2024-2025人教版（2019）高中数学必修一5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 题型总结（含答案）

5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)题型总结
题型一、平移变换
1．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
3．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二、伸缩变换
4．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变. B．横坐标缩短为原来的倍， 纵坐标不变.
C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变. D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.
5．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　 　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
6．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
题型三、图象的综合变换
7．已知函数
（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为
（2）请描述上述函数图象可以由函数y＝sinx怎样变换而来？
8．已知函数.
（1）求的最大值及取得最大值时相应的值；
（2）将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值.
9．已知函数．
求函数的单调减区间；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
题型四、由图象求三角函数的解析式
10．如图是函数的图象，那么（ ）
A． B． C． D．
11．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )
A． B．
C． D．
12．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________．
题型五、三角函数性质的综合问题
13．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．函数（，）的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则函数的图象（ ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于点对称
15．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在区间上不单调，求的取值范围．
跟踪训练
1．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2．为了得到函数的图象，只需将图象上所有点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度
3．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
4．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．函数在上单调递增 B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是1
5．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为( )．
A． B．
C． D．
6．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，已知函数.）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．在上的最小值是 B．是的一个对称中心
C．在上单调递减 D．的图象关于点对称
9．（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
10．（多选）要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
11．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为 B．为偶函数
C．在区间内的最小值为1 D．的图象关于直线对称
12．已知函数的图象上每个点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为_______.
13．将函数的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则_________．
14．(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
15．已知函数的部分图象如图所示：
（I）求的解析式及对称中心坐标；
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象,求函数在上的单调区间及最值．
5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)题型总结答案
题型一、平移变换
1．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ B ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【详解】因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位．
2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ A ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
【解析】先变形：，再根据左加右减原理即可得解.
【详解】因为，
所以由函数的图象得到函数的图象，
根据左加右减，只需向左平移个单位.
3．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数的图像关于轴对称，则的最小值为（ C ）
A． B． C． D．
【解析】根据平移关系得出，由已知为偶函数，可得
，求出 ，结合，即可求出结论.
【详解】函数的图象向右平移个
单位长度后得到函数，的图像关于轴对称，即为偶函数，
所以，解得，的最小值为.故选:C.
题型二、伸缩变换
4．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（B）
A．横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变. B．横坐标缩短为原来的倍， 纵坐标不变.
C．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变. D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变.
【详解】函数的图象为，通过变换得到函数的图象，可以发现振幅和初相都没有改变，只改变周期，周期由原来的变为，因此只需横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变即可，故本题选B.
5．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　 C 　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
【详解】将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象．
6．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是（ D ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【详解】把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，
题型三、图象的综合变换
7．已知函数
（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为（2）请描述上述函数图象可以由函数y＝sinx怎样变换而来？
【详解】（1）由题意，因为x∈，所以，列表如下：
0 π 2π
0 3 0 ﹣3 0
描点、连线，得出所要求作的图象如下：
（2）把的图象向右平移个单位，可得的图象；
再把所得图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；
再把所得图象的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，可得的图象；
8．已知函数.
（1）求的最大值及取得最大值时相应的值；
（2）将图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，然后再向左平移个单位得到，若，，求的值.
【详解】解：（1）因为
所以
令，解得，即当时函数取得最大值且；
（2）图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到，再将向左平移个单位得到
即，
因为，所以，即，因为，所以，且，所以，所以
9．已知函数．
求函数的单调减区间；
将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
【详解】函数，
当时,解得：，
因此，函数的单调减区间为．
将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，的值域为．
题型四、由图象求三角函数的解析式
10．如图是函数的图象，那么（ C ）
A． B． C． D．
【详解】因为在函数的图象上，所以，，
所以，此时，，又点在函数的图象上，所以，
由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以，.
11．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( D )
A． B．
C． D．
【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
12．函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________．
【详解】由图象可知，，，，三角函数的解析式是
函数的图象过,，把点的坐标代入三角函数的解析式，
，又，，三角函数的解析式是.
题型五、三角函数性质的综合问题
13．将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ C ）
A． B． C． D．
【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为.
14．函数（，）的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则函数的图象（ D ）
A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点对称 D．关于点对称
【详解】因为的最小正周期为，所以，解得，
即，将的图象向左平移个单位后得到
的图象，
因为是偶函数，所以，，即，，
又因为，所以，即，
因为，所以选项A、C错误；
因为，所以函数的图象关于点对称，即选项D正确.
15．已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在区间上不单调，求的取值范围．
【详解】解：（1）由图可知，．
的最小正周期，所以．因为，
所以，，，．又，所以，
故．
（2）由题可知，．当时，．
因为在区间上不单调，所以，解得．故的取值范围为．
跟踪训练答案
1．要得到函数y＝sin（2x+）的图象，只需将函数y＝cos（2x﹣）的图象上所有点（D）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【详解】函数
要得到函数的图象，
只需将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，故选D．
2．为了得到函数的图象，只需将图象上所有点（ D ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度
【详解】纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，可得；再向右平移个单位，可得.
3．把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ B ）
A． B． C． D．
【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则, 所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
4．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（　A　）
A．函数在上单调递增 B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是1
【详解】将横坐标缩短到原来的得： 当时，
在上单调递增 在上单调递增，正确；
的最小正周期为： 不是的周期，错误；
当时，， 关于点对称，错误；
当时， 此时没有最大值，错误.
5．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为(D )．
A． B． C． D．
【详解】由题意可知，因为:当时取得最大值2，
所以:，所以:，解得:，
因为:，所以:可得，可得函数的解析式:．
6．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（ C ）
A． B． C． D．
【详解】根据函数的部分图象，可得：A=1;
因为，，结合五点法作图可得，，．
如果，且，结合，可得，
，，
7．函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（ D ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【详解】由图象可知，，函数的最小正周期为，，
，
，，，得，，
，
因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.
8．若将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，已知函数.）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．在上的最小值是 B．是的一个对称中心
C．在上单调递减 D．的图象关于点对称
【详解】由函数，）的部分图象，
可得且，解得，所以，
又由时，，即，解得，
因为，可得，所以，
所以，
对于A中，当时，可得，
当时，即时，函数取得最小值，所以A正确；
对于B中，当时，可得，
所以点点是的一个对称中心，所以B正确；
对于C中，当时，可得，
此时为先减后增的函数，所以C不正确；
对于D中，当时，可得，
所以是函数的对称中心，所以D正确.
9．（多选）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ BC ）
A． B． C． D．
【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令, 当时，， 解得：，
即函数的解析式为：
. 而
10．（多选）要得到的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ AD ）
A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
【详解】将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin(x)，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin(2x)．
也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x，
再把所得各点向右平行移动个单位长度得到y＝sin2(x)＝sin(2x)．
11．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ AC ）
A．的最小正周期为 B．为偶函数
C．在区间内的最小值为1 D．的图象关于直线对称
【详解】解：由图知，的最小正周期为，结论A正确；
因为，，则．因为为在内的最小零点，则，得，所以，从而不是偶函数，结论B错误；
因为，，结合图像可得在区间内的最小值为1，结论C正确；
因为，则为的零点，不是最值点，结论D错误.
12．已知函数的图象上每个点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为_______.
【详解】解：把函数的图象上每个点向左平移个单位长度，
得到函数的图象，，则，
13．将函数的图像向左平移个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则_________．
【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：， 由函数图象关于原点中心对称，
故，即 所以.
14．(1)利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
列表:
x
y
作图:
(2)并说明该函数图象可由的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数图象的对称轴方程.
【详解】解:（1）先列表,后描点并画图
0
x
y 0 1 0 -1 0
；
（2）把的图象上所有的点向左平移个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到的图象，即的图象；
（3）由，所以函数的对称轴方程是.
15．已知函数的部分图象如图所示：
（I）求的解析式及对称中心坐标；
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位,再将横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,最后将图象向上平移1个单位,得到函数的图象,求函数在上的单调区间及最值．
【详解】解：（I）由图像可知：,可得：
又由于,可得：,所以
由图像知,,又因为
所以,.所以
令(),得：()
所以的对称中心的坐标为()
（II）由已知的图像变换过程可得：
由的图像知函数在上的单调增区间为,
单调减区间
当时,取得最大值2；当时,取得最小值．