2026届普通高等学校招生全国统一考试最新数学模拟试卷3（含解析）

2026届普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试卷3
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A．0 B． C． D．2
2．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，角、、的对边分别为、、.已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．0，1 D．﹣1，0，1
6．若函数且在上的值域为，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
7．在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知某区域的水源指标与某种植物的分布数量之间的数据如下表所示，则（ ）
10 20 30 40 50
y 23 45 60 78 94
附：相关系数.
A．与的相关系数为正数
B．与的回归直线经过点
C．删去数据后，与的相关系数变小
D．增加数据后，与的相关系数不变
10．已知二项展开式，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正方体的棱长为1，点为线段（含端点）上的动点，由点，，确定的平面为，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截正方体的截面可能为等腰梯形
B．平面截正方体的截面可能为菱形
C．点运动过程中，三棱锥的体积为定值
D．三棱锥的外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设△面积为，若恒成立，则的最小值为 ．
13．抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为2，3，4，5时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量X的期望是 ；若抛掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为 .
14．函数的值域为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打平口端扎有一圈羽毛的半球状软木的室内运动，某学校为了解学生对羽毛球的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2×2列联表：
喜欢 不喜欢 总计
男生 40 60 100
女生 80 20 100
总计 120 80 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联
（2）为了增强学生学习羽毛球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加羽毛球集训，再从这6人中随机抽取3人参加羽毛球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．为了促进锂电产业发展，市创新研究院课题组对企业研发经费的投入和企业当年的销售收入的关系进行了研究，他们收集了上一年不同企业销售收入y（单位：10万元）与一定范围内的研发经费x（单位：10万元）的数据，根据收集的13组观测数据，得到如下的散点图，分别利用或建立y关于x的回归方程，令，得到如下数据，且与的相关系数分别为，，且．
10.15 108.40 3.04 0.16
14.00 －2.10 11.67 0.21 21.22
（1）用相关系数说明哪种模型建立y与x的回归方程更合适；
（2）根据（1）的结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知企业的利润z满足，试根据回归方程求出企业利润的最大值．
参考数据和公式：，，，对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，，相关系数．
17．中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且．
（1）求的值；
（2）设，求的值．
18．已知抛物线（）的焦点为，过点的动直线与相交于两点，其中点位于第一象限.当时，以为直径的圆与轴相切于点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若点在抛物线上，且Γ在点处的切线与直线平行，求面积的最小值以及此时直线的方程.
19．汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示.
（1）求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数；
（2）已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差.
参考答案
1．【答案】B
【详解】，则，
故选B.
2．【答案】A
【详解】由题意可得：，则.
故选A.
3．【答案】D
【详解】假设运动鞋的左脚为，右脚为，凉鞋的左脚为，右脚为，
则选出两只鞋包含了6种，
其中事件包含了4种，
事件包含了2种，事件包含了2种，
故，则A错误；
，，，，故BC错误；
，故D正确.
故选D
4．【答案】B
【详解】因为，由正弦定理可得，
因为、，故，所以，可得，故.
故选B.
5．【答案】D
【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集，
（1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，，
（2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1，
当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，，
当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，．
综上所述，a的取值为﹣1，0，1．
故选D．
6．【答案】A
【详解】因为且，
当时，，此时，函数在上单调递减，
根据题意可得，解得；
当时，，此时，函数在上单调递增，
根据题意可得，解得.
综上所述，或.
故选A.
7．【答案】A
【详解】因，则，
代入中，整理得：，
显然都不可能是直角（否则等式不成立），故得，
于是，
由上式易知均为锐角，则，故有，
因，当且仅当时等号成立，
即时，取得最大值为，又，故角的最大值为.
故选A.
8．【答案】A
【详解】在内的图象如下，

当时，单调递增，时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值，
当时，单调递增，故为函数极小值点，为极小值，
当时，单调递减，故为函数极大值点，为极大值，
故函数在内的极小值有1个.
故选A
9．【答案】ABD
【详解】对于A选项，根据数据可知与呈正相关，故相关系数为正数，A选项正确；
对于B选项，，，样本中心点为，
故与的回归直线经过样本中心点，B选项正确；
对于C选项，删去数据后，，，
故的值不变，和的值也不变，
故相关系数不变，C选项错误；
对于D选项，增加数据后，，，
故的值不变，和的值也不变，
故相关系数不变，D选项正确.
故选ABD.
10．【答案】ACD
【详解】A项：令，则，故A正确；
B项：令，则①，
所以，故B错误；
C项：，所以，
，所以，所以，故C正确；
D项：令，则②，
①+②可得：，故D正确．
故选ACD
11．【答案】ACD
【详解】截面可能为等腰梯形或矩形，不可能为菱形，故A正确，B错误；
对于C，因为平面，所以到平面的距离为定值，
所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值；
对D选项，如图，分别取左右侧面的中心，，则三棱锥的外接球的球心在线段上.
设为，则，设，则，又，外接球的半径.
在与中，由勾股定理得，，
两式相减得：，
所以，
所以三棱锥的外接球表面积，D正确.
故选:ACD.
12．【答案】1
【详解】由函数，设，，.
对求导得，所以在点处切线.
对求导得，所以在点处切线.
因为切线垂直，则，所以.
此时，因为，即，所以，，于是.
由，因为，，则，
解得. 因为，
又，根据基本不等式，所以.
由恒成立，则.则的最小值为1.
13．【答案】 或
【详解】（1）由题意可得，得1分的概率为，得3分的概率为，
因的可能取值为2，4，6，
则，，，
则随机变量的期望值．
（2）记得1分的次数为，则得3分的次数为，
所得总分为，
拋掷2024次骰子，记得分恰为分的概率为，则，
若取最大值，则，，
则，解得，
又，，则或，
当时，；
当时，．
14．【答案】
【详解】由，
函数在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以函数的值域为．
15．【答案】（1）有关联
（2）分布列见详解，2
【详解】（1）零假设为：“是否喜欢羽毛球”与性别无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联.
（2）依题意，抽取的6人中，男生人数为：人，女生人数为人
X的所有可能取值为1，2，3，
所以，，，
X的分布列为：
1 2 3
所以.
16．【答案】（1）模型建立与的回归方程更合适
（2）
（3）万元
【详解】（1）由题意知，
，
因为，所以用模型建立与的回归方程更合适.
（2）令，回归方程为，
因为，
，
所以关于的回归方程为，即.
（3）由题意知
，当且仅当，即时取等号,
则，所以.当且仅当时等号成立，
所以当研发经费投入为60万元时企业生产的利润最大，最大利润为万元.
17．【答案】（1）或；
（2）．
【详解】（1）成等比数列，，
，
或，
，，
由正弦定理知：，
或.
（2），，即，
由余弦定理得：，
解得：.
18．【答案】（1）
（2）最小值为，直线的方程为．
【详解】（1）由题，记的中点为，
因为以为直径的圆与轴相切于点，
所以垂直于轴，故点的横坐标为1，故，
因为，故，
解得，即，故抛物线的方程为．
（2）设,
直线的斜率,
抛物线在点处的切线的斜率为,所以,
将直线与抛物线联立，，
得,所以，
故点到直线的距离，
所以的面积，
方法一：因为，
所以，
令，
当，函数单调递减；，函数单调递增．
所以，
所以面积的最小值为，
此时斜率，直线的方程为．
方法二：由求根公式可得，
故的面积，
令，则，
令，
当，函数单调递减；，函数单调递增，
所以，
即面积的最小值为，
此时斜率，直线的方程为．
19．【答案】（1）60人，中位数为75，平均数为
（2）平均值为，方差为
【详解】（1）由题可知，打分在内的频率为，
所以样本中打分在内的客户人数为人.
由图可知，打分在内的频率为0.35，在内的频率为0.30，
设样本的中位数为，则，则，解得，
故样本的中位数为75.
.
（2）根据频率分布直方图可知，打分在，内的样本数据的频数分别为30，60，
所以打分在内的样本数据的平均值为.
打分在内的样本数据的方差为.
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