1.功与功率
要点一 功的正负的理解与判断
1.关于功的概念，以下说法正确的是（ ）
A.力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B.功有正、负之分，若某个力对物体做负功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用
C.若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
D.某物体通过一段位移，作用在该物体上的力一定都做功
2.下列过程中人对物体做了功的是（ ）
A.小华用力推石头，但没有推动
B.小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中
C.小超提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中
D.小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了 5米的过程中
3.（多选）如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速送到皮带顶端，在这个过程中，下列说法中正确的是（ ）
A.摩擦力对物体P做正功 B.物体P克服摩擦力做功
C.皮带克服摩擦力做功 D.摩擦力对皮带不做功
要点二 功的计算
4.一物体在10 s内沿水平路面向右运动了1 m，在此过程中该物体一直受到一大小为10 N、方向斜向左上方且与水平方向成60°角的拉力F的作用，如图所示。则在这段时间内拉力F对物体做的功为（ ）
A.10 J B.－10 J
C.5 J D.－5 J
5.如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面体上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面体水平向左匀速运动距离l，物体始终与斜面体保持相对静止，重力加速度为g。则在斜面体水平向左匀速运动距离l的过程中（ ）
A.摩擦力对物体做的功为－μmglcos θ
B.斜面体对物体的支持力做的功为mglsin θcos2θ
C.重力对物体做的功为mgl
D.斜面体对物体做的功为零
要点三 功率的理解与计算
6.（2024·浙江金华期末）班里组织一次比赛活动，从一楼登上三楼，看谁的功率最大。为此，需要测量一些物理量，算出各位同学的功率，下列物理量中不需要测量的是（ ）
A.三楼地面到一楼地面的高度
B.一楼到三楼楼梯的长度
C.每位同学的体重
D.从一楼到达三楼所用的时间
7.如图所示，从空中以40 m/s的初速度平抛一重力为10 N的物体，物体在空中运动3 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体落地前瞬间，重力的瞬时功率为（ ）
A.300 W B.400 W
C.500 W D.700 W
8.（多选）（2024·宁夏石嘴山期中）水平恒力F两次作用在同一物体上，使物体沿力的方向发生相同位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，两次恒力F做的功和功率的大小关系是（ ）
A.W1＝W2 B.W1＞W2
C.P1＞P2 D.P1＝P2
9.如图所示，质量为 50 kg 的同学在做仰卧起坐。若该同学上半身的质量约为全身质量的，她在1 min内做了50个仰卧起坐，每次上半身重心上升的距离均为0.3 m，g取10 m/s2，则她在1 min内克服重力做的功W和相应的平均功率P约为（ ）
A.W＝4 500 J，P＝75 W
B.W＝450 J，P＝7.5 W
C.W＝3 600 J，P＝60 W
D.W＝360 J，P＝6 W
10.水平面上有一固定斜面，一质量为m的物块从斜面顶端A处下滑到底端并滑上水平面，最后停在B处。已知物块与斜面、水平面间的动摩擦因数均为μ，物块初末位置的水平距离为L，如图所示。则整个过程克服摩擦力做的功为（ ）
A.等于μmgL B.大于μmgL
C.小于μmgL D.以上皆有可能
11.（多选）（2024·内蒙古赤峰期中）质量为4 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速直线运动，2 s后撤去F，其运动的速度—时间图像如图所示，g取10 m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A.拉力F对物体做功300 J
B.拉力F对物体做功700 J
C.摩擦力对物体做功－350 J
D.物体克服摩擦力做功350 J
12.如图所示，倾角为30°的光滑斜面上用固定的竖直挡板夹住一个质量为m的光滑球，重力加速度为g，当整个装置沿水平面向左匀速运动距离L的过程中，求：
（1）重力对球做的功；
（2）竖直挡板以及斜面对球的弹力分别做的功；
（3）球所受合力做的功。
1.功与功率
1.B 功是标量，A错误；功有正、负之分，但功的正负不是表示方向，而是表示力对物体的做功效果，若某个力对物体做负功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用，B正确；当力的方向和物体位移的方向垂直时，该力对物体不做功，此时物体的位移可能不为零，C错误；当力与位移的夹角是90°时，力对物体不做功，D错误。
2.C A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，不受人的作用力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景人对物体做了功。
3.AC 物体相对于传送带有向下运动的趋势，则受斜向上的静摩擦力，摩擦力的方向与物体运动方向相同，故摩擦力对P做正功，故A正确，B错误；物体受斜向上的静摩擦力，根据牛顿第三定律，物体对传送带的摩擦力斜向下，而传送带向上运动，所以摩擦力对传送带做负功，皮带克服摩擦力做功，故C正确，D错误。
4.D 恒力做功时，根据W＝Flcos α，可得在这段时间内拉力F对物体做的功W＝10×1×cos 120° J＝－5 J，D正确，A、B、C错误。
5.D 物体与斜面体相对静止，对物体受力分析，如图所示，竖直方向有mg＝FNcos θ＋Ffsin θ，水平方向有FNsin θ＝Ffcos θ，可得FN＝mgcos θ，Ff＝mgsin θ。摩擦力做功Wf＝－Ffcos θ·l＝－mglsin θcos θ，故A错误；支持力做功WN＝FNsin θ·l＝mglsin θcos θ，故B错误；重力做功为零，故C错误；斜面体对物体作用力的合力方向竖直向上，与运动方向垂直，则斜面体对物体做的功为零，故D正确。
6.B 同学登楼时克服自身重力在竖直方向上做功，则功率的计算公式为P＝＝，因此，要计算出从一楼登上三楼谁的功率最大，需要测量的物理量是：每位同学的体重或质量、从一楼到达三楼所用的时间、三楼地面到一楼地面的高度；不需要测量一楼到三楼楼梯的长度，故选B。
7.A 物体落地前瞬间vy＝gt＝30 m/s，所以PG＝Gvy＝300 W，故A正确。
8.AC 根据W＝Fx可知，两次发生相同位移，则恒力F对两种情况下做功一样多，即W1＝W2，故A正确，B错误；在粗糙水平面上由于受到阻力的作用，由F合＝ma可知，在粗糙水平面上加速度小。由x＝at2知，通过相同的位移，在粗糙水平面上所用的时间较长；又由P＝知，力F在粗糙水平面上做功的平均功率小，即P1＞P2，故C正确，D错误。
9.A 每次上半身重心上升的距离均为 0.3 m，上半身质量约为全身质量的，则她每一次克服重力做的功约为W'＝mgh＝×50×10×0.3 J＝90 J，1 min内克服重力所做的功约为W＝50W'＝50×90 J＝4 500 J；相应的平均功率约为P＝＝ W＝75 W，故A正确，B、C、D错误。
10.A 设斜面倾角为θ，斜面对应的水平距离为x1，物块在水平面的运动距离为x2，x1＋x2＝L，根据功的定义，物块在斜面上克服摩擦力做功为 μmgcos θ·＝μmgx1，物块在水平面上克服摩擦力做功为μmgx2，则整个过程物块克服摩擦力做的功为μmgx1＋μmgx2＝μmgL，故选A。
11.ACD v-t图像的斜率表示加速度，则0～2 s内加速度大小为a1＝ m/s2＝2.5 m/s2，2～6 s内的加速度大小a2＝ m/s2＝2.5 m/s2，根据牛顿第二定律有F－f＝ma1，f＝ma2，解得F＝20 N，f＝10 N，v-t图像中，图像与时间轴所围几何图形的面积表示位移，则0～2 s内位移为x1＝ m＝15 m，0～6 s内位移为x2＝x1＋ m＝35 m，根据功的定义式，拉力F对物体做功W1＝Fx1＝300 J，故A正确，B错误；根据功的定义式，摩擦力对物体做功W2＝－fx2＝－350 J，即物体克服摩擦力做功350 J，故C、D正确。
12.（1）0 （2）－mgL mgL （3）0
解析：（1）由于装置沿水平面运动，小球的重力方向竖直向下，故重力做功为WG＝0。
（2）如图，对球受力分析，设挡板以及斜面对球的支持力大小分别为FN1、FN2，可得
FN1＝mgtan θ＝mg
FN2＝＝mg
则竖直挡板以及斜面对球的弹力做功分别为
WN1＝－mgL
WN2＝mg·cos 60°·L＝mgL。
（3）球所受合力做功为W总＝WG＋WN1＋WN2＝0。
3 / 31.功与功率
课标要求 素养目标
1.理解功和功率。 2.了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义 1.理解功和功率的概念，掌握功和功率的计算公式。（物理观念） 2.知道功是标量，理解正功、负功的含义，知道几个力对物体所做的总功是各个力分别对物体做功的代数和；理解瞬时功率表达式P＝Fv，弄清平均功率和瞬时功率的区别，掌握其计算方法。（科学思维）
知识点一 功
1.公式：W＝ ，式中的α是力的方向与位移方向的夹角。即力对物体所做的功，等于 、 、力与位移 这三者的乘积。
2.单位：在国际单位制中，功的单位是 ，符号是 J。1 J＝1 。
3.矢标性：功是 ，但有正负。
知识点二 正功和负功
1.正功和负功的判断
由W＝Flcos α可知
（1）当α＝时，W＝ ，力F对物体 （填“做正功”“做负功”或“不做功”）。
（2）当0≤α＜时，W 0，力F对物体 （填“做正功”“做负功”或“不做功”）。
（3）当＜α≤π时，W 0，力F对物体 （填“做正功”“做负功”或“不做功”）。
2.总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于：（1）各个力分别对物体所做功的 。
（2）几个力的 对物体所做的功。
知识点三 功率
1.功率的概念
（1）定义：功W与完成这些功 之比，P＝。
（2）单位：在国际单位制中，功率的单位是 ，简称瓦，用W表示。
（3）物理意义：表示力对物体 。
（4）矢标性：功率是 ，功率没有负值。
2.功率和速度
（1）功率与速度的关系式：P＝ （F与v方向相同）。
（2）推导
（3）平均功率和瞬时功率
①如果P＝Fv中的速度v是时间t内的平均速度，P就是这段时间内的 。
②如果P＝Fv中的速度v是某一时刻的瞬时速度，P就是该时刻的 。
【情景思辨】
思考下列描述的情景，判断下列说法的正误。
（1）汽车在水平公路上匀速行驶，汽车所受重力对汽车做功。（ ）
（2）人提着箱子站在地面不动，手的拉力对箱子没有做功。（ ）
（3）过山车向下运动过程中，车上乘客所受重力对乘客没有做功。（ ）
（4）由P＝Fv知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制增大。（ ）
（5）汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度。（ ）
要点一 功的正负的理解与判断
【探究】如图所示，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下沿水平面前进了l，则力F对物体做的功为多少？
【归纳】
1.功是标量
（1）功是标量。功的正、负并不是表示功的方向，是表示动力做功还是阻力做功。
（2）一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功。
2.判断功的正、负的方法
（1）根据力F与物体位移l的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。
（2）根据力与物体瞬时速度的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形，如图所示。
①若夹角θ是锐角，力做正功；
②若夹角θ是钝角，力做负功；
③若夹角θ是直角，力不做功。
【典例1】 （多选）质量为m的物体置于倾角为α的斜面上，物体和斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下斜面以加速度a向左做匀加速直线运动，如图所示，运动过程中物体与斜面之间保持相对静止，则下列说法正确的是（ ）
A.斜面对物体的支持力一定做正功
B.斜面对物体的摩擦力一定做正功
C.斜面对物体的摩擦力可能不做功
D.斜面对物体的摩擦力可能做负功
尝试解答
1.如图所示，用轻绳拴一物体，以加速度a向下做加速运动。关于物体所受力做功情况，下列说法正确的是（ ）
A.重力做正功，拉力做正功，合力做正功
B.重力做正功，拉力做负功，合力做负功
C.重力做正功，拉力做负功，合力做正功
D.重力做负功，拉力做负功，合力做负功
要点二 功的计算
1.对公式W＝Flcos α的理解
（1）某一恒力F对物体做的功，只与F、l、α有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力等因素无关。
（2）公式W＝Flcos α适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用。
2.总功的两种计算方法
（1）先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…然后求所有力做功的代数和，即 W合＝W1＋W2＋W3＋…
（2）先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
【典例2】 如图所示，一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N 作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10 m/s2，求外力对物体所做的总功。（cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6）
尝试解答
2.如图所示，质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静止下滑，斜坡的倾角 θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1，则运动员滑至坡底的过程中：（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计）
（1）滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
（2）各力对运动员做的总功是多少？
要点三 功率的理解与计算
【探究】
建筑工地上有两台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录。
起重机 编号 被吊物 体重力 匀速上 升速度 上升的 高度 所用 时间 做功
A 2.0×103 N 4 m/s 16 m 4 s
B 4.0×103 N 3 m/s 6 m 2 s
（1）两台起重机哪台做功多？
（2）哪台做功快？怎样比较它们做功的快慢呢？
【归纳】
1.功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然。
2.应用公式P＝解题时，必须明确是哪个力在哪段时间（或过程）内做功的功率。
3.公式P＝和P＝Fv的比较
P＝ P＝Fv
适用 条件 （1）功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率； （2）当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率 （1）功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，若不同向，P＝＝＝Fvcos α； （2）v为平均速度时功率为平均功率，v为瞬时速度时功率为瞬时功率
联系 公式P＝Fv是P＝的推论
【典例3】 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角 θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
（1）前2 s内重力做的功；
（2）前2 s内重力的平均功率；
（3）2 s末重力的瞬时功率。
尝试解答
规律方法
“某秒末”或“到某位置时”的功率是指瞬时功率，只能用P＝Fvcos α求解；“某段时间内”或“某个过程中”的功率是指平均功率此时可用＝求解，也可以用＝Fcos α求解。
3.下列关于功率的计算式P＝和P＝Fv说法正确的是（ ）
A.根据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B.由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
C.由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率
D.由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
4.如图所示，若从七楼阳台约20 m高处，将一质量为 1 kg 的花盆水平推出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
（1）1 s内重力的平均功率；
（2）整个过程中重力的平均功率；
（3）落到地面上时，重力的瞬时功率。
1.如图甲所示，一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼。如图乙所示，一男士站立在履带式自动扶梯上正在匀速上楼。下列关于两人受到的力做功判断正确的是（ ）
A.甲图中支持力对人做正功
B.乙图中支持力对人做正功
C.甲图中摩擦力对人做负功
D.乙图中摩擦力对人做负功
2.两个相互垂直的共点力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动一段位移。如果F1＝4 N，F2＝3 N，F1对物体做功 16 J，F2对物体做功9 J，则F1和F2的合力大小以及这两个力的合力对物体做功分别为（ ）
A.7 N，7 J B.7 N，25 J
C.5 N，25 J D.5 N， J
3.（2024·江苏联考期中）一小球做自由落体运动，小球在空中运动的过程中重力做功的功率P随时间t变化的图像是（ ）
4.在F＝6 N的水平力作用下，质量m＝3 kg的物体在光滑水平面上由静止开始运动，运动时间t＝3 s。求：
（1）力F在前3 s内对物体做的功；
（2）力F在前3 s内对物体做功的平均功率；
（3）在3 s末力F对物体做功的瞬时功率。
1.功与功率
【基础知识·准落实】
知识点一
1.Flcos α 力的大小 位移的大小 夹角的余弦 2.焦耳 N·m 3.标量
知识点二
1.（1）0 不做功 （2）＞ 做正功 （3）＜ 做负功
2.（1）代数和 （2）合力
知识点三
1.（1）所用时间t （2）瓦特 （3）做功的快慢 （4）标量
2.（1）Fv （3）①平均功率 ②瞬时功率
情景思辨
（1）× （2）√ （3）× （4）× （5）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：
如图所示，把力F沿水平方向和竖直方向进行分解，物体在竖直方向上没有发生位移，竖直方向的分力没有对物体做功，水平方向的分力为Fcos α，所做的功为Flcos α，所以力F对物体所做的功为Flcos α。
【典例1】 ACD 物体所受的支持力始终垂直于斜面向上，由于位移方向水平向左，则支持力与位移方向之间的夹角为锐角，因此支持力一定做正功，选项A正确。摩擦力做功有三种情况：当加速度a＝gtan α时，物体所受的摩擦力为零，摩擦力不做功；当加速度a＞gtan α时，物体所受的摩擦力沿斜面向下，摩擦力做正功；当加速度a＜gtan α时，物体所受的摩擦力沿斜面向上，摩擦力做负功，故选项B错误，C、D正确。
素养训练
1.C 重力向下，与物体的位移方向相同，重力做正功；绳上的拉力沿绳且指向绳收缩的方向，因此绳对物体的拉力向上，物体向下运动，拉力做负功；由于物体向下做加速运动，合力向下，与位移方向相同，因此合力做正功，故C正确，A、B、D错误。
要点二
知识精研
【典例2】 7.6 J
解析：物体受到的摩擦力为
Ff＝μFN＝μ（mg－Fsin 37°）＝0.3×（2×10－10×0.6）N＝4.2 N
解法一 先求各力的功，再求总功
拉力F对物体所做的功为
W1＝Flcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力Ff对物体所做的功为
W2＝Fflcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1和W2的代数和，即W＝W1＋W2＝7.6 J。
解法二 先求合力，再求总功
物体受到的合力为F合＝Fcos 37°－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N，方向水平向右
所以W＝F合lcos α＝3.8×2×cos 0° J＝7.6 J。
素养训练
2.（1）1.5×104 J （2）1.3×104 J
解析：（1）重力做的功为
WG＝mgh＝1.5×104 J。
（2）各力对运动员做的总功与合力对运动员做的功相同，运动员所受合力为
F合＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝260 N
合力方向沿斜坡向下，沿合力方向的位移为
l＝＝50 m
合力做的功W合＝F合l＝260×50 J＝1.3×104 J。
要点三
知识精研
【探究】 提示：（1）两台起重机分别做功3.2×104 J、2.4×104 J，所以A做功多。
（2）B做功快，可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢。
【典例3】 （1）48 J （2）24 W （3）48 W
解析：（1）木块下滑过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin θ－μmgcos θ＝ma
前2 s内木块的位移大小为x＝at2
联立解得：x＝4 m，a＝2 m/s2
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J。
（2）重力在前2 s内的平均功率为
＝＝ W＝24 W。
（3）木块在2 s末的速度大小为
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率为
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。
素养训练
3.D 公式P＝中，W大，但是时间t不知道，所以功率并不一定大，A错误；公式P＝求的是一段时间的平均功率，B错误；P＝Fv，当速度是瞬时速度时，求的是瞬时功率，当速度为平均速度时，求的就是平均功率，C错误；由P＝Fv可知，当P一定时，F与v成反比，D正确。
4.答案：（1）50 W （2）100 W （3）200 W
解析：花盆只受重力，竖直方向上做自由落体运动，1 s内花盆下落的高度为h1＝g＝5 m，所以1 s内重力做功为WG1＝mgh1＝50 J，平均功率P1＝＝50 W；花盆下落的时间可由公式h＝gt2求得，代入数据得t＝2 s，整个过程中重力做功为WG2＝mgh＝200 J，故平均功率为P2＝＝100 W；落到地面时，在竖直方向有 v2＝2gh，求得到达地面上时竖直方向的速度为20 m/s，所以重力的瞬时功率P3＝mgv＝1×10×20 W＝200 W。
【教学效果·勤检测】
1.A 题图甲中支持力竖直向上，对人做正功，A正确；题图乙中支持力垂直履带斜向上，对人不做功，B错误；题图甲中摩擦力为零，对人不做功，C错误；题图乙中摩擦力沿履带向上，对人做正功，D错误。
2.C 力是矢量，力的合成遵循平行四边形定则，F1和F2的合力大小F合＝＝5 N。功是标量，两力均做正功，总功等于各个力做功的代数和，合力做的功为W总＝W1＋W2＝16 J＋9 J＝25 J，故选C。
3.A 小球做自由落体运动，根据速度公式有v＝gt，小球在空中运动的过程中重力做功的功率P＝mgv，解得P＝mg2t，可知，重力做功的功率与时间成正比关系，故A正确。
4.（1）54 J （2）18 W （3）36 W
解析：（1）在水平力的作用下，物体在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知，加速度a＝＝2 m/s2，则物体在3 s末的速度v＝at＝6 m/s，
物体在3 s内的位移x＝at2＝9 m。
力F做功为W＝Fx＝54 J。
（2）力F在前3 s内对物体做功的平均功率＝＝18 W。
（3）3 s末力F的瞬时功率P＝Fv＝36 W。
6 / 6(共76张PPT)
1.功与功率
课标要求 素养目标
1.理解功和功
率。 2.了解生产生
活中常见机械
的功率大小及
其意义 1.理解功和功率的概念，掌握功和功率的计算公
式。（物理观念）
2.知道功是标量，理解正功、负功的含义，知道几
个力对物体所做的总功是各个力分别对物体做功的
代数和；理解瞬时功率表达式P＝Fv，弄清平均功率
和瞬时功率的区别，掌握其计算方法。（科学思
维）
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 功
1. 公式：W＝ ，式中的α是力的方向与位移方向的夹角。
即力对物体所做的功，等于 、 、力与
位移 这三者的乘积。
2. 单位：在国际单位制中，功的单位是 ，符号是 J。1 J＝
1 。
3. 矢标性：功是 ，但有正负。
Flcos α
力的大小
位移的大小
夹角的余弦
焦耳
N·m
标量
知识点二 正功和负功
1. 正功和负功的判断
由W＝Flcos α可知
（1）当α＝时，W＝ ，力F对物体 （填“做正
功”“做负功”或“不做功”）。
（2）当0≤α＜时，W 0，力F对物体 （填“做正
功”“做负功”或“不做功”）。
（3）当＜α≤π时，W 0，力F对物体 （填“做正
功”“做负功”或“不做功”）。
0
不做功
＞
做正功
＜
做负功
2. 总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物
体所做的总功等于：
（1）各个力分别对物体所做功的 。
（2）几个力的 对物体所做的功。
代数和
合力
知识点三 功率
1. 功率的概念
（1）定义：功W与完成这些功 之比，P＝。
（2）单位：在国际单位制中，功率的单位是 ，简称瓦，
用W表示。
（3）物理意义：表示力对物体 。
（4）矢标性：功率是 ，功率没有负值。
所用时间t
瓦特
做功的快慢
标量
（1）功率与速度的关系式：P＝ （F与v方向相同）。
（2）推导
Fv
2. 功率和速度
（3）平均功率和瞬时功率
①如果P＝Fv中的速度v是时间t内的平均速度，P就是这段时
间内的 。
②如果P＝Fv中的速度v是某一时刻的瞬时速度，P就是该时
刻的 。
平均功率
瞬时功率
【情景思辨】
思考下列描述的情景，判断下列说法的正误。
（1）汽车在水平公路上匀速行驶，汽车所受重力对汽车做功。
（ × ）
（2）人提着箱子站在地面不动，手的拉力对箱子没有做功。
（ √ ）
（3）过山车向下运动过程中，车上乘客所受重力对乘客没有做功。
（ × ）
（4）由P＝Fv知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制增
大。 （ × ）
（5）汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度。 （ √ ）
×
√
×
×
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 功的正负的理解与判断
【探究】如图所示，物体在与水平方向夹角为α的力F的作用下沿水平
面前进了l，则力F对物体做的功为多少？
提示：如图所示，把力F沿水平方向和竖直方向进行分解，物
体在竖直方向上没有发生位移，竖直方向的分力没有对物体
做功，水平方向的分力为Fcos α，所做的功为Flcos α，所以力
F对物体所做的功为Flcos α。
【归纳】
1. 功是标量
（1）功是标量。功的正、负并不是表示功的方向，是表示动力做
功还是阻力做功。
（2）一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功。
2. 判断功的正、负的方法
（1）根据力F与物体位移l的夹角α判断——常用于恒力做功的
情形。
（2）根据力与物体瞬时速度的夹角θ判断——常用于曲线运动的情
形，如图所示。
①若夹角θ是锐角，力做正功；
②若夹角θ是钝角，力做负功；
③若夹角θ是直角，力不做功。
【典例1】 （多选）质量为m的物体置于倾角为α的斜面上，物体和
斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下斜面以加速度a向左做匀加速
直线运动，如图所示，运动过程中物体与斜面之间保持相对静止，则
下列说法正确的是（ ）
A. 斜面对物体的支持力一定做正功
B. 斜面对物体的摩擦力一定做正功
C. 斜面对物体的摩擦力可能不做功
D. 斜面对物体的摩擦力可能做负功
解析：物体所受的支持力始终垂直于斜面向上，由于位移方向水
平向左，则支持力与位移方向之间的夹角为锐角，因此支持力一
定做正功，选项A正确。摩擦力做功有三种情况：当加速度a＝
gtan α时，物体所受的摩擦力为零，摩擦力不做功；当加速度a＞
gtan α时，物体所受的摩擦力沿斜面向下，摩擦力做正功；当加速
度a＜gtan α时，物体所受的摩擦力沿斜面向上，摩擦力做负功，
故选项B错误，C、D正确。
1. 如图所示，用轻绳拴一物体，以加速度a向下做加速运动。关于物
体所受力做功情况，下列说法正确的是（ ）
A. 重力做正功，拉力做正功，合力做正功
B. 重力做正功，拉力做负功，合力做负功
C. 重力做正功，拉力做负功，合力做正功
D. 重力做负功，拉力做负功，合力做负功
解析： 重力向下，与物体的位移方向相同，重力做正功；绳上
的拉力沿绳且指向绳收缩的方向，因此绳对物体的拉力向上，物体
向下运动，拉力做负功；由于物体向下做加速运动，合力向下，与
位移方向相同，因此合力做正功，故C正确，A、B、D错误。
要点二 功的计算
1. 对公式W＝Flcos α的理解
（1）某一恒力F对物体做的功，只与F、l、α有关，与物体的运动
状态及物体是否还受其他作用力等因素无关。
（2）公式W＝Flcos α适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不
再适用。
2. 总功的两种计算方法
（1）先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…然
后求所有力做功的代数和，即 W合＝W1＋W2＋W3＋…
（2）先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W
合＝F合lcos α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的
夹角。
【典例2】 如图所示，一个质量为m＝2 kg的物体，受到与水平方向
成37°角斜向上方的力F＝10 N 作用，在水平地面上从静止开始向右
移动的距离为l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g取10
m/s2，求外力对物体所做的总功。（cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6）
答案：7.6 J
解析：物体受到的摩擦力为
Ff＝μFN＝μ（mg－Fsin 37°）＝0.3×（2×10－10×0.6）N＝4.2 N
解法一 先求各力的功，再求总功
拉力F对物体所做的功为
W1＝Flcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J
摩擦力Ff对物体所做的功为
W2＝Fflcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J
由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W等于W1
和W2的代数和，即W＝W1＋W2＝7.6 J。
解法二 先求合力，再求总功
物体受到的合力为F合＝Fcos 37°－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N，
方向水平向右
所以W＝F合lcos α＝3.8×2×cos 0° J＝7.6 J。
2. 如图所示，质量m＝50 kg的滑雪运动员从高度h＝30 m的坡顶由静
止下滑，斜坡的倾角 θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ
＝0.1，则运动员滑至
坡底的过程中：（g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装
备质量不计）
（1）滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？
答案：1.5×104 J
解析：重力做的功为WG＝mgh＝1.5×104 J。
（2）各力对运动员做的总功是多少？
答案：1.3×104 J
解析：各力对运动员做的总功与合力对运动员做的功相同，运
动员所受合力为
F合＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝260 N
合力方向沿斜坡向下，沿合力方向的位移为
l＝＝50 m
合力做的功W合＝F合l＝260×50 J＝1.3×104 J。
要点三 功率的理解与计算
【探究】
建筑工地上有两台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况
记录。
起重机编号 被吊物体重力 匀速上升
速度 上升的高
度 所用时间 做功
A 2.0×103 N 4 m/s 16 m 4 s
B 4.0×103 N 3 m/s 6 m 2 s
（1）两台起重机哪台做功多？
提示：两台起重机分别做功3.2×104 J、
2.4×104 J，所以A做功多。
（2）哪台做功快？怎样比较它们做功的快慢呢？
提示：B做功快，可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢。
【归纳】
1. 功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功
不一定多，反之亦然。
2. 应用公式P＝解题时，必须明确是哪个力在哪段时间（或过程）
内做功的功率。
3. 公式P＝和P＝Fv的比较
P＝ P＝Fv
适
用 条
件 （1）功率的定义式，
适用于任何情况下功
率的计算，一般用来
求平均功率； （2）当时间t→0时，
可由定义式确定瞬时
功率 （1）功率的计算式，仅适用于F与v同向
的情况，若不同向，P＝＝＝
Fvcos α；
（2）v为平均速度时功率为平均功率，v
为瞬时速度时功率为瞬时功率
P＝ P＝Fv
联
系 公式P＝Fv是P＝的推论
【典例3】 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角 θ＝37°的足够
长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝
0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
（1）前2 s内重力做的功；
答案：48 J
解析： 木块下滑过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin θ－μmgcos θ＝ma
前2 s内木块的位移大小为x＝at2
联立解得：x＝4 m，a＝2 m/s2
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J。
（2）前2 s内重力的平均功率；
答案：24 W
解析：重力在前2 s内的平均功率为
＝＝ W＝24 W。
（3）2 s末重力的瞬时功率。
答案：48 W
解析：木块在2 s末的速度大小为
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率为
P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W。
规律方法
“某秒末”或“到某位置时”的功率是指瞬时功率，只能用P＝
Fvcos α求解；“某段时间内”或“某个过程中”的功率是指平均功率
此时可用＝求解，也可以用＝Fcos α求解。
3. 下列关于功率的计算式P＝和P＝Fv说法正确的是（ ）
A. 根据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B. 由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
C. 由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率
D. 由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
解析： 公式P＝中，W大，但是时间t不知道，所以功率并不
一定大，A错误；公式P＝求的是一段时间的平均功率，B错误；
P＝Fv，当速度是瞬时速度时，求的是瞬时功率，当速度为平均速
度时，求的就是平均功率，C错误；由P＝Fv可知，当P一定时，F
与v成反比，D正确。
4. 如图所示，若从七楼阳台约20 m高处，将一质量为 1 kg 的花盆水
平推出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）1 s内重力的平均功率；
答案： 50 W
（2）整个过程中重力的平均功率；
答案： 100 W
（3）落到地面上时，重力的瞬时功率。
答案：200 W
解析：花盆只受重力，竖直方向上做自由落体运动，1 s内花
盆下落的高度为h1＝g＝5 m，所以1 s内重力做功为WG1＝
mgh1＝50 J，平均功率P1＝＝50 W；花盆下落的时间可由
公式h＝gt2求得，代入数据得t＝2 s，整个过程中重力做功为
WG2＝mgh＝200 J，故平均功率为P2＝＝100 W；落到地
面时，在竖直方向有 v2＝2gh，求得到达地面上时竖直方向的
速度为20 m/s，所以重力的瞬时功率P3＝mgv＝1×10×20 W
＝200 W。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 如图甲所示，一女士站立在台阶式自动扶梯上正在匀速上楼。如图
乙所示，一男士站立在履带式自动扶梯上正在匀速上楼。下列关于
两人受到的力做功判断正确的是（ ）
A. 甲图中支持力对人做正功
B. 乙图中支持力对人做正功
C. 甲图中摩擦力对人做负功
D. 乙图中摩擦力对人做负功
解析： 题图甲中支持力竖直向上，对人做正功，A正确；题图
乙中支持力垂直履带斜向上，对人不做功，B错误；题图甲中摩擦
力为零，对人不做功，C错误；题图乙中摩擦力沿履带向上，对人
做正功，D错误。
2. 两个相互垂直的共点力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动一段
位移。如果F1＝4 N，F2＝3 N，F1对物体做功 16 J，F2对物体做功9
J，则F1和F2的合力大小以及这两个力的合力对物体做功分别为
（ ）
A. 7 N，7 J B. 7 N，25 J
C. 5 N，25 J D. 5 N， J
解析： 力是矢量，力的合成遵循平行四边形定则，F1和F2的合
力大小F合＝＝5 N。功是标量，两力均做正功，总功等
于各个力做功的代数和，合力做的功为W总＝W1＋W2＝16 J＋9 J＝
25 J，故选C。
3. （2024·江苏联考期中）一小球做自由落体运动，小球在空中运动
的过程中重力做功的功率P随时间t变化的图像是（ ）
解析： 小球做自由落体运动，根据速度公式有v＝gt，小球在空
中运动的过程中重力做功的功率P＝mgv，解得P＝mg2t，可知，重
力做功的功率与时间成正比关系，故A正确。
4. 在F＝6 N的水平力作用下，质量m＝3 kg的物体在光滑水平面上由
静止开始运动，运动时间t＝3 s。求：
（1）力F在前3 s内对物体做的功；
答案：54 J
解析：在水平力的作用下，物体在光滑水平面上做初速
度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知，加速度a
＝＝2 m/s2，则物体在3 s末的速度v＝at＝6 m/s，
物体在3 s内的位移x＝at2＝9 m。
力F做功为W＝Fx＝54 J。
（2）力F在前3 s内对物体做功的平均功率；
答案：18 W
解析：力F在前3 s内对物体做功的平均功率＝＝18 W。
（3）在3 s末力F对物体做功的瞬时功率。
答案：36 W
解析： 3 s末力F的瞬时功率P＝Fv＝36 W。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 功的正负的理解与判断
1. 关于功的概念，以下说法正确的是（ ）
A. 力是矢量，位移是矢量，所以功也是矢量
B. 功有正、负之分，若某个力对物体做负功，表明这个力对该物体
的运动起阻碍作用
C. 若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
D. 某物体通过一段位移，作用在该物体上的力一定都做功
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解析： 功是标量，A错误；功有正、负之分，但功的正负不是
表示方向，而是表示力对物体的做功效果，若某个力对物体做负
功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用，B正确；当力的方向
和物体位移的方向垂直时，该力对物体不做功，此时物体的位移可
能不为零，C错误；当力与位移的夹角是90°时，力对物体不做
功，D错误。
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2. 下列过程中人对物体做了功的是（ ）
A. 小华用力推石头，但没有推动
B. 小明举起杠铃后，在空中停留3秒的过程中
C. 小超提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中
D. 小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了 5米的过程中
解析： A、B选项所述情景中，位移都为零，D中冰壶滑行时，
不受人的作用力，故人对物体不做功，只有C选项所述情景人对物
体做了功。
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3. （多选）如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速送到皮
带顶端，在这个过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. 摩擦力对物体P做正功
B. 物体P克服摩擦力做功
C. 皮带克服摩擦力做功
D. 摩擦力对皮带不做功
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解析： 物体相对于传送带有向下运动的趋势，则受斜向上的
静摩擦力，摩擦力的方向与物体运动方向相同，故摩擦力对P做正
功，故A正确，B错误；物体受斜向上的静摩擦力，根据牛顿第三
定律，物体对传送带的摩擦力斜向下，而传送带向上运动，所以摩
擦力对传送带做负功，皮带克服摩擦力做功，故C正确，D错误。
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要点二 功的计算
4. 一物体在10 s内沿水平路面向右运动了1 m，在此过程中该物体一
直受到一大小为10 N、方向斜向左上方且与水平方向成60°角的拉
力F的作用，如图所示。则在这段时间内拉力F对物体做的功为
（ ）
A. 10 J B. －10 J
C. 5 J D. －5 J
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解析： 恒力做功时，根据W＝Flcos α，可得在这段时间内拉力
F对物体做的功W＝10×1×cos 120° J＝－5 J，D正确，A、B、C
错误。
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5. 如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面体上，物体与斜
面间的动摩擦因数为μ，现使斜面体水平向左匀速运动距离l，物体
始终与斜面体保持相对静止，重力加速度为g。则在斜面体水平向
左匀速运动距离l的过程中（ ）
A. 摩擦力对物体做的功为－μmglcos θ
B. 斜面体对物体的支持力做的功为mglsin θcos2θ
C. 重力对物体做的功为mgl
D. 斜面体对物体做的功为零
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解析： 物体与斜面体相对静止，对物体受力
分析，如图所示，竖直方向有mg＝FNcos θ＋
Ffsin θ，水平方向有FNsin θ＝Ffcos θ，可得FN＝
mgcos θ，Ff＝mgsin θ。摩擦力做功Wf＝－Ffcos
θ·l＝－mglsin θcos θ，故A错误；支持力做功WN
＝FNsin θ·l＝mglsin θcos θ，故B错误；重力做功
为零，故C错误；斜面体对物体作用力的合力方
向竖直向上，与运动方向垂直，则斜面体对物体
做的功为零，故D正确。
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要点三 功率的理解与计算
6. （2024·浙江金华期末）班里组织一次比赛活动，从一楼登上三
楼，看谁的功率最大。为此，需要测量一些物理量，算出各位同学
的功率，下列物理量中不需要测量的是（ ）
A. 三楼地面到一楼地面的高度
B. 一楼到三楼楼梯的长度
C. 每位同学的体重
D. 从一楼到达三楼所用的时间
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解析： 同学登楼时克服自身重力在竖直方向上做功，则功率的
计算公式为P＝＝，因此，要计算出从一楼登上三楼谁的功率
最大，需要测量的物理量是：每位同学的体重或质量、从一楼到达
三楼所用的时间、三楼地面到一楼地面的高度；不需要测量一楼到
三楼楼梯的长度，故选B。
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7. 如图所示，从空中以40 m/s的初速度平抛一重力为10 N的物体，物
体在空中运动3 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体落地前
瞬间，重力的瞬时功率为（ ）
A. 300 W B. 400 W
C. 500 W D. 700 W
解析： 物体落地前瞬间vy＝gt＝30 m/s，所以PG＝Gvy＝300
W，故A正确。
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8. （多选）（2024·宁夏石嘴山期中）水平恒力F两次作用在同一物体
上，使物体沿力的方向发生相同位移，第一次是在光滑水平面上，
第二次是在粗糙水平面上，两次恒力F做的功和功率的大小关系是
（ ）
A. W1＝W2 B. W1＞W2
C. P1＞P2 D. P1＝P2
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解析： 根据W＝Fx可知，两次发生相同位移，则恒力F对两种
情况下做功一样多，即W1＝W2，故A正确，B错误；在粗糙水平面
上由于受到阻力的作用，由F合＝ma可知，在粗糙水平面上加速度
小。由x＝at2知，通过相同的位移，在粗糙水平面上所用的时间较
长；又由P＝知，力F在粗糙水平面上做功的平均功率小，即P1＞
P2，故C正确，D错误。
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9. 如图所示，质量为 50 kg 的同学在做仰卧起坐。若该同学上半身的
质量约为全身质量的，她在1 min内做了50个仰卧起坐，每次上半
身重心上升的距离均为0.3 m，g取10 m/s2，则她在1 min内克服重
力做的功W和相应的平均功率P约为（ ）
A. W＝4 500 J，P＝75 W
B. W＝450 J，P＝7.5 W
C. W＝3 600 J，P＝60 W
D. W＝360 J，P＝6 W
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解析： 每次上半身重心上升的距离均为 0.3 m，上半身质量约
为全身质量的，则她每一次克服重力做的功约为W'＝mgh＝
×50×10×0.3 J＝90 J，1 min内克服重力所做的功约为W＝50W'
＝50×90 J＝4 500 J；相应的平均功率约为P＝＝ W＝75 W，
故A正确，B、C、D错误。
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10. 水平面上有一固定斜面，一质量为m的物块从斜面顶端A处下滑到
底端并滑上水平面，最后停在B处。已知物块与斜面、水平面间的
动摩擦因数均为μ，物块初末位置的水平距离为L，如图所示。则
整个过程克服摩擦力做的功为（ ）
A. 等于μmgL B. 大于μmgL
C. 小于μmgL D. 以上皆有可能
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解析： 设斜面倾角为θ，斜面对应的水平距离为x1，物块在水
平面的运动距离为x2，x1＋x2＝L，根据功的定义，物块在斜面上
克服摩擦力做功为 μmgcos θ·＝μmgx1，物块在水平面上克服摩
擦力做功为μmgx2，则整个过程物块克服摩擦力做的功为μmgx1＋
μmgx2＝μmgL，故选A。
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11. （多选）（2024·内蒙古赤峰期中）质量为4 kg的物体置于水平面
上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速直
线运动，2 s后撤去F，其运动的速度—时间图像如图所示，g取10
m/s2，则下列说法中正确的是（ ）
A. 拉力F对物体做功300 J
B. 拉力F对物体做功700 J
C. 摩擦力对物体做功－350 J
D. 物体克服摩擦力做功350 J
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解析： v-t图像的斜率表示加速度，则0～2 s内加速度大小
为a1＝ m/s2＝2.5 m/s2，2～6 s内的加速度大小a2＝ m/s2＝
2.5 m/s2，根据牛顿第二定律有F－f＝ma1，f＝ma2，解得F＝20
N，f＝10 N，v-t图像中，图像与时间轴所围几何图形的面积表示
位移，则0～2 s内位移为x1＝ m＝15 m，0～6 s内位移为x2
＝x1＋ m＝35 m，根据功的定义式，拉力F对物体做功W1
＝Fx1＝300 J，故A正确，B错误；根据功的定义式，摩擦力对物
体做功W2＝－fx2＝－350 J，即物体克服摩擦力做功350 J，故C、
D正确。
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12. 如图所示，倾角为30°的光滑斜面上用固定的竖直挡板夹住一个
质量为m的光滑球，重力加速度为g，当整个装置沿水平面向左匀
速运动距离L的过程中，求：
（1）重力对球做的功；
答案： 0
解析： 由于装置沿水平面运动，小球的重力方向竖直
向下，故重力做功为WG＝0。
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（2）竖直挡板以及斜面对球的弹力分别做的功；
答案：－mgL mgL
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解析：如图，对球受力分析，设挡板以及斜
面对球的支持力大小分别为FN1、FN2，可得
FN1＝mgtan θ＝mg
FN2＝＝mg
则竖直挡板以及斜面对球的弹力做功分别为
WN1＝－mgL
WN2＝mg·cos 60°·L＝mgL。
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（3）球所受合力做的功。
答案：0
解析：球所受合力做功为W总＝WG＋WN1＋WN2＝0。
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谢谢观看!
