6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
1.等边△ABC中，与的夹角为（ ）
A.60° B.－60°
C.120° D.150°
2.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（ ）
A.100 J B.50 J
C.50 J D.200 J
3.对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（ ）
A.a·b≥｜a｜·｜b｜ B.a·b≤｜a｜·｜b｜
C.a·b＞｜a｜·｜b｜ D.a·b＜｜a｜·｜b｜
4.若｜a｜＝2，｜b｜＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影向量为（ ）
A.－b B.－b
C.b D.－b
5.（2024·惠州月考）在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
6.（多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B.非零向量a，b共线时其夹角为0
C.若a⊥b，则a·b＝0
D.｜a｜＝
7.在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD的形状是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”）.
8.已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为4e，则｜b｜＝ .
9.如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则·＝ .
10.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量.
（1）求a与b的夹角θ；
（2）求a在b上的投影向量.
11.（2024·丽水月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜a×b｜＝（ ）
A.8 B.－8
C.8或－8 D.6
12.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.向量a在向量b上的投影向量可表示为·
B.若a·b＜0，则a与b的夹角θ的范围是（，π］
C.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角为时，向量a在向量e上的投影向量为0
D.若两非零向量a与b的夹角为θ，当a·b＝｜a｜｜b｜｜cos θ｜时，θ必为锐角
13.（2024·安阳月考）已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是 ，·＝ .
14.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
（1）若＝，求x，y的值；
（2）若＝3，｜｜＝4，｜｜＝2，且与的夹角为60°，求·的值.
15.如图所示，已知AB是圆O的直径，且AB＝4，点C，D是的两个三等分点，则·＝（ ）
A.1 B.2
C.4 D.6
16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用，表示向量；
（2）求·的取值范围.
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
1.A 延长AC到D，延长BC到E，则与的夹角为∠DCE，又因∠ACB＝∠DCE，所以与的夹角为60°.故选A.
2.B 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W＝F·s＝10×10×cos 60°＝50（J）.
3.B 设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[－1，1]，则a·b＝｜a｜·｜b｜·cos θ≤｜a｜·｜b｜，故选B.
4.D 向量a在向量b上的投影向量是｜a｜cos＜a，b＞ ＝2×cos 120°×＝－b.故选D.
5.A a·b＝·＝－·＝－｜｜·｜｜cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.
6.CD a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；非零向量a，b共线时其夹角为0或π，所以B错误；由数量积的定义知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝，所以D正确.
7.矩形 解析：由·＝0，知AB⊥BC.由＝，知BC AD，所以四边形ABCD是矩形.
8.4 解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜·cos θ＝16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜·cos θ e＝4e，∴｜a｜cos θ＝4，∴｜b｜＝4.
9.－1 解析：·＝｜｜·｜｜·cos（180°－B）＝－｜｜·｜｜·cos B＝－｜｜·｜｜·＝－｜｜2＝－1.
10.解：（1）由a·b＝｜a｜｜b｜cos θ，
得cos θ＝＝＝－.
∴θ＝120°.
（2）a在b上的投影向量为｜a｜cos θe＝－e.
11.A cos θ＝＝＝－，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝.∴｜a×b｜＝2×5×＝8.
12.ABC 对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＜0，则cos θ＜0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈（，π］，故B正确；对于选项C，a在e上的投影向量为｜a｜cose＝6×0e＝0，故C正确；对于选项D，由题意知，a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝｜a｜｜b｜｜cos θ｜，所以cos θ＝｜cos θ｜，则θ可能为锐角，也可能θ＝或θ＝0，故D错误.
13.等边三角形 －8 解析：·＝｜｜｜｜cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，因为0°＜∠BAC＜180°，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时·＝｜｜｜｜·cos 120°＝－8.
14.解：（1）若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
（2）因为｜｜＝4，｜｜＝2，∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜｜＝2.
又因为＝3，所以｜｜＝.
所以｜｜＝＝，cos∠OPB＝.
设与的夹角为θ，所以与的夹角θ的余弦值为－.
所以·＝｜｜｜｜cos θ＝－3.
15.D 连接BD，BC（图略）.∵C，D是的两个三等分点.∴∠DBA＝60°，∠ABC＝30°，∠DAC＝30°.在Rt△ABD中，AD＝AB·sin 60°＝4×＝2.在Rt△ABC中，AC＝AB·sin 30°＝4×＝2，∴·＝｜｜｜｜·cos 30°＝2×2×＝6.
16.解：（1）由已知可得＝，连接AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱形，则＝＋，
所以＝－＝－（＋）＝－－.
（2）易知∠DMC＝60°，且｜｜＝｜｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，
则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为［，］.
1 / 26.2.4 向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 数学运算
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜F｜｜s｜cos θ.
【问题】 （1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似功的标量吗？
知识点一 向量的夹角
1.夹角：已知两个 a，b（如图），O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是 .当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作 .
提醒 两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为.
知识点二 两个向量的数量积
1.定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
提醒 （1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.
2.性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则：
（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；
（2）a⊥b ；
（3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a＝｜a｜2或｜a｜＝；
（4）a·b ｜a｜｜b｜；
（5）cos θ＝.
知识点三 投影向量
1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 向量.
2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则 与e，a，θ之间的关系为＝｜a｜cos θ e.
提醒 （1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个向量.
1.向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a·b＝（ ）
A.4 B.2
C.－2 D.1
2.两个向量的夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角为 .当a与b反向时，夹角为 .
3.已知平面上两单位向量a，b，a与b的夹角为，则a在b上的投影向量为 .
题型一 两向量的夹角
【例1】 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
通性通法
求两个向量夹角的方法
（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；
（2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
【跟踪训练】
在△ABC中，C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
题型二 直接用数量积公式求数量积
【例2】 （1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b；
（2）已知正三角形ABC的边长为1，求：①·；②·；③·.
通性通法
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
【跟踪训练】
1.设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.π
2.（2024·焦作月考）已知平面上三点A，B，C满足｜｜＝3，｜｜＝4，｜｜＝5，则·＋·＋·＝（ ）
A.－7 B.7
C.25 D.－25
题型三 投影向量
【例3】 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
（1）求a·b；
（2）求a在b上的投影向量.
通性通法
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜cos θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜cos θ也称为a在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量的模，当＜θ≤π时，｜a｜cos θ为a在b上投影向量模的相反数.
【跟踪训练】
1.已知向量a，b满足｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是 .
2.已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为 .
1.已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝（ ）
A.3 B.－3
C.－3 D.3
3.在等腰直角三角形ABC中，若C＝90°，AC＝，则·＝（ ）
A.－2 B.2
C.－2 D.2
4.已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，向量a在向量e上的投影向量是 .
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
【基础知识·重落实】
知识点一
1.非零向量 ∠AOB＝θ 0≤θ≤π 同向 反向 2. a⊥b
知识点二
1.｜a｜｜b｜cos θ a·b a·b＝｜a｜｜b｜cos θ
2.（2）a·b＝0 （4）≤
知识点三
1.投影 投影
自我诊断
1.D 因为向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝1×2×＝1.故选D.
2.[0，π] 0 π 解析：根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是[0，π]，当a与b同向时，夹角为0，当a与b反向时，夹角为π.
3.－b 解析：根据题意，a，b为两单位向量，且a与b的夹角为，所以a在b上的投影向量为｜a｜cos·b＝－b.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为｜a｜＝｜b｜＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
跟踪训练
C 如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.
【例2】 解：（1）①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜·cos θ＝4×2×cos 120°＝－4.
②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4＝12.
（2）①∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜ cos 60°＝1×1×＝.
②∵与的夹角为120°，∴·＝｜｜·｜｜ cos 120°＝1×1×（－）＝－.
③∵与的夹角为60°，∴·＝｜｜｜｜·cos 60°＝1×1×＝.
跟踪训练
1.B 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
2.D 由题得｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos（180°－C）＋5×3cos（180°－A）＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D.
【例3】 解：（1）a·b＝｜a｜｜b｜cos θ
＝5×4×cos 120°＝－10.
（2）a在b上的投影向量为｜a｜cos θe＝－e.
跟踪训练
1.1 解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影向量的模为｜b｜cos θ＝2cos 60°＝2×＝1.
2.e 解析：∵cos θ＝＝（θ为a与b的夹角），∴向量a在向量b上的投影向量为｜a｜cos θ e＝e.
随堂检测
1.C 如图，∠DAB＝60°，则与的夹角为∠ABC＝120°.
2.B 由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜·cos 120°＝×2×（－）＝－3.
3.B 由题意得·＝｜｜｜｜·cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.
4.3e 解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投影向量是｜a｜·cos 45°·e＝3e.
3 / 4(共56张PPT)
6.2.4 向量的数量积
新课程标准解读 核心素养
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概
念及其物理意义，会计算平面向量的数量积 数学抽象
2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影
向量的意义 数学运算
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 逻辑推理
第1课时 向量数量积的概念、运算及投影向量
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积
称为力对物体所做的功.如图所示，如果作用在小车上的力F的大
小为｜F｜ N，小车在水平面上位移s的大小为｜s｜ m，力的方向
与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为W＝｜
F｜｜s｜ cos θ.
【问题】 （1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之
间有什么关系？
（2）给定任意两个向量a，b，能确定出一个类似功的标量吗？
知识点一 向量的夹角
1. 夹角：
已知两个 a，b（如图），O是平面上的任意一点，
作 ＝a， ＝b，则 叫做向量a与b的夹角，夹
角θ的取值范围是 .
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
非零向量
∠AOB＝θ
0≤θ≤π
同向
反向
2. 垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记
作 .
提醒 两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角的范围
是[0，π]，而两直线夹角的范围为 .
a⊥b
知识点二 两个向量的数量积
1. 定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数
量 叫做向量a与b的数量积（或内积），记
作 ，即 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
提醒 （1）数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省
略不写；（2）向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可
正、可负、可为0.
｜a｜｜b｜ cos θ
a·b
a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ
2. 性质：设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的
单位向量，则：
（1）a·e＝e·a＝｜a｜ cos θ；
（2）a⊥b ；
（3）当a∥b时，a·b＝特别地，a2＝a·a
＝｜a｜2或｜a｜＝ ；
（4）a·b ｜a｜｜b｜；
（5） cos θ＝ .
a·b＝0
≤
知识点三 投影向量
1. 如图，设a，b是两个非零向量， ＝a， ＝b，我们考虑如
下的变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线的垂线，
垂足分别为A1，B1，得到 ，我们称上述变换为向量a向向量
b ， 叫做向量a在向量b上的 向量.
投影
投影
2. 如图，在平面内任取一点O，作 ＝a， ＝b.过点M作直线
ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b
上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与
b的夹角为θ，则 与e，a，θ之间的关系为
＝｜a｜ cos θ e.
提醒 （1）向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量；
（2）如果向量a与向量b平行，向量a在向量b上的投影向量等于
a或－a，当a与b垂直时，a在b上的投影向量为0；（3）向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不是同一个向量.
1. 向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝1，｜b｜＝2，则a·b＝（ ）
A. 4 B. 2
C. －2 D. 1
解析： 因为向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝1，｜b｜＝2，
所以a·b＝｜a｜｜b｜ cos 60°＝1×2× ＝1.故选D.
2. 两个向量的夹角的取值范围是 .当a与b同向时，夹角
为 .当a与b反向时，夹角为 .
解析：根据向量夹角的定义可知，两个向量的夹角的取值范围是
[0，π]，当a与b同向时，夹角为0，当a与b反向时，夹角为π.
3. 已知平面上两单位向量a，b，a与b的夹角为 ，则a在b上的投
影向量为 .
解析：根据题意，a，b为两单位向量，且a与b的夹角为 ，所
以a在b上的投影向量为｜a｜ cos ·b＝－ b.
[0，π]
0
π
－ b
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两向量的夹角
【例1】 已知｜a｜＝｜b｜＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b
与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解：如图所示，作 ＝a， ＝b，且∠AOB＝60°.
以 ， 为邻边作平行四边形OACB，
则 ＝a＋b， ＝a－b.
因为｜a｜＝｜b｜＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以 与 的夹角为30°， 与 的夹角为60°.即a＋b与a的
夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
通性通法
求两个向量夹角的方法
（1）求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重
合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出；
（2）特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b（λ1，λ2是非零常数）的夹
角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
【跟踪训练】
在△ABC中，C＝90°，BC＝ AB，则 与 的夹角是（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析： 如图，作向量 ＝ ，则∠BAD是 与
的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝ AB，
所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即 与 的
夹角是120°.
题型二 直接用数量积公式求数量积
【例2】 （1）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝4，｜b｜
＝2，求：①a·b；②a·a－a·b－2b·b；
解：①由已知得a·b＝｜a｜｜b｜· cos θ＝4×2× cos 120°＝－4.
②a·a－a· b－2b·b＝｜a｜2－a·b－2｜b｜2＝16－（－4）－2×4
＝12.
（2）已知正三角形ABC的边长为1，求：① · ；② · ；③
· .
解：①∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜
cos 60°＝1×1× ＝ .
②∵ 与 的夹角为120°，∴ · ＝｜ ｜·｜ ｜
cos 120°＝1×1×（－ ）＝－ .
③∵ 与 的夹角为60°，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos
60°＝1×1× ＝ .
通性通法
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝｜a｜｜
b｜ cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条
件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以
上条件.
【跟踪训练】
1. 设｜a｜＝1，｜b｜＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为（ ）
D. π
解析： 设a，b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝ ，∵θ∈[0，
π]，∴θ＝ .
2. （2024·焦作月考）已知平面上三点A，B，C满足｜ ｜＝
3，｜ ｜＝4，｜ ｜＝5，则 · ＋ · ＋ · ＝
（ ）
A. －7 B. 7
C. 25 D. －25
解析： 由题得｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2，所以∠ABC＝
90°，所以原式＝0＋4×5 cos （180°－C）＋5×3 cos （180°
－A）＝－20 cos C－15 cos A＝－20× －15× ＝－16－9＝－
25.故选D.
题型三 投影向量
【例3】 已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同
向的单位向量为e.
（1）求a·b；
解： a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ
＝5×4× cos 120°＝－10.
（2）求a在b上的投影向量.
解：a在b上的投影向量为｜a｜ cos θe＝－ e.
通性通法
投影向量的求解方法
任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于｜a｜ cos
θ e（θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量），其中｜a｜
cos θ也称为a在b上投影向量的数量，即当0≤θ≤ 时，｜a｜ cos θ
为a在b上投影向量的模，当 ＜θ≤π时，｜a｜ cos θ为a在b上投影
向量模的相反数.
【跟踪训练】
1. 已知向量a，b满足｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的
投影向量的模是 .
解析：已知向量a，b的夹角θ＝60°，故b在a上的投影向量的模
为｜b｜ cos θ＝2 cos 60°＝2× ＝1.
1
2. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，
则向量a在向量b上的投影向量为 .
解析：∵ cos θ＝ ＝ （θ为a与b的夹角），∴向量a在向
量b上的投影向量为｜a｜ cos θ e＝ e.
e
1. 已知在 ABCD中，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：如图，∠DAB＝60°，则 与 的夹角为∠ABC＝120°.
2. 已知｜a｜＝ ，｜b｜＝2 ，a与b的夹角是120°，则a·b＝
（ ）
A. 3 B. －3
解析： 由数量积的定义，得a·b＝｜a｜｜b｜ cos 120°＝
×2 ×（－ ）＝－3.
3. 在等腰直角三角形ABC中，若C＝90°，AC＝ ，则 · ＝
（ ）
A. －2 B. 2
解析： 由题意得 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ABC＝2×
× cos 45°＝2.
4. 已知｜a｜＝6，e为单位向量，当向量a，e的夹角等于45°时，
向量a在向量e上的投影向量是 .
解析：因为向量a，e的夹角等于45°，所以向量a在向量e上的投
影向量是｜a｜· cos 45°·e＝3 e.
3 e
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 等边△ABC中， 与 的夹角为（ ）
A. 60° B. －60°
C. 120° D. 150°
解析： 延长AC到D，延长BC到E，则 与 的夹角为∠DCE，又因∠ACB＝∠DCE，所以 与 的夹角为60°.故选A.
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2. 如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水
平面成60°角.则当小车向前运动10 m时，力F做的功为（ ）
A. 100 J B. 50 J
D. 200 J
解析： 由题意，根据向量的数量积的定义，可得力F做的功W
＝F·s＝10×10× cos 60°＝50（J）.
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3. 对于非零向量a与b，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. a·b≥｜a｜·｜b｜ B. a·b≤｜a｜·｜b｜
C. a·b＞｜a｜·｜b｜ D. a·b＜｜a｜·｜b｜
解析： 设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]， cos θ∈[－
1，1]，则a·b＝｜a｜·｜b｜· cos θ≤｜a｜·｜b｜，故选B.
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4. 若｜a｜＝2，｜b｜＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量
a在向量b上的投影向量为（ ）
解析： 向量a在向量b上的投影向量是｜a｜ cos ＜a，b＞
＝2× cos 120°× ＝－ b.故选D.
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5. （2024·惠州月考）在边长为1的等边△ABC中，设 ＝a， ＝
b， ＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝（ ）
解析：a·b＝ · ＝－ · ＝－｜ ｜·｜ ｜ cos 60°＝－ .同理b·c＝－ ，c·a＝－ ，∴a·b＋b·c＋c·a＝－ .
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6. （多选）对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B. 非零向量a，b共线时其夹角为0
C. 若a⊥b，则a·b＝0
解析： a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；非零向量a，b共线时其夹角为0或π，所以B错误；由数量积的定义知，C正确；因为a·a＝｜a｜｜a｜ cos 0＝｜a｜2，所以｜a｜＝ ，所以D正确.
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7. 在四边形ABCD中， · ＝0， ＝ ，则四边形ABCD的形
状是 （填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方
形”）.
解析：由 · ＝0，知AB⊥BC. 由 ＝ ，知BC AD，
所以四边形ABCD是矩形.
矩形
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8. 已知a·b＝16，e为b方向上的单位向量.若a在b上的投影向量为
4e，则｜b｜＝ .
解析：设a与b的夹角为θ，且a·b＝16，∴｜a｜·｜b｜· cos θ＝
16，又∵a在b上的投影向量为4e，∴｜a｜· cos θ e＝4e，∴｜
a｜ cos θ＝4，∴｜b｜＝4.
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9. 如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则 · ＝ .
解析： · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos （180°－B）＝－｜ ｜·｜ ｜· cos B＝－｜ ｜·｜ ｜· ＝－｜ ｜2＝－1.
－1
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10. 已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向
量.
（1）求a与b的夹角θ；
解：由a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ，
得 cos θ＝ ＝ ＝－ .
∴θ＝120°.
（2）求a在b上的投影向量.
解：a在b上的投影向量为｜a｜ cos θe＝－ e.
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11. （2024·丽水月考）定义：｜a×b｜＝｜a｜｜b｜ sin θ，其中θ
为向量a与b的夹角，若｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－6，则｜
a×b｜＝（ ）
A. 8 B. －8
C. 8或－8 D. 6
解析： cos θ＝ ＝ ＝－ ，∵θ∈[0，π]，∴ sin θ
＝ .∴｜a×b｜＝2×5× ＝8.
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12. （多选）下列说法正确的是（ ）
D. 若两非零向量a与b的夹角为θ，当a·b＝｜a｜｜b｜｜ cos θ｜
时，θ必为锐角
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解析： 对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，∵a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＜0，则 cos θ＜0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈（ ，π］，故B正确；对于选项C，a在e上
的投影向量为｜a｜ cos e＝6×0e＝0，故C正确；对于选项
D，由题意知，a·b＝｜a｜｜b｜ cos θ＝｜a｜｜b｜｜ cos
θ｜，所以 cos θ＝｜ cos θ｜，则θ可能为锐角，也可能θ＝
或θ＝0，故D错误.
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13. （2024·安阳月考）已知在△ABC中，AB＝AC＝4， · ＝
8，则△ABC的形状是 ， · ＝ .
解析： · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠BAC，即8＝4×4 cos
∠BAC，于是 cos ∠BAC＝ ，因为0°＜∠BAC＜180°，所以
∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.此时 ·
＝｜ ｜｜ ｜ cos 120°＝－8.
等边三角形
－8
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14. 如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且 ＝x ＋y .
（1）若 ＝ ，求x，y的值；
解：若 ＝ ，则 ＝ ＋ ，
故x＝y＝ .
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（2）若 ＝3 ，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，且 与 的夹
角为60°，求 · 的值.
解：因为｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，
∠BOA＝60°，
所以∠OBA＝90°，所以｜ ｜＝2 .
又因为 ＝3 ，所以｜ ｜＝ .
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所以｜ ｜＝ ＝ ， cos ∠OPB＝ .
设 与 的夹角为θ，所以 与 的夹角θ的余弦值为－ .
所以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos θ＝－3.
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15. 如图所示，已知AB是圆O的直径，且AB＝4，点C，D是 的
两个三等分点，则 · ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 6
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解析： 连接BD，BC（图略）.∵C，D是 的两个三等分
点.∴∠DBA＝60°，∠ABC＝30°，∠DAC＝30°.在Rt△ABD
中，AD＝AB· sin 60°＝4× ＝2 .在Rt△ABC中，AC＝
AB· sin 30°＝4× ＝2，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜· cos 30°
＝2 ×2× ＝6.
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16. 如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB
上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
（1）若点D是线段OB靠近点O的四等分点，用 ， 表示向
量 ；
解：由已知可得 ＝ ，连接
AM，BM（图略），则四边形OAMB是菱
形，则 ＝ ＋ ，
所以 ＝ － ＝ －（ ＋
）＝－ － .
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（2）求 · 的取值范围.
解：易知∠DMC＝60°，且｜ ｜
＝｜ ｜，那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝ ，
则 · ＝ × × cos 60°＝ .
当MC与MO重合时，MC最大，此时MC＝1，
则 · ＝ cos 60°＝ .
所以 · 的取值范围为［ ， ］.
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谢 谢 观 看！
