章末综合测评2 直线和圆的方程（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册
文档属性
| 名称 | 章末综合测评2 直线和圆的方程（含解析）高中数学人教A版（2019）选择性必修 第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 101.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-03 18:20:07 | ||
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文档简介
章末综合测评(二) 直线和圆的方程
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l1过点A(2，5)且与直线l2：2x＋y－4＝0平行，则直线l1的一般式方程为( )
A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．x＋2y＋9＝0 D．x＋2y－9＝0
2．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
3．(教材原题·P80习题2.3T14改编)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A．－ B．－或－
C．
4．(2024·全国甲卷)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
5．已知圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的公切线有且只有一条，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－5 D．－1或5
6．已知圆C：x2＋(y－2)2＝16．若动点M在直线y＋6＝0上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点N，则点N的坐标为( )
A．(－1，－1) B．(0，0)
C．(1，1) D．(0，6)
7．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0距离为的点有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．无数个
8．设直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋1＝0，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使∠PMQ＝120°，则m的取值范围为( )
A．[－18，4]
B．[－16，4]
C．[－6－5，－6＋5]
D．[6－5，6＋5]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于直线l：x＝my＋1，下列说法正确的是( )
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l斜率可以不存在
C．m＝时，直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时，直线l在y轴上的截距为0.5
10．已知三条直线l1：ax＋y－3＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x－y－5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是( )
A．－2 B．1
C．2 D．3
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系Oxy中，A(2，2)，B(－4，2)，点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．C的方程为x2＋y2－8x－4y＋4＝0
B．在C上存在点M到点(－3，－2)的距离为4
C．C上的点到直线3x－4y＋6＝0的最大距离为6
D．过点B作直线l，若C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线l过点P(，－1)，其倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，则直线l的方程为________．
13．在平面直角坐标系Oxy中，直线l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点________，以点(1，0)为圆心且与直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
14．设直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，则实数a的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知点P(－1，2)，求满足下列条件的直线l的一般方程．
(1)经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；
(2)经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
16．(15分)在①过点C(2，0)；②圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆G经过点A(0，0)，B(1，1)，且________．
(1)求圆G的一般方程；
(2)设P是圆G上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．(15分)(教材原题·P99习题2.5T15)已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．
(1)画出以PQ为直径，点Q′为圆心的圆，再求出圆O′的方程；
(2)设圆Q与圆Q′相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
18．(17分)已知圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0和圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r＞0)．
(1)若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，且＝4，O为坐标原点，求实数k的值．
19．(17分)已知点P(1，3)，圆O：x2＋y2＝4．直线l与圆O相交于A，B两点，|AB|＝2．
(1)若直线l过点P，求直线l的方程；
(2)①若线段AB的中点为D，求点D的轨迹C的方程；
②过点P作直线m与曲线C交于两点M，N，设Q(1，0)，QM，QN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值．
章末综合测评(二)
1．B [直线l1与直线l2：2x＋y－4＝0平行，
则直线l1的斜率为－2，直线l1过点A(2，5)，
则y－5＝－2(x－2)，即2x＋y－9＝0．
故选B．]
2．C [直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，
则2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2．
当m＝－3时，此时直线l1：2x－2y＋4＝0与直线l2：－3x＋3y－2＝0平行；
当m＝2时，此时直线l1：2x＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋3y－2＝0平行，故m＝－3或m＝2．
故选C．]
3．(教材原题·P80习题2.3T14)
B [由题意知点A和点B到直线l的距离相等，得到，化简解得a＝－．故选B．]
4．C [设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得
|PC|＝|xP－xC|＝1，
所以|AB|＝2＝4，故选C．]
5．C [圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0的圆心C1(a，－1)，半径r1＝1，
圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的圆心C2(－2，3)，半径r2＝6，
由两圆有且只有一条公切线，可知两圆内切，所以|C1C2|＝r2－r1＝5，即＝5，解得a＝1或a＝－5．
故选C．]
6．B [圆C的圆心为C(0，2)，半径为r＝4．因为MA，MB是☉C的两条切线，所以CA⊥MA，CB⊥MB．设点M的坐标为(a，－6)，因为∠MAC＝∠MBC＝90°，所以M，A，C，B四点共圆，且以MC为直径，该圆的方程为x(x－a)＋(y＋6)(y－2)＝0，又圆C的方程为x2＋(y－2)2＝16，所以两圆方程相减得－ax＋8y＝0，即直线AB的方程为－ax＋8y＝0，所以直线AB恒过定点(0，0)．]
7．B [圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，∴圆心坐标是(－1，－2)，半径是2．∵圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点，∴共有3个点．故选B．]
8．B [直线l：3x＋4y＋m＝0上任意一点M，点P，Q是圆C上两点，
当PM，QM分别与圆C相切时，∠PMQ最大，
需M运动到与圆心C之间的距离最小，即CM⊥l时，∠PMQ最大，
圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心C(2，0)，半径为，
由点到直线的距离公式，得圆心到直线l的距离d＝，
在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使∠PMQ＝120°时，此时圆的圆心到直线的距离为2，在直线l上存在点M，此距离小于等于2，d＝≤2，解得－16≤m≤4，
∴m的取值范围为[－16，4]．
故选B．]
9．AB [对于A，直线l：x＝my＋1，令y＝0，则x＝1，所以直线l过定点(1，0)，故A正确；对于B，当m＝0时，直线l：x＝1，此时斜率不存在，故B正确；
对于C，当m＝时，直线l：x＝y＋1，所以直线l的斜率为，倾斜角为30°，故C错误；对于D，当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，令x＝0，得y＝－0.5，即直线l在y轴上的截距为－0.5，故D错误．故选AB．]
10．ABC [若l1，l2，l3中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若l1∥l2，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝1；
若l1∥l3，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝－2；
联立l2，l3可得可知l2，l3的交点为(2，－1)，
若l1，l2，l3交于同一点，可得a＝2．故选ABC．]
11．ACD [设P(x，y)，则，
化简得x2＋y2－8x－4y＋4＝0，选项A正确；
将圆C的方程化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝16，则圆心为(4，2)，半径为4，则圆上的点到点(－3，－2)的最小距离为－4>4，则在圆C上不存在点M到点(－3，－2)的距离为4，选项B错误；C上的点到直线3x－4y＋6＝0的最大距离为圆心到直线3x－4y＋6＝0的距离加半径，即＋4＝6，选项C正确；
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋2＝0，由于圆C的半径为4，则要使C上恰有三个点到直线l的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即＝2，解得k＝±，选项D正确．故选ACD．]
12．x－y－4＝0 [因为直线y＝－，可得其倾斜角为，
由题意可得直线l的倾斜角为，其斜率为k＝tan，
又直线l过点P(，－1)，
所以直线l的方程为y＋1＝(x－)，
即x－y－4＝0．]
13．(2，－1) (x－1)2＋y2＝2 [根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m(x－2)＝y＋1．
由即直线l经过定点(2，－1)，记点(2，－1)，(1，0)分别为点M，点C，
则|MC|＝．
以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝|MC|＝．
故半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．]
14．1 [直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，
由三角形的面积公式可得S△ABC＝×42sin∠ACB＝8，
得sin∠ACB＝1，由0<∠ACB<π，得∠ACB＝，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以圆心C(0，2)到直线x＋ay＋2＝0的距离为d＝4sin，
由点到直线的距离公式得d＝，解得a＝1．]
15．解：(1)若直线l经过原点，则方程为y＝x＝－2x，即2x＋y＝0．若直线l不经过原点，可设方程为＝1，把点P(－1，2)代入可得＝1，解得a＝－，方程为－2x－＝1，即4x＋y＋2＝0．
综上可得直线l的一般方程为2x＋y＝0或4x＋y＋2＝0．
(2)设直线l的方程为＝1，把点P(－1，2)代入可得＝1，又，则ab＝±1，
联立
∴直线l的一般方程为x＋y－1＝0或4x＋y＋2＝0．
16．解：(1)方案一：选条件①．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则
则圆G的一般方程为x2＋y2－2x＝0．
方案二：选条件②．
直线mx－y－m＝0恒过点(1，0)．
因为圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，所以mx－y－m＝0恒过圆心，所以圆心坐标为(1，0)，
又圆G经过点A(0，0)，所以圆的半径r＝1，所以圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
方案三：选条件③．
设圆G的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意可得
则圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
(2)设M(x，y)．
因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y)，
因为点P是圆G上的动点，所以(2x)2＋(2y)2－2×2x＝0，即x2＋y2－x＝0，所以M的轨迹方程为x2＋y2－x＝0．
17．(教材原题·P99习题2.5T15)
解：(1)如图，因为P(－2，－3)，Q(4，2)是以点Q'为圆心的圆的直径的两个端点，因此以点Q'为圆心的圆的方程是(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0．
(2)PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
因为PQ是圆Q'的直径，且A，B是圆Q和圆Q'的交点，所以PA⊥AQ，PB⊥BQ．
所以PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
(3)两圆方程(x－4)2＋(y－2)2＝9，x2＋y2－2x＋y－14＝0相减，得6x＋5y－25＝0，即为直线AB的方程．
18．解：(1)圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0化为标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，则圆心C1(－3，1)，r1＝2，
圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r>0)化为标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2(r>0)，则圆心C2(4，5)，r2＝r，
所以|C1C2|＝．
因为圆C1与圆C2相交，所以|r1－r2|<|C1C2|即|r－2|<所以r的取值范围为(－2，＋2)．
(2)已知直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得
(1＋k2)x2＋6x＋5＝0，
由Δ＝36－20(1＋k2)＝16－20k2>0，
得k∈，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋6＝4，解得k＝，
因为k∈，所以k＝．
19．解：(1)圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，
若直线l的斜率不存在，即直线l：x＝1，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，
∴直线l的方程为4x－3y＋5＝0．
综上，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0．
(2)①若线段AB的中点为D，可得OD⊥AB，即|OD|＝d＝1，
可知点D的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝1．
②证明：由(1)可知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即y＝kx＋(3－k)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程消去y可得(k2＋1)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－1＝0，
则Δ＝4k2(k－3)2－4(k2＋1)[(k－3)2－1]>0，解得k>，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
则k1＋k2＝
＝2k＋＝2k＋＝2k－．
∴k1＋k2为定值．
4/5
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l1过点A(2，5)且与直线l2：2x＋y－4＝0平行，则直线l1的一般式方程为( )
A．2x＋y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．x＋2y＋9＝0 D．x＋2y－9＝0
2．若直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
3．(教材原题·P80习题2.3T14改编)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A．－ B．－或－
C．
4．(2024·全国甲卷)已知直线ax＋y＋2－a＝0与圆C：x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
5．已知圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的公切线有且只有一条，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．1或－5 D．－1或5
6．已知圆C：x2＋(y－2)2＝16．若动点M在直线y＋6＝0上，过点M引圆C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点N，则点N的坐标为( )
A．(－1，－1) B．(0，0)
C．(1，1) D．(0，6)
7．圆C：x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0距离为的点有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．无数个
8．设直线l：3x＋4y＋m＝0，圆C：x2＋y2－4x＋1＝0，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使∠PMQ＝120°，则m的取值范围为( )
A．[－18，4]
B．[－16，4]
C．[－6－5，－6＋5]
D．[6－5，6＋5]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．对于直线l：x＝my＋1，下列说法正确的是( )
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l斜率可以不存在
C．m＝时，直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时，直线l在y轴上的截距为0.5
10．已知三条直线l1：ax＋y－3＝0，l2：x＋y－1＝0，l3：2x－y－5＝0不能围成一个封闭图形，则实数a的值可以是( )
A．－2 B．1
C．2 D．3
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系Oxy中，A(2，2)，B(－4，2)，点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．C的方程为x2＋y2－8x－4y＋4＝0
B．在C上存在点M到点(－3，－2)的距离为4
C．C上的点到直线3x－4y＋6＝0的最大距离为6
D．过点B作直线l，若C上恰有三个点到直线l的距离为2，则该直线的斜率为±
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．直线l过点P(，－1)，其倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，则直线l的方程为________．
13．在平面直角坐标系Oxy中，直线l：mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点________，以点(1，0)为圆心且与直线l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
14．设直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，则实数a的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)已知点P(－1，2)，求满足下列条件的直线l的一般方程．
(1)经过点P，且在y轴上的截距是x轴上截距的4倍；
(2)经过点P，且与坐标轴围成的三角形的面积为．
16．(15分)在①过点C(2，0)；②圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分；③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知圆G经过点A(0，0)，B(1，1)，且________．
(1)求圆G的一般方程；
(2)设P是圆G上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．(15分)(教材原题·P99习题2.5T15)已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9．
(1)画出以PQ为直径，点Q′为圆心的圆，再求出圆O′的方程；
(2)设圆Q与圆Q′相交于A，B两点，直线PA，PB是圆Q的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
18．(17分)已知圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0和圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r＞0)．
(1)若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；
(2)若直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，且＝4，O为坐标原点，求实数k的值．
19．(17分)已知点P(1，3)，圆O：x2＋y2＝4．直线l与圆O相交于A，B两点，|AB|＝2．
(1)若直线l过点P，求直线l的方程；
(2)①若线段AB的中点为D，求点D的轨迹C的方程；
②过点P作直线m与曲线C交于两点M，N，设Q(1，0)，QM，QN的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2为定值．
章末综合测评(二)
1．B [直线l1与直线l2：2x＋y－4＝0平行，
则直线l1的斜率为－2，直线l1过点A(2，5)，
则y－5＝－2(x－2)，即2x＋y－9＝0．
故选B．]
2．C [直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，
则2×3－m(m＋1)＝0，解得m＝－3或m＝2．
当m＝－3时，此时直线l1：2x－2y＋4＝0与直线l2：－3x＋3y－2＝0平行；
当m＝2时，此时直线l1：2x＋3y＋4＝0与直线l2：2x＋3y－2＝0平行，故m＝－3或m＝2．
故选C．]
3．(教材原题·P80习题2.3T14)
B [由题意知点A和点B到直线l的距离相等，得到，化简解得a＝－．故选B．]
4．C [设直线为l：ax＋y＋2－a＝0，即l：a(x－1)＋y＋2＝0，易知l过定点P(1，－2)，圆C的标准方程为x2＋(y＋2)2＝5，所以圆心为C(0，－2)，半径为，且点P在圆C内．因为当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时|AB|取得最小值，易得
|PC|＝|xP－xC|＝1，
所以|AB|＝2＝4，故选C．]
5．C [圆C1：x2＋y2－2ax＋2y＋a2＝0的圆心C1(a，－1)，半径r1＝1，
圆C2：x2＋y2＋4x－6y－23＝0的圆心C2(－2，3)，半径r2＝6，
由两圆有且只有一条公切线，可知两圆内切，所以|C1C2|＝r2－r1＝5，即＝5，解得a＝1或a＝－5．
故选C．]
6．B [圆C的圆心为C(0，2)，半径为r＝4．因为MA，MB是☉C的两条切线，所以CA⊥MA，CB⊥MB．设点M的坐标为(a，－6)，因为∠MAC＝∠MBC＝90°，所以M，A，C，B四点共圆，且以MC为直径，该圆的方程为x(x－a)＋(y＋6)(y－2)＝0，又圆C的方程为x2＋(y－2)2＝16，所以两圆方程相减得－ax＋8y＝0，即直线AB的方程为－ax＋8y＝0，所以直线AB恒过定点(0，0)．]
7．B [圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，∴圆心坐标是(－1，－2)，半径是2．∵圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝，∴过圆心平行于直线x＋y＋1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x＋y＋1＝0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点，∴共有3个点．故选B．]
8．B [直线l：3x＋4y＋m＝0上任意一点M，点P，Q是圆C上两点，
当PM，QM分别与圆C相切时，∠PMQ最大，
需M运动到与圆心C之间的距离最小，即CM⊥l时，∠PMQ最大，
圆C：x2＋y2－4x＋1＝0的圆心C(2，0)，半径为，
由点到直线的距离公式，得圆心到直线l的距离d＝，
在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在点M，使∠PMQ＝120°时，此时圆的圆心到直线的距离为2，在直线l上存在点M，此距离小于等于2，d＝≤2，解得－16≤m≤4，
∴m的取值范围为[－16，4]．
故选B．]
9．AB [对于A，直线l：x＝my＋1，令y＝0，则x＝1，所以直线l过定点(1，0)，故A正确；对于B，当m＝0时，直线l：x＝1，此时斜率不存在，故B正确；
对于C，当m＝时，直线l：x＝y＋1，所以直线l的斜率为，倾斜角为30°，故C错误；对于D，当m＝2时，直线l：x＝2y＋1，令x＝0，得y＝－0.5，即直线l在y轴上的截距为－0.5，故D错误．故选AB．]
10．ABC [若l1，l2，l3中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若l1∥l2，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝1；
若l1∥l3，由两直线平行与斜率之间的关系可得a＝－2；
联立l2，l3可得可知l2，l3的交点为(2，－1)，
若l1，l2，l3交于同一点，可得a＝2．故选ABC．]
11．ACD [设P(x，y)，则，
化简得x2＋y2－8x－4y＋4＝0，选项A正确；
将圆C的方程化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝16，则圆心为(4，2)，半径为4，则圆上的点到点(－3，－2)的最小距离为－4>4，则在圆C上不存在点M到点(－3，－2)的距离为4，选项B错误；C上的点到直线3x－4y＋6＝0的最大距离为圆心到直线3x－4y＋6＝0的距离加半径，即＋4＝6，选项C正确；
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋2＝0，由于圆C的半径为4，则要使C上恰有三个点到直线l的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即＝2，解得k＝±，选项D正确．故选ACD．]
12．x－y－4＝0 [因为直线y＝－，可得其倾斜角为，
由题意可得直线l的倾斜角为，其斜率为k＝tan，
又直线l过点P(，－1)，
所以直线l的方程为y＋1＝(x－)，
即x－y－4＝0．]
13．(2，－1) (x－1)2＋y2＝2 [根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m(x－2)＝y＋1．
由即直线l经过定点(2，－1)，记点(2，－1)，(1，0)分别为点M，点C，
则|MC|＝．
以点(1，0)为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝|MC|＝．
故半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2．]
14．1 [直线x＋ay＋2＝0与圆C：x2＋(y－2)2＝16相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，
由三角形的面积公式可得S△ABC＝×42sin∠ACB＝8，
得sin∠ACB＝1，由0<∠ACB<π，得∠ACB＝，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以圆心C(0，2)到直线x＋ay＋2＝0的距离为d＝4sin，
由点到直线的距离公式得d＝，解得a＝1．]
15．解：(1)若直线l经过原点，则方程为y＝x＝－2x，即2x＋y＝0．若直线l不经过原点，可设方程为＝1，把点P(－1，2)代入可得＝1，解得a＝－，方程为－2x－＝1，即4x＋y＋2＝0．
综上可得直线l的一般方程为2x＋y＝0或4x＋y＋2＝0．
(2)设直线l的方程为＝1，把点P(－1，2)代入可得＝1，又，则ab＝±1，
联立
∴直线l的一般方程为x＋y－1＝0或4x＋y＋2＝0．
16．解：(1)方案一：选条件①．
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则
则圆G的一般方程为x2＋y2－2x＝0．
方案二：选条件②．
直线mx－y－m＝0恒过点(1，0)．
因为圆G恒被直线mx－y－m＝0(m∈R)平分，所以mx－y－m＝0恒过圆心，所以圆心坐标为(1，0)，
又圆G经过点A(0，0)，所以圆的半径r＝1，所以圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
方案三：选条件③．
设圆G的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意可得
则圆G的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，一般方程为x2＋y2－2x＝0．
(2)设M(x，y)．
因为M为线段AP的中点，所以P(2x，2y)，
因为点P是圆G上的动点，所以(2x)2＋(2y)2－2×2x＝0，即x2＋y2－x＝0，所以M的轨迹方程为x2＋y2－x＝0．
17．(教材原题·P99习题2.5T15)
解：(1)如图，因为P(－2，－3)，Q(4，2)是以点Q'为圆心的圆的直径的两个端点，因此以点Q'为圆心的圆的方程是(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0．
(2)PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
因为PQ是圆Q'的直径，且A，B是圆Q和圆Q'的交点，所以PA⊥AQ，PB⊥BQ．
所以PA，PB是圆(x－4)2＋(y－2)2＝9的切线．
(3)两圆方程(x－4)2＋(y－2)2＝9，x2＋y2－2x＋y－14＝0相减，得6x＋5y－25＝0，即为直线AB的方程．
18．解：(1)圆C1：x2＋y2＋6x－2y＋6＝0化为标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝4，则圆心C1(－3，1)，r1＝2，
圆C2：x2＋y2－8x－10y＋41－r2＝0(r>0)化为标准方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2(r>0)，则圆心C2(4，5)，r2＝r，
所以|C1C2|＝．
因为圆C1与圆C2相交，所以|r1－r2|<|C1C2|
(2)已知直线l：y＝kx＋1与圆C1交于P，Q两点，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得
(1＋k2)x2＋6x＋5＝0，
由Δ＝36－20(1＋k2)＝16－20k2>0，
得k∈，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋6＝4，解得k＝，
因为k∈，所以k＝．
19．解：(1)圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，
若直线l的斜率不存在，即直线l：x＝1，满足题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0，
则圆心O到直线l的距离d＝＝1，解得k＝，
∴直线l的方程为4x－3y＋5＝0．
综上，直线l的方程为x＝1或4x－3y＋5＝0．
(2)①若线段AB的中点为D，可得OD⊥AB，即|OD|＝d＝1，
可知点D的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，
∴点D的轨迹C的方程为x2＋y2＝1．
②证明：由(1)可知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－3＝k(x－1)，即y＝kx＋(3－k)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程消去y可得(k2＋1)x2－2k(k－3)x＋(k－3)2－1＝0，
则Δ＝4k2(k－3)2－4(k2＋1)[(k－3)2－1]>0，解得k>，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
则k1＋k2＝
＝2k＋＝2k＋＝2k－．
∴k1＋k2为定值．
4/5