习题课四 卫星变轨和多星问题
要点一 静止卫星、近地卫星与赤道上物体的比较
1.已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，近地卫星的线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地球静止卫星的线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。若近地卫星距地面的高度不计，静止卫星距地面的高度约为地球半径的6倍，则下列结论正确的是（ ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
2.（多选）（2024·安徽铜陵期中）如图所示，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b绕地球做匀速圆周运动且离地面高度为h，卫星c是静止卫星，则（ ）
A.b的线速度小于第一宇宙速度
B.a的向心加速度就是重力加速度g
C.c的向心加速度比a的向心加速度大
D.b、c与地球中心的连线在相等时间内扫过的面积相等
要点二 卫星变轨与航天器的对接问题
3.（2024·河北邢台期中）“嫦娥六号”探测器计划在2024到2025年执行月球背面的月球样品采集任务。若“嫦娥六号”探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥六号”探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点，则下列有关“嫦娥六号”探测器的说法正确的是（ ）
A.发射速度等于地球的第二宇宙速度
B.运行至B点时的速度等于月球的第一宇宙速度
C.要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点减速
D.在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期长
4.（多选）“嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获，先进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点又经过两次变轨，最后在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。对此，下列说法正确的是（ ）
A.卫星在轨道Ⅰ上的运动周期比在轨道Ⅱ上的长
B.卫星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度小于在轨道Ⅲ上经过P点时的加速度
C.卫星在轨道Ⅲ上运动的速度大于月球的第一宇宙速度
D.卫星在P点的两次变轨都必须减速做近心运动
5.2022年12月4日11时01分，神舟十四号与空间站组合体分离，正式踏上回家之路，分离过程简化如图所示，脱离前空间站组合体处于半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，从P点脱离后神舟十四号飞船沿轨道Ⅱ返回近地半径为r2的圆轨道Ⅲ上，Q点为轨道Ⅱ与轨道Ⅲ的切点，飞船在轨道Ⅲ上的运行周期为T2，然后再多次调整轨道，最后顺利着落在东风着落场，根据信息可知（ ）
A.T1∶T2＝r1∶r2
B.可以计算地球的密度为ρ＝
C.在轨道Ⅱ上Q点的速率要大于在轨道Ⅱ上P点的速率
D.飞船在Q点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在Q点朝速度反方向喷气
要点三 双星问题
6.（多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，我们称之为双星系统。设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RA＜RB，引力常量G已知，则下列说法正确的是（ ）
A.星球A的向心力大于星球B的向心力
B.星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C.星球A和星球B的质量之和为
D.双星的总质量不变，若双星之间的距离增大，其转动周期也变大
7.如图所示，两颗星组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是（ ）
A.m1 、m2 做圆周运动的线速度之比为3∶2
B.m1 、m2 做圆周运动的角速度之比为3∶2
C.m1 做圆周运动的半径为L
D.m2 做圆周运动的半径为L
要点四 天体相距“最近”“最远”问题
8.假设火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径r1＝2.3×1011 m，地球的轨道半径r2＝1.5×1011 m，如图所示，从图示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，请估算火星再次与地球相距最近需（ ）
A.1.4年 B.4年 C.2.1年 D.1年
9.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时两星做匀速圆周运动的周期为（ ）
A. T B. T C. T D. T
10.（多选）发射同步卫星的一般程序如图所示，先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q点），到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆转移轨道的近地点P的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，卫星在三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列说法正确的是（ ）
A.在P点变轨时需要加速，在Q点变轨时需要减速
B.在P点变轨时需要减速，在Q点变轨时需要加速
C.T1＜T2＜T3
D.v2＞v1＞v4＞v3
11.（多选）“嫦娥五号”从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。关于“嫦娥五号”的说法正确的是（ ）
A.在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小
B.在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现（不计“嫦娥五号”的质量变化）
C.在b轨道上，“嫦娥五号”在P点的速度比在R点的速度大
D.“嫦娥五号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等
12.天文学家们推测，超大质量黑洞由另外两个超大质量黑洞融合时产生的引力波推射出该星系核心区域。两个黑洞逐渐融入到新合并的星系中央并绕对方旋转，这种富含能量的运动产生了引力波。假设在合并前，两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，如图所示，若黑洞A、B的总质量为1.3×1032 kg，两黑洞中心间的距离为2×105 m，产生的引力波的周期和黑洞做圆周运动的周期相当，则估算该引力波周期的数量级为（G＝6.67×10－11 N·m2/kg2）（ ）
A.10－7 s B.10－5 s C.10－3 s D.10－1 s
13.如图所示，质量分别为mA和mB的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G。求：
（1）A星球做圆周运动的半径rA和B星球做圆周运动的半径rB；
（2）两星球做圆周运动的周期；
（3）如果把星球A质量的搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间距离仍为L，则组成新的稳定双星后星球A的半径和周期如何变化？
习题课四 卫星变轨和多星问题
1.C 地球赤道上的物体与地球静止卫星是相对静止的，有相同的角速度和周期，即ω1＝ω3，T1＝T3，静止卫星距地心距离约为地球半径的7倍，由 a＝ω2r，知＝，故选项C正确，D错误；近地卫星与地球静止卫星都是地球卫星，都绕地球做匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，由＝m得v＝，则速度之比v2∶v3＝∶1，故选项A、B错误。
2.AC 第一宇宙速度是最大的环绕速度，除近地卫星外，其他所有卫星的环绕速度都小于第一宇宙速度，A正确；a随地球一起做圆周运动的向心力是其所受万有引力的一个很小的分力，比重力要小很多，其向心加速度不是重力加速度g，B错误；卫星c是静止卫星，周期等于地球自转的周期，即Ta＝Tc，向心加速度等于an＝r，而ra＜rc，所以c的向心加速度比a的向心加速度大，C正确；根据开普勒第二定律，同一卫星绕中心天体运动在相同的时间内扫过的面积相等，D错误。
3.C “嫦娥六号”探测器没有脱离地球的束缚，因此发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故A错误；月球的第一宇宙速度等于近月圆轨道上的环绕速度，“嫦娥六号”探测器在近月点B所在椭圆轨道相对于近月圆轨道为高轨道，由椭圆轨道变轨到近月圆轨道，需要在近月点B减速，可知“嫦娥六号”探测器运行至B点时的速度大于月球的第一宇宙速度，故B错误；图中圆轨道相对于椭圆轨道为高轨道，可知，要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点减速，故C正确；令图中圆轨道半径为R1，椭圆轨道的半长轴为R2，根据开普勒第三定律有＝，由于R1＞R2，所以T1＞T2，即在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，故D错误。
4.AD 根据开普勒第三定律有＝k，卫星在轨道Ⅰ上的运动周期比在轨道Ⅱ上的长，A正确；根据＝ma ，解得a＝，卫星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度等于在轨道Ⅲ上经过P点时的加速度，B错误；月球的第一宇宙速度是月球上卫星最大的环绕速度，所以卫星在轨道Ⅲ上运动的速度小于月球的第一宇宙速度，C错误；卫星在P点的两次变轨都必须减速做近心运动，D正确。
5.C 根据万有引力提供向心力，有G＝mr，解得T＝2π，所以周期之比为＝，故A错误；地球的密度为ρ＝＝＝，故B错误；神舟十四号飞船在近地点的速度大于远地点的速度，所以神舟十四号飞船在轨道Ⅱ上Q点的速率要大于在轨道Ⅱ上P点的速率，故C正确；飞船在Q点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要点火减速做近心运动，所以应朝速度方向喷气，获得与速度相反的反冲力，故D错误。
6.CD 由双星运动规律可知，双星靠相互间的万有引力提供彼此做圆周运动所需的向心力，所以两个星球的向心力大小相等，故A错误；由双星运动规律可知，双星的角速度相等，根据v＝ωr可得，星球A的线速度一定小于星球B的线速度，故B错误；对于星球A有G＝mARAω2，对于星球B有G＝mBRBω2，ω＝，L＝RA＋RB，联立解得mA＋mB＝，故C正确；根据mA＋mB＝，若双星之间的距离增大，总质量不变，则其转动的周期变大，故D正确。
7.C 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有m1r1ω2＝m2r2ω2，则＝＝，因为r1＋r2＝L，则r1＝，r2＝，根据v＝rω 知v1∶v2＝2∶3 ，故选C。
8.C 设行星质量为m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，已知地球的周期T地＝1年，由 G＝mr得T2＝，所以＝，火星的周期T火＝T地，代入数据得T火≈1.9年，设经时间t两星又一次距离最近，则两星转过的角度之差为2π ，根据θ＝ωt，则有θ地－θ火＝t＝2π，代入数据得t≈2.1年，故C正确。
9.B 设两恒星原来的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的引力提供向心力，则有
G＝m1r1
G＝m2r2
并且r1＋r2＝L
解得T＝2π
当两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍时，T'＝2π＝T，故选项B正确。
10.CD 由题图知，卫星在P点做离心运动，变轨时需要加速，同理在Q点变轨时也需要加速，故A、B错误；由开普勒第三定律＝k可知，圆轨道的半径或椭圆轨道的半长轴越大，周期越大，因此T1＜T2＜T3，故C正确；卫星在近地圆轨道上的P点加速，使得万有引力小于所需向心力，进入椭圆转移轨道，所以卫星在近地圆轨道上经过P点时的速度小于在椭圆转移轨道上经过P点时的速度，即v1＜v2，沿转移轨道刚到达Q点时的速率为v3，在Q点点火加速之后进入同步圆轨道，速率为v4，所以卫星在转移轨道上经过Q点时的速度小于在同步圆轨道上经过Q点时的速度，即v3＜v4，由G ＝m 得v＝，同步轨道的半径大于近地轨道的半径，则v4＜v1，综上可知v2＞v1＞v4＞v3，故D正确。
11.CD “嫦娥五号”在a轨道上的P点进入b轨道，需加速，使万有引力小于需要的向心力而做离心运动，选项A错误；“嫦娥五号”在Q点由d轨道转变到c轨道时，必须减速，使万有引力大于需要的向心力而做近心运动，选项B错误；根据开普勒第二定律知，在b轨道上，“嫦娥五号”在P点的速度比在R点的速度大，选项C正确；根据＝man知“嫦娥五号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等，选项D正确。
12.C A、B的周期相同，角速度相等，靠相互的万有引力提供向心力，有＝mArA＝mBrB，解得＝，将黑洞A、B的总质量为1.3×1032 kg，两黑洞中心间的距离 L＝2×105 m代入，解得T≈6.0×10－3 s，则该引力波周期的数量级为10－3 s，选项C正确。
13.（1）L L
（2）2π
（3）半径变大 周期不变
解析：（1）两星球做圆周运动时的向心力由万有引力提供，G＝mArA
G＝mBrB
可得＝
又因为L＝rA＋rB
解得rA＝L，rB＝L。
（2）由G＝mArA和rA＝L，两式联立解得
T＝＝2π。
（3）根据rA＝L，且总质量（mA＋mB）不变，知mB变大，rA变大
根据T＝2π知周期不变。
4 / 4习题课四 卫星变轨和多星问题
要点一 静止卫星、近地卫星与赤道上物体的运动比较
【探究】
（1）静止卫星和赤道上物体的运动有什么相同点和不同点？
（2）静止卫星和近地卫星的运动有什么相同点和不同点？
（3）若已知地球半径为R，静止卫星离地高度为h，静止卫星的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，地球赤道上物体的线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，求v1与v2及a1与a2的比值。
（4）若近地卫星的线速度大小为v3，向心加速度大小为a3，求v1与v3及a1与a3的比值。
【归纳】
近地卫星、静止卫星、赤道上物体的运动比较
近地卫星（r1、ω1、v1、a1） 静止卫星（r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球自转的物体（r3、ω3、v3、a3）
向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去支持力
轨道 半径 r2＞r3＝r1
角速度 由＝mω2r，得ω＝ ，故ω1＞ω2 静止卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
线速度 由＝，得v＝ ，故v1＞v2 由v＝rω，得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心 加速度 由＝man，得an＝，故a1＞a2 由an＝ω2r，得a2＞a3
a1＞a2＞a3
【典例1】 （多选）如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B、静止卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比较三者的运动情况，以下判断正确的是（ ）
A.三者的周期关系为TA＜TB＜TC
B.三者向心加速度大小关系为aA＞aB＞aC
C.三者角速度的大小关系为ωA＝ωC＜ωB
D.三者线速度的大小关系为vA＜vC＜vB
尝试解答
1.（多选）地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
要点二 卫星变轨与航天器的对接问题
1.卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
（2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.三个运行物理量的大小比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则 v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点时加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。
3.航天器的对接问题
若使航天器在同一轨道上运行，航天器加速会进入较高的轨道，减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，故要想实现对接，可使航天器在半径较小的轨道上加速，然后进入较高的空间轨道，逐渐靠近其他航天器，两者速度接近时实现对接。
【典例2】 在高空运行的静止卫星功能失效后，往往会被送到静止轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其他在轨卫星的运行并节省轨道资源。2022年1月22日，我国“实践21号”卫星在地球静止轨道“捕获”已失效的“北斗二号G2 ”卫星后，成功将其送入“墓地轨道”。已知地球自转周期为T0 ，转移轨道与静止轨道、墓地轨道分别相切于P、Q两点，则“北斗二号G2 ”卫星（ ）
A.在墓地轨道上的运动周期大于T0
B.在静止轨道上的机械能大于在墓地轨道上的机械能
C.在转移轨道上经过P点的速度等于在静止轨道上经过P点的速度
D.在转移轨道上经过P点的加速度大于在静止轨道上经过P点的加速度
尝试解答
规律方法
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
（1）判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
（2）判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
（3）判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
（4）判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G 判断。
2.宇宙星辰浩瀚璀璨，中国航天风正帆悬。我国首个火星巡视器“祝融”号已成功登陆火星。如图所示为“祝融”号经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，两轨道相切于P点，下列说法正确的是（ ）
A.“祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期小于在轨道Ⅱ运行的周期
B.若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和引力常量，可算出火星的密度
C.“祝融”号减速下降登陆火星的过程中处于超重状态
D.“祝融”号在轨道Ⅰ上P点运行的速度一定小于在轨道Ⅱ上P点运行的速度
要点三 双星问题
（1）如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
（2）特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星所受的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r1＋r2＝L，两星的轨道半径之比等于两星的质量的反比，即＝。
（3）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2。
【典例3】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
尝试解答
3.（多选）宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，这两恒星到某一共同圆心的距离分别为R1和R2。则关于这两颗恒星的说法正确的是（ ）
A.这两颗恒星的质量之比为m1 ∶m2＝R1 ∶R2
B.这两颗恒星的质量之和为
C.其中必有一颗恒星的质量为
D.这两颗恒星做匀速圆周运动的线速度大小之比为 v1 ∶v2＝R2∶R1
要点四 天体相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图乙所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近。
【典例4】 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线时，天文学称这种现象为“行星冲日”。已知2020年7月21日土星冲日，土星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道半径的9.5倍，则下一次土星冲日的时间约为（ ）
A.2021年8月 B.2022年7月
C.2023年8月 D.2024年7月
尝试解答
4.2020年7月23日，我国自主研制的第一颗火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场发射升空，之所以选择这天，是因为地球与火星必须处于特定位置（如图所示）才能发射。此时间被称为“发射窗口期”。设定火星与地球绕太阳运动的轨道在同一平面内，且均可视为匀速圆周运动，已知火星绕太阳运动的轨道半径为地球绕太阳运动的轨道半径的1.52倍，则相邻两次“发射窗口期”的时间间隔约为（＝1.874）（ ）
A.360天 B.540天
C.680天 D.780天
1.如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨道半径约等于地球半径），c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是（ ）
A.b卫星的线速度大于7.9 km/s
B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa＞ab＞ac
C.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc＜Tb
D.在卫星b、c中，b的线速度大
2.（2024·江苏南京期末）2023年10月26日，神舟十七号与天和核心舱完成自动交会对接。如图所示，天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，神舟十七号绕地球做椭圆运动，且椭圆的远地点与圆轨道相切，下面说法正确的是（ ）
A.航天员在核心舱中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
B.若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处的加速度相同
C.若两者原来在同一圆轨道上，神舟十七号可以沿切向喷气加速追上核心舱
D.设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的轨道高度将缓慢升高
3.随着科技的发展，人类的脚步已经踏入太空，并不断地向太空发射人造卫星以探索地球和太空的奥秘。如图所示，1、2、3分别为绕地球逆时针旋转的三颗人造地球卫星，它们绕地球旋转的周期分别为T1、T2、T3，线速度大小分别为v1、v2、v3。关于它们的运动，下列说法正确的是（ ）
A.T1＞T2＝T3
B.v1＜v2＝v3
C.卫星3点火加速，就可以追上同轨道上的卫星2
D.若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上（如图），从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近，需要的最短时间为
4.（2024·安徽滁州期末）如图所示的是某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，下列说法中正确的是（ ）
A.A星的角速度大于B星的角速度
B.A星的线速度大于B星的线速度
C.A星的向心力大于B星的向心力
D.A星的质量大于B星的质量
习题课四 卫星变轨和多星问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：（1）相同点：周期和角速度相同
不同点：向心力来源不同
对于静止卫星，有＝man＝mω2r
对于赤道上物体，有＝mg＋mω2R，
静止卫星与赤道上物体的线速度和向心加速度不同。
（2）相同点：都是万有引力提供向心力，即都满足
＝m＝mω2r＝mr＝man。
不同点：轨道半径不同。近地卫星的轨道半径约等于地球的半径，静止卫星的轨道半径约等于地球半径的7倍。
（3）＝；＝。
（4）＝；＝。
【典例1】 CD 因为静止卫星转动的周期与地球自转的周期相同，故TA＝TC，A错误；因为静止卫星转动的周期和地球自转的周期相同，故ωA＝ωC，根据an＝rω2知，A和C的向心加速度大小关系为aA＜aC，B错误；因为A、C的角速度相同，对于B、C，根据万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，有G＝mrω2，可得角速度ω＝ ，由C的轨道半径大于B的轨道半径可知ωC＜ωB，故ωA＝ωC＜ωB，C正确；由G＝m 得线速度v＝ ，知vC＜vB，由v＝rω，知C的轨道半径比A的大，则卫星C的线速度大于物体A的线速度，故有vA＜vC＜vB， D正确。
素养训练
1.AD 由题意根据向心加速度和角速度的关系有a1＝r ，a2＝R ，又ω1＝ω2，故＝，故A正确，B错误；由万有引力提供向心力得G＝，G＝，解得＝，故C错误，D正确。
要点二
知识精研
【典例2】 A 根据万有引力提供向心力可得＝mr，解得T＝，由于墓地轨道的半径大于静止轨道半径，可知“北斗二号G2”卫星在墓地轨道上的运动周期大于T0 ，故A正确；“北斗二号G2”卫星从低轨道变轨到高轨道，需要点火加速，变轨时“北斗二号G2”卫星的机械能增加，可知“北斗二号G2”卫星在静止轨道上的机械能小于在墓地轨道上的机械能，故B错误；“北斗二号G2”卫星在P点从同步轨道变轨到转移轨道，需要点火加速，则“北斗二号G2”卫星在转移轨道上经过P点的速度大于在静止轨道上经过P点的速度，故C错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，解得a＝，由于m地、r都相同，可知“北斗二号G2”卫星在转移轨道上经过P点的加速度等于在静止轨道上经过P点的加速度，故D错误。
素养训练
2.C “祝融”号在轨道Ⅰ运行的轨道半径大于在轨道Ⅱ运行的轨道半长轴，根据开普勒第三定律＝k可知，“祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期大于在轨道Ⅱ运行的周期，故A错误；由牛顿第二定律和万有引力定律得G＝mr，解得m火＝，若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和引力常量，可以得出火星的质量m火，但由于不知道火星的半径R，不能得出火星的密度，故B错误；“祝融”号减速下降登陆火星的过程中具有向上的加速度，处于超重状态，故C正确；从高轨道变轨到低轨道时，需要点火减速，做近心运动到低轨道，所以在轨道Ⅰ上P点运行的速度大于在轨道Ⅱ上P点运行的速度，故D错误。
要点三
知识精研
【典例3】 见解析
解析：双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对m1有＝m1r1ω2
对m2有＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝，r2＝
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝2πL。
素养训练
3.BC 由G＝m1R1＝m2R2 得 m1∶m2＝R2∶R1，A错误；由A选项得m1＝，m2＝，又r＝R1＋R2，得m1＋m2＝，B正确；由A、B选项得m2＝，C正确；这两颗恒星做匀速圆周运动的线速度大小之比为＝＝，D错误。
要点四
知识精研
【典例4】 A 根据开普勒第三定律有＝，解得T土＝T地＝ 年≈29.28年，如果两次土星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一周，有t－t＝2π，解得t＝≈1.04年，故2020年7月21日土星冲日，下一次冲日大约为2021年8月，故A正确。
素养训练
4.D 设行星质量为m ，太阳质量为M ，行星与太阳的距离为r，火星的周期为T1，地球的周期为T2。行星绕太阳做近似匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有＝mr，可得T＝∝，已知火星绕太阳运动的轨道半径为地球绕太阳运动的轨道半径的1.52倍，地球的周期为T2＝1年，则火星的周期为T1＝T2＝×1年＝1.874年，设经时间t地球与火星又一次运动到“发射窗口期”，则有t＝2π，解得t＝＝年＝×365天≈780天，故选D。
【教学效果·勤检测】
1.D b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，又＝mg，可得v＝，与第一宇宙速度大小相同，即v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与地球静止卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab＞ac＞aa，故B错误；卫星c为地球静止卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π 得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc＞Tb，故C错误；在卫星b、c中，根据v＝，可知b的线速度比c的线速度大，故D正确。
2.B 航天员在核心舱中处于失重状态，但航天员仍受地球引力作用，故A错误；若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处时，根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知两者在切点处的加速度相同，故B正确；若两者原来在同一圆轨道上，若神舟十七号沿切向喷气加速，则万有引力不足以提供向心力，神舟十七号将做离心运动，不可能追上核心舱，故C错误；设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的速度将减小，则万有引力大于所需的向心力，核心舱的轨道高度将缓慢降低，故D错误。
3.D 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设地球质量为M，由牛顿第二定律得 G＝mr＝m，解得T＝2π，v＝，由于r1＜r2＝r3，则T1＜T2＝T3，v1＞v2＝v3，故A、B错误；卫星3点火加速，则其做圆周运动需要的向心力大于地球的万有引力，故卫星3将做离心运动，轨道半径变大，不能追上同轨道上的卫星2，故C错误；若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上，此时两颗卫星距离最近，从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近时有（ω1－ω2）t＝2π，即t＝2π，解得t＝，故D正确。
4.B 根据双星的特点可知，A星的角速度等于B星的角速度，故A错误；根据公式v＝rω，其中rA＞rB，可得vA＞vB，即A星的线速度大于B星的线速度，故B正确；双星靠相互间的万有引力提供向心力，所以A星的向心力等于B星的向心力，故C错误；对A星受力分析，由万有引力提供向心力得G＝mArAω2，对B星受力分析，由万有引力提供向心力得G＝mBrBω2，联立可得mArA＝mBrB，因为rA＞rB，所以mA＜mB，即A星的质量小于B星的质量，故D错误。
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习题课四 卫星变轨和多星问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 静止卫星、近地卫星与赤道上物体的运动比较
【探究】
（1）静止卫星和赤道上物体的运动有什么相同点和不同点？
提示：相同点：周期和角速度相同不同点：向心力来源不同
对于静止卫星，有＝man＝mω2r
对于赤道上物体，有＝mg＋mω2R，
静止卫星与赤道上物体的线速度和向心加速度不同。
（2）静止卫星和近地卫星的运动有什么相同点和不同点？
提示：相同点：都是万有引力提供向心力，即都满足
＝m＝mω2r＝mr＝man。
不同点：轨道半径不同。近地卫星的轨道半径约等于地球的半径，静止卫星的轨道半径约等于地球半径的7倍。
（3）若已知地球半径为R，静止卫星离地高度为h，静止卫星的线速
度大小为v1、向心加速度大小为a1，地球赤道上物体的线速度大
小为v2、向心加速度大小为a2，求v1与v2及a1与a2的比值。
提示：＝；＝。
（4）若近地卫星的线速度大小为v3，向心加速度大小为a3，求v1与v3
及a1与a3的比值。
提示：＝；＝。
【归纳】
近地卫星、静止卫星、赤道上物体的运动比较
近地卫星
（r1、ω1、
v1、a1） 静止卫星
（r2、ω2、
v2、a2） 赤道上随地球自转的物体
（r3、ω3、v3、a3）
向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去支持力
轨道半径 r2＞r3＝r1
近地卫星
（r1、ω1、
v1、a1） 静止卫星
（r2、ω2、
v2、a2） 赤道上随地球自转的物体
（r3、ω3、v3、a3）
角速度 由＝mω2r，得ω＝
，故ω1＞ω2 静止卫星的角速度与地球自
转的角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
近地卫星
（r1、ω1、
v1、a1） 静止卫星（r2、ω2、
v2、a2） 赤道上随地球自转的物
体（r3、ω3、v3、a3）
线
速
度 由＝，得v＝ ，故v1＞
v2 由v＝rω，得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向
心 加
速
度 由＝man，得an＝，故a1＞
a2 由an＝ω2r，得a2＞a3
a1＞a2＞a3
【典例1】 （多选）如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上
空的近地卫星B、静止卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比
较三者的运动情况，以下判断正确的是（ ）
A. 三者的周期关系为TA＜TB＜TC
B. 三者向心加速度大小关系为aA＞aB＞aC
C. 三者角速度的大小关系为ωA＝ωC＜ωB
D. 三者线速度的大小关系为vA＜vC＜vB
解析：因为静止卫星转动的周期与地球自转的周期相同，故TA＝TC，
A错误；因为静止卫星转动的周期和地球自转的周期相同，故ωA＝
ωC，根据an＝rω2知，A和C的向心加速度大小关系为aA＜aC，B错误；
因为A、C的角速度相同，对于B、C，根据万有引力提供卫星做圆周
运动所需的向心力，有G＝mrω2，可得角速度ω＝ ，由C的
轨道半径大于B的轨道半径可知ωC＜ωB，故ωA＝ωC＜ωB，C正确；
由G＝m 得线速度v＝ ，知vC＜vB，由v＝rω，知C的轨道
半径比A的大，则卫星C的线速度大于物体A的线速度，故有vA＜vC＜
vB， D正确。
1. （多选）地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，向心加
速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球
的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是
（ ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
解析： 由题意根据向心加速度和角速度的关系有a1＝r ，
a2＝R ，又ω1＝ω2，故＝，故A正确，B错误；由万有引力
提供向心力得G＝，G＝，解得＝，故C错
误，D正确。
要点二 卫星变轨与航天器的对接问题
1. 卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图
所示。
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
（2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心
力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2. 三个运行物理量的大小比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，
在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA
＞v1，在B点加速，则 v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞
vB。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨
道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过
B点时加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、
T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定
律＝k可知T1＜T2＜T3。
3. 航天器的对接问题
若使航天器在同一轨道上运行，航天器加速会进入较高的轨道，减
速会进入较低的轨道，都不能实现对接，故要想实现对接，可使航
天器在半径较小的轨道上加速，然后进入较高的空间轨道，逐渐靠
近其他航天器，两者速度接近时实现对接。
【典例2】 在高空运行的静止卫星功能失效后，往往会被送到静止
轨道上空几百公里处的“墓地轨道”，以免影响其他在轨卫星的运行
并节省轨道资源。2022年1月22日，我国“实践21号”卫星在地球静
止轨道“捕获”已失效的“北斗二号G2 ”卫星后，成功将其送入“墓
地轨道”。已知地球自转周期为T0 ，转移轨道与静
止轨道、墓地轨道分别相切于P、Q两点，则“北斗
二号G2 ”卫星（ ）
A. 在墓地轨道上的运动周期大于T0
B. 在静止轨道上的机械能大于在墓地轨道上的机械能
C. 在转移轨道上经过P点的速度等于在静止轨道上经过P点的速度
D. 在转移轨道上经过P点的加速度大于在静止轨道上经过P点的加速
度
解析：根据万有引力提供向心力可得＝mr，解得T＝
，由于墓地轨道的半径大于静止轨道半径，可知“北斗二号
G2”卫星在墓地轨道上的运动周期大于T0 ，故A正确；“北斗二号
G2”卫星从低轨道变轨到高轨道，需要点火加速，变轨时“北斗二号
G2”卫星的机械能增加，可知“北斗二号G2”卫星在静止轨道上的机
械能小于在墓地轨道上的机械能，故B错误；
“北斗二号G2”卫星在P点从同步轨道变轨到转移轨道，需要点火加
速，则“北斗二号G2”卫星在转移轨道上经过P点的速度大于在静止
轨道上经过P点的速度，故C错误；根据牛顿第二定律可得＝ma，
解得a＝，由于m地、r都相同，可知“北斗二号G2”卫星在转移轨
道上经过P点的加速度等于在静止轨道上经过P点的加速度，故D错误。
规律方法
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
（1）判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越
慢”的规律判断。
（2）判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普
勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
（3）判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心
运动或近心运动的条件进行分析。
（4）判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G 判断。
2. 宇宙星辰浩瀚璀璨，中国航天风正帆悬。我国首个火星巡视器“祝
融”号已成功登陆火星。如图所示为“祝融”号经过多次变轨后登
陆火星的轨迹图，轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，两轨道相
切于P点，下列说法正确的是（ ）
A. “祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期小于在轨道Ⅱ运行的周期
B. 若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和
引力常量，可算出火星的密度
C. “祝融”号减速下降登陆火星的过程中处于超重状
态
D. “祝融”号在轨道Ⅰ上P点运行的速度一定小于在轨
道Ⅱ上P点运行的速度
解析： “祝融”号在轨道Ⅰ运行的轨道半径大于在轨道Ⅱ运行的
轨道半长轴，根据开普勒第三定律＝k可知，“祝融”号在轨道Ⅰ
运行的周期大于在轨道Ⅱ运行的周期，故A错误；由牛顿第二定律
和万有引力定律得G＝mr，解得m火＝，若已知“祝
融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和引力常量，可以得出火星
的质量m火，但由于不知道火星的半径R，不能得出火星的密度，故
B错误；“祝融”号减速下降登陆火星的过程中具有向上的加速
度，处于超重状态，故C正确；从高轨道变轨到低轨道时，需要点火减速，做近心运动到低轨道，所以在轨道Ⅰ上P点运行的速度大于在轨道Ⅱ上P点运行的速度，故D错误。
要点三 双星问题
（1）如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它
们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不
计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一
固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们
把这样的两个星球称为“双星”。
（2）特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的
运行周期、角速度相同。
②两星所受的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r1＋r2＝L，两
星的轨道半径之比等于两星的质量的反比，即＝。
（3）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心
力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2。
【典例3】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其
连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，
科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量
分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨
道半径r1和r2及运行周期T。
答案：见解析
解析：双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对m1
有＝m1r1ω2
对m2有＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝，r2＝
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝2πL。
3. （多选）宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统，它们
以相互间的万有引力彼此提供向心力，而使它们绕着某一共同的圆
心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，这两恒星到某一
共同圆心的距离分别为R1和R2。则关于这两颗恒星的说法正确的是
（ ）
A. 这两颗恒星的质量之比为m1 ∶m2＝R1 ∶R2
B. 这两颗恒星的质量之和为
C. 其中必有一颗恒星的质量为
D. 这两颗恒星做匀速圆周运动的线速度大小之比为 v1 ∶v2＝R2∶R1
解析： 由G＝m1R1＝m2R2 得 m1∶m2＝R2∶R1，A错
误；由A选项得m1＝，m2＝，又r＝R1＋R2，得m1＋
m2＝，B正确；由A、B选项得m2＝，C正确；这两颗恒星做匀速圆周运动的线速度大小之比为＝＝，D错误。
要点四 天体相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的
角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb。
若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲
所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一
次相距最远，如图乙所示。
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再
次相距最近。
【典例4】 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆
周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成
一条直线时，天文学称这种现象为“行星冲日”。已知2020年7月21
日土星冲日，土星绕太阳运动的轨道半径约为地球绕太阳运动的轨道
半径的9.5倍，则下一次土星冲日的时间约为（ ）
A. 2021年8月 B. 2022年7月
C. 2023年8月 D. 2024年7月
解析：根据开普勒第三定律有＝，解得T土＝T地＝
年≈29.28年，如果两次土星冲日时间间隔为t年，则地球多转动一
周，有t－t＝2π，解得t＝≈1.04年，故2020年7月21日土
星冲日，下一次冲日大约为2021年8月，故A正确。
4. 2020年7月23日，我国自主研制的第一颗火星探测器“天问一号”
在海南文昌航天发射场发射升空，之所以选择这天，是因为地球与
火星必须处于特定位置（如图所示）才能发射。此时间被称为“发
射窗口期”。设定火星与地球绕太阳运动的轨道在同一平面内，且
均可视为匀速圆周运动，已知火星绕太阳运动的轨道半径为地球绕
太阳运动的轨道半径的1.52倍，则相邻两次“发射窗口期”的时间
间隔约为（＝1.874）（ ）
A. 360天 B. 540天
C. 680天 D. 780天
解析： 设行星质量为m ，太阳质量为M ，行星与太阳的距离为
r，火星的周期为T1，地球的周期为T2。
行星绕太阳做近似匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有＝
mr，可得T＝∝，已知火星绕太阳运动的轨道半径为地
球绕太阳运动的轨道半径的1.52倍，地球的周期为T2＝1年，则火星的
周期为T1＝T2＝×1年＝1.874年，设经时间t地球与火星又
一次运动到“发射窗口期”，则有t＝2π，解得t＝＝
年＝×365天≈780天，故选D。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀
速圆周运动，b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星（轨
道半径约等于地球半径），c为地球静止卫星。下列关于a、b、c的
说法中正确的是（ ）
A. b卫星的线速度大于7.9 km/s
B. a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa
＞ab＞ac
C. a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc＜Tb
D. 在卫星b、c中，b的线速度大
解析： b为在地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据
万有引力提供向心力有G＝m，解得v＝，又＝
mg，可得v＝，与第一宇宙速度大小相同，即v＝7.9 km/s，故
A错误；地球赤道上的物体与地球静止卫星具有相同的角速度，所
以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根
据a＝得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab＞ac＞aa，故
B错误；
卫星c为地球静止卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π 得c的周期大于
b的周期，即Ta＝Tc＞Tb，故C错误；在卫星b、c中，根据v＝，
可知b的线速度比c的线速度大，故D正确。
2. （2024·江苏南京期末）2023年10月26日，神舟十七号与天和核心
舱完成自动交会对接。如图所示，天和核心舱绕地球做匀速圆周运
动，神舟十七号绕地球做椭圆运动，且椭圆的远地点与圆轨道相
切，下面说法正确的是（ ）
A. 航天员在核心舱中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
B. 若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处的加速度相同
C. 若两者原来在同一圆轨道上，神舟十七号可以沿切向喷气加速追上核心舱
D. 设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干
预，核心舱的轨道高度将缓慢升高
解析： 航天员在核心舱中处于失重状态，但航天员仍受地球引
力作用，故A错误；若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切
点处时，根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知
两者在切点处的加速度相同，故B正确；若两者原来在同一圆轨道
上，若神舟十七号沿切向喷气加速，则万有引力不足以提供向心
力，神舟十七号将做离心运动，不可能追上核心舱，故C错误；设
轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的速度将
减小，则万有引力大于所需的向心力，核心舱的轨道高度将缓慢降
低，故D错误。
3. 随着科技的发展，人类的脚步已经踏入太空，并不断地向太空发射
人造卫星以探索地球和太空的奥秘。如图所示，1、2、3分别为绕
地球逆时针旋转的三颗人造地球卫星，它们绕地球旋转的周期分别
为T1、T2、T3，线速度大小分别为v1、v2、v3。关于它们的运动，下
列说法正确的是（ ）
A. T1＞T2＝T3
B. v1＜v2＝v3
C. 卫星3点火加速，就可以追上同轨道上的卫星2
D. 若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上
（如图），从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近，需要的最短时间为
解析： 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设
地球质量为M，由牛顿第二定律得 G＝mr＝m，解得T＝
2π，v＝，由于r1＜r2＝r3，则T1＜T2＝T3，v1＞v2＝v3，故
A、B错误；卫星3点火加速，则其做圆周运动需要的向心力大于地
球的万有引力，故卫星3将做离心运动，轨道半径变大，不能追上
同轨道上的卫星2，故C错误；若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上，此时两颗卫星距离最近，从此时开始计时，两卫星要再次达到距离最近时有（ω1－ω2）t＝2π，即t＝2π，解得t＝，故D正确。
4. （2024·安徽滁州期末）如图所示的是某双星系统A、B绕其连线上
的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道
半径，下列说法中正确的是（ ）
A. A星的角速度大于B星的角速度
B. A星的线速度大于B星的线速度
C. A星的向心力大于B星的向心力
D. A星的质量大于B星的质量
解析： 根据双星的特点可知，A星的角速度等于B星的角速度，
故A错误；根据公式v＝rω，其中rA＞rB，可得vA＞vB，即A星的线
速度大于B星的线速度，故B正确；双星靠相互间的万有引力提供
向心力，所以A星的向心力等于B星的向心力，故C错误；对A星受
力分析，由万有引力提供向心力得G＝mArAω2，对B星受力分
析，由万有引力提供向心力得G＝mBrBω2，联立可得mArA＝
mBrB，因为rA＞rB，所以mA＜mB，即A星的质量小于B星的质量，
故D错误。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 静止卫星、近地卫星与赤道上物体的比较
1. 已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v1、向心加速度
大小为a1，近地卫星的线速度大小为v2、向心加速度大小为a2，地
球静止卫星的线速度大小为v3、向心加速度大小为a3。若近地卫星
距地面的高度不计，静止卫星距地面的高度约为地球半径的6倍，
则下列结论正确的是（ ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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解析： 地球赤道上的物体与地球静止卫星是相对静止的，有相
同的角速度和周期，即ω1＝ω3，T1＝T3，静止卫星距地心距离约为
地球半径的7倍，由 a＝ω2r，知＝，故选项C正确，D错误；近
地卫星与地球静止卫星都是地球卫星，都绕地球做匀速圆周运动，
向心力由万有引力提供，由＝m得v＝，则速度之比
v2∶v3＝∶1，故选项A、B错误。
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2. （多选）（2024·安徽铜陵期中）如图所示，卫星a还未发射，在地
球赤道上随地球表面一起转动，卫星b绕地球做匀速圆周运动且离
地面高度为h，卫星c是静止卫星，则（ ）
A. b的线速度小于第一宇宙速度
B. a的向心加速度就是重力加速度g
C. c的向心加速度比a的向心加速度大
D. b、c与地球中心的连线在相等时间内扫过的面积相等
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解析： 第一宇宙速度是最大的环绕速度，除近地卫星外，其
他所有卫星的环绕速度都小于第一宇宙速度，A正确；a随地球一
起做圆周运动的向心力是其所受万有引力的一个很小的分力，比重
力要小很多，其向心加速度不是重力加速度g，B错误；卫星c是静
止卫星，周期等于地球自转的周期，即Ta＝Tc，向心加速度等于an
＝r，而ra＜rc，所以c的向心加速度比a的向心加速度大，C正
确；根据开普勒第二定律，同一卫星绕中心天体运动在相同的时间
内扫过的面积相等，D错误。
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要点二 卫星变轨与航天器的对接问题
3. （2024·河北邢台期中）“嫦娥六号”探测器计划在2024到2025年
执行月球背面的月球样品采集任务。若“嫦娥六号”探测器在月球
附近轨道上运行的示意图如图所示，“嫦娥六号”探测器先在圆轨
道上做匀速圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月
点，则下列有关“嫦娥六号”探测器的说法正确的是（ ）
A. 发射速度等于地球的第二宇宙速度
B. 运行至B点时的速度等于月球的第一宇宙速度
C. 要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点减速
D. 在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期长
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解析： “嫦娥六号”探测器没有脱离地球的束缚，因此发射速
度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故A错误；月球的第一
宇宙速度等于近月圆轨道上的环绕速度，“嫦娥六号”探测器在近
月点B所在椭圆轨道相对于近月圆轨道为高轨道，由椭圆轨道变轨
到近月圆轨道，需要在近月点B减速，可知“嫦娥六号”探测器运
行至B点时的速度大于月球的第一宇宙速度，故B错误；图中圆轨
道相对于椭圆轨道为高轨道，可知，要想从圆轨道进入椭圆轨道必
须在A点减速，故C正确；令图中圆轨道半径为R1，椭圆轨道的半长轴为R2，根据开普勒第三定律有＝，由于R1＞R2，所以T1＞T2，即在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，故D错误。
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4. （多选）“嫦娥五号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月
球表面200 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获，先进入椭圆轨
道Ⅰ绕月飞行，如图所示。之后，卫星在P点又经过两次变轨，最后
在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动。对
此，下列说法正确的是（ ）
A. 卫星在轨道Ⅰ上的运动周期比在轨道Ⅱ上的长
B. 卫星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度小于在轨道
Ⅲ上经过P点时的加速度
C. 卫星在轨道Ⅲ上运动的速度大于月球的第一宇
宙速度
D. 卫星在P点的两次变轨都必须减速做近心运动
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解析： 根据开普勒第三定律有＝k，卫星在轨道Ⅰ上的运动周
期比在轨道Ⅱ上的长，A正确；根据＝ma ，解得a＝，卫
星在轨道Ⅱ上经过P点时的加速度等于在轨道Ⅲ上经过P点时的加速
度，B错误；月球的第一宇宙速度是月球上卫星最大的环绕速度，
所以卫星在轨道Ⅲ上运动的速度小于月球的第一宇宙速度，C错
误；卫星在P点的两次变轨都必须减速做近心运动，D正确。
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5. 2022年12月4日11时01分，神舟十四号与空间站组合体分离，正式
踏上回家之路，分离过程简化如图所示，脱离前空间站组合体处于
半径为r1的圆轨道Ⅰ，运行周期为T1，从P点脱离后神舟十四号飞船
沿轨道Ⅱ返回近地半径为r2的圆轨道Ⅲ上，
Q点为轨道Ⅱ与轨道Ⅲ的切点，飞船在轨道
Ⅲ上的运行周期为T2，然后再多次调整轨道，
最后顺利着落在东风着落场，根据信息可
知（ ）
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A. T1∶T2＝r1∶r2
B. 可以计算地球的密度为ρ＝
C. 在轨道Ⅱ上Q点的速率要大于在轨道Ⅱ上P点的速率
D. 飞船在Q点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ，需要在Q点朝速度反方向喷气
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解析： 根据万有引力提供向心力，有G＝mr，解得T
＝2π，所以周期之比为＝，故A错误；地球的密度为ρ
＝＝＝，故B错误；神舟十四号飞船在近地点的速度
大于远地点的速度，所以神舟十四号飞船在轨道Ⅱ上Q点的速率要
大于在轨道Ⅱ上P点的速率，故C正确；飞船在Q点从轨道Ⅱ变轨到
轨道Ⅲ，需要点火减速做近心运动，所以应朝速度方向喷气，获得
与速度相反的反冲力，故D错误。
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要点三 双星问题
6. （多选）宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有
引力作用互相绕转，我们称之为双星系统。设某双星系统绕其连线
上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB
且RA＜RB，引力常量G已知，则下列说法正确的是（ ）
A. 星球A的向心力大于星球B的向心力
B. 星球A的线速度一定大于星球B的线速度
C. 星球A和星球B的质量之和为
D. 双星的总质量不变，若双星之间的距离增大，其转动周期也变大
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解析： 由双星运动规律可知，双星靠相互间的万有引力提供
彼此做圆周运动所需的向心力，所以两个星球的向心力大小相等，
故A错误；由双星运动规律可知，双星的角速度相等，根据v＝ωr
可得，星球A的线速度一定小于星球B的线速度，故B错误；对于星
球A有G＝mARAω2，对于星球B有G＝mBRBω2，ω＝，
L＝RA＋RB，联立解得mA＋mB＝，故C正确；根据mA
＋mB＝，若双星之间的距离增大，总质量不变，则其
转动的周期变大，故D正确。
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7. 如图所示，两颗星组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕
连线上的点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离
为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是（ ）
A. m1 、m2 做圆周运动的线速度之比为3∶2
B. m1 、m2 做圆周运动的角速度之比为3∶2
C. m1 做圆周运动的半径为L
D. m2 做圆周运动的半径为L
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解析： 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大
小相等，向心力大小相等，则有m1r1ω2＝m2r2ω2，则＝＝
，因为r1＋r2＝L，则r1＝，r2＝，根据v＝rω 知v1∶v2＝
2∶3 ，故选C。
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要点四 天体相距“最近”“最远”问题
8. 假设火星和地球绕太阳的运动可以近似看作同一平面内同方向的匀
速圆周运动，已知火星的轨道半径r1＝2.3×1011 m，地球的轨道半
径r2＝1.5×1011 m，如图所示，从图示的火星与地球相距最近的时
刻开始计时，请估算火星再次与地球相距最近需（ ）
A. 1.4年 B. 4年
C. 2.1年 D. 1年
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解析： 设行星质量为m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为
r，已知地球的周期T地＝1年，由G＝mr得T2＝，所以
＝，火星的周期T火＝T地，代入数据得T火≈1.9年，设
经时间t两星又一次距离最近，则两星转过的角度之差为2π ，根据θ
＝ωt，则有θ地－θ火＝t＝2π，代入数据得t≈2.1年，故C
正确。
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9. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕
其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系
统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某
双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化
后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，
则此时两星做匀速圆周运动的周期为（ ）
A. T B. T
C. T D. T
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解析： 设两恒星原来的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠
彼此的引力提供向心力，则有
G＝m1r1
G＝m2r2
并且r1＋r2＝L
解得T＝2π
当两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍时，
T'＝2π＝T，故选项B正确。
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10. （多选）发射同步卫星的一般程序如图所示，先让卫星进入一个
近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆转移轨道（该椭圆轨道
的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步圆轨道上的Q
点），到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道。设卫星在近地
圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆转移轨道的近地点P的速率为
v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速
率为v4，卫星在三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3，则下列
说法正确的是（ ）
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A. 在P点变轨时需要加速，在Q点变轨时需要减速
B. 在P点变轨时需要减速，在Q点变轨时需要加速
C. T1＜T2＜T3
D. v2＞v1＞v4＞v3
解析： 由题图知，卫星在P点做离心运动，变轨时需要加
速，同理在Q点变轨时也需要加速，故A、B错误；由开普勒第三
定律＝k可知，圆轨道的半径或椭圆轨道的半长轴越大，周期越
大，因此T1＜T2＜T3，故C正确；
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卫星在近地圆轨道上的P点加速，使得万有引力小于所需向心力，进
入椭圆转移轨道，所以卫星在近地圆轨道上经过P点时的速度小于在
椭圆转移轨道上经过P点时的速度，即v1＜v2，沿转移轨道刚到达Q点
时的速率为v3，在Q点点火加速之后进入同步圆轨道，速率为v4，所以
卫星在转移轨道上经过Q点时的速度小于在同步圆轨道上经过Q点时
的速度，即v3＜v4，由G ＝m 得v＝，同步轨道的半径大
于近地轨道的半径，则v4＜v1，综上可知v2＞v1＞v4＞v3，故D正确。
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11. （多选）“嫦娥五号”从地球发射到月球过程的路线示意图如图
所示。关于“嫦娥五号”的说法正确的是（ ）
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A. 在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小
B. 在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现（不计“嫦娥五
号”的质量变化）
C. 在b轨道上，“嫦娥五号”在P点的速度比在R点的速度大
D. “嫦娥五号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度
相等
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解析： “嫦娥五号”在a轨道上的P点进入b轨道，需加速，
使万有引力小于需要的向心力而做离心运动，选项A错误；“嫦
娥五号”在Q点由d轨道转变到c轨道时，必须减速，使万有引力
大于需要的向心力而做近心运动，选项B错误；根据开普勒第二
定律知，在b轨道上，“嫦娥五号”在P点的速度比在R点的速度
大，选项C正确；根据＝man知“嫦娥五号”在a、b轨道上
正常运行时，通过同一点P时，加速度相等，选项D正确。
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12. 天文学家们推测，超大质量黑洞由另外两个超大质量黑洞融合时
产生的引力波推射出该星系核心区域。两个黑洞逐渐融入到新合
并的星系中央并绕对方旋转，这种富含能量的运动产生了引力
波。假设在合并前，两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，如图
所示，若黑洞A、B的总质量为1.3×1032 kg，两黑洞中心间的距离
为2×105 m，产生的引力波的周期和黑洞做圆周运动的周期相
当，则估算该引力波周期的数量级为（G＝6.67×10－11
N·m2/kg2）（ ）
A. 10－7 s B. 10－5 s
C. 10－3 s D. 10－1 s
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解析： A、B的周期相同，角速度相等，靠相互的万有引力提
供向心力，有＝mArA＝mBrB，解得＝，
将黑洞A、B的总质量为1.3×1032 kg，两黑洞中心间的距离 L＝
2×105 m代入，解得T≈6.0×10－3 s，则该引力波周期的数量级为
10－3 s，选项C正确。
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13. 如图所示，质量分别为mA和mB的两个星球A和B在引力作用下都
绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知
A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量
为G。求：
（1）A星球做圆周运动的半径rA和B星球做圆周运动的半径rB；
答案： L L
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解析： 两星球做圆周运动时的向心力由万有引力提
供，G＝mArA
G＝mBrB
可得＝
又因为L＝rA＋rB
解得rA＝L，rB＝L。
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（2）两星球做圆周运动的周期；
答案： 2π
解析：由G＝mArA和rA＝L，两式联立解得
T＝＝2π。
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（3）如果把星球A质量的搬运到B星球上，并保持A和B两者中
心之间距离仍为L，则组成新的稳定双星后星球A的半径和
周期如何变化？
答案： 半径变大 周期不变
解析：根据rA＝L，且总质量（mA＋mB）不变，知mB
变大，rA变大
根据T＝2π知周期不变。
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谢谢观看!
