6.2.2 向量的减法运算
1.下列向量关系式中,正确的是( )
A.= B.+=
C.-= D.++=
2.(2024·南平月考)如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则=( )
A.a+b B.b-a
C.c-b D.b-c
3.在平行四边形ABCD中,|+|=|-|,则必有( )
A.四边形ABCD是矩形
B.=0或=0
C.=0
D.四边形ABCD是正方形
4.在边长为1的正三角形ABC中,|-|=( )
A.1 B.2 C. D.
5.(多选)下列各式化简结果为零向量的有( )
A.++ B.-+-
C.-- D.++-
6.(多选)对于菱形ABCD,下列各式正确的是( )
A.=
B.||=||
C.|-|=|+|
D.|+|=|-|
7.如图,在梯形ABCD中,AC与BD交于点O,则-+-+= .
8.(2024·丽水月考)若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|= ,|a-b|= .
9.已知四边形ABCD和点O,若+=+,则四边形ABCD的形状是 .
10.向量a,b,c,d,e如图所示,据图解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
11.(2024·济源月考)已知A,B,C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若+=+,则下列结论正确的是( )
A.点P在△ABC内部
B.点P在直线BC上
C.点P在直线AB上
D.点P在直线AC上
12.(多选)已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的有( )
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b的模相等
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
13.已知菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模为 ;||的取值范围是 .
14.如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c,求:
(1)|a+b+c|;
(2)|a-b+c|.
6.2.2 向量的减法运算
1.D 根据向量的概念可得A、B错误;对于C,-=,故错误;对于D,++=,故正确.故选D.
2.D 由题可得===-=b-c,故选D.
3.A 由四边形可知,B、C错误;在平行四边形ABCD中,+=,-=,由题知||=||,即平行四边形的对角线相等,所以四边形ABCD是矩形,A正确;易知四边形ABCD不一定是正方形,故D错误.
4.D 如图,作菱形ABCD,则|-|=|-|=||= .
5.ABD 对于A,++=+=0,故A符合题意;对于B,-+-=+-=-=0,故B符合题意;对于C,--=-=+=2,故C不符合题意;对于D,++-=+(-)=+=0,故D符合题意.故选A、B、D.
6.BCD 向量与的方向不同,但它们的模相等,所以B正确,A错误;因为|-|=|+|=2||,|+|=2||,且||=||,所以|-|=|+|,所以C正确;因为|+|=|+|=||,|-|=||,所以D正确.故选B、C、D.
7.0 解析:-+-+=++++=0.
8.0 2 解析:若a,b为相反向量,则a+b=0,所以|a+b|=0,又a=-b,所以|a|=|-b|=1,因为a与-b共线,所以|a-b|=2.
9.平行四边形 解析:∵+=+,∴-=- =,∴BA=CD,BA∥CD,则四边形ABCD的是平行四边形.
10.解:由题图知=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=++=d+e+a.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=e+a+b.
(4)=-=-(+)=-c-d.
11.D ∵+=+,∴-=-,∴=+,-=,即=.故点P在边AC所在的直线上.
12.ABD 当a,b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.当a,b同向时,有|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|.当a,b反向时,有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|.故选A、B、D.
13.2 (0,4) 解析:易知-+=++=,因为菱形ABCD的边长为2,所以向量-+的模为2.易知=+,且||-||<|+|<||+||,所以||的取值范围为(0,4).
14.解:(1)由已知得a+b=+=,
∵=c,∴延长AC到E,使||=||,如图所示,
则a+b+c=且||=2.
∴|a+b+c|=2.
(2)作=,连接CF,则+=,
而=-=-=a-b,
∴|a-b+c|=|+|=||且||=2.
∴|a-b+c|=2.
2 / 26.2.2 向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算,理解其几何意义 数学抽象、直观想象
如图,向量是向量与向量x的和.
【问题】 你能作出向量x吗?
知识点一 相反向量
1.定义:与向量a长度 ,方向 的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
2.性质:(1)零向量的相反向量仍是零向量;
(2)对于相反向量有:a+(-a)=(-a)+a=0;
(3)如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
提醒 相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量.
知识点二 向量的减法运算
1.向量减法的定义
向量a加上b的 ,叫做a与b的差,即a-b=a+(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
提醒 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
2.向量减法的几何意义
已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b.即a-b 可以表示为从 的终点指向 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.
提醒 (1)作非零向量a,b的差向量a-b,可以简记为“共起点,连终点,指向被减”;(2)在向量减法的定义中,如果从a的终点指向b的终点作向量,所得向量是b-a.
1.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向量的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
2.在△ABC中,O为BC的中点,记=m,=n,则=( )
A.-m-n B.-m+n
C.m-n D.m+n
3.化简+--.
题型一 向量减法的几何意义
【例1】 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
通性通法
求作差向量的方法
(1)作两向量的差向量的步骤:
(2)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后用加法a+(-b)即可.
【跟踪训练】
如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.
题型二 向量的减法运算
【例2】 化简:(1)--;
(2)(-)-(-).
通性通法
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
1.--=( )
A.0 B.
C. D.
2.(多选)在平行四边形ABCD中,M为DC上任一点,则--=( )
A. B.
C. D.
题型三 向量加、减运算的综合应用
角度1 向量加、减的混合运算
【例3】 化简:(1)+--;
(2)(++)-(--).
通性通法
1.向量加、减的混合运算主要应用向量加、减法的运算法则、几何意义及向量加法的结合律、交换律等求解.
2.向量加、减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和;
(2)起点相同且为差.
提醒 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
角度2 用已知向量表示其他向量
【例4】 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形外一点,且=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量,,.
【母题探究】
(变条件)若本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”变为“点B是该平行四边形内一点”,其他条件不变,试用向量a,b,c 表示向量,,.
通性通法
用已知向量表示其他向量的一般步骤
(1)先观察各个向量在图形中的位置;
(2)寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形;
(3)运用法则找关系;
(4)化简结果.
【跟踪训练】
1.(2024·滨州月考)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且=,则化简+--=( )
A.0 B.
C. D.
2.如图,已知=a,=b,=c,=d,=f,试用a,b,c,d,f表示以下向量:
(1);
(2);
(3)-;
(4)+;
(5)-.
1.-++=( )
A. B.
C. D.
2.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且=a,=b,则可以表示为( )
A.a+b B.a-b
C.b-a D.-a-b
3.(多选)设b是a的相反向量,则下列说法正确的是( )
A.a与b的长度相等 B.a∥b
C.a与b一定不相等 D.a是b的相反向量
4.若菱形ABCD的边长为2,则|-+|= .
6.2.2 向量的减法运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.相等 相反
知识点二
1.相反向量 2.向量b 向量a
自我诊断
1.C 向量与的模相等,方向相反,互为相反向量.
2.A =+=--=-m-n,故选A.
3.解:+--=+-(+)=-=0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:法一 如图①所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c.
法二 如图②所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
跟踪训练
解:由向量减法的三角形法则,
令a=,b=,则a-b=-=,
令c=,所以a-b-c=-=.如图中即为a-b-c.
【例2】 解:(1)法一 --=-=.
法二 --=-(+)=-=.
法三 --=+(+)=+(+)=+=+=.
(2)法一 (-)-(-)=--+=+++=(+)+(+)=+=0.
法二 (-)-(-)=--+=(-)-(-)-(-)+(-)=--+-++-=0.
法三 (-)-(-)=--+=(-)+(-)=+=0.
跟踪训练
1.D --=--=-=.
2.AB --=++==.
【例3】 解:(1)+--=(-)+(-)=+=.
(2)(++)-(--)=+-+
=+++
=+=0.
【例4】 解:由平行四边形的性质可知==c,
由向量的减法可知=-=b-a,
由向量的加法可知=+=b-a+c.
母题探究
解:如图,因为四边形ACDE是平行四边形,
所以==c,=-=b-a,=+=b-a+c.
跟踪训练
1.A +--=(-)+(-)=+=-=0.
2.解:(1)=-=c-a.
(2)=-=d-a.
(3)-==-=d-b.
(4)+=-+-=b-a+f-c.
(5)-=--(-)=f-b-d+b=f-d.
随堂检测
1.B 原式=(+)+(+)=+0=.
2.D 在平行四边形ABCD中,依题意,=-=-a,而=b,所以=-=-a-b.故选D.
3.ABD 方向相反、长度相等的两个向量互为相反向量,故A、B、D正确,C错误,∵0与0互为相反向量,但0与0相等.故选A、B、D.
4.2 解析:|-+|=|++|=||=2.
4 / 4(共54张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
新课程标准解读 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示,掌握
平面向量减法运算,理解其几何意义 数学抽象、直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图,向量 是向量 与向量x的和.
【问题】 你能作出向量x吗?
知识点一 相反向量
1. 定义:与向量a长度 ,方向 的向量,叫做a的相
反向量,记作-a.
2. 性质:(1)零向量的相反向量仍是零向量;
相等
相反
(2)对于相反向量有:a+(-a)=(-a)+a=0;
(3)如果a,b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.
提醒 相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两
方面进行定义,相反向量必为平行向量.
知识点二 向量的减法运算
1. 向量减法的定义
向量a加上b的 ,叫做a与b的差,即a-b=a+
(-b).求两个向量差的运算叫做向量的减法.
提醒 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
相反向量
2. 向量减法的几何意义
已知向量a,b,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则
=a-b.即a-b 可以表示为从 的终点指向
的终点的向量,这就是向量减法的几何意义.
提醒 (1)作非零向量a,b的差向量a-b,可以简记为“共起
点,连终点,指向被减”;(2)在向量减法的定义中,如果从a
的终点指向b的终点作向量,所得向量是b-a.
向量b
向量
a
1. 如图,四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互
为相反向量的是( )
解析: 向量 与 的模相等,方向相反,互为相反向量.
2. 在△ABC中,O为BC的中点,记 =m, =n,则 =
( )
A. -m-n B. -m+n
C. m-n D. m+n
解析: = + =- - =-m-n,故选A.
3. 化简 + - - .
解: + - - = + -( + )= -
=0.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量减法的几何意义
【例1】 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
解:法一 如图①所示,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则 =a+b,再作 =c,则 =a+b-c.
法二 如图②所示,在平面内任取一点O,作 =a, =b,则
=a+b,再作 =c,连接OC,则 =a+b-c.
通性通法
求作差向量的方法
(1)作两向量的差向量的步骤:
(2)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作-b,然后
用加法a+(-b)即可.
【跟踪训练】
如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.
解:由向量减法的三角形法则,
令a= ,b= ,则a-b= - = ,
令c= ,所以a-b-c= - = .如图中 即为a-b-c.
题型二 向量的减法运算
【例2】 化简:(1) - - ;
解:法一 - - = - = .
法二 - - = -( + )= - = .
法三 - - = +( + )= +( + )
= + = + = .
(2)( - )-( - ).
解:法一 ( - )-( - )= - - +
= + + + =( + )+( + )=
+ =0.
法二 ( - )-( - )= - - + =( - )-( - )-( - )+( - )= - - + - + + - =0.
法三 ( - )-( - )= - - + =( - )+( - )= + =0.
通性通法
向量减法运算的常用方法
【跟踪训练】
1. - - =( )
A. 0
解析: - - = - - = - = .
2. (多选)在平行四边形ABCD中,M为DC上任一点,则 -
- =( )
解析: - - = + + = = .
题型三 向量加、减运算的综合应用
角度1 向量加、减的混合运算
【例3】 化简:(1) + - - ;
解: + - - =( - )+( - )= + = .
(2)( + + )-( - - ).
解:( + + )-( - - )
= + - +
= + + +
= + =0.
通性通法
1. 向量加、减的混合运算主要应用向量加、减法的运算法则、几何意
义及向量加法的结合律、交换律等求解.
2. 向量加、减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和;
(2)起点相同且为差.
提醒 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆
向应用.
角度2 用已知向量表示其他向量
【例4】 如图所示,四边形ACDE是平行四边形,B是该平行四边形
外一点,且 =a, =b, =c,试用向量a,b,c表示向量
, , .
解:由平行四边形的性质可知 = =c,
由向量的减法可知 = - =b-a,
由向量的加法可知 = + =b-a+c.
【母题探究】
(变条件)若本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”变为“点
B是该平行四边形内一点”,其他条件不变,试用向量a,b,c 表示
向量 , , .
解:如图,因为四边形ACDE是平行四边形,
所以 = =c, = - =b-a, = + =b-a
+c.
通性通法
用已知向量表示其他向量的一般步骤
(1)先观察各个向量在图形中的位置;
(2)寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形;
(3)运用法则找关系;
(4)化简结果.
【跟踪训练】
1. (2024·滨州月考)如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,且
= ,则化简 + - - =( )
A. 0
解析: + - - =( - )+( - )
= + = - =0.
2. 如图,已知 =a, =b, =c, =d, =f,试用
a,b,c,d,f表示以下向量:
(1) ;
解: = - =c-a.
(2) ;
解: = - =d-a.
(3) - ;
解: - = = - =d-b.
(4) + ;
解: + = - + -
=b-a+f-c.
(5) - .
解: - = - -(
- )=f-b-d+b=f-d.
1. - + + =( )
解析: 原式=( + )+( + )= +0= .
2. 如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且
=a, =b,则 可以表示为( )
A. a+b B. a-b
C. b-a D. -a-b
解析: 在平行四边形ABCD中,依题意, =- =-a,
而 =b,所以 = - =-a-b.故选D.
3. (多选)设b是a的相反向量,则下列说法正确的是( )
A. a与b的长度相等 B. a∥b
C. a与b一定不相等 D. a是b的相反向量
解析: 方向相反、长度相等的两个向量互为相反向量,故A、B、D正确,C错误,∵0与0互为相反向量,但0与0相等.故选A、B、D.
4. 若菱形ABCD的边长为2,则| - + |= .
解析:| - + |=| + + |=| |=2.
2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列向量关系式中,正确的是( )
解析: 根据向量的概念可得A、B错误;对于C, - =
,故错误;对于D, + + = ,故正确.故选D.
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2. (2024·南平月考)如图,已知ABCDEF是一正六边形,O是它的
中心,其中 =a, =b, =c,则 =( )
A. a+b B. b-a
C. c-b D. b-c
解析: 由题可得 = = = - =b-c,故选D.
1
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3. 在平行四边形ABCD中,| + |=| - |,则必有
( )
解析: 由四边形可知,B、C错误;在平行四边形ABCD中,
+ = , - = ,由题知| |=| |,即
平行四边形的对角线相等,所以四边形ABCD是矩形,A正确;易
知四边形ABCD不一定是正方形,故D错误.
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4. 在边长为1的正三角形ABC中,| - |=( )
A. 1 B. 2
解析: 如图,作菱形ABCD,则| - |=| - |
=| |= .
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5. (多选)下列各式化简结果为零向量的有( )
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解析: 对于A, + + = + =0,故A符合题意;对于B, - + - = + - = - =0,故B符合题意;对于C, - - = - = + =2 ,故C不符合题意;对于D, + + - = +( - )= + =0,故D符合题意.故选A、B、D.
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6. (多选)对于菱形ABCD,下列各式正确的是( )
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解析: 向量 与 的方向不同,但它们的模相等,所以B
正确,A错误;因为| - |=| + |=2| |,| + |=2| |,且| |=| |,所以| - |=| + |,所以C正确;因为| + |=| + |=| |,| - |=| |,所以D正确.故选B、C、D.
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7. 如图,在梯形ABCD中,AC与BD交于点O,则 - + -
+ = .
解析: - + - + = + + + +
=0.
0
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8. (2024·丽水月考)若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=
1,则|a+b|= ,|a-b|= .
解析:若a,b为相反向量,则a+b=0,所以|a+b|=0,又
a=-b,所以|a|=|-b|=1,因为a与-b共线,所以|a
-b|=2.
0
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9. 已知四边形ABCD和点O,若 + = + ,则四边形
ABCD的形状是 .
解析:∵ + = + ,∴ - = - =
,∴BA=CD,BA∥CD,则四边形ABCD的是平行四边形.
平行四边形
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10. 向量a,b,c,d,e如图所示,据图解答下列各题:
(1)用a,d,e表示 ;
= + + =d+e+a.
解:由题图知 =a, =b, =c, =d, =e.
(2)用b,c表示 ;
解: = - =- - =-b-c.
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(3)用a,b,e表示 ;
解: = + + =e+a+b.
(4)用d,c表示 .
解: =- =-( + )=-c-d.
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11. (2024·济源月考)已知A,B,C为三个不共线的点,P为
△ABC所在平面内一点,若 + = + ,则下列结论正
确的是( )
A. 点P在△ABC内部 B. 点P在直线BC上
C. 点P在直线AB上 D. 点P在直线AC上
解析: ∵ + = + ,∴ - = - ,
∴ = + , - = ,即 = .故点P在边AC
所在的直线上.
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12. (多选)已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的有( )
A. 若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B. 若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C. 若|a|+|b|=|a-b|,则a与b的模相等
D. 若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
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解析: 当a,b不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.当a,b同向时,有|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|.当a,b反向时,有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|.故选A、B、D.
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13. 已知菱形ABCD的边长为2,则向量 - + 的模
为 ;| |的取值范围是 .
解析:易知 - + = + + = ,因为菱形
ABCD的边长为2,所以向量 - + 的模为2.易知 =
+ ,且| |-| |<| + |<| |+|
|,所以| |的取值范围为(0,4).
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(0,4)
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14. 如图所示,已知正方形ABCD的边长为1, =a, =b,
=c,求:
(1)|a+b+c|;
解:由已知得a+b= + = ,
∵ =c,∴延长AC到E,使| |
=| |,如图所示,
则a+b+c= 且| |=2 .
∴|a+b+c|=2 .
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(2)|a-b+c|.
解:作 = ,连接CF,则 + = ,
而 = - = - =a-b,
∴|a-b+c|=| + |=| |且|
|=2.
∴|a-b+c|=2.
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