的引力总是大小相等，方向相反，是一对作用力与反
作用力
D. m1与m2受到的引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
解析：公式中 G 为引力常量，它的值是6.67×10－11 N·m2/kg2，选项A
正确；当 r 趋近于零时，万有引力定律不再适用，选项B错误；m1与
m2受到的引力总是大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力，
选项C正确，D错误。
【典例3】 如图所示，一质量为m1的球形物体，密度均匀，半径为
R，在距球心为2R处有一质量为m的质点，若将球体挖去一个半径为
的小球（两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心
和质点连线之间，两球表面相切），则剩余部分对质点的万有引力的
大小是多少？
答案：
解析：小球未被挖去时，大球对质点的万有引力 F1＝G＝
G；由体积公式知，大球的质量m1＝πR3ρ，被挖去的小球的质量
m2＝πρ，则有m2＝；小球在被挖去前对质点的万有引力F2＝
G＝G。因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力
F＝F1－F2＝。
方法技巧
“填补法”计算物体间的万有引力
计算质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力时，常采用
“填补法”。所谓“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填
补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求
解的方法。
2. 要使两物体（两物体始终可以看作质点）间的万有引力减小到原来
的，可采用的方法是（ ）
A. 使两物体的质量都减为原来的，距离保持不变
B. 使两物体的质量都减为原来的，距离增至原来的2倍
C. 使其中一个物体的质量减为原来的，距离增至原来的2倍
D. 使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的
解析： 根据万有引力定律表达式F＝G可知，选项C正确。
3. 地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某
一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，求该位置到月球中心
和到地球中心的距离之比。
答案：1∶9
解析：根据F＝G，由于引力相等，即G＝G，所以
＝＝＝。
要点三 万有引力和重力的关系
1. 地球表面处重力与万有引力的关系
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就
需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F'提供
向心力，另一个分力为重力mg，如图所示。
（1）当物体在两极时：mg0＝F引，重力达到最大值，mg0＝
G。方向与引力方向相同，指向地心。
（2）当物体在赤道上时：F'＝mω2R最大，此时重力最小，mg1＝
G－mω2R。方向与引力方向相同，指向地心。
（3）由于地球自转角速度非常小，在忽略地球自转的情况下，认
为mg＝G。
2. 重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg'＝G（R为地球半径，g'为
离地面h高度处的重力加速度）。在同一纬度，距地面越高，重力
加速度越小。
【典例4】 假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的
重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为
T，引力常量为G，则地球的密度为（ ）
A. B.
C. D.
解析：在地球的两极处有G＝mg0，在赤道处有G－mg＝
mR，又m地＝πR3ρ，联立三式可得ρ＝，故B正确。
特别提醒
地球表面上物体的重力与万有引力的关系
（1）如果考虑地球的自转影响，则除两极外，重力是万有引力的一
个分力。
（2）如果忽略地球的自转影响，则重力等于万有引力。
4. （多选）用弹簧测力计测量一个相对于地球静止且质量为m的小物
体的重力，随测量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量
为m地，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量均匀分布的球
体。下列说法正确的是（ ）
A. 在南极地面测量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B. 在赤道地面测量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C. 在南极上空高出地面h处的高山上测量时，弹簧测力计读数为F2＝
G
D. 在赤道上空高出地面h处的高山上测量时，弹簧测力计读数为F3＝
G
解析： 小物体在两极地面时，万有引力等于重力，则有F0＝
G，故A正确；在赤道地面测量时，万有引力等于重力加上小
物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G，故B错
误；在南极上空高出地面h处的高山上测量时，万有引力等于重
力，则有F2＝G，故C正确；在赤道上空高出地面h处的
高山上测量时，万有引力的一个分力提供向心力，另一个分力为重
力，则有 F3＜G，故D错误。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是
（ ）
A. 第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律
B. 开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力
C. 牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自
转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月—地检验”
D. 卡文迪什在实验室里通过扭秤实验，得出了引力常量的数值
解析： 开普勒对天体的运行做了多年的研究，最终得出了行星
运行三大定律，故A错误；牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太
阳的引力作用，引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比，故
B错误；牛顿通过比较月球公转的周期，根据万有引力充当向心
力，对万有引力定律进行了“月—地检验”，故C错误；牛顿发现
了万有引力定律之后，第一次通过实验准确地测出引力常量的科学
家是卡文迪什，故D正确。
2. 2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约
400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂
精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的
“天宫二号”中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（ ）
A. 所受地球引力的大小近似为零
B. 所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C. 所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D. 在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大
小
解析： 航天员在“天宫二号”空间站中可以自由漂浮，是由于
航天员在“天宫二号”空间站中处于完全失重状态，飞船对航天员
的作用力近似为零，航天员所受地球引力大小不为零，选项A、B
错误；航天员所受地球引力提供航天员随空间站运动的向心力，即
航天员所受地球引力的大小与航天员随空间站运动所需向心力的大
小近似相等，选项C正确；由万有引力定律可知，航天员在地球表
面所受地球引力的大小大于航天员在空间站中所受地球引力的大
小，所以在地球表面上所受引力的大小大于航天员随空间站运动所
需向心力的大小，选项D错误。
3. 设想随着科技的进步和地球人口的增多，人类开始移民月球，不断
把地球上的人、水、空气和食物向月球上运送，如果月球仍沿原来
的圆周轨道运动，则地球与月球间的万有引力将（ ）
A. 变大 B. 变小
C. 不变 D. 无法确定
解析： 设地球的质量为M，月球的质量为m，则万有引力F＝
G，因为（M＋m）为定值，并且m＜M，在移民过程中，m与M
的差值越来越小，所以M与m的乘积会越来越大，则万有引力将变
大。故选A。
4. 地球半径为R，一物体在地球表面受到的万有引力为F，若该物体
在地球高空某处受到的万有引力为，则该处距地面的高度为
（ ）
A. R B. （－1）R
C. R D. 3R
解析： 设地球的质量为M，物体在地球表面，根据万有引力定
律有F＝，距地面h处，根据万有引力定律有＝，解
得h＝（－1）R，选项B正确。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 太阳与行星间的引力
1. （多选）把行星绕太阳的运动看成匀速圆周运动，关于太阳对行星
的引力，下列说法中正确的是（ ）
A. 太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B. 太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的
距离成反比
C. 太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D. 太阳对行星的引力规律是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周
运动的规律等推导出来的
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解析： 太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做匀速圆周运动
的向心力，它的大小与行星和太阳的质量的乘积成正比，与行星和
太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；太阳对行星的引力
规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来
的，C错误，D正确。
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2. （多选）关于万有引力定律的建立，下列说法中正确的是（ ）
A. 牛顿将天体间引力作用的规律推广到自然界中的任意两个物体间
B. 引力常量G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
C. “月—地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力
遵从同样的规律
D. “月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月
球上受到月球对它的引力的602倍
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解析： 牛顿将天体间引力作用的规律推广到自然界中的任意
两个物体间，选项A正确；引力常量G的大小是卡文迪什通过扭秤
实验测出的，选项B错误；“月—地检验”表明地面物体所受地球
引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，是同种性质的力，选项
C正确，D错误。
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要点二 万有引力定律
3. （2024·上海徐汇期末）从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F
随高度h的变化关系图像可能是（ ）
解析： 设地球质量为M，地球半径为R，汽车质量为m，根据万
有引力定律可得F＝，故选C。
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4. （多选）关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是（ ）
A. 不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B. 只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝G 计算
C. 由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D. 引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
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解析： 任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，故称作
万有引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用
F＝G来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r
的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量
的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。
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5. 两个完全相同的实心均质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力
为F。若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧
靠在一起，则两个大铁球之间的万有引力为（ ）
A. 2F B. 4F
C. 8F D. 16F
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解析： 两个小铁球之间的万有引力F＝G＝G，实心
小铁球的质量m＝ρV＝ρ·πr3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大
铁球的质量m'＝ρ·π（2r）3，所以＝＝8，故两个大铁球
间的万有引力F'＝G＝16F，选项D正确。
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要点三 万有引力和重力的关系
6. （多选）如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球
表面不同纬度上，如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，
P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
（ ）
A. P、Q所受地球引力大小相等
B. P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C. P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D. P、Q两质点受到的重力大小相等
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解析： P、Q两质点所受地球引力大小都是F＝G，故A正
确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大
于Q的轨道半径，根据Fn＝mω2r可知P做圆周运动的向心力大，故B
错误，C正确；物体所受的重力为万有引力的一个分力，在赤道处
最小，随着纬度的增加而增大，故D错误。
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7. 地球表面处重力加速度为g，地球半径为R，若不考虑地球自转，则
离地球表面高处的重力加速度为（ ）
A. B. g
C. g D. g
解析： 地球表面万有引力近似等于重力，则有＝mg，同
理，离地球表面高处有＝mg'，联立解得g'＝g，故选C。
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8. 将地球看成质量分布均匀的球体，已知均匀球体对球外物体的万有
引力相当于将球体的质量集中于球心的质点对物体的万有引力。假
设在紧贴地球表面处挖去一半径为的球（R为地球半径），如图所
示，在图中A点放置一质量为m的质点，则该质点在挖空前后受到
的万有引力的比值为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 未挖前，在A处的质点受到的万有引力为F1＝G，挖
去部分对A处质点的万有引力为F2＝G·＝G，故A处质点在
挖空前后受到的万有引力的比值为＝，故选A。
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9. 如图所示，两个质量均为m的星体的连线的垂直平分线为MN，O为
两星体连线的中点，一物体从O沿OM方向运动，则它所受到的万
有引力大小F随运动距离r变化的情况（不考虑其他星体的影响）正
确的是图中的（ ）
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解析： 由F＝可知物体在连线的中点时所受的两个万有引
力的合力为零，当物体运动到很远很远时两个万有引力的合力也为
零（因为距离无穷大时万有引力为零），而物体在其他位置时所受
的两个万有引力的合力不是零，所以物体从O沿OM方向运动时所
受的万有引力先增大后减小，且变化不均匀，故选B。
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10. 上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有
史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d
时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质
量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球
的半径为R，质量为M，引力常量为G，则F的大小等于（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d的球壳两部
分，设半径为（R－d）球的质量为m1 ，球壳对小球的引力为零，
则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有F＝，由
密度公式得m＝ρV＝ρπR3 ，所以＝，解得F＝
，B正确。
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11. 火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么质
量为50 kg的宇航员（地球表面的重力加速度g取10 m/s2）
（1）在火星表面上受到的重力是多少？
答案： 222.2 N
解析： 在地球表面上有mg＝G
在火星表面上有mg'＝G
联立解得g'＝ m/s2
宇航员在火星表面上受到的重力
G'＝mg'＝50× N≈222.2 N。
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（2）若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳
多高？
答案： 3.375 m
解析：在地球表面宇航员跳起的高度H＝
在火星表面宇航员跳起的高度h＝
综上可知h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。
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12. 天问一号在火星表面着陆前的最后两个运动阶段分别为动力减速
阶段和着陆缓冲阶段。在动力减速阶段，探测器发动机打开，经
40 s速度由87 m/s减至7 m/s。将天问一号在动力减速阶段的运动看
作竖直方向的匀变速直线运动，已知天问一号的质量约为5 t，火
星半径约为地球半径的二分之一，火星质量约为地球质量的十分
之一，地球表面的重力加速度g＝10 m/s2。求：
（1）火星表面的重力加速度g火的大小；
答案：4 m/s2
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解析：在地球表面，重力等于万有引力，则
mg＝
在火星表面，重力等于万有引力，则
mg火＝
代入数据联立解得g火＝4 m/s2。
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（2）动力减速阶段发动机提供的力的大小。
答案： 3 × 104 N
解析：天问一号在动力减速阶段有v＝v0－at
根据牛顿第二定律可知F－m'g火＝m'a
联立解得动力减速阶段发动机提供的力的大小为F＝
3×104 N。
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谢谢观看!
