6.3.1 平面向量基本定理
1.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，则实数x＋y＝（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
3.（2024·菏泽月考）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是边CD上的点，且CE＝CD.若记＝a，＝b，则＝（ ）
A.－a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
4.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（ ）
A.平行四边形 B.矩形
C.梯形 D.菱形
5.（多选）如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（ ）
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2∈R）不一定在平面α内
D.对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
6.（多选）点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，则有（ ）
A.＝－a－b B.＝a－b
C.＝a＋b D.＝－a
7.如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设＝a，＝b，则＝ .（用a，b表示）
8. 如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则＝ .
9.（2024·漯河月考）设四边形ABCD为平行四边形，｜｜＝6，｜｜＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝ .
10.设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
（1）证明：{a，b}可以作为一个基底；
（2）以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
11.在△ABC中，D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
12.（多选）已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2AD＝2DC，＝3，＝2，则下列表示正确的是（ ）
A.＝－＋
B.＝＋
C.＝－
D.＝－＋
13.（2024·潮州质检）在△ABC中，D是直线AB上的点.若2＝＋λ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则＝ .
14.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，＝2.
（1）求CD的长；
（2）求·的值.
15.设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝（a－1）e1＋e2，＝be1－2e2（a＞0，b＞0）.若A，B，C三点共线，则＋的最小值为 .
16.已知O是线段AB外一点，若＝a，＝b.
（1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（a＋b）；
（2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示＋＋；
（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？（不必证明）
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
6.3.1 平面向量基本定理
1.B 由题图可知与，与，与共线，不能作为基底，与不共线，可作为基底.故选B.
2.C ∵向量e1与e2不共线，且3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，∴解得∴x＋y＝7.
3.A ＝＋＝－＋（＋）＝－＋＋＝－＋＋＝－＋＝－a＋b.故选A.
4.C 因为＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，即＝2，所以AD∥BC且AD≠BC.故四边形ABCD为梯形.选C.
5.AB A正确；B正确，平面内的任一向量都可以用基底表示；C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
6.AD 如图，在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a，故A正确；＝＋＝a＋b，故B错误；＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋（－b－a）＝－a＋b，故C错误；＝＝－a，故D正确.故选A、D.
7.a＋b 解析：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.
8. 解析：由题意可得，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，据此可知λ＝，μ＝，∴＝.
9.9 解析：考虑以{，}为基底来计算.∵＝3，＝2，∴＝＋，＝－＝－＋，∴·＝（＋）·（－＋）＝－＝×36－×16＝9.
10.解：（1）证明：假设a＝λb（λ∈R），
则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一个基底.
（2）设c＝ma＋nb（m，n∈R），
则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
11.A 画出示意图如图所示，由题意可得，A，B，D三点共线，C为A，B，D所在直线外一点，且＝＋λ，则＋λ＝1，所以λ＝.
12.BD 如图，＝＋＋＝－＋＋＝＋，故选项A不正确；＝＝（＋）＝［－（＋）］＝（－）＝＋，故选项B正确；＝＋＋＝－－＋＋＝－－，故选项C不正确；＝－＝＋－＝－＋，故选项D正确.故选B、D.
13. 解析：依题意作图，设＝μ＝μ（－）＝－μ＋μ ，由条件＝＋，∴μ＝－，＝μ＝－，＝－，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，∴＝＝.
14.解：（1）因为＝2，
所以＝，
所以＝－＝－，
所以｜｜＝
＝
＝
＝，
即CD的长为.
（2）＝－＝－＋＝－（－）＋
＝＋，
所以·＝·（＋）＝＋·＝＋×2×3×＝.
15.4 解析：∵A，B，C三点共线，∴与共线，∴存在实数λ，使得＝λ，即（a－1）e1＋e2＝bλe1－2λe2.∵e1，e2不共线，∴解得∵a＞0，b＞0，∴0＜a＜1，∴＋＝＋＝＝＝＝.当a＝时，＋取得最小值，最小值为4.
16.解：（1）证明：设AB的中点为E，则＝＝×（a＋b）＝（a＋b）.
（2）点A1，A2是线段AB的三等分点，
＝（＋），＝（＋），＝（＋），
则＋＋＝（a＋b）＋（＋）＝（a＋b）＋［a＋（b－a）＋a＋（b－a）］＝a＋b.
（3）设A1是AB的二等分点，则＝（a＋b），＋＝（＋）＋（＋）＝（a＋b）＋＝（a＋b）＋×（a＋b）＝（a＋b），
设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则＋＋＝（a＋b），
或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则＋＋…＋＝（a＋b）.
2 / 26.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
理解平面向量基本定理及其意义 直观想象、数学运算
共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？
【问题】 如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？
知识点 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝ .
2.基底
若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
提醒 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一个基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）一个平面内只有一对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底.（ ）
（2）一个平面内有无数多对不共线的向量可构成表示该平面内所有向量的基底.（ ）
（3）零向量不可以作为基底中的向量.（ ）
（4）一对不共线的单位向量可以作为基底.（ ）
2.（多选）设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一个基底的是（ ）
A.a＝e1＋e2，b＝e1
B.a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C.a＝－e1＋e2，b＝e1－e2
D.a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
3.如图所示，向量可用向量e1，e2表示为 .
题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】 （1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一个基底的是 （填序号）；
（2）（2024·潍坊月考）已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝ .
通性通法
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
【跟踪训练】
1.（多选）设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
2.已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为 .
题型二 用基底表示向量
【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，用a，b表示，.
通性通法
用基底表示向量的两种基本方法
（1）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到用基底表示为止；
（2）通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则来构建方程（组），使得问题获解.
【跟踪训练】
1.如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则以{a，b}为基底时，可表示为 ，以{a，c}为基底时，可表示为 .
2.如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用＝e1，＝e2表示.
题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.
通性通法
平面向量基本定理的应用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题（即求有关参数问题）.
【跟踪训练】
（2024·济源月考）如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝ .
1.若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.4e1＋2e2，8e1－4e2
2.如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（ ）
A.－2e1－4e2 B.－4e1－2e2
C.e2－3e1 D.－e2＋3e1
3.已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ（λ∈R），则x，y满足的关系式是（ ）
A.x＋y－2＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋2y－2＝0 D.2x＋y－2＝0
4.（2024·嘉兴月考）设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p.
6.3.1 平面向量基本定理
【基础知识·重落实】
知识点
1.不共线 任一 有且只有一对 λ1e1＋λ2e2 2.不共线
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.ABD 对于A，B，D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以A、B、D符合；对于C，a＝－b，故a，b共线，所以C不符合，故选A、B、D.
3.4e1＋3e2 解析：如图，＝3e2，＝4e1，∴＝4e1＋3e2.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）①②④ （2）3 解析：（1）①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则无解，∴e1＋e2与e1不共线，即{e1，e1＋e2}能作为一个基底；②设e1－2e2＝k（e2－2e1）（k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2，∴无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即能作为一个基底；③∵e1－2e2＝－（4e2－2e1），∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即{e1－2e2，4e2－2e1}不能作为一个基底；④设e1＋e2＝n（e1－e2）（n∈R），则e1＋e2＝ne1－ne2，∴无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线，即{e1＋e2，e1－e2}能作为一个基底.
（2）因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向量基本定理得所以所以x－y＝3.
跟踪训练
1.AC 寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故A、C选项可作为基底.
2.（－∞，4）∪（4，＋∞） 解析：若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实数λ的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）.
【例2】 解：法一 设AC，BD交于点O，
则有＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
法二 设＝x，＝y，则＝＝y.
又所以
解得x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
跟踪训练
1.a＋b 2a＋c 解析：以{a，b}为基底时，＝＋＝a＋b；以{a，c}为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得＝2a＋c.
2.解：＝－＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以＝＝（e1－e2），
所以＝＋＝e2＋（e1－e2）＝e1＋e2.
【例3】 解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝.
母题探究
解：由本例知＝，则＝，＝＋＝＋＝b＋（－）＝b＋a－b＝a＋b.
跟踪训练
解析：由题意，得＝（＋）.又＝＝－，所以＝（－＋2）＝－＋.又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝－＋1＝.
随堂检测
1.D 选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底，D中的向量不共线，可以作为平面向量的基底.
2.C 如图所示，a－b＝＝－＝e2－3e1.故选C.
3.A 由＝λ，得－＝λ（－），即＝（1＋λ）－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.
4.解：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x（2a－3b）＋y（4a－2b）＝（2x＋4y）a＋（－3x－2y）b.
由平面向量基本定理，得解得
所以p＝－m＋n.
3 / 4(共59张PPT)
6.3.1 平面向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
理解平面向量基本定理及其意义 直观想象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来.那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？
【问题】 如图所示，已知a，b，c，d，e，f的始点相同，你能分
别将c，d，e，f写成向量a，b的线性运算吗？
知识点 平面向量基本定理
1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平
面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a
＝ .
不共线
任一
有且只有一对
λ1e1＋λ2e2
2. 基底
若e1，e2 ，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向
量的一个基底.
提醒 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都
可以作为一个基底.同一非零向量在不同基底下的分解是不同的；
（2）基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定
的数值.
不共线
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）一个平面内只有一对不共线的向量可构成表示该平面内所有
向量的基底. （ × ）
（2）一个平面内有无数多对不共线的向量可构成表示该平面内所
有向量的基底. （ √ ）
（3）零向量不可以作为基底中的向量. （ √ ）
（4）一对不共线的单位向量可以作为基底. （ √ ）
×
√
√
√
2. （多选）设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作
为该平面内一个基底的是（ ）
A. a＝e1＋e2，b＝e1
B. a＝2e1＋e2，b＝ e1＋ e2
C. a＝－e1＋e2，b＝e1－e2
D. a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
解析： 对于A，B，D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以A、B、D符合；对于C，a＝－b，故a，b共线，所以C不符合，故选A、B、D.
3. 如图所示，向量 可用向量e1，e2表示为 .
答案：解析：如图， ＝3e2， ＝4e1，∴ ＝4e1＋3e2.
4e1＋3e2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量基本定理的理解
【例1】 （1）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2
与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一个基底的是
（填序号）；
①②④
解析：①设e1＋e2＝λe1（λ∈R），则无解，∴e1＋e2与e1不
共线，即{e1，e1＋e2}能作为一个基底；②设e1－2e2＝k（e2－2e1）
（k∈R），则e1－2e2＝－2ke1＋ke2，∴无解，∴e1－
2e2与e2－2e1不共线，即 能作为一个基底；③
∵e1－2e2＝－ （4e2－2e1），∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即{e1－
2e2，4e2－2e1}不能作为一个基底；④设e1＋e2＝n（e1－e2）
（n∈R），则e1＋e2＝ne1－ne2，∴无解，∴e1＋e2与e1
－e2不共线，即{e1＋e2，e1－e2}能作为一个基底.
（2）（2024·潍坊月考）已知{a，b}是一个基底，实数x，y满足
（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，则x－y＝ .
解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，由平面向
量基本定理得所以所以x－y＝3.
3
通性通法
对基底的理解
（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线.若
共线，则不能作基底，反之，则可作基底；
（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由
这个基底唯一线性表示出来.设向量a与b是平面内两个不共线
的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2.
【跟踪训练】
1. （多选）设点O是 ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作
为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
解析： 寻找不共线的向量组即可，在 ABCD中， 与
不共线， 与 不共线；而 ∥ ， ∥ ，故A、C选项
可作为基底.
2. 已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作
为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为
.
解析：若{a，b}能作为平面内的一个基底，则a与b不共线，则
a≠kb（k∈R），∵a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，∴λ≠4.∴实数λ
的取值范围为（－∞，4）∪（4，＋∞）.
（－∞，4）∪
（4，＋∞）
题型二 用基底表示向量
【例2】 如图，在平行四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b，用
a，b表示 ， .
解：法一 设AC，BD交于点O，
则有 ＝ ＝ ＝ a， ＝ ＝ ＝ b.
所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b，
＝ ＋ ＝ a＋ b.
法二 设 ＝x， ＝y，则 ＝ ＝y.
又所以
解得x＝ a－ b，y＝ a＋ b，
即 ＝ a－ b， ＝ a＋ b.
通性通法
用基底表示向量的两种基本方法
（1）运用向量的线性运算对待求向量不断地进行转化，直到用基底
表示为止；
（2）通过列向量方程（组），利用基底表示向量的唯一性求解，即
若a＝λ1e1＋μ1e2，且a＝λ2e1＋μ2e2，则来构建方程
（组），使得问题获解.
【跟踪训练】
1. 如图，在正方形ABCD中，设 ＝a， ＝b， ＝c，则以
{a，b}为基底时， 可表示为 ，以{a，c}为基底
时， 可表示为 .
a＋b
2a＋c
解析：以{a，b}为基底时， ＝ ＋ ＝a＋b；以{a，c}为基底时，将 平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得 ＝2a＋c.
2. 如图，在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试用
＝e1， ＝e2表示 .
解： ＝ － ＝e1－e2，
因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以 ＝ ＝ （e1－e2），
所以 ＝ ＋ ＝e2＋ （e1－e2）＝ e1＋ e2.
题型三 平面向量基本定理的应用
【例3】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
解：设 ＝e1， ＝e2，
则 ＝ ＋ ＝－3e2－e1， ＝ ＋ ＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得 ＝λ ＝－λe1－3λe2， ＝μ ＝2μe1
＋μe2.
故 ＝ ＋ ＝ － ＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
而 ＝ ＋ ＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得
解得
∴ ＝ ， ＝ ，
∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝ .
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，若 ＝a， ＝b，试用a，b表示 .
解：由本例知 ＝ ，则 ＝ ， ＝ ＋ ＝ ＋
＝b＋ （ － ）＝b＋ a－ b＝ a＋ b.
通性通法
平面向量基本定理的应用
（1）平面向量基本定理的正用，就是已知一个基底，对平面内任一
向量都可以沿这个基底的两个不共线向量的方向分解成两个向
量和的形式，且分解是唯一的；
（2）平面向量基本定理的逆用，就是选择一个基底并运用该基底将
条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算解决问题
（即求有关参数问题）.
【跟踪训练】
（2024·济源月考）如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点，
若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝ .
解析：由题意，得 ＝ （ ＋ ）.又 ＝ ＝ － ，所以 ＝ （－ ＋2 ）＝－ ＋ .又 ＝λ ＋μ ，所以λ＋μ＝－ ＋1＝ .
1. 若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量
的基底的是（ ）
A. e1－e2，e2－e1 B. 2e1－e2，e1－ e2
C. 2e2－3e1，6e1－4e2 D. 4e1＋2e2，8e1－4e2
解析： 选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向
量的基底，D中的向量不共线，可以作为平面向量的基底.
2. 如图，用向量e1，e2表示向量a－b＝（ ）
A. －2e1－4e2
B. －4e1－2e2
C. e2－3e1
D. －e2＋3e1
解析： 如图所示，a－b＝ ＝ －
＝e2－3e1.故选C.
3. 已知非零向量 ， 不共线，且2 ＝x ＋y ，若 ＝
λ （λ∈R），则x，y满足的关系式是（ ）
A. x＋y－2＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. x＋2y－2＝0 D. 2x＋y－2＝0
解析： 由 ＝λ ，得 － ＝λ（ － ），即 ＝
（1＋λ） －λ .又2 ＝x ＋y ，所以消
去λ得x＋y＝2.
4. （2024·嘉兴月考）设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋
2b，试用m，n表示p.
解：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x（2a－3b）＋y（4a－2b）
＝（2x＋4y）a＋（－3x－2y）b.
由平面向量基本定理，得
解得
所以p＝－ m＋ n.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的是
（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
解析： 由题图可知 与 ， 与 ， 与 共线，不能
作为基底， 与 不共线，可作为基底.故选B.
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2. 设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋
2xe2，则实数x＋y＝（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： ∵向量e1与e2不共线，且3xe1＋（10－y）e2＝（4y－
7）e1＋2xe2，∴解得∴x＋y＝7.
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3. （2024·菏泽月考）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E是
边CD上的点，且CE＝ CD. 若记 ＝a， ＝b，则 ＝
（ ）
A. － a＋b B. a＋b
C. a＋b D. a＋ b
解析： ＝ ＋ ＝－ ＋（ ＋ ）＝－ ＋
＋ ＝－ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＝－ a＋b.故选A.
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4. 在四边形ABCD中， ＝a＋2b， ＝－4a－b， ＝－5a－
3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（ ）
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 梯形 D. 菱形
解析： 因为 ＝ ＋ ＋ ＝a＋2b－4a－b－5a－3b
＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2 ，即 ＝2 ，所以
AD∥BC且AD≠BC. 故四边形ABCD为梯形.选C.
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5. （多选）如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列
说法正确的是（ ）
A. 若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B. 对平面α内任一向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C. λ1e1＋λ2e2（λ1，λ2∈R）不一定在平面α内
D. 对于平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
解析： A正确；B正确，平面内的任一向量都可以用基底表示；C错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；D错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
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6. （多选）点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中
点，且 ＝a， ＝b，则有（ ）
A. ＝－ a－b B. ＝a－ b
C. ＝ a＋ b D. ＝－ a
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解析： 如图，在△ABC中， ＝ ＋ ＝
－ ＋ ＝－b－ a，故A正确； ＝ ＋
＝a＋ b，故B错误； ＝ ＋ ＝－b－a，
＝ ＋ ＝b＋ （－b－a）＝－ a＋ b，
故C错误； ＝ ＝－ a，故D正确.故选A、D.
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7. 如图，在△MAB中，C是边AB上的一点，且AC＝5CB，设 ＝
a， ＝b，则 ＝ .（用a，b表示）
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝
＋ ＝ a＋ b.
a＋ b
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8. 如图，在△ABC中， ＝ ， ＝ ，若 ＝λ ＋
μ ，则 ＝ .
解析：由题意可得， ＝ － ＝ － ， ＝ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ，据此可知λ
＝ ，μ＝ ，∴ ＝ .
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9. （2024·漯河月考）设四边形ABCD为平行四边形，｜ ｜＝
6，｜ ｜＝4.若点M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则
· ＝ .
解析：考虑以{ ， }为基底来计算.∵ ＝3 ， ＝
2 ，∴ ＝ ＋ ， ＝ － ＝－ ＋ ，
∴ · ＝（ ＋ ）·（－ ＋ ）＝ －
＝ ×36－ ×16＝9.
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10. 设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
（1）证明：{a，b}可以作为一个基底；
解：证明：假设a＝λb（λ∈R），
则e1－2e2＝λ（e1＋3e2）.
由e1，e2不共线，得方程组无解，
所以λ不存在.
故a与b不共线，可以作为一个基底.
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（2）以{a，b}为基底表示向量c＝3e1－e2.
解：设c＝ma＋nb（m，n∈R），
则3e1－e2＝m（e1－2e2）＋n（e1＋3e2）＝（m＋n）e1
＋（－2m＋3n）e2.
所以解得
所以c＝2a＋b.
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11. 在△ABC中，D是AB边上的一点，若 ＝2 ， ＝ ＋
λ ，则λ＝（ ）
A. B.
解析： 画出示意图如图所示，由题意可得，A，B，D三点共
线，C为A，B，D所在直线外一点，且 ＝ ＋λ ，则
＋λ＝1，所以λ＝ .
C. － D. －
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12. （多选）已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝
2AD＝2DC， ＝3 ， ＝2 ，则下列表示正确的是
（ ）
A. ＝－ ＋
B. ＝ ＋
C. ＝ －
D. ＝－ ＋
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解析： 如图， ＝ ＋ ＋ ＝－
＋ ＋ ＝ ＋ ，故选项A不正确； ＝
＝ （ ＋ ）＝ ［ － （ ＋ ）］＝ （ － ）＝ ＋ ，故选项B正确； ＝ ＋ ＋ ＝－ － ＋ ＋ ＝－ － ，故选项C不正确； ＝ － ＝ ＋ － ＝－ ＋ ，故选项D正确.故选B、D.
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13. （2024·潮州质检）在△ABC中，D是直线AB上的点.若2 ＝
＋λ ，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则
＝ .
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解析：依题意作图，设 ＝μ ＝μ（ － ）＝－μ
＋μ ，由条件 ＝ ＋ ，∴μ＝－ ， ＝μ＝－ ，
＝－ ，∴点D在AB的延长线上，并且AD＝ AB，∴
＝ ＝ .
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14. 如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°， ＝
2 ， ＝2 .
（1）求CD的长；
解：因为 ＝2 ，
所以 ＝ ，
所以 ＝ － ＝ － ，
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所以｜ ｜＝
＝
＝ ＝ ，
即CD的长为 .
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（2）求 · 的值.
解： ＝ － ＝－ ＋
＝－ （ － ）＋
＝ ＋ ，
所以 · ＝ ·（ ＋ ）＝
＋ · ＝ ＋ ×2×3× ＝ .
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15. 设e1，e2是平面内两个不共线的向量， ＝（a－1）e1＋e2，
＝be1－2e2（a＞0，b＞0）.若A，B，C三点共线，则 ＋
的最小值为 .
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解析：∵A，B，C三点共线，∴ 与 共线，∴存在实数λ，
使得 ＝λ ，即（a－1）e1＋e2＝bλe1－2λe2.∵e1，e2不共
线，∴解得∵a＞0，b＞0，∴0＜a＜
1，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝
.当a＝ 时， ＋ 取得最小值，最小值为4.
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16. 已知O是线段AB外一点，若 ＝a， ＝b.
（1）设点G是△OAB的重心，证明： ＝ （a＋b）；
解：证明：设AB的中点为E，则 ＝ ＝ ×
（a＋b）＝ （a＋b）.
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（2）设点A1，A2是线段AB的三等分点，△OAA1，△OA1A2及
△OA2B的重心依次为G1，G2，G3，试用向量a，b表示
＋ ＋ ；
解：点A1，A2是线段AB的三等分点，
＝ （ ＋ ）， ＝ （ ＋ ），
＝ （ ＋ ），
则 ＋ ＋ ＝ （a＋b）＋ （ ＋ ）＝
（a＋b）＋ ［a＋ （b－a）＋a＋ （b－a）］＝a＋b.
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（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结
论？（不必证明）
说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分.
解：设A1是AB的二等分点，则 ＝ （a＋b），
＋ ＝ （ ＋ ）＋ （ ＋ ）＝ （a＋
b）＋ ＝ （a＋b）＋ × （a＋b）＝ （a＋b），
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设A1、A2、A3是线段AB的四等分点，则 ＋ ＋ ＝ （a＋b），
或设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＝a＋b（k＝1，2，…，n－1），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＋…＋ ＝ （a＋b），
设A1、A2、…、An－1是线段AB的n等分点，则 ＋ ＋…＋ ＝ （a＋b）.
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谢 谢 观 看！
