习题课七 机械能守恒定律的应用
要点一 多物体组成的系统机械能守恒问题
1.（多选）如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是（ ）
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能减小
C.M球和N球组成的系统的机械能守恒
D.绳的拉力对N球做负功
2.如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过细杆中心的水平轴无摩擦转动，现让细杆水平放置，静止释放小球后，小球b向下转动，小球a向上转动，在转动90°的过程中，以下说法正确的是（ ）
A.b球的重力势能减少，动能增加
B.a球的重力势能增大，动能减少
C.a球和b球各自的机械能保持不变
D.a球和b球的机械能总和不断减小
3.（2024·浙江杭州期末）如图所示，质量为mA的物块A置于倾角为30°的固定光滑斜面上，物块A上连接的轻绳跨过两个定滑轮后与质量为mB的物块B相连，连接A的绳子开始时与水平方向的夹角也为30°。现将物块A、B同时由静止释放，物块A始终没有离开斜面，物块B未与斜面及滑轮碰撞，不计滑轮的质量和摩擦，在物块A沿斜面下滑到速度最大的过程中（ ）
A.物块A的机械能守恒
B.绳子与斜面垂直时物块B的机械能最大
C.绳子对B的拉力一直做正功
D.物块A、B组成的系统机械能一定守恒
要点二 非质点类物体的机械能守恒问题
4.如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为（重力加速度大小为g）（ ）
A. B.
C. D.4
5.如图所示，有一条长为L＝2 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中。链条由静止释放后开始滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（g取10 m/s2）（ ）
A.2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
6.如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为 h（h＜L）。A球无初速从桌边滑下，落在沙地上静止不动，则B球离开桌面的速度为（ ）
A. B.
C. D.
7.有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，重力加速度为g。如图所示，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图所示，mA＝2mB，不计摩擦阻力，A物体自H高处由静止开始下落，且B物体始终在水平台面上。若以地面为零势能面，当物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面高度是（ ）
A. B.H
C.H D.
9.（多选）如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有质量分别为1 kg和2 kg的小球A和B，且两球之间用一根长L＝0.3 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度 h＝0.3 m。现让两球从静止开始自由下滑，最后都进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管内壁碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的有（ ）
A.从开始下滑到A进入圆管的整个过程，A与B组成的系统机械能守恒
B.在B球进入水平圆管前，小球A机械能守恒
C.两球最后在光滑圆管中运动的速度大小为 m/s
D.从开始下滑到A进入圆管的整个过程，轻杆对B球做功－1 J
10.如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开始时，杆静止在水平位置，重力加速度为g，求无初速度释放后杆转到竖直位置时，A、B两小球的速度大小各是多少？
11.如图所示，A物体用板托着，离地高度 h＝1.0 m，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态。已知A物体质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg，现将板抽走，A将拉动B上升，设A着地后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，g取10 m/s2。求：
（1）A着地时，B的速度大小；
（2）B物体在上升过程中离地面的最大高度。
12.（2024·重庆联考期末）如图所示，长度分别为2L、L的直角轻杆POQ能绕固定点O在竖直面内无摩擦转动，杆的P、Q两端分别固定质量为2m、m且均可视为质点的小球甲、乙。现让OP杆从水平位置由静止开始无初速度释放，不计空气阻力，重力加速度为g。 OP杆第一次摆至竖直位置时，求：
（1）小球甲的速度大小；
（2）该过程中OQ杆对小球乙所做的功。
习题课七 机械能守恒定律的应用
1.BC 因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
2.A 在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，使两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，a、b两球的总机械能守恒，杆对a和b都做功，故a、b各自的机械能不守恒。故选A。
3.D 物块A沿斜面下滑的过程中，重力做正功，支持力不做功，绳子的拉力先做正功后做负功，物块A的机械能不守恒，故A错误；绳子与斜面垂直前，绳子对物块B的拉力向上，物块B向下运动，故这段过程中，绳子对B的拉力一直做负功，绳子与斜面垂直时，斜面与滑轮间的绳子最短，物块B运动到最低点，之后物块B上升，上升过程，绳子拉力对B做正功，所以绳子与斜面垂直时物块B的机械能最小，故B、C错误；以物块A、B组成的系统为研究对象，系统的外力中只有重力做功，系统的机械能守恒，故D正确。
4.C 由机械能守恒定律得ΔEp减＝ΔEk增，即mg·L＋mg·L＝mv2，所以v＝，选项C正确。
5.B 设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点所在水平面为参考平面，链条静止时的机械能E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sin 30°－×2mg×＋0＝－mgL，链条全部滑出后，动能Ek'＝×2mv2，重力势能Ep'＝－2mg×，由机械能守恒定律可得E＝Ek'＋Ep'，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝m/s，故B正确，A、C、D错误。
6.A A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，则有mgh＝（m＋3m）v2，解得v＝ 。A球落地后，B球做匀速直线运动，故B球离开桌面时的速度仍为 ，选项A正确。
7.D 由运动的合成与分解可知滑块A和B在沿绳方向的速度大小相等，有vAsin 60°＝vcos 60°，解得vA＝v，将滑块A、B看成一个系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝m＋mv2，解得h＝，由几何关系可知绳子的长度为l＝2h＝，故选项D正确。
8.B A、B组成的系统机械能守恒，设物体A的动能与其势能相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v，则有：mAgh＝mAv2，可得v2＝2gh，从开始到距地面的高度为h的过程中，减少的重力势能为：ΔEp＝mAg（H－h）＝2mBg（H－h），增加的动能为：ΔEk＝（mA＋mB）v2＝（3mB）2gh＝3mBgh，由ΔEp＝ΔEk得h＝H，故B正确。
9.ABC 从开始下滑到A进入圆管的整个过程，对于小球A与B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确；在B球进入水平圆管前，杆对A球没有作用力，只有重力对A做功，小球A机械能守恒，故B正确；以A、B组成的系统为研究对象，系统机械能守恒，从开始下滑到两球在光滑圆管中运动，由机械能守恒定律得mBgh＋mAg（h＋Lsin θ）＝（mA＋mB）v2，代入数据解得v＝ m/s，故C正确；以B球为研究对象，设轻杆对B球做功为W，由动能定理得mBgh＋W＝mBv2，代入数据解得W＝1 J，故D错误。
10.
解析：把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。
以A球在最低点的水平面为参考平面，则初状态系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL，末状态（即杆到竖直位置）系统的动能为Ek2＝m＋m，重力势能为Ep2＝mg。由机械能守恒定律得2mgL＝mgL＋m＋m，又因为在转动过程中A、B两球的角速度相同，故vA＝2vB，联立解得vA＝，vB＝。
11.（1）2 m/s （2）1.2 m
解析：（1）在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，设地面的重力势能为0，由机械能守恒定律得
Mgh＝Mv2＋mv2＋mgh，
解得v＝ ，代入数据得v＝2 m/s。
（2）设A落地后，B继续上升的高度为h'，由机械能守恒定律得mv2＝mgh'，解得h'＝0.2 m，
则B离地面的最大高度H＝h＋h'＝1.2 m。
12.（1） （2）mgL
解析：（1）设OP杆第一次摆至竖直位置时，小球甲的速度大小为v，小球乙的速度大小为v'，
则v＝ω×2L，v'＝ωL
即v'＝
该过程中，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律有2mg×2L－mgL＝×2mv2＋m
解得v＝。
（2）该过程中，设OQ杆对小球乙所做的功为W，由动能定理有W－mgL＝m
解得W＝mgL。
4 / 4习题课七 机械能守恒定律的应用
要点一 多物体组成的系统机械能守恒问题
1.当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。
2.机械能守恒定律表达式的选取技巧
（1）当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。
（2）当研究对象为两个物体组成的系统时
①若两个物体的重力势能都在减小（或增加），动能都在增加（或减小），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
③从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。
3.对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。
【典例1】 如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块A和B均可视为质点，通过细绳连接并跨过定滑轮。开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B竖直下落，B落地后不反弹。若物块A恰好能到达斜面的顶点，试求m1和m2的比值。（滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计）
尝试解答
【典例2】 如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放。（重力加速度为g）
（1）在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
（2）在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
尝试解答
1.（多选）内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为R的轻杆，一端固定质量为m的小球甲，另一端固定质量为2m的小球乙。现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后（ ）
A.下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B.下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C.甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D.杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
2.如图所示两滑块通过一细绳悬挂于轻质光滑滑轮下面。阻力不计，M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1离地高度H＝0.5 m。M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落0.3 m时的速度为（ ）
A. m/s B.3 m/s
C.2 m/s D.1 m/s
要点二 非质点类物体的机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
【典例3】 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？（重力加速度为g）
尝试解答
3.如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，求右侧液面下降的速度大小。
1.如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB＞mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中（ ）
A.B球的动能增大，机械能增大
B.A球的重力势能和动能都减小
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
2.如图所示，一个质量为m，均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下，（桌面高度大于链条长度），现将链条由静止释放，则链条上端刚离开桌面时的动能为（ ）
A.0 B.mgL
C.mgL D.mgL
3.（多选）如图所示，通过质量不计的定滑轮悬挂两个质量分别为m1、m2的物体（m1＞m2），不计绳子质量、绳子与滑轮间的摩擦，由静止释放，在m1向下运动一段距离的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A.m1和地球组成的系统机械能守恒
B.m1、m2和地球组成的系统机械能守恒
C.m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量
D.m1减少的重力势能小于m2增加的动能
4.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放（A落地时，立即烧断细线），求B上升的最大高度。
习题课七 机械能守恒定律的应用
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】
解析：设B刚下落到地面时速度为v，由B落地前，A、B组成的系统机械能守恒得
m2g·－m1g·sin 30°＝（m1＋m2）v2 ①
B落地后，A以速度v上滑到斜面顶点过程中机械能守恒，则
m1v2＝m1g·sin 30°， ②
由①②得＝。
【典例2】 （1） （2）－mgl
解析：（1）小球A和B及杆组成的系统机械能守恒。设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有
mg·2l－mgl＝m＋m
vA＝2lω，vB＝lω
联立解得vB＝，vA＝。
（2）对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝m
解得W＝－mgl。
素养训练
1.AD 环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能总是等于乙增加的机械能，甲、乙系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能等于乙增加的重力势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒知，甲不可能滑到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最低点。故A、D正确。
2.A 对系统运用机械能守恒定律得（M1－M2）gh＝（M1＋M2）v2，代入数据解得v＝ m/s，故A正确，B、C、D错误。
要点二
知识精研
【典例3】
解析：方法一 取整个铁链为研究对象
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为ΔEp＝mg·L
由机械能守恒得mv2＝mg·L，则v＝。
方法二 将铁链看成两段
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB'部分移到AA'位置。
重力势能减少量为ΔEp＝mg·
由机械能守恒得mv2＝mg·
解得v＝。
素养训练
3.
解析：设液体总质量为m，当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，根据机械能守恒定律有mg·h＝mv2，解得v＝ 。
【教学效果·勤检测】
1.D A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故选D。
2.D 取桌面下为零势能面，根据机械能守恒定律得Ek＝·＋·＝mgL，故选D。
3.BC 单独对m1来说，绳子的拉力属于外力，有外力做功，所以m1和地球组成的系统机械能不守恒，A错误；将m1、m2看作一个整体，绳子拉力属于内力，只有重力做功，所以m1、m2和地球组成的系统机械能守恒，B正确；由于m1、m2和地球组成的系统机械能守恒，所以m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量，C正确，D错误。
4.
解析：设B的质量为m，则A的质量为3m，
A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，
有3mgR－mgR＝（3m＋m）v2，
解得v＝，
烧断细线后，对B运用动能定理有
－mgh＝0－mv2，
解得h＝，
则B上升的最大高度为
H＝h＋R＝。
4 / 4(共58张PPT)
习题课七 机械能守恒定律的应用
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 多物体组成的系统机械能守恒问题
1. 当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。
2. 机械能守恒定律表达式的选取技巧
（1）当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝
Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。
①若两个物体的重力势能都在减小（或增加），动能都在增
加（或减小），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑
用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。
③从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械
能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝
E增来列式。
（2）当研究对象为两个物体组成的系统时
3. 对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物
体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。
【典例1】 如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高
为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块
A和B均可视为质点，通过细绳连接并跨过定滑轮。开始时两物块都位
于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上
滑，B竖直下落，B落地后不反弹。若物块A恰好能到达斜面的顶点，
试求m1和m2的比值。（滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽
略不计）
答案：
解析：设B刚下落到地面时速度为v，由B落地前，A、B组成的系统机
械能守恒得
m2g·－m1g·sin 30°＝（m1＋m2）v2 ①
B落地后，A以速度v上滑到斜面顶点过程中机械能守恒，则
m1v2＝m1g·sin 30°， ②
由①②得＝。
【典例2】 如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m
的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动。已知OA＝
2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放。（重力加速度为g）
（1）在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
答案：
解析：小球A和B及杆组成的系统机械能守恒。设转到
竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度
为ω，有
mg·2l－mgl＝m＋m
vA＝2lω，vB＝lω
联立解得vB＝，vA＝。
（2）在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
答案：－mgl
解析：对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝m
解得W＝－mgl。
1. （多选）内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根
长度为R的轻杆，一端固定质量为m的小球甲，另一端固定质量
为2m的小球乙。现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低
点，如图所示，由静止释放后（ ）
A. 下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B. 下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C. 甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D. 杆从右向左滑回时，乙球一定能回到凹槽的最低点
解析： 环形凹槽光滑，甲、乙组成的系统在运动过程中只
有重力做功，故系统机械能守恒，下滑过程中甲减少的机械能
总是等于乙增加的机械能，甲、乙
系统减少的重力势能等于系统增加的动能；甲减少的重力势能
等于乙增加的重力势能与甲、乙增加的动能之和；由于乙的质
量较大，系统的重心偏向乙一端，由机械能守恒知，甲不可能
滑到凹槽的最低点，杆从右向左滑回时乙一定会回到凹槽的最
低点。故A、D正确。
2. 如图所示两滑块通过一细绳悬挂于轻质光滑滑轮下面。阻力不计，
M1＝2 kg，M2＝1 kg，M1离地高度H＝0.5 m。M1与M2从静止开始
释放，M1由静止下落0.3 m时的速度为（ ）
A. m/s B. 3 m/s
C. 2 m/s D. 1 m/s
解析： 对系统运用机械能守恒定律得（M1－M2）gh＝（M1＋
M2）v2，代入数据解得v＝ m/s，故A正确，B、C、D错误。
要点二 非质点类物体的机械能守恒问题
1. 在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液
柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体
也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2. 物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械
能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规
则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列
式求解。
【典例3】 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质
小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A
端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？（重力加
速度为g）
答案：
解析：方法一 取整个铁链为研究对象
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重
心在A点，则重力势能的减少量为ΔEp＝mg·L
由机械能守恒得mv2＝mg·L，则v＝。
方法二 将铁链看成两段
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB'部分移到AA'位置。
重力势能减少量为ΔEp＝mg·
由机械能守恒得mv2＝mg·
解得v＝。
3. 如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时
两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流
动，当两液面高度相等时，求右侧液面下降的速度大小。
答案：
解析：设液体总质量为m，当两液面高度相等时，减少的重力势能
转化为整个液体的动能，根据机械能守恒定律有mg·h＝mv2，解
得v＝ 。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB＞mA，此杆
可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无
初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动
90°的过程中（ ）
A. B球的动能增大，机械能增大
B. A球的重力势能和动能都减小
C. A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D. A球和B球的总机械能守恒
解析： A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能
都增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增
大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重
力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机
械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加
量之和等于B球的重力势能的减少量，故选D。
2. 如图所示，一个质量为m，均匀的细链条长为L，置于光滑水平桌
面上，用手按住一端，使长部分垂在桌面下，（桌面高度大于链
条长度），现将链条由静止释放，则链条上端刚离开桌面时的动能
为（ ）
A. 0 B. mgL
C. mgL D. mgL
解析： 取桌面下为零势能面，根据机械能守恒定律得Ek＝·
＋·＝mgL，故选D。
3. （多选）如图所示，通过质量不计的定滑轮悬挂两个质量分别为
m1、m2的物体（m1＞m2），不计绳子质量、绳子与滑轮间的摩
擦，由静止释放，在m1向下运动一段距离的过程中，下列说法中正
确的是（ ）
A. m1和地球组成的系统机械能守恒
B. m1、m2和地球组成的系统机械能守恒
C. m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量
D. m1减少的重力势能小于m2增加的动能
解析： 单独对m1来说，绳子的拉力属于外力，有外力做功，
所以m1和地球组成的系统机械能不守恒，A错误；将m1、m2看作一
个整体，绳子拉力属于内力，只有重力做功，所以m1、m2和地球组
成的系统机械能守恒，B正确；由于m1、m2和地球组成的系统机械
能守恒，所以m1机械能的减少量等于m2机械能的增加量，C正确，
D错误。
4. 如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，
跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3
倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放（A落
地时，立即烧断细线），求B上升的最大高度。
答案：
解析：设B的质量为m，则A的质量为3m，
A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，
有3mgR－mgR＝（3m＋m）v2，
解得v＝，
烧断细线后，对B运用动能定理有
－mgh＝0－mv2，
解得h＝，
则B上升的最大高度为
H＝h＋R＝。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
要点一 多物体组成的系统机械能守恒问题
1. （多选）如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，
AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC
上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，
现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程
中，下列说法中正确的是（ ）
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A. M球的机械能守恒
B. M球的机械能减小
C. M球和N球组成的系统的机械能守恒
D. 绳的拉力对N球做负功
解析： 因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球
做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球
组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。
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2. 如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质
细杆连接，两小球可绕过细杆中心的水平轴无摩擦转动，现让细杆
水平放置，静止释放小球后，小球b向下转动，小球a向上转动，在
转动90°的过程中，以下说法正确的是（ ）
A. b球的重力势能减少，动能增加
B. a球的重力势能增大，动能减少
C. a球和b球各自的机械能保持不变
D. a球和b球的机械能总和不断减小
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解析： 在b球向下、a球向上转动过程中，两球均在加速转动，
使两球动能增加，同时b球重力势能减少，a球重力势能增加，a、b
两球的总机械能守恒，杆对a和b都做功，故a、b各自的机械能不守
恒，故选A。
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3. （2024·浙江杭州期末）如图所示，质量为mA的物块A置于倾角为
30°的固定光滑斜面上，物块A上连接的轻绳跨过两个定滑轮后与
质量为mB的物块B相连，连接A的绳子开始时与水平方向的夹角也
为30°。现将物块A、B同时由静止释放，物块A始终没有离开斜
面，物块B未与斜面及滑轮碰撞，不计滑轮的质量和摩擦，在物块
A沿斜面下滑到速度最大的过程中（ ）
A. 物块A的机械能守恒
B. 绳子与斜面垂直时物块B的机械能最大
C. 绳子对B的拉力一直做正功
D. 物块A、B组成的系统机械能一定守恒
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解析： 物块A沿斜面下滑的过程中，重力做正功，支持力不
做功，绳子的拉力先做正功后做负功，物块A的机械能不守恒，
故A错误；绳子与斜面垂直前，绳子对物块B的拉力向上，物块
B向下运动，故这段过程中，绳子对B的拉力一直做负功，绳子
与斜面垂直时，斜面与滑轮间的绳子最短，物块B运动到最低
点，之后物块B上升，上升过程，绳子拉力对B做正功，所以绳
子与斜面垂直时物块B的机械能最小，故B、C错误；以物块
A、B组成的系统为研究对象，系统的外力中只有重力做功，系
统的机械能守恒，故D正确。
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要点二 非质点类物体的机械能守恒问题
4. 如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂
在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开
桌边时的速度大小为（重力加速度大小为g）（ ）
A. B.
C. D. 4
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解析： 由机械能守恒定律得ΔEp减＝ΔEk增，即mg·L＋mg·L＝
mv2，所以v＝，选项C正确。
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5. 如图所示，有一条长为L＝2 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑
的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为
30°，另一半长度竖直下垂在空中。链条由静止释放后开始滑动，
则链条刚好全部滑出斜面时的速度为（g取10 m/s2）（ ）
A. 2.5 m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
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解析： 设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点所在水平面
为参考平面，链条静止时的机械能E＝Ep＋Ek＝－×2mg×sin
30°－×2mg×＋0＝－mgL，链条全部滑出后，动能Ek'＝
×2mv2，重力势能Ep'＝－2mg×，由机械能守恒定律可得E＝Ek'
＋Ep'，即－mgL＝mv2－mgL，解得v＝m/s，故B正确，A、C、
D错误。
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6. 如图所示，质量为m和3m的小球A和B，系在长为L的细线两端，桌
面水平光滑，高为 h（h＜L）。A球无初速从桌边滑下，落在沙地
上静止不动，则B球离开桌面的速度为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： A球落地之前，对于A、B组成的系统，只有重力做功，
系统的机械能守恒，则有mgh＝（m＋3m）v2，解得v＝ 。A球
落地后，B球做匀速直线运动，故B球离开桌面时的速度仍为
，选项A正确。
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7. 有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A、B分别套在水平杆
与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻细绳相连，A、B质量相等，
且可看作质点，重力加速度为g。如图所示，开始时细绳水平伸
直，A、B静止。由静止释放B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为
60°时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为v，则连接A、B的绳长为
（ ）
A. B. C. D.
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解析： 由运动的合成与分解可知滑块A和B在沿绳方向的速度大
小相等，有vAsin 60°＝vcos 60°，解得vA＝v，将滑块A、B看成
一个系统，系统的机械能守恒，设滑块B下滑的高度为h，有mgh＝
m＋mv2，解得h＝，由几何关系可知绳子的长度为l＝2h＝
，故选项D正确。
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8. 如图所示，mA＝2mB，不计摩擦阻力，A物体自H高处由静止开始
下落，且B物体始终在水平台面上。若以地面为零势能面，当物体
A的动能与其势能相等时，物体A距地面高度是（ ）
A. B. H
C. H D.
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解析： A、B组成的系统机械能守恒，设物体A的动能与其势能
相等时，物体A距地面的高度是h，A的速度为v，则有：mAgh＝
mAv2，可得v2＝2gh，从开始到距地面的高度为h的过程中，减少
的重力势能为：ΔEp＝mAg（H－h）＝2mBg（H－h），增加的动能
为：ΔEk＝（mA＋mB）v2＝（3mB）2gh＝3mBgh，由ΔEp＝ΔEk得h
＝H，故B正确。
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9. （多选）如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有质量
分别为1 kg和2 kg的小球A和B，且两球之间用一根长L＝0.3 m的轻
杆相连，小球B距水平面的高度 h＝0.3 m。现让两球从静止开始自
由下滑，最后都进入到上方开有细槽的光滑圆管中，不计球与圆管
内壁碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2。则下列说法中正确的有
（ ）
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A. 从开始下滑到A进入圆管的整个过程，A与B组成的系统机械能守
恒
B. 在B球进入水平圆管前，小球A机械能守恒
C. 两球最后在光滑圆管中运动的速度大小为 m/s
D. 从开始下滑到A进入圆管的整个过程，轻杆对B球做功－1 J
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解析： 从开始下滑到A进入圆管的整个过程，对于小球A与
B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，故A正确；在B
球进入水平圆管前，杆对A球没有作用力，只有重力对A做功，小
球A机械能守恒，故B正确；以A、B组成的系统为研究对象，系统
机械能守恒，从开始下滑到两球在光滑圆管中运动，由机械能守恒
定律得mBgh＋mAg（h＋Lsin θ）＝（mA＋mB）v2，代入数据解得v
＝ m/s，故C正确；以B球为研究对象，设轻杆对B球做功为W，
由动能定理得mBgh＋W＝mBv2，代入数据解得W＝1 J，故D错误。
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10. 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的
另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L。开
始时，杆静止在水平位置，重力加速度为g，求无初速度释放后杆
转到竖直位置时，A、B两小球的速度大小各是多少？
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解析：把A、B两小球和杆看成一个系统，杆对A、B两小球的
弹力为系统的内力，对系统而言，只有重力做功，系统的机械
能守恒。以A球在最低点的水平面为参考平面，则初状态系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL，末状态（即杆到竖直位置）系统的动能为Ek2＝m＋m，重力势能为Ep2＝mg。由机械能守恒定律得2mgL＝mgL＋m＋m，又因为在转
动过程中A、B两球的角速度相同，故vA＝2vB，联立解得vA＝
，vB＝。
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11. 如图所示，A物体用板托着，离地高度 h＝1.0 m，轻质细绳
通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态。已知A物体
质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg，现将板抽走，A将拉
动B上升，设A着地后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，
g取10 m/s2。求：
（1）A着地时，B的速度大小；
答案：2 m/s
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解析：在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机
械能守恒，设地面的重力势能为0，由机械能守恒定律得
Mgh＝Mv2＋mv2＋mgh，
解得v＝ ，代入数据得v＝2 m/s。
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（2）B物体在上升过程中离地面的最大高度。
答案：1.2 m
解析：设A落地后，B继续上升的高度为h'，由机械能守恒定律得mv2＝mgh'，解得h'＝0.2 m，
则B离地面的最大高度H＝h＋h'＝1.2 m。
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12. （2024·重庆联考期末）如图所示，长度分别为2L、L的直角轻杆
POQ能绕固定点O在竖直面内无摩擦转动，杆的P、Q两端分别固
定质量为2m、m且均可视为质点的小球甲、乙。现让OP杆从水平
位置由静止开始无初速度释放，不计空气阻力，重力加速度为g。
OP杆第一次摆至竖直位置时，求：
（1）小球甲的速度大小；
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解析： 设OP杆第一次摆至竖直位置时，小球甲的速度
大小为v，小球乙的速度大小为v'，
则v＝ω×2L，v'＝ωL
即v'＝
该过程中，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律有
2mg×2L－mgL＝×2mv2＋m
解得v＝。
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（2）该过程中OQ杆对小球乙所做的功。
答案：mgL
解析：该过程中，设OQ杆对小球乙所做的功为W，由动能定
理有W－mgL＝m
解得W＝mgL。
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谢谢观看!
