习题课五 变力做功和机车启动问题
要点一 求变力做功的常用方法
1.一物体在运动中受水平拉力F的作用,已知F随运动距离x的变化情况如图所示,则在0~8 m的运动过程中F做的功为( )
A.4 J B.6 J
C.18 J D.22 J
2.(2024·河北张家口期中)如图所示,n个完全相同,边长足够小且互不粘连的小方块依次排列,总长度为l,总质量为M,它们一起在光滑水平面上滑动,某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,若小方块恰能完全进入粗糙水平面,则所有小方块克服摩擦力做的功为( )
A.μMgl B.μMgl
C.μMgl D.μMgl
3.如图所示,摆球的质量为m,悬线的长度为L,把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变,则下列说法正确的是( )
A.重力做功为0
B.悬线的拉力做的功为mgL
C.空气阻力做的功为-fπL
D.摆球克服空气阻力做的功为fL
要点二 机车的两种启动方式
4.汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统,一般赛车的变速箱有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位,在发动机输出功率不变时,挡位越高车速越快,加大油门可以增大发动机的输出功率。如图所示的是赛车越野比赛时正在爬坡的情形,为了能够顺利爬上陡坡,司机应该( )
A.拨1挡,减小油门 B.拨1挡,加大油门
C.拨5挡,减小油门 D.拨5挡,加大油门
5.列车提速的一个关键技术问题是提高机车发动机的功率。已知匀速运动时,列车所受阻力与速度的平方成正比,即Ff=kv2。设提速前匀速运动速度为180 km/h,提速后匀速运动速度为240 km/h,则提速前与提速后机车发动机的功率之比为( )
A. B.
C. D.
6.(2024·广东惠州期末)假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下,在水平轨道上由静止开始启动,其v-t图像如图所示,已知0~t1时间内为过原点的倾斜直线,t1时刻达到额定功率P,此后保持功率P不变,在t3时刻达到最大速度v3,此后做匀速运动。下列判断正确的是( )
A.0~t3时间内,列车一直做匀加速直线运动
B.t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C.在t3时刻以后,机车的牵引力为零
D.该列车所受的恒定阻力大小为
7.(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动,在前5 s内做匀加速直线运动,5 s末达到额定功率,之后保持额定功率运动,其v-t图像如图所示,已知汽车的质量 m=2×103 kg,汽车受到地面的阻力为汽车重力的0.1倍,(g=10 m/s2)则( )
A.汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B.汽车的额定功率为120 kW
C.汽车的最大速度为vm=30 m/s
D.当汽车速度为20 m/s时,汽车加速度大小为 2 m/s2
8.(多选)如图所示,人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船,人收绳的速度恒为 1 m/s,将船从A位置拉到B位置,A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°,A、B间的水平距离为4 m,则( )
A.A位置船速大小为 m/s
B.B位置船速大小为2 m/s
C.船从A运动到B的过程中,人的拉力做的功为20 J
D.船从A运动到B的过程中,人的拉力做的功为40(-1)J
9.一汽车在平直公路上行驶,从某时刻开始计时,发动机的功率P随时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小F阻恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中,可能正确的是( )
10.(多选)(2024·江苏苏州期末)一辆机动车在平直的公路上由静止启动。如图所示,图线A表示该车运动的速度与时间的关系,图线B表示该车的功率与时间的关系。若机动车在运动过程中阻力不变,则以下说法正确的是( )
A.0~22 s内机动车先做加速度逐渐减小的加速运动,后做匀速运动
B.运动过程中机动车所受阻力为1 500 N
C.机动车速度为5 m/s时,牵引力大小为3×103 N
D.机动车的质量为562.5 kg
11.如图所示,一质量为m=1.0 kg的物体从半径为R=5.0 m的圆弧的A端,在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力F大小不变,始终为15 N,方向始终与圆弧在该点的切线成37°角。圆弧所对应的圆心角为60°,BO边在竖直方向上。求这一过程中拉力F做的功。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π=3.14)
12.汽车发动机的额定功率为60 kW,汽车的质量为5 t,汽车在水平路面上行驶时,阻力是车重力的倍,则:
(1)汽车保持以额定功率从静止启动后达到的最大速度是多少?
(2)若汽车从静止开始,保持以加速度a=0.5 m/s2做匀加速直线运动,这一过程能持续多长时间?
(3)当汽车的速度为6 m/s时,汽车的实际功率是多少?
习题课五 变力做功和机车启动问题
1.C 根据W=Fx可知,力F做的功等于F-x图像的面积,x轴上方为正功,x轴下方为负功,总功为三部分的代数和,则W=(2×2-2×1+4×4)J=18 J,故选C。
2.C 所有小方块进入粗糙水平面过程的位移为l,所有小方块受到的摩擦力随进入粗糙水平面的位移线性变化,摩擦力对位移的平均值f=,则所有小方块克服摩擦力做的功Wf=fl=μMgl,选项C正确。
3.C 摆球所受重力竖直向下,摆球位移有竖直向下的分量,重力做功不为零,故A错误;悬线的拉力始终与 v垂直,不做功,故B错误;将圆弧路径分成若干小圆弧(尽量小),每一段小圆弧上可认为f是恒力,所以f所做的总功等于每个小弧段上f所做功的代数和,即Wf=-(fΔx1+fΔx2+…)=-fπL,故C正确,D错误。
4.B 赛车爬坡时要克服重力做功,因此需要较大的牵引力,由功率P=Fv得牵引力F=,为了能够顺利爬上陡坡,应增大发动机的输出功率和减小速度v,才能获得更大的牵引力F,因此应拨1挡,加大油门,故选B。
5.C 匀速运动时有F=Ff=kv2,P=Fv,则 P=kv3,故提速前与提速后机车发动机的功率之比为P1∶P2=∶=27∶64。故C正确。
6.D 由题图可知,0~t1时间内,列车做匀加速直线运动,t1~t3时间内,加速度逐渐变小,故A、B错误;t3时刻以后列车做匀速直线运动,牵引力大小等于阻力大小,故C错误;匀速直线运动时,Ff=F牵=,故D正确。
7.BD 汽车在前5 s内做匀加速运动,加速度 a=3 m/s2,由牛顿第二定律F-Ff=ma得F=Ff+ma=(0.1×2×103×10+2×103×3)N=8×103 N,A错误;汽车在5 s末功率达到额定功率P=Fv=8×103×15 W=120 kW,B正确;当牵引力等于阻力时,汽车达最大速度,则最大速度vm===60 m/s,C错误;当汽车速度为20 m/s时,则F1===6 000 N,F1-Ff=ma1,解得a1=2 m/s2,D正确。
8.BD 根据速度的合成与分解,可得A位置船速大小为vA== m/s,故A错误;同理可得B位置船速大小为vB==2 m/s,故B正确;船从A运动到B的过程中,人的拉力做的功W=F=10×J=40(-1)J,故C错误,D正确。
9.A 在v-t图像中,图线的斜率代表汽车运动时的加速度。由牛顿第二定律可得,在0~t1时间内,-F阻=ma,当速度v不变时,加速度a为零,在v-t图像中为一条水平线;当速度v变大时,加速度a变小,在v-t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线,选项B、D错误。同理,在t1~t2时间内-F阻=ma',图像变化情况与0~t1时间内情况相似,由于汽车在运动过程中速度不会发生突变,选项A正确,C错误。
10.BD 根据图线A可知,机动车先做匀加速运动,后做变加速运动,最后做匀速运动,故A错误;根据图线A可知,机动车的最大速度vmax=12 m/s,根据图线B可知机动车的额定功率为P0=18 000 W,当牵引力F等于阻力Ff时,速度达到最大值,则阻力Ff=F==1 500 N,故B正确;匀加速运动的牵引力为F'==2 250 N,根据牛顿第二定律得F'-Ff=ma,由图线A知,a= m/s2,解得m=562.5 kg,故D正确,C错误。
11.62.8 J
解析:将圆弧AB分成很多小段s1,s2,…,sn,拉力在每一小段上做的功为W1,W2,…,Wn,因拉力F大小不变,方向始终与圆弧在该点的切线成37°角,所以
W1=Fs1cos 37°
W2=Fs2cos 37°
…
Wn=Fsncos 37°
故WF=W1+W2+…+Wn=Fcos 37°(s1+s2+…+sn)=Fcos 37°·R=62.8 J。
12.(1)12 m/s (2)16 s (3)45 kW
解析:(1)汽车达到最大速度时,a=0,
此时F=f=kmg
P=Fvm
解得vm=12 m/s。
(2)汽车速度在达到最大值之前已经历了两个过程:匀加速和变加速。
匀加速直线运动的加速度a=
所以F=m=7.5×103 N
设汽车匀加速的时间为t,匀加速能达到的最大速度为v1,则v1=at
汽车速度达到v1时P=Fv1
解得t=16 s。
(3)当汽车的速度为6 m/s时,汽车仍处于匀加速运动阶段,则汽车的实际功率P'=Fv=45 kW。
3 / 3习题课五 变力做功和机车启动问题
要点一 求变力做功的常用方法
1.用W=Pt求功
当牵引力为变力,且发动机的功率一定时,由功率的定义式P=,可得W=Pt,求功。
2.用图像法求功
若已知F-x图像和P-t图像,则F-x图像中图线与x轴所围的面积及P-t图像中图线与t轴所围的面积表示功。如图甲所示,在位移x0内力F做的功W=x0。在图乙中,0~t0时间内做功W=·t0。
3.用平均力求功
若力F随位移x线性变化,则可以用一段位移内的平均力求功,如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时,克服弹力做的功W=x=·x=kx2。
4.用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功,若一个力的大小不变,只改变方向时,可将运动过程分成很多小段,每一小段内F可看成恒力,求出每一小段内力F做的功,然后累加起来得到整个过程中变力所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动,所受摩擦力大小为μmg,路程为s,采用微元法求摩擦力做的功:
W1=-μmgΔs1
W2=-μmgΔs2
W3=-μmgΔs3
……
W=W1+W2+W3+…=-μmg(Δs1+Δs2+Δs3+…)=-μmgs。
【典例1】 在水平面上有一弯曲的槽道AB,由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所示,现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点,若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同,则此过程中拉力所做的功为( )
A.0 B.FR
C.πFR D.2πFR
尝试解答
【典例2】 如图甲所示,静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F的作用下,沿x轴正方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示,图线为半圆,则小物块运动到x0处时拉力F做的功为( )
A.0 B.Fmx0
C.Fmx0 D.
尝试解答
1.(多选)如图所示,质量为m的物体静止在光滑的水平面上,物体在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0,下列说法正确的是( )
A.甲图和乙图合外力做功相等
B.丙图和丁图合外力做功相等
C.四个图合外力做功均相等
D.四个图中合外力做功最多的是丙图
2.用铁锤把钉子钉入木板,设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d,如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同,那么,第二次钉子进入木板的深度是( )
A.(-1)d B.(-1)d
C. D.d
要点二 机车的两种启动方式
1.P=Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时,要增大牵引力,应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时,若速度不变,应加大油门,增大输出功率,获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上,加大油门增大输出功率,可以提高速度
2.机车的两种启动方式的比较
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
OA 段 过程分析 v↑→F=↓→a=↓ a=(不变)→F不变→P=Fv↑直到P额=Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动,维持时间t0=
AB 段 过程分析 F=Ff、a=0、Ff= v↑→F=↓→a=↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 F=Ff→a=0→以vm=匀速运动
【典例3】 在水平路面上运动的汽车的额定功率为 100 kW,质量为10 t,设阻力大小恒定,且为车重力的0.1倍(g取10 m/s2),则:
(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动,汽车的加速度如何变化?
(2)当汽车的加速度为2 m/s2时,速度为多大?
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少?
尝试解答
【典例4】 目前,上海有若干辆超级电容车试运行,运行中无需连接电缆,只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟,就能行驶3到5千米。现有一辆超级电容车,质量m=2×103 kg,额定功率P=60 kW,假设该超级电容车启动时与机动车启动模式相同,它在平直水平路面上行驶时,受到的阻力Ff是车重的0.1倍,g取10 m/s2。
(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少?
(2)若超级电容车从静止开始,保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动,这一过程中牵引力为多大?能维持多长时间?
尝试解答
规律方法
机车启动问题中几个物理量的求法
分析机车启动问题,要抓住两个核心方程:牛顿第二定律方程F-Ff=ma,联系着力和速度的方程 P=Fv,结合v-t图像进行分析。
(1)机车的最大速度vm的求法
机车最终匀速前进时速度最大,此时牵引力F大小等于阻力大小Ff,故vm==。
(2)匀加速启动持续时间的求法
牵引力F=ma+Ff,匀加速的最后速度vm'=,时间t=。
(3)瞬时加速度的求法
根据F=求出牵引力,则加速度a=。
3.一列高速列车总质量m=465t,其额定功率P=5 300 kW,在水平直轨道上行驶时,轨道对列车的阻力F阻是车重的0.018。列车以额定功率工作,取重力加速度g=10 m/s2,求:
(1)当行驶速度v=10 m/s时,列车的牵引力和加速度的大小;
(2)列车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小。
1.关于“手动挡”汽车爬陡坡,下面司机的操作合理的是( )
A.司机只要踩油门即可,无需关心挡位是否合适
B.为了提高速度冲上陡坡,司机应该换挡位至“高速挡”
C.为了增大牵引力,司机应该换挡位至“低速挡”
D.司机应该换挡位至“高速挡”,并踩油门
2.(2024·山西吕梁期末)某块石头陷入淤泥过程中,其所受的阻力F与深度h的关系为F=kh+F0(k,F0已知),石头沿竖直方向做直线运动,当h=h0时,石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为( )
A.F0h0 B.kF0h0
C.F0h0+k D.h0
3.(2024·重庆九龙坡期末)如图所示,图甲为我国以前农村毛驴拉磨的场景。毛驴拉磨可看成是匀速圆周运动,假设毛驴的拉力始终与拉磨半径方向垂直,图乙为其简化图,拉力为500 N,拉磨半径为1 m,拉磨周期为10 s。下列说法正确的是( )
A.毛驴拉磨一周所做的功为1 000π J
B.毛驴拉磨一周所做的功为0 J
C.毛驴拉磨的转速为0.1 r/min
D.毛驴拉磨的瞬时功率为50 W
4.质量m=2×103 kg的汽车,发动机额定功率为P=80 kW,若汽车在平直公路上行驶时,所受阻力恒为F阻=4×103 N,那么:
(1)汽车在公路上能达到的最大行驶速度vm是多少;
(2)若汽车以额定功率启动,当速度为5 m/s时,加速度a是多少。
习题课五 变力做功和机车启动问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】 C 小球受到的拉力F在整个过程中大小不变,方向时刻变化,是变力。但是,如果把圆周分成无数微小的弧段,每一小段可近似看成直线,拉力F在每一小段上方向不变,每一小段上可用恒力做功的公式计算,然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、l2、…、ln,拉力在每一段上做的功W1=Fl1、W2=Fl2、…、Wn=Fln,拉力在整个过程中所做的功W=W1+W2+…+Wn=F(l1+l2+…+ln)=F=πFR。
【典例2】 C 由于水平面光滑,所以拉力F的大小即为合力大小,F随物块所在位置坐标x的变化图像中图线与横轴包围的面积即为F做的功,即W===Fmx0,C正确。
素养训练
1.AD F-x图像中,图线与x轴围成的面积表示力F所做的功,由题图可知,甲、乙所围的面积相等,丙所围的面积最大,丁所围的面积最小,故 W丙>W甲=W乙>W丁,选项A、D正确。
2.B 在将钉子钉入木板的过程中,随着深度的增加,阻力成正比地增加,这属于变力做功问题。由于力与深度成正比,可先求出平均力,再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F=kd,由题意得,第一次做功W=d=d,第二次做功W=d'=d',联立以上两式得d'=-(+1)d(舍去)或d'=(-1)d,故B正确。
要点二
知识精研
【典例3】 见解析
解析:(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动,v变大,由P额=Fv知,牵引力F减小,根据牛顿第二定律有F-Ff=ma,可知汽车的加速度逐渐减小到零。
(2)由F-Ff=ma1,P额=Fv1
联立解得v1= m/s。
(3)当汽车速度达到最大时,a2=0,F'=Ff,P=P额,
故vmax== m/s=10 m/s。
【典例4】 (1)30 m/s (2)3 000 N 40 s
解析:(1)当超级电容车速度达到最大时,超级电容车的牵引力与阻力平衡,即
F=Ff=kmg=2 000 N
根据P=Ffvm
解得vm==30 m/s。
(2)超级电容车做匀加速运动,由牛顿第二定律得
F1-Ff=ma
解得F1=3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1,则P=F1v1
解得v1==20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t,则v1=at
解得t==40 s。
素养训练
3.(1)5.3×105 N 0.96 m/s2 (2)63.3 m/s
解析:(1)由题意可知F阻=0.018mg,设列车以额定功率工作,当行驶速度v=10 m/s时,牵引力为F1;行驶速度达到最大值时,牵引力为F2,由P=F1v,得F1== N=5.3×105 N,根据牛顿第二定律,有F1-F阻=ma,解得a=0.96 m/s2,列车的加速度方向与牵引力方向一致。
(2)当F2=F阻时,列车行驶速度最大,此时P=F阻vmax,得vmax==63.3 m/s,列车的最大行驶速度方向与牵引力方向一致。
【教学效果·勤检测】
1.C 根据P=Fv可知,在功率一定的情况下,当速度减小时,汽车牵引力增大,此时容易上坡,所以为了增大牵引力,司机应该换挡位至“低速挡”,故选C。
2.C 由于阻力与深度为线性关系,则克服阻力做的功为W=h=h0=F0h0+k,故选C。
3.A 毛驴的拉力大小不变,但是方向不断变化,设微小位移Δl,则每一段拉力做功为ΔW=FΔl,求和可得毛驴拉磨一周所做的功为W=∑F·Δl=F·2πr=1 000π J,故A正确,B错误;毛驴拉磨的转速为n== r/s=6 r/min,故C错误;因为v==0.2π m/s,毛驴拉磨的瞬时功率为P=Fv=100π W,故D错误。
4.(1)20 m/s (2)6 m/s2
解析:(1)当a=0,即F=F阻时,汽车速度达到vm,根据P=Fvm=F阻vm
代入数据可得vm=20 m/s。
(2)当v=5 m/s时,根据P=Fv
代入数据可得F=1.6×104 N
根据牛顿第二定律有F-F阻=ma
代入数据可得a=6 m/s2。
4 / 4(共65张PPT)
习题课五 变力做功和机车启动问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 求变力做功的常用方法
1. 用W=Pt求功
当牵引力为变力,且发动机的功率一定时,由功率的定义式P=
,可得W=Pt,求功。
2. 用图像法求功
若已知F-x图像和P-t图像,则F-x图像中图线与x轴所围的面积及P-t
图像中图线与t轴所围的面积表示功。如图甲所示,在位移x0内力F
做的功W=x0。在图乙中,0~t0时间内做功W=·t0。
3. 用平均力求功
若力F随位移x线性变化,则可以用一段位移内的平均力求功,如将
劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时,克服弹力做的功W=x=
·x=kx2。
4. 用微元法求功
功的公式只能计算恒力做功,若一个力的大小不变,只改变方
向时,可将运动过程分成很多小段,每一小段内F可看成恒力,
求出每一小段内力F做的功,然后累加起来得到整个过程中变力
所做的功。
例如物体在水平面上做曲线运动,所受摩擦力大小为μmg,路程为
s,采用微元法求摩擦力做的功:
W1=-μmgΔs1
W2=-μmgΔs2
W3=-μmgΔs3
……
W=W1+W2+W3+…=-μmg(Δs1+Δs2+Δs3+…)=-μmgs。
【典例1】 在水平面上有一弯曲的槽道AB,由半径分别为和R的两
个半圆构成。如图所示,现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉
至B点,若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同,则此过程中拉力所
做的功为( )
A. 0 B. FR
C. πFR D. 2πFR
解析:小球受到的拉力F在整个过程中大小不变,方向时刻变化,是
变力。但是,如果把圆周分成无数微小的弧段,每一小段可近似看成
直线,拉力F在每一小段上方向不变,每一小段上可用恒力做功的公
式计算,然后将各段做功累加起来。设每一小段的长度分别为l1、
l2、…、ln,拉力在每一段上做的功W1=Fl1、W2=Fl2、…、Wn=
Fln,拉力在整个过程中所做的功W=W1+W2+…+Wn=F(l1+l2
+…+ln)=F=πFR。
【典例2】 如图甲所示,静置于光滑水平面上坐标原点处的小物
块,在水平拉力F的作用下,沿x轴正方向运动,拉力F随物块所在位
置坐标x的变化关系如图乙所示,图线为半圆,则小物块运动到x0处时
拉力F做的功为( )
A. 0 B. Fmx0
C. Fmx0 D.
解析:由于水平面光滑,所以拉力F的大小即为合力大小,F随物块所
在位置坐标x的变化图像中图线与横轴包围的面积即为F做的功,即W
===Fmx0,C正确。
1. (多选)如图所示,质量为m的物体静止在光滑的水平面上,物体
在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0,
下列说法正确的是( )
A. 甲图和乙图合外力做功相等
B. 丙图和丁图合外力做功相等
C. 四个图合外力做功均相等
D. 四个图中合外力做功最多的是丙图
解析: F-x图像中,图线与x轴围成的面积表示力F所做的功,
由题图可知,甲、乙所围的面积相等,丙所围的面积最大,丁所围
的面积最小,故 W丙>W甲=W乙>W丁,选项A、D正确。
2. 用铁锤把钉子钉入木板,设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度
成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d,如果铁锤第二次敲钉子时
对钉子做的功与第一次相同,那么,第二次钉子进入木板的深度是
( )
A. (-1)d B. (-1)d
C. D. d
解析: 在将钉子钉入木板的过程中,随着深度的增加,阻力成
正比地增加,这属于变力做功问题。由于力与深度成正比,可先求
出平均力,再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进
木板的深度d的关系满足F=kd,由题意得,第一次做功W=d=
d,第二次做功W=d'=d',联立以上两式得d'=
-(+1)d(舍去)或d'=(-1)d,故B正确。
要点二 机车的两种启动方式
1. P=Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时,要增大牵引力,应换低速挡
减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时,若速度不变,应加大油门,
增大输出功率,获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上,加大油门增大输出
功率,可以提高速度
2. 机车的两种启动方式的比较
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像 和v-t图 像
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
O
A 段 过程 分析 v↑→F=↓ →a=↓ a=(不变)→F不变
→P=Fv↑直到P额=Fv1
运动 性质 加速度减小的加速直线运
动 匀加速直线运动,维持时间
t0=
以恒定功率启动 以恒定加速度启动
A
B 段 过程 分析 F=Ff、a=0、 Ff= v↑→F=↓→a=↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 F=Ff→a=0→以vm=匀
速运动
【典例3】 在水平路面上运动的汽车的额定功率为 100 kW,质量为
10 t,设阻力大小恒定,且为车重力的0.1倍(g取10 m/s2),则:
(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动,汽车的加速度如何变
化?
解析: 若汽车以不变的额定功率从静止启动,v变大,由P
额=Fv知,牵引力F减小,根据牛顿第二定律有F-Ff=ma,可
知汽车的加速度逐渐减小到零。
答案:见解析
(2)当汽车的加速度为2 m/s2时,速度为多大?
解析: 由F-Ff=ma1,P额=Fv1
联立解得v1= m/s。
答案:见解析
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少?
解析: 当汽车速度达到最大时,a2=0,F'=Ff,P=P额,
故vmax== m/s=10 m/s。
答案:见解析
【典例4】 目前,上海有若干辆超级电容车试运行,运行中无需连
接电缆,只需在乘客上车间隙充电30秒到1分钟,就能行驶3到5千
米。现有一辆超级电容车,质量m=2×103 kg,额定功率P=60 kW,
假设该超级电容车启动时与机动车启动模式相同,它在平直水平路面
上行驶时,受到的阻力Ff是车重的0.1倍,g取10 m/s2。
(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少?
答案: 30 m/s
解析: 当超级电容车速度达到最大时,超级电容车的牵引
力与阻力平衡,即
F=Ff=kmg=2 000 N
根据P=Ffvm
解得vm==30 m/s。
(2)若超级电容车从静止开始,保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直
线运动,这一过程中牵引力为多大?能维持多长时间?
答案: 3 000 N 40 s
解析:超级电容车做匀加速运动,由牛顿第二定律得
F1-Ff=ma
解得F1=3 000 N
设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v1,则P=F1v1
解得v1==20 m/s
设超级电容车匀加速运动的时间为t,则v1=at
解得t==40 s。
规律方法
机车启动问题中几个物理量的求法
分析机车启动问题,要抓住两个核心方程:牛顿第二定律方程F
-Ff=ma,联系着力和速度的方程 P=Fv,结合v-t图像进行分析。
(1)机车的最大速度vm的求法
机车最终匀速前进时速度最大,此时牵引力F大小等于阻力大小
Ff,故vm==。
(2)匀加速启动持续时间的求法
牵引力F=ma+Ff,匀加速的最后速度vm'=,时间t=
。
(3)瞬时加速度的求法
根据F=求出牵引力,则加速度a=。
3. 一列高速列车总质量m=465t,其额定功率P=5 300 kW,在水平直
轨道上行驶时,轨道对列车的阻力F阻是车重的0.018。列车以额定
功率工作,取重力加速度g=10 m/s2,求:
(1)当行驶速度v=10 m/s时,列车的牵引力和加速度的大小;
答案: 5.3×105 N 0.96 m/s2
解析: 由题意可知F阻=0.018mg,设列车以额定功率工
作,当行驶速度v=10 m/s时,牵引力为F1;行驶速度达到最
大值时,牵引力为F2,由P=F1v,得F1== N=
5.3×105 N,根据牛顿第二定律,有F1-F阻=ma,解得a=
0.96 m/s2,列车的加速度方向与牵引力方向一致。
(2)列车在水平直轨道上行驶的最大速度的大小。
答案: 63.3 m/s
解析:当F2=F阻时,列车行驶速度最大,此时P=F阻
vmax,得vmax==63.3 m/s,列车的最大行驶速度方向与牵
引力方向一致。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 关于“手动挡”汽车爬陡坡,下面司机的操作合理的是( )
A. 司机只要踩油门即可,无需关心挡位是否合适
B. 为了提高速度冲上陡坡,司机应该换挡位至“高
速挡”
C. 为了增大牵引力,司机应该换挡位至“低速挡”
D. 司机应该换挡位至“高速挡”,并踩油门
解析: 根据P=Fv可知,在功率一定的情况下,当速度减小
时,汽车牵引力增大,此时容易上坡,所以为了增大牵引力,司机
应该换挡位至“低速挡”,故选C。
2. (2024·山西吕梁期末)某块石头陷入淤泥过程中,其所受的阻力F
与深度h的关系为F=kh+F0(k,F0已知),石头沿竖直方向做直
线运动,当h=h0时,石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为
( )
A. F0h0 B. kF0h0
C. F0h0+k D. h0
解析: 由于阻力与深度为线性关系,则克服阻力做的功为W=
h=h0=F0h0+k,故选C。
3. (2024·重庆九龙坡期末)如图所示,图甲为我国以前农村毛驴拉
磨的场景。毛驴拉磨可看成是匀速圆周运动,假设毛驴的拉力始终
与拉磨半径方向垂直,图乙为其简化图,拉力为500 N,拉磨半径
为1 m,拉磨周期为10 s。下列说法正确的是( )
A. 毛驴拉磨一周所做的功为1 000π J
B. 毛驴拉磨一周所做的功为0 J
C. 毛驴拉磨的转速为0.1 r/min
D. 毛驴拉磨的瞬时功率为50 W
解析: 毛驴的拉力大小不变,但是方向不断变化,设微小位移
Δl,则每一段拉力做功为ΔW=FΔl,求和可得毛驴拉磨一周所做的
功为W=∑F·Δl=F·2πr=1 000π J,故A正确,B错误;毛驴拉磨的
转速为n== r/s=6 r/min,故C错误;因为v==0.2π m/s,毛
驴拉磨的瞬时功率为P=Fv=100π W,故D错误。
4. 质量m=2×103 kg的汽车,发动机额定功率为P=80 kW,若汽车在
平直公路上行驶时,所受阻力恒为F阻=4×103 N,那么:
(1)汽车在公路上能达到的最大行驶速度vm是多少;
答案: 20 m/s
解析: 当a=0,即F=F阻时,汽车速度达到vm,根据P
=Fvm=F阻vm
代入数据可得vm=20 m/s。
解析:当v=5 m/s时,根据P=Fv
代入数据可得F=1.6×104 N
根据牛顿第二定律有F-F阻=ma
代入数据可得a=6 m/s2。
(2)若汽车以额定功率启动,当速度为5 m/s时,加速度a是多
少。
答案: 6 m/s2
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 求变力做功的常用方法
1. 一物体在运动中受水平拉力F的作用,已知F随运动距离x的变化情
况如图所示,则在0~8 m的运动过程中F做的功为( )
A. 4 J B. 6 J
C. 18 J D. 22 J
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解析: 根据W=Fx可知,力F做的功等于F-x图像的面积,x轴上
方为正功,x轴下方为负功,总功为三部分的代数和,则W=
(2×2-2×1+4×4)J=18 J,故选C。
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2. (2024·河北张家口期中)如图所示,n个完全相同,边长足够小且
互不粘连的小方块依次排列,总长度为l,总质量为M,它们一起在
光滑水平面上滑动,某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水
平面之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,若小方块恰能完全进
入粗糙水平面,则所有小方块克服摩擦力做的功为( )
A. μMgl B. μMgl
C. μMgl D. μMgl
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解析: 所有小方块进入粗糙水平面过程的位移为l,所有小方块
受到的摩擦力随进入粗糙水平面的位移线性变化,摩擦力对位移的
平均值f=,则所有小方块克服摩擦力做的功Wf=fl=μMgl,选
项C正确。
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3. 如图所示,摆球的质量为m,悬线的长度为L,把悬线拉到水平位
置后放手。设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的
大小f不变,则下列说法正确的是( )
A. 重力做功为0
B. 悬线的拉力做的功为mgL
C. 空气阻力做的功为-fπL
D. 摆球克服空气阻力做的功为fL
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解析: 摆球所受重力竖直向下,摆球位移有竖直向下的分量,
重力做功不为零,故A错误;悬线的拉力始终与 v垂直,不做功,
故B错误;将圆弧路径分成若干小圆弧(尽量小),每一段小圆弧
上可认为f是恒力,所以f所做的总功等于每个小弧段上f所做功的代
数和,即Wf=-(fΔx1+fΔx2+…)=-fπL,故C正确,D错误。
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要点二 机车的两种启动方式
4. 汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统,一般赛车的变速箱
有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位,在发动机输出功率不变时,
挡位越高车速越快,加大油门可以增大发动机的输出功率。如图所
示的是赛车越野比赛时正在爬坡的情形,为了能够顺利爬上陡坡,
司机应该( )
A. 拨1挡,减小油门 B. 拨1挡,加大油门
C. 拨5挡,减小油门 D. 拨5挡,加大油门
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解析: 赛车爬坡时要克服重力做功,因此需要较大的牵引力,
由功率P=Fv得牵引力F=,为了能够顺利爬上陡坡,应增大发动
机的输出功率和减小速度v,才能获得更大的牵引力F,因此应拨1
挡,加大油门,故选B。
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5. 列车提速的一个关键技术问题是提高机车发动机的功率。已知匀速
运动时,列车所受阻力与速度的平方成正比,即Ff=kv2。设提速前
匀速运动速度为180 km/h,提速后匀速运动速度为240 km/h,则提
速前与提速后机车发动机的功率之比为( )
A. B.
C. D.
解析: 匀速运动时有F=Ff=kv2,P=Fv,则 P=kv3,故提速前
与提速后机车发动机的功率之比为P1∶P2=∶=27∶64。故
C正确。
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6. (2024·广东惠州期末)假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻
力作用下,在水平轨道上由静止开始启动,其v-t图像如图所示,已
知0~t1时间内为过原点的倾斜直线,t1时刻达到额定功率P,此后
保持功率P不变,在t3时刻达到最大速度v3,此后做匀速运动。下列
判断正确的是( )
A. 0~t3时间内,列车一直做匀加速直线运动
B. t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C. 在t3时刻以后,机车的牵引力为零
D. 该列车所受的恒定阻力大小为
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解析: 由题图可知,0~t1时间内,列车做匀加速直线运动,
t1~t3时间内,加速度逐渐变小,故A、B错误;t3时刻以后列车做
匀速直线运动,牵引力大小等于阻力大小,故C错误;匀速直线运
动时,Ff=F牵=,故D正确。
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7. (多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动,在前5 s内做匀加速
直线运动,5 s末达到额定功率,之后保持额定功率运动,其v-t图
像如图所示,已知汽车的质量 m=2×103 kg,汽车受到地面的阻力
为汽车重力的0.1倍,(g=10 m/s2)则( )
A. 汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B. 汽车的额定功率为120 kW
C. 汽车的最大速度为vm=30 m/s
D. 当汽车速度为20 m/s时,汽车加速度大小为 2 m/s2
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解析: 汽车在前5 s内做匀加速运动,加速度 a=3 m/s2,由牛
顿第二定律F-Ff=ma得F=Ff+ma=(0.1×2×103×10+
2×103×3)N=8×103 N,A错误;汽车在5 s末功率达到额定功率
P=Fv=8×103×15 W=120 kW,B正确;当牵引力等于阻力时,
汽车达最大速度,则最大速度vm===60 m/s,C错误;当
汽车速度为20 m/s时,则F1===6 000 N,F1-Ff=ma1,
解得a1=2 m/s2,D正确。
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8. (多选)如图所示,人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船,
人收绳的速度恒为 1 m/s,将船从A位置拉到B位置,A、B位置轻绳
与水平方向的夹角分别为30°和60°,A、B间的水平距离为4 m,
则( )
A. A位置船速大小为 m/s
B. B位置船速大小为2 m/s
C. 船从A运动到B的过程中,人的拉力做的功为20 J
D. 船从A运动到B的过程中,人的拉力做的功为40(-1)J
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解析: 根据速度的合成与分解,可得A位置船速大小为vA=
= m/s,故A错误;同理可得B位置船速大小为vB=
=2 m/s,故B正确;船从A运动到B的过程中,人的拉力做的
功W=F=10×J=40(-1)
J,故C错误,D正确。
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9. 一汽车在平直公路上行驶,从某时刻开始计时,发动机的功率P随
时间t的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小F阻恒定不变。下
列描述该汽车的速度v随时间t变化的图像中,可能正确的是
( )
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解析: 在v-t图像中,图线的斜率代表汽车运动时的加速度。由
牛顿第二定律可得,在0~t1时间内,-F阻=ma,当速度v不变
时,加速度a为零,在v-t图像中为一条水平线;当速度v变大时,加
速度a变小,在v-t图像中为一条斜率逐渐减小的曲线,选项B、D错
误。同理,在t1~t2时间内-F阻=ma',图像变化情况与0~t1时间
内情况相似,由于汽车在运动过程中速度不会发生突变,选项A正
确,C错误。
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10. (多选)(2024·江苏苏州期末)一辆机动车在平直的公路上由静
止启动。如图所示,图线A表示该车运动的速度与时间的关系,图
线B表示该车的功率与时间的关系。若机动车在运动过程中阻力不
变,则以下说法正确的是( )
A. 0~22 s内机动车先做加速度逐渐减小的加速运动,后做匀速运动
B. 运动过程中机动车所受阻力为1 500 N
C. 机动车速度为5 m/s时,牵引力大小为3×103 N
D. 机动车的质量为562.5 kg
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解析: 根据图线A可知,机动车先做匀加速运动,后做变加
速运动,最后做匀速运动,故A错误;根据图线A可知,机动车的
最大速度vmax=12 m/s,根据图线B可知机动车的额定功率为P0=
18 000 W,当牵引力F等于阻力Ff时,速度达到最大值,则阻力Ff
=F==1 500 N,故B正确;匀加速运动的牵引力为F'==2
250 N,根据牛顿第二定律得F'-Ff=ma,由图线A知,a=
m/s2,解得m=562.5 kg,故D正确,C错误。
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11. 如图所示,一质量为m=1.0 kg的物体从半径为R=5.0 m的圆弧的
A端,在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面
内)。拉力F大小不变,始终为15 N,方向始终与圆弧在该点的切
线成37°角。圆弧所对应的圆心角为60°,BO边在竖直方向上。
求这一过程中拉力F做的功。(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π
=3.14)
答案:62.8 J
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解析:将圆弧AB分成很多小段s1,s2,…,sn,拉力在每一小段上
做的功为W1,W2,…,Wn,因拉力F大小不变,方向始终与圆弧
在该点的切线成37°角,所以
W1=Fs1cos 37°
W2=Fs2cos 37°
…
Wn=Fsncos 37°
故WF=W1+W2+…+Wn=Fcos 37°(s1+s2+…+sn)=Fcos
37°·R=62.8 J。
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12. 汽车发动机的额定功率为60 kW,汽车的质量为5 t,汽车在水平
路面上行驶时,阻力是车重力的倍,则:
(1)汽车保持以额定功率从静止启动后达到的最大速度是多少?
答案: 12 m/s
解析: 汽车达到最大速度时,a=0,
此时F=f=kmg
P=Fvm
解得vm=12 m/s。
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(2)若汽车从静止开始,保持以加速度a=0.5 m/s2做匀加速直线
运动,这一过程能持续多长时间?
答案: 16 s
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解析:汽车速度在达到最大值之前已经历了两个过程:匀加
速和变加速。
匀加速直线运动的加速度a=
所以F=m=7.5×103 N
设汽车匀加速的时间为t,匀加速能达到的最大速度为v1,则
v1=at
汽车速度达到v1时P=Fv1
解得t=16 s。
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(3)当汽车的速度为6 m/s时,汽车的实际功率是多少?
答案: 45 kW
解析:当汽车的速度为6 m/s时,汽车仍处于匀加速运动阶
段,则汽车的实际功率P'=Fv=45 kW。
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