广西贺州市昭平县2025年中考二模数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·昭平模拟）中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵“正”和“负”相对，
∴若零上记作，则零下记作．
故答案为：．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．（2025·昭平模拟）2025年2月，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会，下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：图沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，所以它不是轴对称图形，故A不符合题意；
图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以它是轴对称图形，故B符合题意；
图沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，所以它不是轴对称图形，故C不符合题意；
图沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，所以不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
3．（2025·昭平模拟）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1040000000=1.04×109.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．（2025·昭平模拟）甲、乙两人10次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），则对于甲、乙两人成绩方差，的描述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由图可知：乙的成绩更集中，
，
故选：．
【分析】
方差是反映一组数据稳定性的量，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．
5．（2025·昭平模拟）一款西服上标有下列信息：
洗涤说明
以下网袋机洗，不可漂白，低温熨烫，不可干洗，不可曝晒，请勿浸泡
根据信息，关于这款西服的洗涤温度范围，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：根据题意得：
这款西服的洗涤温度范围为：小于，
在数轴上表示如图所示：
，
故选：B．
【分析】
在数轴上表示不等式的解集时注意两点，一是解集的方向，二是空心或实心圆圈的选择．
6．（2025·昭平模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．（a2）3＝a8
C．（3a2b3）2＝9a4b6 D．a8÷a2＝a4
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 a2与a4不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6 故B不符合题意；
C、（3a2b3）2＝9a4b6 ， 故C符合题意；
D、a8÷a2＝a6 ， 故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；积的乘方：先将积中的每一个因式分别进行乘方，再将结果相乘，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
7．（2025·昭平模拟）如图，直线，直线与分别交于点A，B，过点作直线于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；垂线的概念；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵直线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【分析】
如图，由两直线平行同旁内角互补可得，再由平角的概念可得与互余即可．
8．（2025·昭平模拟）小亮设计了一个“配绿色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形．游戏者同时转动两个转盘（规定：指针恰好停在分界线上，则重新转一次），如果转盘A指针指向了黄色，转盘B指针指向了蓝色，那么他就赢了，因为黄色和蓝色在一起配成了绿色．这个游戏中游戏者获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
红 黄
白 （红，白） （黄，白）
蓝 （红，蓝） （黄，蓝）
粉 （红，粉） （黄，粉）
共有6种等可能的结果，其中转盘A转出了黄色，转盘B转出了蓝色的结果有1种，
这个游戏中游戏者获胜的概率是，
故选：D．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表格的方法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
9．（2025·昭平模拟）如图，的弦垂直于，E为垂足，，，且，则圆心O到的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点，分别作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
，
∴
，
，
，
四边形OMEN是正方形
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
如图所示，连接，过点分别作于、于，则四边形是矩形，由于AB=CD，由垂径定理可得CN=AM，又OC=OA，则由HL可证明，所以，即矩形OMEN是正方形，再由垂径定理可得，则即可．
10．（2025·昭平模拟）中国是茶的故乡，茶文化是中国制茶和饮茶的文化．某制茶厂购进580克胎菊和1180克枸杞用于制作甲，乙两种袋装茶，其中甲种茶一袋需添加胎菊3克，枸杞5克，乙种茶一袋需添加胎菊2克，枸杞6克．求制茶厂可制作的甲，乙两种茶的袋数．设制茶厂可制作袋甲种茶，袋乙种茶，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得方程组；
故选：C．
【分析】
设制茶厂可制作袋甲种茶，袋乙种茶， 由等量关系“甲乙两种茶胎菊的和为580，甲乙两种茶枸杞的和为1180”列出方程组即可．
11．（2025·昭平模拟）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025，
∴，
∴，即，
∴是方程的实数根．
故选：D．
【分析】
先由一元二次方程根的定义把代入方程中得到等式，再给等式两边同时除以即可．
12．（2025·昭平模拟）如图1，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，以正方形为模分割为长斜（等腰梯形）、右半斜（直角梯形，后同）、左半斜、小三斜（等腰直角三角形，后同）、大三斜和闰（该图内部分割纵向等距）．取右半斜两张、左半斜两张、小三斜两张，共6张拼成如图2所示的中心对称图形，并放入一个长方形中，若图1中较大正方形的边长为4，则长方形的周长是（ ）
A．15 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【解答】解：如图1，
较大正方形的边长为4，
，
又较大正方形内部分割纵向等距，
，
“右半斜”“左半斜”是上底为1，下底为2，高为1，第四条边为的直角梯形，
“小三斜”是边长为，，2的等腰直角三角形，
在图2中，
由拼图可知，，
在中，，
，
由对称可知，，，
长方形的长
，
，
因此长方形的周长为
故选：D．
【分析】
如图1所示，由于大正方形的边长为4，则由《蝶几图》中各图形的位置关系可分别求出左右半斜的上下底和高和小三斜的两腰、底和高及闰的直角边长；再如图2所示，分别过G作AD和AB的垂线段GE、GT，再过点J作BC的垂线段JK，则三角形GFT显然为等腰直角三角形，其直角边长FG=FT=等于小三斜的底边长，同时得到HK=EF=闰的直角边长，再分别求出矩形ABCD的两邻边AB和AD即可．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025·昭平模拟）若分式 的值为0，则x的值为 .
【答案】4
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由分式 的值为0，则有：
，
∴ ，
故答案为4.
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
14．（2025·昭平模拟）如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正五边形外角和为，
每个外角为：，
同理：正六边形每个外角为：，
因此，
故答案为：．
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是，则可分别求出正五边形和正六边形的一个外角度数，再求和即可．
15．（2025·昭平模拟）光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：，
，
在中，
，
故答案为：．
【分析】
直接解即可．
16．（2025·昭平模拟）如图所示，将两个正方形并列放置，其中，，三点在一条直线上，，，三点在一条直线上，已知，，则阴影部分的面积和是 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
，，
，，
则阴影部分的面积等于，
即，
，
故答案为：．
【分析】
利用割补法可求阴影部分面积，可设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则由题意知，，则阴影部分的面积等于四边形BDFE的面积减去三角形BCF的面积，再利用完全平方公式分别代入计算即可．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·昭平模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
；
当时，
原式．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先计算括号内的算式及乘方，化简绝对值，再计算乘除，最后再加减即可；
（2）整式的化简求值，先利用平方差公式和乘法分配律计算各积，再合并同类项，最后再代入字母的值计算即可．
18．（2025·昭平模拟）某餐厅为了解线上外卖服务中用户的需求，提升服务质量，随机抽取200名外卖用户进行问卷调查，调查问卷如下：
XX餐厅外卖服务满意度调查 1．您对本餐厅外卖服务的整体评价为__________．（单选） A．满意 B．一般 C．不满意 如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题： 2．您认为本餐厅最需要改进的地方为__________．（单选） A．餐品味道 B．配送速度 C．包装质量 D．售后服务
该餐厅相关工作人员将这200份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图：
（1）如果将整体评价中“满意”“一般”“不满意”分别赋分为5分、3分、2分，则该餐厅此次调查中整体评价分数的中位数为__________分，平均数为__________分．
（2）在此次调查中，认为该餐厅最需要在配送速度上进行改进的人数是多少．
（3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖服务提出两条合理的建议．
【答案】（1）5，4.05
（2）解：由扇形统计图可知：“售后服务”所占百分比为，
∴“配送速度”所占百分比为，
∴（人）；
答：认为该餐厅最需要在配送速度上进行改进的人数是80人；
（3）答：由题意可提建议为：①该餐厅需要在外卖配送方面进行优化，提高配送速度；②该餐厅需要改进餐品味道．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由统计图可知：抽取这200名调查人员的中位数是第100和第101位数据和的平均数，即中位数是5分；
平均数为（分）；
故答案为5；4.05；
【分析】
（1）求中位数先要对数据按照从低到高的顺序排序，再取第100名和第101名的平均值即可；求平均数可利用加权平均数的公式计算即可；
（2）观察扇形统计图先得出“配送速度”的百分比，然后可求得B的占比，再乘以样本容量即可；
（3）直接选择满意度评价最低的两项即可.
（1）解：由统计图可知：抽取这200名调查人员的中位数是第100和第101位数据和的平均数，即中位数是5分；
平均数为（分）；
故答案为5；4.05；
（2）解：由扇形统计图可知：“售后服务”所占百分比为，
∴“配送速度”所占百分比为，
∴（人）；
答：认为该餐厅最需要在配送速度上进行改进的人数是80人；
（3）由题意可提建议为：①该餐厅需要在外卖配送方面进行优化，提高配送速度；②该餐厅需要改进餐品味道．
19．（2025·昭平模拟）如图，点是边上一点（不与重合），连接．
（1）尺规作图：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接（要求在图中作出图形，标明字母）；
（2）在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：．
理由：根据作法知，，
四边形是平行四边形，
，即．
又，
四边形是平行四边形，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）尺规作图：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接即可；
（2）由尺规作图方法知AE平行且等于CF，则四边形AECF是平行四边形，则AF//CE．
（1）如图：
（2）解：．
理由：根据作法知，，
四边形是平行四边形，
，即．
又，
四边形是平行四边形，
；
20．（2025·昭平模拟）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
（1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
（2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
【答案】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是该方程的解，
∴，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款个，则购进A款个，
∵A款的数量不小于B款的一半，
，
解得：，
设总利润为元，
则，
，
∴随的增大而增大，
当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，
此时，则，
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用．
（1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据数量、单价、总价三者之间的关系：单价=总价÷数量，代入数据列出关于x的分式方程，解得x的值，即可得出答案；
（2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款个，则购进A款个，
又A款的数量不小于B款的一半，
，
解得：，
设总利润为，则，
，
∴随的增大而增大，
当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，
此时，则，
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
21．（2025·昭平模拟）综合与实践
用硬纸板制作体积最大的无盖纸盒
问题背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计）
实践活动 如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个无盖的长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形
问题解决 （1）求制作的无盖纸盒的底面边的长． （2）写出一个无盖纸盒的体积与之间的函数关系式，并求出当x的值为多少时，单个无盖纸盒的体积最大，最大值为多少
【答案】解：（1）根据题意，得
．
答：边的长为．
（2）根据题意，得．
，，
当时，y有最大值500，
即单个无盖纸盒体积的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）观察图形知正方形BCFE的四条边相等，即BE=BC=20-2x，则2AB=40-2x-BE，再代入计算即可；
（2）由于长方体纸盒的高为x，宽BC=20-2x，长AB=10，则体积y实质是x的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可．
22．（2025·昭平模拟）如图，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵过点作的切线，交的延长线于点，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，再由三角形的外角性质结合等量代换得结论成立；
（2）由（1）知，又是公共角，则可证明，由相似比可得的长，再利用勾股定理可得的长，由于直径所对的圆周角是直角，可解求出的三角函数，从而可得，再由直角三角形两锐角互余可得，从而得，再由切线的性质得到，再解即可．
23．（2025·昭平模拟）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形绕边的中点O顺时针旋转，得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线与直线交于点M．
猜想证明：
（1）如图2，在正方形旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线上时，试判断此时四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）在图1中，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）“善思”小组在认真分析正方形旋转到不同位置时的情形后，提出问题：在正方形旋转过程中，当点A，D，F三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）解：四边形为正方形，理由如下：由旋转可得．
，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
又
，
，
∴四边形为矩形，
又∵O为的中点，
，
∴四边形为正方形；
（2）解：，理由如下：连接，
，
，
，
，
∵四边形和四边形为全等的正方形，
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（3）绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置，①当点A，D，F三点共线且点F在点A左侧时，如下图：
，
∵，，
∴，
∵正方形边长为4，中点为O，的中点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点A，D，F三点共线且点F在点D右侧时，如下图：
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
综上所述：的长或．
【分析】（1）由正方形的性质得，再由旋转性质得，，则，即，则四边形为正方形；
（2）由于CM和FM分别在旋转前后的两个正方形的边上，因此可先探究EM与DM的数量关系，可连接，由中点的概念可得OD、OA、OE均相等，可利用HL证明，则EM=DM，即CM=FM；
（3）如图所示，由于在正方形ABCD绕点O旋转的过程中，点F可能落在射线AD上，也可能落在射线DA上，因此应分两种情况计算，由于是公共角且总有，因此总有，可利用勾股定理先求出线段OF的长，再分别两种情况求出DF的长，则FM可利用相似比求得，进而借助EF的长可求出EM的长．
（1）解：四边形为正方形，理由如下：
由旋转可得．
，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
又
，
，
∴四边形为矩形，
又∵O为的中点，
，
∴四边形为正方形；
（2）解：，理由如下：
连接，
，
，
，
，
∵四边形和四边形为全等的正方形，
（3）解：绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置，
①当点A，D，F三点共线时，如下图：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形边长为4，中点为O，的中点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点A，D，F三点共线时，如下图：
，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
综上所述：的长或．
1 / 1广西贺州市昭平县2025年中考二模数学试题
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025·昭平模拟）中国空间站位于距离地面约的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上，其背阳面温度可低于零下．若零上记作，则零下记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·昭平模拟）2025年2月，哈尔滨举办第九届亚洲冬季运动会，下面关于冬季运动会的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·昭平模拟）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五．将数据1040000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·昭平模拟）甲、乙两人10次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），则对于甲、乙两人成绩方差，的描述正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（2025·昭平模拟）一款西服上标有下列信息：
洗涤说明
以下网袋机洗，不可漂白，低温熨烫，不可干洗，不可曝晒，请勿浸泡
根据信息，关于这款西服的洗涤温度范围，在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·昭平模拟）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a6 B．（a2）3＝a8
C．（3a2b3）2＝9a4b6 D．a8÷a2＝a4
7．（2025·昭平模拟）如图，直线，直线与分别交于点A，B，过点作直线于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·昭平模拟）小亮设计了一个“配绿色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形．游戏者同时转动两个转盘（规定：指针恰好停在分界线上，则重新转一次），如果转盘A指针指向了黄色，转盘B指针指向了蓝色，那么他就赢了，因为黄色和蓝色在一起配成了绿色．这个游戏中游戏者获胜的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·昭平模拟）如图，的弦垂直于，E为垂足，，，且，则圆心O到的距离是（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2025·昭平模拟）中国是茶的故乡，茶文化是中国制茶和饮茶的文化．某制茶厂购进580克胎菊和1180克枸杞用于制作甲，乙两种袋装茶，其中甲种茶一袋需添加胎菊3克，枸杞5克，乙种茶一袋需添加胎菊2克，枸杞6克．求制茶厂可制作的甲，乙两种茶的袋数．设制茶厂可制作袋甲种茶，袋乙种茶，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025·昭平模拟）若关于的一元二次方程的一个实数根为2025，则方程一定有实数根（ ）
A．1 B． C． D．
12．（2025·昭平模拟）如图1，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，以正方形为模分割为长斜（等腰梯形）、右半斜（直角梯形，后同）、左半斜、小三斜（等腰直角三角形，后同）、大三斜和闰（该图内部分割纵向等距）．取右半斜两张、左半斜两张、小三斜两张，共6张拼成如图2所示的中心对称图形，并放入一个长方形中，若图1中较大正方形的边长为4，则长方形的周长是（ ）
A．15 B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．）
13．（2025·昭平模拟）若分式 的值为0，则x的值为 .
14．（2025·昭平模拟）如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为 ．
15．（2025·昭平模拟）光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
16．（2025·昭平模拟）如图所示，将两个正方形并列放置，其中，，三点在一条直线上，，，三点在一条直线上，已知，，则阴影部分的面积和是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·昭平模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·昭平模拟）某餐厅为了解线上外卖服务中用户的需求，提升服务质量，随机抽取200名外卖用户进行问卷调查，调查问卷如下：
XX餐厅外卖服务满意度调查 1．您对本餐厅外卖服务的整体评价为__________．（单选） A．满意 B．一般 C．不满意 如果您对本餐厅外卖服务的整体评价为“一般”或“不满意”，请回答第2个问题： 2．您认为本餐厅最需要改进的地方为__________．（单选） A．餐品味道 B．配送速度 C．包装质量 D．售后服务
该餐厅相关工作人员将这200份调查问卷的结果整理后，制成如下统计图：
（1）如果将整体评价中“满意”“一般”“不满意”分别赋分为5分、3分、2分，则该餐厅此次调查中整体评价分数的中位数为__________分，平均数为__________分．
（2）在此次调查中，认为该餐厅最需要在配送速度上进行改进的人数是多少．
（3）请你根据此次调查结果，对该餐厅外卖服务提出两条合理的建议．
19．（2025·昭平模拟）如图，点是边上一点（不与重合），连接．
（1）尺规作图：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接（要求在图中作出图形，标明字母）；
（2）在（1）的基础上，判断与的位置关系，并说明理由．
20．（2025·昭平模拟）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
（1）问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
（2）小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
21．（2025·昭平模拟）综合与实践
用硬纸板制作体积最大的无盖纸盒
问题背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个无盖的长方体纸盒（接头处忽略不计）
实践活动 如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个无盖的长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形
问题解决 （1）求制作的无盖纸盒的底面边的长． （2）写出一个无盖纸盒的体积与之间的函数关系式，并求出当x的值为多少时，单个无盖纸盒的体积最大，最大值为多少
22．（2025·昭平模拟）如图，是的直径，，过点作的切线，交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．（2025·昭平模拟）综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师带领同学们以正方形为背景探索几何图形变化中的数学结论．如图1，将边长为4的正方形绕边的中点O顺时针旋转，得到正方形，点A，B，C，D的对应点分别为点E，F，G，H，直线与直线交于点M．
猜想证明：
（1）如图2，在正方形旋转过程中，当点A的对应点E恰好落在对角线上时，试判断此时四边形的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）在图1中，猜想线段与的数量关系，并说明理由；
（3）“善思”小组在认真分析正方形旋转到不同位置时的情形后，提出问题：在正方形旋转过程中，当点A，D，F三点共线时，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵“正”和“负”相对，
∴若零上记作，则零下记作．
故答案为：．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：图沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，所以它不是轴对称图形，故A不符合题意；
图沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以它是轴对称图形，故B符合题意；
图沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，所以它不是轴对称图形，故C不符合题意；
图沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，所以不是轴对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1040000000=1.04×109.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
4．【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：由图可知：乙的成绩更集中，
，
故选：．
【分析】
方差是反映一组数据稳定性的量，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小．只有当两组数据的平均数相等或接近时，才能用方差比较它们波动的大小．
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：根据题意得：
这款西服的洗涤温度范围为：小于，
在数轴上表示如图所示：
，
故选：B．
【分析】
在数轴上表示不等式的解集时注意两点，一是解集的方向，二是空心或实心圆圈的选择．
6．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 a2与a4不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（a2）3＝a6 故B不符合题意；
C、（3a2b3）2＝9a4b6 ， 故C符合题意；
D、a8÷a2＝a6 ， 故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；积的乘方：先将积中的每一个因式分别进行乘方，再将结果相乘，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
7．【答案】D
【知识点】角的运算；垂线的概念；两直线平行，同位角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵直线于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选：D．
【分析】
如图，由两直线平行同旁内角互补可得，再由平角的概念可得与互余即可．
8．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
红 黄
白 （红，白） （黄，白）
蓝 （红，蓝） （黄，蓝）
粉 （红，粉） （黄，粉）
共有6种等可能的结果，其中转盘A转出了黄色，转盘B转出了蓝色的结果有1种，
这个游戏中游戏者获胜的概率是，
故选：D．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表格的方法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，过点，分别作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
，
∴
，
，
，
四边形OMEN是正方形
，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
如图所示，连接，过点分别作于、于，则四边形是矩形，由于AB=CD，由垂径定理可得CN=AM，又OC=OA，则由HL可证明，所以，即矩形OMEN是正方形，再由垂径定理可得，则即可．
10．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得方程组；
故选：C．
【分析】
设制茶厂可制作袋甲种茶，袋乙种茶， 由等量关系“甲乙两种茶胎菊的和为580，甲乙两种茶枸杞的和为1180”列出方程组即可．
11．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程的一个实数根为2025，
∴，
∴，即，
∴是方程的实数根．
故选：D．
【分析】
先由一元二次方程根的定义把代入方程中得到等式，再给等式两边同时除以即可．
12．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；利用轴对称、旋转、平移设计图案
【解析】【解答】解：如图1，
较大正方形的边长为4，
，
又较大正方形内部分割纵向等距，
，
“右半斜”“左半斜”是上底为1，下底为2，高为1，第四条边为的直角梯形，
“小三斜”是边长为，，2的等腰直角三角形，
在图2中，
由拼图可知，，
在中，，
，
由对称可知，，，
长方形的长
，
，
因此长方形的周长为
故选：D．
【分析】
如图1所示，由于大正方形的边长为4，则由《蝶几图》中各图形的位置关系可分别求出左右半斜的上下底和高和小三斜的两腰、底和高及闰的直角边长；再如图2所示，分别过G作AD和AB的垂线段GE、GT，再过点J作BC的垂线段JK，则三角形GFT显然为等腰直角三角形，其直角边长FG=FT=等于小三斜的底边长，同时得到HK=EF=闰的直角边长，再分别求出矩形ABCD的两邻边AB和AD即可．
13．【答案】4
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由分式 的值为0，则有：
，
∴ ，
故答案为4.
【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.
14．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正五边形外角和为，
每个外角为：，
同理：正六边形每个外角为：，
因此，
故答案为：．
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是，则可分别求出正五边形和正六边形的一个外角度数，再求和即可．
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：，
，
在中，
，
故答案为：．
【分析】
直接解即可．
16．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
，，
，，
则阴影部分的面积等于，
即，
，
故答案为：．
【分析】
利用割补法可求阴影部分面积，可设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则由题意知，，则阴影部分的面积等于四边形BDFE的面积减去三角形BCF的面积，再利用完全平方公式分别代入计算即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
；
当时，
原式．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；有理数混合运算法则（含乘方）；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先计算括号内的算式及乘方，化简绝对值，再计算乘除，最后再加减即可；
（2）整式的化简求值，先利用平方差公式和乘法分配律计算各积，再合并同类项，最后再代入字母的值计算即可．
18．【答案】（1）5，4.05
（2）解：由扇形统计图可知：“售后服务”所占百分比为，
∴“配送速度”所占百分比为，
∴（人）；
答：认为该餐厅最需要在配送速度上进行改进的人数是80人；
（3）答：由题意可提建议为：①该餐厅需要在外卖配送方面进行优化，提高配送速度；②该餐厅需要改进餐品味道．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：由统计图可知：抽取这200名调查人员的中位数是第100和第101位数据和的平均数，即中位数是5分；
平均数为（分）；
故答案为5；4.05；
【分析】
（1）求中位数先要对数据按照从低到高的顺序排序，再取第100名和第101名的平均值即可；求平均数可利用加权平均数的公式计算即可；
（2）观察扇形统计图先得出“配送速度”的百分比，然后可求得B的占比，再乘以样本容量即可；
（3）直接选择满意度评价最低的两项即可.
（1）解：由统计图可知：抽取这200名调查人员的中位数是第100和第101位数据和的平均数，即中位数是5分；
平均数为（分）；
故答案为5；4.05；
（2）解：由扇形统计图可知：“售后服务”所占百分比为，
∴“配送速度”所占百分比为，
∴（人）；
答：认为该餐厅最需要在配送速度上进行改进的人数是80人；
（3）由题意可提建议为：①该餐厅需要在外卖配送方面进行优化，提高配送速度；②该餐厅需要改进餐品味道．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：．
理由：根据作法知，，
四边形是平行四边形，
，即．
又，
四边形是平行四边形，
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）尺规作图：以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接即可；
（2）由尺规作图方法知AE平行且等于CF，则四边形AECF是平行四边形，则AF//CE．
（1）如图：
（2）解：．
理由：根据作法知，，
四边形是平行四边形，
，即．
又，
四边形是平行四边形，
；
20．【答案】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是该方程的解，
∴，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款个，则购进A款个，
∵A款的数量不小于B款的一半，
，
解得：，
设总利润为元，
则，
，
∴随的增大而增大，
当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，
此时，则，
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用．
（1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据数量、单价、总价三者之间的关系：单价=总价÷数量，代入数据列出关于x的分式方程，解得x的值，即可得出答案；
（2）设购进B款个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可．
（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款个，则购进A款个，
又A款的数量不小于B款的一半，
，
解得：，
设总利润为，则，
，
∴随的增大而增大，
当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，
此时，则，
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
21．【答案】解：（1）根据题意，得
．
答：边的长为．
（2）根据题意，得．
，，
当时，y有最大值500，
即单个无盖纸盒体积的最大值为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）观察图形知正方形BCFE的四条边相等，即BE=BC=20-2x，则2AB=40-2x-BE，再代入计算即可；
（2）由于长方体纸盒的高为x，宽BC=20-2x，长AB=10，则体积y实质是x的二次函数，再根据二次函数的性质求解即可．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵过点作的切线，交的延长线于点，
∴，
∴．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，再由三角形的外角性质结合等量代换得结论成立；
（2）由（1）知，又是公共角，则可证明，由相似比可得的长，再利用勾股定理可得的长，由于直径所对的圆周角是直角，可解求出的三角函数，从而可得，再由直角三角形两锐角互余可得，从而得，再由切线的性质得到，再解即可．
23．【答案】（1）解：四边形为正方形，理由如下：由旋转可得．
，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
又
，
，
∴四边形为矩形，
又∵O为的中点，
，
∴四边形为正方形；
（2）解：，理由如下：连接，
，
，
，
，
∵四边形和四边形为全等的正方形，
（3）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（3）绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置，①当点A，D，F三点共线且点F在点A左侧时，如下图：
，
∵，，
∴，
∵正方形边长为4，中点为O，的中点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点A，D，F三点共线且点F在点D右侧时，如下图：
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
综上所述：的长或．
【分析】（1）由正方形的性质得，再由旋转性质得，，则，即，则四边形为正方形；
（2）由于CM和FM分别在旋转前后的两个正方形的边上，因此可先探究EM与DM的数量关系，可连接，由中点的概念可得OD、OA、OE均相等，可利用HL证明，则EM=DM，即CM=FM；
（3）如图所示，由于在正方形ABCD绕点O旋转的过程中，点F可能落在射线AD上，也可能落在射线DA上，因此应分两种情况计算，由于是公共角且总有，因此总有，可利用勾股定理先求出线段OF的长，再分别两种情况求出DF的长，则FM可利用相似比求得，进而借助EF的长可求出EM的长．
（1）解：四边形为正方形，理由如下：
由旋转可得．
，
∵四边形和四边形都是正方形，
，
，
又
，
，
∴四边形为矩形，
又∵O为的中点，
，
∴四边形为正方形；
（2）解：，理由如下：
连接，
，
，
，
，
∵四边形和四边形为全等的正方形，
（3）解：绕点O旋转到点B的对应点F落到直线上，点F的位置确定，根据旋转的性质可以确定点E的位置，
①当点A，D，F三点共线时，如下图：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形边长为4，中点为O，的中点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点A，D，F三点共线时，如下图：
，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
综上所述：的长或．
1 / 1
