6.2.1 向量的加法运算
1.在四边形ABCD中，＋＋＝（ ）
A. B. C. D.
2.（2024·龙岩月考）已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量a＋b的方向（ ）
A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同 D.不确定
3.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示（ ）
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行（1＋）km
4.（2024·中山月考）在矩形ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝2，则向量＋＋的长度为（ ）
A.2 B.4
C.12 D.6
5.（多选）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有（ ）
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
6.（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A.＋＝
B.＋＋＝
C.＋＋＝
D.＋＋＝0
7.已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，则a＋b＋c＋d＝ .
8.（2024·舟山月考）在边长为1的等边三角形ABC中，｜＋｜＝ ，｜＋｜＝ .
9.某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿 的方向前进，速度为 .
10.如图所示，在△ABC中，O为△ABC的重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
（1）＋＋；
（2）＋＋；
（3）＋＋.
11.（2024·安阳月考）若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜＋｜＝，则△ABC的形状是（ ）
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
12.若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则（ ）
A.2｜a｜＞｜2a＋b｜ B.2｜a｜＜｜2a＋b｜
C.2｜b｜＞｜a＋2b｜ D.2｜b｜＜｜a＋2b｜
13.设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值与最小值的和为 .
14.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
6.2.1 向量的加法运算
1.D ＋＋＝＋＋＝，故选D.
2.A 若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a（或b）的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同.故选A.
3.B 如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2 km，故选B.
4.B 因为在矩形ABCD中，＋＝，所以＋＋的长度为｜｜的2倍.又｜｜＝＝2，所以向量＋＋的长度为4.
5.AC 由题意，向量a＝（＋）＋（＋）＝＋＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不正确.故选A、C.
6.ACD 由向量加法的平行四边形法则可得＋＝，故A正确；由向量加法的三角形法则可得＋＋＝＋＝＋＝，故B错误；由向量加法的平行四边形法则可得＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝0，故D正确.故选A、C、D.
7.e 解析：a＋b＋c＋d＝＋＋＋＝＝e.
8.1 解析：易知｜＋｜＝｜｜＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC（图略），则｜＋｜＝｜｜＝2｜｜×sin 60°＝2×1×＝.
9.与水流方向成60° 8 km/h
解析：如图所示，∵OB＝4，OA＝4，∴OC＝8，∠COA＝60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.
10.解：（1）＋＋＝＋＝.
（2）＋＋＝（＋）＋＝＋＝.
（3）＋＋＝＋＋＝＋＝.
11.D 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC＝90°，△ABC为等腰直角三角形.
12.C 因为｜a＋b｜＝｜b｜，所以｜a＋2b｜＝｜a＋b＋b｜≤｜a＋b｜＋｜b｜＝2｜b｜.因为a，b是非零不共线向量，所以a＋b与b不共线，故等号不成立.
13.24 解析：当a与b同向共线时，｜a＋b｜max＝20；当a与b反向共线时，｜a＋b｜min＝4，所以｜a＋b｜的最大值与最小值的和为24.
14.解：如图，设表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，表示飞机从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.
则飞机飞行的路程指的是｜｜＋｜｜，两次飞行的位移的和指的是＋＝.
依题意，有｜｜＋｜｜＝800＋800＝1 600（km）.
又∠α＝35°，∠β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以｜｜＝＝＝800（km），
其中∠BAC＝45°，
所以的方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移的和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
2 / 26.2.1 向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算，理解其几何意义 数学抽象、直观想象
如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）.
【问题】 （1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
知识点一 向量加法的定义及三角形法则
1.向量加法的定义
求两个向量 的运算，叫做向量的加法.
2.三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则.
提醒 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相连”.
知识点二 向量加法的平行四边形法则
1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量（OC是 OACB的对角线）就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则.
2.对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
提醒 （1）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同；（2）从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的.
知识点三 向量加法的运算律及模之间的关系
1.向量加法的运算律
（1）加法交换律：a＋b＝ ；
（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝ .
2.｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系
一般地，我们有｜a＋b｜≤ ，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立.
提醒 （1）已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和；（2）首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）＋＝.（ ）
（2）＋＝0.（ ）
（3）＋＞.（ ）
2.如图，在平行四边形ABCD中，＋＝（ ）
A. B.
C. D.
3.化简＋＋＝ .
题型一 向量的加法运算法则
【例1】 （1）如图①所示，求作向量a＋b；
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
通性通法
求作和向量的方法
（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接；
（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.
【跟踪训练】
1.（2024·东营月考）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝（ ）
A. B.
C. D.
2.已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜｜＝1，则｜＋｜＝ .
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】 化简：（1）＋；
（2）＋＋；
（3）＋＋＋＋.
通性通法
1.当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.
2.多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.
3.向量求和的多边形法则：＋＋＋…＋＝.特别地，当An和A1重合时，＋＋＋…＋＝0.
【跟踪训练】
1.（2024·新乡月考）已知正方形ABCD的边长为1，则｜＋＋＋｜＝ .
2.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
（1）a＋b＋c＝ ；
（2）b＋d＋c＝ .
题型三 向量加法的实际应用
【例3】 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
【母题探究】
1.（变条件、变设问）本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值（相当于与河岸的夹角）.
2.（变设问）若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km？
通性通法
应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题；
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题；
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
【跟踪训练】
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小（绳子的质量忽略不计）.
6.2.1 向量的加法运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.和 2.三角形
知识点二
1.平行四边形
知识点三
1.（1）b＋a （2）a＋（b＋c） 2.｜a｜＋｜b｜
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.B 因为ABCD为平行四边形，所以＋＝，故选B.
3.0 解析：＋＋＝＋＋＝＋＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.
（2）法一
（三角形法则）
如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则）
如图⑤所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
跟踪训练
1.C 以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝，由和的模相等，方向相同，得＝，即＋＝.
2.1 解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以｜＋｜＝｜｜＝｜｜＝1.
【例2】 解：（1）＋＝＋＝.
（2）＋＋＝＋＋＝（＋）＋＝＋＝0.
（3）＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
跟踪训练
1.2 解析：｜＋＋＋｜＝｜＋＋＋｜＝｜＋｜＝2｜｜＝2.
2.（1） （2） 解析：（1）a＋b＋c＝＋＋＝.
（2）b＋d＋c＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
【例3】 解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 m/min，｜｜＝｜v船｜＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，∴α＝60°.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
母题探究
1.解：如图所示，｜｜＝｜｜＝｜v船｜＝20 m/min，｜｜＝｜v水｜＝10 m/min，
则tan∠BAC＝＝2，即为所求.
2.解：由题意可知｜｜＝｜｜＝×20＝10（m/min）＝（km/h），
则经过3小时，该船的实际航程是3×＝（km）.
跟踪训练
解：如图，设，分别表示A，B处所受的力，
10 N的重力用表示，
则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
｜｜＝｜｜×cos 30°＝10×＝5.
｜｜＝｜｜×cos 60°＝10×＝5.
故A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.
4 / 4(共31张PPT)
6.2.1 向量的加法运算
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加
法运算，理解其几何意义 数学抽象、直观
想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）.
【问题】 （1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以
及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
知识点一 向量加法的定义及三角形法则
1. 向量加法的定义
求两个向量 的运算，叫做向量的加法.
和
提醒 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾相
连”.
2. 三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作 ＝a， ＝b，则向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝ ＋ ＝ .这种求向量和的方法，称为向量加法的 法则.
三角形
知识点二 向量加法的平行四边形法则
1. 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作
OACB，则以O为起点的向量 （OC是 OACB的对角线）就
是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的
法则.
2. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
平
行四边形
提醒 （1）运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个
向量起点相同；（2）从平行四边形的性质可知三角形法则和平行
四边形法则是一致的.
知识点三 向量加法的运算律及模之间的关系
1. 向量加法的运算律
（1）加法交换律：a＋b＝ ；
（2）加法结合律：（a＋b）＋c＝ .
2. ｜a＋b｜与｜a｜，｜b｜之间的关系
一般地，我们有｜a＋b｜≤ ，当且仅当a，b
中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立.
提醒 （1）已知几个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点
指向末尾向量的终点的向量即为这几个向量的和；（2）首尾顺次
相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
b＋a
a＋（b＋c）
｜a｜＋｜b｜
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） ＋ ＝ . （ √ ）
（2） ＋ ＝0. （ √ ）
（3） ＋ ＞ . （ × ）
√
√
×
2. 如图，在平行四边形ABCD中， ＋ ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：因为ABCD为平行四边形，所以 ＋ ＝ ，故选B.
3. 化简 ＋ ＋ ＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的加法运算法则
【例1】 （1）如图①所示，求作向量a＋b；
解：首先作向量 ＝a，然后作向量
＝b，则向量 ＝a＋b.如图③所示.
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
解：法一（三角形法则） 如图④所示，
首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，再
作向量 ＝b，则得向量 ＝a＋b，然后作
向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋
b＋c即为所求.
首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，
＝b， ＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则 ＝ ＋ ＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则） 如图⑤所示，
通性通法
求作和向量的方法
（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向
量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两
个向量的和.一定要注意首尾相接；
（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作
两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行
四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个
向量的和.
【跟踪训练】
1. （2024·东营月考）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，
F，G，H，则 ＋ ＝（ ）
A. B. C. D.
解析： 以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则 ＋
＝ ，由 和 的模相等，方向相同，得 ＝ ，即
＋ ＝ .
2. 已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，｜ ｜＝1，则｜ ＋ ｜＝ .
解析：因为在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，所以△ABD为等边三
角形，所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
1
题型二 向量加法运算律的应用
【例2】 化简：（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝
＋ ＝0.
（3） ＋ ＋ ＋ ＋ .
解： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
通性通法
1. 当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.
2. 多个向量的加法运算可以按照任意的次序与任意的组合进行，如
（a＋b）＋（c＋d）＝（b＋d）＋（a＋c）；a＋b＋c＋d＋
e＝[d＋（a＋c）]＋（b＋e）.
3. 向量求和的多边形法则： ＋ ＋ ＋…＋ ＝
.特别地，当An和A1重合时， ＋ ＋ ＋…＋
＝0.
【跟踪训练】
1. （2024·新乡月考）已知正方形ABCD的边长为1，则｜ ＋ ＋
＋ ｜＝ .
解析：｜ ＋ ＋ ＋ ｜＝｜ ＋ ＋ ＋ ｜＝｜
＋ ｜＝2｜ ｜＝2 .
2
2. 根据图示填空，其中a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ .
（1）a＋b＋c＝ ；
解析：a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝ .
（2）b＋d＋c＝ .
解析：b＋d＋c＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
题型三 向量加法的实际应用
【例3】 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如
果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解：作出图形，如图.船速v船与岸的方向成α角，由图
可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为
平行四边形.
在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜＝10
m/min，｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min，
∴ cos α＝ ＝ ＝ ，∴α＝60°.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
【母题探究】
1. （变条件、变设问）本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航
行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值（相当于与河
岸的夹角）.
解：如图所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min，｜ ｜
＝｜v水｜＝10 m/min，
则tan∠BAC＝ ＝2，即为所求.
2. （变设问）若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多
少km？
解：由题意可知｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝10 （m/min）
＝ （km/h），
则经过3小时，该船的实际航程是3× ＝ （km）.
通性通法
应用向量解决实际问题的基本步骤
（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问
题；
（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关
向量进行运算，解答向量问题；
（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答
原问题.
【跟踪训练】
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上，∠ACW＝
150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小（绳子的质量忽
略不计）.
解：如图，设 ， 分别表示A，B处所受的力，
10 N的重力用 表示，
则 ＋ ＝ .
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
｜ ｜＝｜ ｜× cos 30°＝10× ＝5 .
｜ ｜＝｜ ｜× cos 60°＝10× ＝5.
故A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.
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