拓 视 野 向量加法三角形法则的推广
在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛决赛中，中国浙江大学队以4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军.机器人在赛场上能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断.
在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，行走的路线如图①，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功踢进一球，这名射手激动地跳起了如图②所示的正多边形舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，……，最终回到起点.
成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图③的路线组织传球，又进了一球.最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器人足球世界杯冠军！
【问题探究】
1.当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为0，请作图说明（假设机器人跳1步为1米）.
2.要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？
【迁移应用】
甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小.
1.化简＋＋＝（ ）
A.0 B.0
C. D.
2.（多选）下列等式正确的是（ ）
A.a＋（b＋c）＝（a＋c）＋b
B.＋＝0
C.＝＋＋
D.｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
3.如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：
（1）＋＝ ；
（2）＋＝ ；
（3）＋＝ .
4.如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，试画出＋，＋，＋表示的向量.
拓视野 向量加法三角形法则的推广
问题探究
1.提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n（n∈N*）步时，射手的位移为零.
2.提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零.按上述方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角和定理可得n（180°－α）＝（n－2）·180°，解得α＝，且n≥3，n∈N*.故α应满足的条件为α＝，且n≥3，n∈N*.
迁移应用
解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为＋＋＝，故球的最终位移为，
依题意知△ABC为正三角形，故｜｜＝｜｜＝AC＝2 m.
又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD为等腰直角三角形，所以｜｜＝ m.
随堂检测
1.B ＋＋＝＋＝0，故选B.
2.AC 易知A、C正确.B错误，因为＋＝0；D错误，因为只有在a与b至少有一个为零向量或a，b为方向相同的非零向量时等式成立，而其它情况下等式不成立.
3.（1） （2） （3）0
解析：（1）因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故＋＝.
（2）因为＝，故＋与方向相同，长度为的长度的2倍，故＋＝.
（3）因为＝，故＋＝＋＝0.
4.解：如图，连接DA，＋＝＋＝，
因为四边形DEAF和四边形CDFE均为平行四边形，
所以＋＝，＋＝＋＝.
2 / 2(共30张PPT)
拓 视 野 向量加法三角形法则的推广
在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛决赛中，中国浙江大学
队以4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军.机器人
在赛场上能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对
手，还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断.
在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，
行走的路线如图①，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队
员，成功踢进一球，这名射手激动地跳起了如图②所示的正多边形
舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向转
变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向
前行进1米，……，最终回到起点.
成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图③的路线组织传球，
又进了一球.最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器
人足球世界杯冠军！
【问题探究】
1. 当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为
0，请作图说明（假设机器人跳1步为1米）.
提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，
跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n（n∈N*）步时，射手
的位移为零.
2. 要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？
提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零.按上述方式
作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角
和定理可得n（180°－α）＝（n－2）·180°，解得α＝ ，且
n≥3，n∈N*.故α应满足的条件为α＝ ，且n≥3，n∈N*.
【迁移应用】
甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东
30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方
向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人
丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小.
解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为 ＋ ＋ ＝ ，故球的最终位移为 ，
依题意知△ABC为正三角形，故｜ ｜＝｜ ｜＝AC＝2 m.
又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD
为等腰直角三角形，所以｜ ｜＝ m.
1. 化简 ＋ ＋ ＝（ ）
A. 0 B. 0
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故选B.
2. （多选）下列等式正确的是（ ）
A. a＋（b＋c）＝（a＋c）＋b
D. ｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜
解析： 易知A、C正确.B错误，因为 ＋ ＝0；D错误，因为只有在a与b至少有一个为零向量或a，b为方向相同的非零向量时等式成立，而其它情况下等式不成立.
3. 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：
（1） ＋ ＝ ；
解析：因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故 ＋ ＝ .
（2） ＋ ＝ ；
解析：因为 ＝ ，故 ＋ 与 方向相同，长度为
的长度的2倍，故 ＋ ＝ .
（3） ＋ ＝ .
解析：因为 ＝ ，故 ＋ ＝ ＋ ＝0.
0
4. 如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，试画出 ＋ ，
＋ ， ＋ 表示的向量.
解：如图，连接DA， ＋ ＝ ＋ ＝ ，
因为四边形DEAF和四边形CDFE均为平行四边形，
所以 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ＋ ＝ .
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 在四边形ABCD中， ＋ ＋ ＝（ ）
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. （2024·龙岩月考）已知向量a∥b，且｜a｜＞｜b｜＞0，则向量
a＋b的方向（ ）
A. 与向量a的方向相同 B. 与向量a的方向相反
C. 与向量b的方向相同 D. 不确定
解析： 若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a（或b）
的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的
和的方向与a的方向相同.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行
km”，则向量a＋b表示（ ）
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
解析： 如图，易知tan α＝ ，所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏东30°.又｜a＋b｜＝2
km，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. （2024·中山月考）在矩形ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，
则向量 ＋ ＋ 的长度为（ ）
C. 12 D. 6
解析： 因为在矩形ABCD中， ＋ ＝ ，所以 ＋
＋ 的长度为｜ ｜的2倍.又｜ ｜＝ ＝2 ，所以
向量 ＋ ＋ 的长度为4 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多选）设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是一个非零向
量，则下列结论正确的有（ ）
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
解析： 由题意，向量a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝
＋ ＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；
由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜
a｜＋｜b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不
正确.故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. （多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由向量加法的平行四边形法则可得 ＋ ＝ ，故A正确；由向量加法的三角形法则可得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故B错误；由向量加法的平行四边形法则可得 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故C正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 已知 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d， ＝e，则a＋b＋c
＋d＝ .
解析：a＋b＋c＋d＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＝e.
e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. （2024·舟山月考）在边长为1的等边三角形ABC中，｜ ＋
｜＝ ，｜ ＋ ｜＝ .
解析：易知｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝1，以AB，AC为邻边作平
行四边形ABDC（图略），则｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜
× sin 60°＝2×1× ＝ .
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方
向游向河对岸，水流的流速为4 km/h，则此人实际沿
的方向前进，速度为 .
解析：如图所示，∵OB＝4 ，OA＝4，∴OC＝8，∠COA＝
60°.即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.
与水流方向
成60°
8 km/h
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 如图所示，在△ABC中，O为△ABC的重心，D，E，F分别是
BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
（1） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
（2） ＋ ＋ ；
解： ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋ ＝ ＋ ＝ .
（3） ＋ ＋ .
解： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. （2024·安阳月考）若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜ ＋ ｜
＝ ，则△ABC的形状是（ ）
A. 正三角形 B. 锐角三角形
C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC
＝1，AD＝ ，∴∠ABD为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC
＝90°，△ABC为等腰直角三角形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 若非零不共线向量a，b满足｜a＋b｜＝｜b｜，则（ ）
A. 2｜a｜＞｜2a＋b｜ B. 2｜a｜＜｜2a＋b｜
C. 2｜b｜＞｜a＋2b｜ D. 2｜b｜＜｜a＋2b｜
解析： 因为｜a＋b｜＝｜b｜，所以｜a＋2b｜＝｜a＋b＋
b｜≤｜a＋b｜＋｜b｜＝2｜b｜.因为a，b是非零不共线向
量，所以a＋b与b不共线，故等号不成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 设｜a｜＝8，｜b｜＝12，则｜a＋b｜的最大值与最小值的和
为 .
解析：当a与b同向共线时，｜a＋b｜max＝20；当a与b反向共
线时，｜a＋b｜min＝4，所以｜a＋b｜的最大值与最小值的和为
24.
24
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
解：如图，设 表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km， 表示飞机从B地按南偏东55°的方向飞行800 km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
则飞机飞行的路程指的是｜ ｜＋｜ ｜，两次飞行的位移的
和指的是 ＋ ＝ .
依题意，有｜ ｜＋｜ ｜＝800＋800＝1 600（km）.
又∠α＝35°，∠β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以｜ ｜＝ ＝ ＝800 （km），
其中∠BAC＝45°，
所以 的方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移的和的大小为
800 km，方向为北偏东80°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
谢 谢 观 看！
