5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 教学设计

单元教学设计：5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）
——单调性与最值
一、内容和内容解析
1.内容
正弦函数、余弦函数的单调性和最值．
2.内容解析
前面的课时，绘制出函数的图像并且根据图象学习了周期性和奇偶性，对于本节课的研究提供了很好的示范．本课时的教学重难点：正弦函数、余弦函数的图象及其性质（单调性、最值和值域）．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）经历观察图像总结函数单调性的基本过程，进而掌握正弦函数、余弦函数以及、单调区间的求法．
（2）经历观察图像总结函数最值得基本过程，掌握正弦函数、余弦函数、、最值的求法．
（3）综合运用所学知识解决相关问题．
2.目标解析
达成上述目标的标志分别是∶
学生能利用正弦函数和余弦函数的图象，得到其单调性、最值，并给予代数证明；能综合利用正弦函数和余弦函数的各项性质解决有关的问题．
三、教学问题诊断分析
在研究正弦函数、余弦函数的性质时，利用图象获得性质容易，但是进行代数论证比较困难．为此，首先要培养学生的代数说理习惯，其次要给予完整的代数论证过程，还要采取具体化的方法进行说明，即选择图象上一个点，通过这个点的变化说明图象的变换，并渗透换元转化的思想方法．
三角函数图象的对称性比较丰富，这也是学生理解上的一个困难所在．为此可以借助图象，直观想象函数图象向两端无限延伸的情况．
四、教学支持条件分析
利用信息技术辅助学生理解学习．
五、教学过程设计
（一）正弦函数的单调性
引导语：所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征．从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性、奇偶性，今天我们继续研究单调性和最值．
问题1：研究正弦函数的单调性，我们是否需要其在全体实数集上的图象？
师生活动：提示学生利用周期性解决这一问题，达到事倍功半的效果．并引导学生选择一个周期的图像，较好的将单调性完整的呈现出来．
设计意图：利用三角函数周期性研究其他性质，往往事半功倍．
问题2：观察函数图像（一个周期内），描述你看到的图象．
当由增大到，时，曲线逐渐上升，的值由增大到1；
当由增大到时，曲线逐渐下降，的值由1减小到．
师生活动：通过观察图象，引导学生用语言描述函数图象中蕴含的变化．
设计意图：引导学生认真观察图象，并用自己的语言叙述．
问题3：根据函数单调性定义，描述一个周期内正弦函数单调性．
正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
师生活动：进一步将所看到的图象用严格的数学语言描述出来．
设计意图：培养学生运用数学语言的能力．
问题4：根据函数单调性定义，描述整个R上的正弦函数的单调性．
正弦函数在每一个闭区间上都单调递增，其值从增大到1；在每一个闭区间上都单调递减，其值从1减小到．
师生活动：引导学生观察，先找到一个单调区间，再寻找每一个单调区间的之间的关系，然后用完善的形式表达出来．提醒学生区间中的k是整数，这一点不可缺少．
设计意图：将正弦函数的单调性总结归纳出来．
（二）余弦函数单调性
问题5：观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填人表5.4-3：
↗ ↗ 0 ↗ ↗
由此可得，函数，在区间 上单调递增，其值从增大到1；在区间 上单调递减，其值从1减小到.
由余弦函数的周期性可得，
余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到.
师生活动：引导学生阅读课本，自行填空．
设计意图：类比正弦函数单调性学习过程，直接写出余弦函数单调性描述．
问题6：函数的最大值与最小值分别是多少？分别在何时取到？
从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，
正弦函数当且仅当= 时取得最大值1，当且仅当= 时取得最小值；
余弦函数当且仅当= 时取得最大值1，当且仅当= 时取得最小值.
师生活动：引导学生观察图象，运用周期性和单调性知识填空．
设计意图：活学活用原有知识．
（三）单调性的应用
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值.
（1），；
（2），.
师生活动：学生先独立完成，然后展示交流解题思路和结果，教师点明换元法及其重要作用.本例中，对于（1），因为1是确定值，因此问题转化为求的最值；对于（2），令，转化为求的最值;对于（3），它与（2）的不同之处在于自变量的范围有限制．
设计意图：巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用．
例2 不通过求值，比较下列各组数的大小：
与 （2）与
师生活动：学生独立完成，教师进行指导.本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．
设计意图：初步应用函数的单调性解决比较大小的问题．
例3 求函数，的单调递增区间．
师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解、本题中，令，，当自变量x的值增大时，的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增．
在解题完成后，教师可进一步提出此问题的变式问题：求函数，的单调递增区间．此变式问题让学生独立完成，可能会有一部分学生出错，教师要引导学生将正确和错误解答进行对比分析．
设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法；通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
（四）概念的深化
例4 定义在实数集R上的偶函数的周期为，且当时，．
（1）求当时，的解析式；
（2）画出函数在上的简图；
（3）求函数的单调递增区间；
（4）求当时，的取值范围．
师生活动：有的面困效学习的基础，学生容易求出当时，的解析式．教师可启发学生，类比这个求解经验，解决第（1）小题.教师也可以引导学生在求函数解析式之前，根据性质，绘制其草图，这样有助于学生整体把据函数的图象和性质，也有利于此题的求解．
设计意图：通过解决变式问题，让学生在不同的问题中理解函数的周期性、奇偶性、单调性，熟悉周期性在研究函数问题中的作用，并进一步熟悉正弦函数、余弦函数的图象与性质．
（五）单元小结、布置作业
本节课我们利用正弦函数和余弦函数的图象、在上节课研究完周期性和奇偶性的基础上，研究了函数正弦函数和余弦函数的单调性和最值，并应用这些性质解决了相关问题，希望大家在今后的学习中不断深化对正弦函数和余弦函数性质的理解．
知识 通过图象直观研究函数的性质，周期性、奇偶性、单调性；
方法 换元法
思想 化归思想 数形结合
本节课的作业 教材 213页 习题5.4：4、5、6．
（六）目标检测设计
1.观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的所在的区间：
（1）； （2）； （3）； （4）
2.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值．
（1），； （2），．
3.下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是（ ）．
A.在上单调递增，在上单调递减．
B.在上单调递增，在上单调递减．
C.在及上单调递增，在上单调递减．
D.在上单调递增，在及上单调递减．
4.不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）与； （2）与
5.求函数，的单调递减区间.
师生活动：学生当堂计时运算，教师订正答案，并讲解．
设计意图：夯实基础，落实知识．