6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
1.已知向量＝（2，4），＝（0，2），则＝（ ）
A.（－2，－2） B.（2，2）
C.（1，1） D.（－1，－1）
2.下列向量组中，能作为基底的是（ ）
A.e1＝（0，0），e2＝（1，－2）
B.e1＝（－1，2），e2＝（5，7）
C.e1＝（3，5），e2＝（6，10）
D.e1＝（2，－3），e2＝（，－）
3.已知A（3，－2），B（－1，4），若＝，则P点的坐标为（ ）
A.（0，） B.（0，）
C.（，0） D.（，0）
4.已知向量＝（7，6），＝（－3，m），＝（－1，2m），若A，C，D三点共线，则m＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
5.（多选）已知a＝（5，4），b＝（3，2），则下列向量中与2a－3b平行的向量有（ ）
A.（，） B.（，－）
C.（－2，1） D.（1，2）
6.（多选）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若A，B，C为三角形的顶点，则实数m可以是（ ）
A.－2 B.
C.1 D.－1
7.已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），p＝（9，4），若p＝ma＋nb，则m＋n＝ .
8.如果向量a＝（k，1），b＝（4，k）共线且方向相反，则k＝ .
9.已知点A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，且｜AP｜＝2｜BP｜，则点P的坐标为 .
10.已知向量＝（4，3），＝（－3，－1），点A（－1，－2）.
（1）求线段BD的中点M的坐标；
（2）若点P（2，y）满足＝λ（λ∈R），求实数λ与y的值.
11.（2024·南平质检）已知A（－3，0），B（0，－2），O为坐标原点，点C在∠AOB内，｜｜＝2，且∠AOC＝，设＝λ＋（λ∈R），则λ＝（ ）
A.1 B. C. D.
12.（多选）（2024·韶关月考）已知λ，μ∈R，＝（λ，1），＝（－1，1），＝（1，μ），则（ ）
A.＋＝（λ－1，1－μ）
B.若∥，则λ＝2，μ＝
C.若A是BD的中点，则B，C两点重合
D.若点B，C，D共线，则μ＝1
13.已知A（0，5），B（－1，0），C（3，4），D是BC上一点且△ACD的面积是△ABC面积的，则△ABC的重心G的坐标是 ，D的坐标是 .
14.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且＝＋t，试问：
（1）当t为何值时，点P分别在x轴上、y轴上、第二象限？
（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
15.如图所示，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），则直线AC和OB的交点P的坐标为 .
16.设向量a＝（λ＋2，λ2－cos2α），b＝（m，＋sin α），其中λ，m，α为实数，若a＝2b，求的取值范围.
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
1.D ∵＝（2，4），＝（0，2），∴＝－＝（－2，－2），∴＝（－1，－1）.
2.B 对于A，因e1＝0，则有e1∥e2，e1与e2不能作为基底；对于B，因e1＝（－1，2），e2＝（5，7），（－1）×7－2×5≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；对于C，因e1＝（3，5），e2＝（6，10），则有e2＝2e1，e1与e2不能作为基底；对于D，因e1＝（2，－3），e2＝（，－），则有e1＝4e2，e1与e2不能作为基底.故选B.
3.B 设P点的坐标为（x，y），则＝（－1－x，4－y），＝（－4，6），由＝，得解得所以P点的坐标为（0，）.
4.D ＝＋＝（4，m＋6），因为A，C，D三点共线，所以与共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝－.故选D.
5.AD ∵a＝（5，4），b＝（3，2），∴2a－3b＝（1，2），则与2a－3b平行的向量c＝（x，y）需满足y－2x＝0，即y＝2x.选项A，D中向量满足，故选A、D.
6.ABD 若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因为＝－＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2），＝－＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可作为三角形的顶点.故选A、B、D.
7.7 解析：由于p＝ma＋nb，即（9，4）＝（2m，－3m）＋（n，2n）＝（2m＋n，－3m＋2n），所以解得所以m＋n＝7.
8.－2 解析：∵a与b共线且方向相反，∴存在实数λ（λ＜0），使得b＝λa，即（4，k）＝λ（k，1）＝（λk，λ），∴解得或（舍去）.
9.（6，－9） 解析：设点P的坐标为（x，y），由条件可知＝－2，由定比分点坐标公式可知即点P的坐标为（6，－9）.
10.解：（1）设B（x1，y1），
因为＝（4，3），A（－1，－2），
所以（x1＋1，y1＋2）＝（4，3），
所以解得
所以B（3，1）.
同理可得D（－4，－3），设BD的中点M（x2，y2），
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M（－，－1）.
（2）因为＝（3，1）－（2，y）＝（1，1－y），
＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4），
又＝λ（λ∈R），
所以（1，1－y）＝λ（－7，－4）＝（－7λ，－4λ），
所以解得
11.D 由题设知，C在第三象限内，又｜｜＝2且∠AOC＝，所以C（－2，－2），所以＝（－2，－2），而＝（－3，0），＝（0，－2），则＝λ＋，即（－2，－2）＝λ（－3，0）＋（0，－2）＝（－3λ，－2），可得λ＝.故选D.
12.AC A选项，＋＝－＋－＝－＝（λ，1）－（1，μ）＝（λ－1，1－μ），A选项正确；B选项，若∥，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝，B选项错误；C选项，若A是BD的中点，则＝－，即（λ，1）＝（－1，－μ） λ＝μ＝－1，所以＝＝（－1，1），所以B，C两点重合，C选项正确；D选项，由于B，C，D三点共线，所以∥，＝－＝（－1，1）－（λ，1）＝（－1－λ，0），＝－＝（1，μ）－（λ，1）＝（1－λ，μ－1），则（－1－λ）×（μ－1）＝0×（1－λ） λ＝－1或μ＝1，所以D选项错误.
13.（，3） （2，3） 解析：由题可得△ABC的重心G的坐标为（，），即（，3）.由题意得＝3.设D（x，y），则＝（x＋1，y），＝（3－x，4－y），所以x＋1＝3（3－x），y＝3（4－y），解得x＝2，y＝3，即D（2，3）.
14.解：由题意得＝（1，2），＝（3，3），
∴＝＋t＝（1，2）＋t（3，3）＝（1＋3t，2＋3t）.
（1）若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，解得t＝－；
若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，解得t＝－；
若点P在第二象限，则有解得－＜t＜－.
（2）不能.理由：＝－＝（3－3t，3－3t），若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即有3－3t＝1且3－3t＝2，这显然是不可能的.因此，四边形OABP不能成为平行四边形.
15.（3，3） 解析：设P（x，y），则＝（x，y），因为＝（4，4），且与共线，所以4x＝4y，即x＝y.又＝（x－4，y），＝（－2，6），且与共线，则得（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为（3，3）.
16.解：由a＝2b，
知
∴
∴＝＝2－，
∵cos2α＋2sin α＝－sin2α＋2sin α＋1
＝－（sin α－1）2＋2，－1≤sin α≤1，
∴－2≤cos2α＋2sin α≤2，
∴－2≤λ2－m＝（2m－2）2－m≤2，
∴≤m≤2，
∴－6≤2－≤1，
即－6≤≤1，
∴的取值范围为[－6，1].
2 / 26.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.掌握数乘向量的坐标运算 数学运算
2.能用坐标表示平面向量共线的条件 逻辑推理
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.
【问题】 （1）若a∥b，则它们的坐标之间有什么关系？
（2）λa（λ∈R）的坐标与a的坐标之间有什么关系？
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝（x，y），则λa＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数 .
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.向量a，b共线的充要条件是 .
提醒 （1）a∥b（b≠0） a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了代数运算；（3）a∥b ＝，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
【想一想】
两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成＝吗？
知识点三 中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点P的坐标为（x，y），则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
1.向量a＝（－1，3），b＝（2，－1），则a－2b＝（ ）
A.（－5，5） B.（5，－5）
C.（－3，1） D.（1，－1）
2.设x为实数，若向量a＝（2，3），b＝（x，－6），且a∥b，则x的值为（ ）
A.－ B.－4
C. D.4
3.已知P（2，6），Q（－4，0），则PQ的中点坐标为 .
题型一 平面向量数乘的坐标运算
【例1】 已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：（1）2a＋3b；（2）a－3b；（3）a－b.
通性通法
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；
（3）向量的线性运算可完全类比数的运算进行.
【跟踪训练】
1.（2024·日照月考）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（ ）
A.（－23，－12） B.（23，12）
C.（7，0） D.（－7，0）
2.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且＝3，＝2，求M，N及的坐标.
题型二 向量平行（共线）的判定
【例2】 （1）下列各组向量共线的是（ ）
A.a1＝（－2，3），b1＝（4，6）
B.a2＝（2，3），b2＝（3，2）
C.a3＝（1，2），b3＝（7，14）
D.a4＝（－3，2），b4＝（6，4）
（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？
通性通法
向量共线的判定方法
【跟踪训练】
已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，2），且＝，＝，求证：∥.
题型三 利用向量共线的坐标表示求参数
【例3】 （1）已知向量a＝（2，6），b＝（－1，λ），若a∥b，则λ＝ ；
（2）（2024·郑州月考）已知点P（－1，2），线段PQ的中点M的坐标为（1，－1）.若向量与向量a＝（λ，1）共线，则λ＝ .
通性通法
利用向量共线的坐标表示求参数的思路
（1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数；
（2）利用向量共线的坐标表示直接求参数.
提醒 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解.
【跟踪训练】
1.已知非零向量a＝（m2－1，m＋1）与向量b＝（1，－2）平行，则实数m的值为（ ）
A.－1或 B.1或－
C.－1 D.
2.（2024·绍兴月考）已知＝（k，2），＝（1，2k），＝（1－k，－1），且相异三点A，B，C共线，则实数k＝ .
题型四 有向线段的定比分点坐标公式及应用
【例4】 已知点A（3，－4）与点B（－1，2），点P在直线AB上，且｜｜＝2｜｜，求点P的坐标.
【母题探究】
（变条件、变设问）若将本例条件改为“经过点P（－2，3）的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且｜｜＝3｜｜”，求点A，B的坐标.
通性通法
点P分线段P1P2的比为λ，点P坐标的求法
（1）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）.若＝λ时，则P点的坐标为（，）（其中λ称为定比，此公式为定比分点坐标公式，λ≠－1）.
①当λ＜0时，点P为外分点（点P在线段P1P2的延长线上）；
②当λ＞0时，点P为内分点（点P在线段P1P2上）.
（2）当λ＝1时，即点P是P1P2的中点（＝）时，则P点坐标为（，）.
【跟踪训练】
1. （2024·泉州月考）在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点G（2，－1）在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是（ ）
A.（－4，2） B.（－4，－2）
C.（4，－2） D.（4，2）
2.如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，则点G的坐标为 .
1.下列各组向量中，共线的是（ ）
A.a＝（－1，2），b＝（，1）
B.a＝（3，），b＝（2，）
C.a＝（2，3），b＝（2，－3）
D.a＝（－3，2），b＝（3，－2）
2.已知向量e1＝（－1，2），e2＝（2，1），若向量a＝2e1－e2，则向量a的坐标为（ ）
A.（4，3） B.（－4，3）
C.（－4，－3） D.（0，5）
3.已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，m＋1），a∥b，则2a＋3b＝（ ）
A.（－5，－10） B.（－4，－8）
C.（－3，－6） D.（－2，－4）
4.已知A（1，－3），B（8，），C（9，λ），且A，B，C三点共线，则λ＝ .
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点一
（λx，λy） 乘原来向量的相应坐标
知识点二
x1y2－x2y1＝0
想一想
提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义.
知识点三
自我诊断
1.A a－2b＝（－1，3）－（4，－2）＝（－5，5）.故选A.
2.B 因为a∥b，所以存在实数λ，使得b＝λa，又a＝（2，3），b＝（x，－6），所以解得所以x的值为－4.故选B.
3.（－1，3） 解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为（－1，3）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）＝（－2，4）＋（6，3）＝（4，7）.
（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）＝（－1，2）－（6，3）＝（－7，－1）.
（3）a－b＝（－1，2）－（2，1）＝（－，1）－（，）＝（－，）.
跟踪训练
1.A ∵a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）.
2.解：由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），可得＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3），
所以＝3＝3（1，8）＝（3，24），＝2＝2（6，3）＝（12，6）.
设M（x1，y1），N（x2，y2），则＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），解得x1＝0，y1＝20；
＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），解得x2＝9，y2＝2，
所以M（0，20），N（9，2），＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）.
【例2】 （1）C 对于A，∵a1＝（－2，3），b1＝（4，6），则（－2）×6－3×4≠0，即a1与b1不共线；对于B，∵a2＝（2，3），b2＝（3，2），则2×2－3×3≠0，即a2与b2不共线；对于C，∵a3＝（1，2），b3＝（7，14），则1×14－2×7＝0，即a3与b3共线；对于D，∵a4＝（－3，2），b4＝（6，4），则（－3）×4－2×6≠0，即a4与b4不共线.故选C.
（2）解：＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3），＝（5，－3）－（1，3）＝（4，－6）.
法一 ∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴与共线，通过观察可知，和方向相反.
法二 ∵＝－2，∴与共线且方向相反.
跟踪训练
证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）.
由题意知＝（2，2），＝（－2，3），＝（4，－1），
∴＝＝（，），＝＝（－，1），
∴＝（x1，y1）－（－1，0）＝（，），
＝（x2，y2）－（3，－1）＝（－，1），
∴（x1，y1）＝（－，），（x2，y2）＝（，0），
∴＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（，－）.
∵4×（－）－（－1）×＝0，∴∥.
【例3】 （1）－3 （2）－
解析：（1）由题意知－6＝2λ，所以λ＝－3.
（2）点P（－1，2），线段PQ的中点M的坐标为（1，－1），所以向量＝2（1－（－1），－1－2）＝（4，－6），又因为与向量a＝（λ，1）共线，所以4×1＋6λ＝0，解得λ＝－.
跟踪训练
1.D 非零向量a＝（m2－1，m＋1）与向量b＝（1，－2）平行，∴－2（m2－1）－1×（m＋1）＝0，且m≠－1，∴m＝.
2.－ 解析：＝－＝（1－k，2k－2），＝－＝（1－2k，－3），由题意可知∥，所以（－3）×（1－k）－（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－（k＝1不合题意舍去）.
【例4】 解：设点P的坐标为（x，y），
因为｜｜＝2｜｜，
所以当P在线段AB上时，＝2，
所以（x－3，y＋4）＝2（－1－x，2－y），
所以解得
所以点P的坐标为（，0）；
当P在线段AB的延长线上时，＝－2，
所以（x－3，y＋4）＝－2（－1－x，2－y），
所以解得
所以点P的坐标为（－5，8），
综上所述，点P的坐标为（，0）或（－5，8）.
母题探究
解：由题设知，A，B，P三点共线，且｜｜＝3｜｜.
设A（x，0），B（0，y）.
①点P在A，B之间，则有＝3，
所以（－x，y）＝3（－2－x，3），
所以解得
点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）.
②点P不在A，B之间，则有＝－3，
易得点A，B的坐标分别为（－，0），（0，－9）.
综上，点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）或（－，0），（0，－9）.
跟踪训练
1.B 设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（，）.由＝2可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故点C的坐标为（－4，－2）.
2.（，）
解析：∵D是AB的中点，∴点D的坐标为（，），∵＝2，∴＝2，设G点坐标为（x，y），由定比分点坐标公式可得x＝＝，y＝＝，即点G的坐标为（，）.
随堂检测
1.D 选项A中，2×－（－1）×1≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）＝0，则有a∥b.
2.B a＝2e1－e2＝（－2，4）－（2，1）＝（－4，3）.
3.B 依题意a＝（1，2），b＝（－2，m＋1），a∥b， 所以1×（m＋1）＝－2×2，m＝－5，即b＝（－2，－4），所以2a＋3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8）.故选B.
4.1 解析：由A（1，－3），B（8，），C（9，λ），可得＝（7，），＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得∥，则7（λ＋3）－8×＝0，解得λ＝1.
4 / 4(共68张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
1.掌握数乘向量的坐标运算 数学运算
2.能用坐标表示平面向量共线的条件 逻辑推理
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.
【问题】 （1）若a∥b，则它们的坐标之间有什么关系？
（2）λa（λ∈R）的坐标与a的坐标之间有什么关系？
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
已知a＝（x，y），则λa＝ ，即实数与向量的积的
坐标等于用这个实数 .
（λx，λy）
乘原来向量的相应坐标
知识点二 平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0.向量a，b共线的充
要条件是 .
x1y2－x2y1＝0
提醒 （1）a∥b（b≠0） a＝λb.这是几何运算，体现了向量a
与b的长度及方向之间的关系；（2）a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a
＝（x1，y1），b＝（x2，y2）.这是代数运算，由于不需引进参数λ，
从而简化了代数运算；（3）a∥b ＝ ，其中a＝（x1，y1），
b＝（x2，y2）且y1≠0，y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种
形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
【想一想】
两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的坐标条件能表示成
＝ 吗？
提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义.
知识点三 中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段P1P2的中点
P的坐标为（x，y），则此公式为线段P1P2的中点坐
标公式.
1. 向量a＝（－1，3），b＝（2，－1），则a－2b＝（ ）
A. （－5，5） B. （5，－5）
C. （－3，1） D. （1，－1）
解析：a－2b＝（－1，3）－（4，－2）＝（－5，5）.故选A.
2. 设x为实数，若向量a＝（2，3），b＝（x，－6），且a∥b，则
x的值为（ ）
B. －4
D. 4
解析： 因为a∥b，所以存在实数λ，使得b＝λa，又a＝（2，
3），b＝（x，－6），所以解得所以x的
值为－4.故选B.
3. 已知P（2，6），Q（－4，0），则PQ的中点坐标为 .
解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为（－1，3）.
（－1，3）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量数乘的坐标运算
【例1】 已知a＝（－1，2），b＝（2，1），求：（1）2a＋3b；
（2）a－3b；（3） a－ b.
解：2a＋3b＝2（－1，2）＋3（2，1）＝（－2，4）＋（6，
3）＝（4，7）.
（2）a－3b＝（－1，2）－3（2，1）＝（－1，2）－（6，3）＝
（－7，－1）.
（3） a－ b＝ （－1，2）－ （2，1）＝（－ ，1）－（ ， ）
＝（－ ， ）.
通性通法
平面向量坐标运算的技巧
（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的
坐标运算进行运算；
（2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后
再进行向量的坐标运算；
（3）向量的线性运算可完全类比数的运算进行.
【跟踪训练】
1. （2024·日照月考）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若
c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（ ）
A. （－23，－12） B. （23，12）
C. （7，0） D. （－7，0）
解析： ∵a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b
＋c＝0，∴c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－
15，－6－6）＝（－23，－12）.
2. 已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且 ＝
3 ， ＝2 ，求M，N及 的坐标.
解：由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），可得
＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8）， ＝（3，－1）－
（－3，－4）＝（6，3），
所以 ＝3 ＝3（1，8）＝（3，24）， ＝2 ＝2（6，3）
＝（12，6）.
设M（x1，y1），N（x2，y2），则 ＝（x1＋3，y1＋4）＝
（3，24），解得x1＝0，y1＝20；
＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），解得x2＝9，y2＝2，
所以M（0，20），N（9，2）， ＝（9，2）－（0，20）＝
（9，－18）.
题型二 向量平行（共线）的判定
【例2】 （1）下列各组向量共线的是（ ）
A. a1＝（－2，3），b1＝（4，6）
B. a2＝（2，3），b2＝（3，2）
C. a3＝（1，2），b3＝（7，14）
D. a4＝（－3，2），b4＝（6，4）
解析： 对于A，∵a1＝（－2，3），b1＝（4，6），则（－2）×6
－3×4≠0，即a1与b1不共线；对于B，∵a2＝（2，3），b2＝（3，
2），则2×2－3×3≠0，即a2与b2不共线；对于C，∵a3＝（1，
2），b3＝（7，14），则1×14－2×7＝0，即a3与b3共线；对于D，
∵a4＝（－3，2），b4＝（6，4），则（－3）×4－2×6≠0，即a4
与b4不共线.故选C.
（2）已知A（2，1），B（0，4），C（1，3），D（5，－3），
判断 与 是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是
相反？
解： ＝（0，4）－（2，1）＝（－2，3）， ＝（5，－
3）－（1，3）＝（4，－6）.
法一 ∵（－2）×（－6）－3×4＝0，∴ 与 共线，通过观察
可知， 和 方向相反.
法二 ∵ ＝－2 ，∴ 与 共线且方向相反.
通性通法
向量共线的判定方法
【跟踪训练】
已知A，B，C三点的坐标分别为（－1，0），（3，－1），（1，
2），且 ＝ ， ＝ ，求证： ∥ .
证明：设E（x1，y1），F（x2，y2）.
由题意知 ＝（2，2）， ＝（－2，3）， ＝（4，－1），
∴ ＝ ＝（ ， ）， ＝ ＝（－ ，1），
∴ ＝（x1，y1）－（－1，0）＝（ ， ），
＝（x2，y2）－（3，－1）＝（－ ，1），
∴（x1，y1）＝（－ ， ），（x2，y2）＝（ ，0），
∴ ＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（ ，－ ）.
∵4×（－ ）－（－1）× ＝0，∴ ∥ .
题型三 利用向量共线的坐标表示求参数
【例3】 （1）已知向量a＝（2，6），b＝（－1，λ），若a∥b，
则λ＝ ；
解析：由题意知－6＝2λ，所以λ＝－3.
－3
（2）（2024·郑州月考）已知点P（－1，2），线段PQ的中点M的
坐标为（1，－1）.若向量 与向量a＝（λ，1）共线，则λ
＝ .
解析：点P（－1，2），线段PQ的中点M的坐标为（1，－
1），所以向量 ＝2（1－（－1），－1－2）＝（4，－6），
又因为 与向量a＝（λ，1）共线，所以4×1＋6λ＝0，解得λ
＝－ .
－
通性通法
利用向量共线的坐标表示求参数的思路
（1）利用共线向量定理a＝λb（b≠0）列方程（组）求参数；
（2）利用向量共线的坐标表示直接求参数.
提醒 当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求解.
【跟踪训练】
1. 已知非零向量a＝（m2－1，m＋1）与向量b＝（1，－2）平行，
则实数m的值为（ ）
C. －1
解析：非零向量a＝（m2－1，m＋1）与向量b＝（1，－2）平行，∴－2（m2－1）－1×（m＋1）＝0，且m≠－1，∴m＝ .
2. （2024·绍兴月考）已知 ＝（k，2）， ＝（1，2k）， ＝
（1－k，－1），且相异三点A，B，C共线，则实数k＝ .
解析： ＝ － ＝（1－k，2k－2）， ＝ － ＝（1
－2k，－3），由题意可知 ∥ ，所以（－3）×（1－k）－
（2k－2）（1－2k）＝0，解得k＝－ （k＝1不合题意舍去）.
－
题型四 有向线段的定比分点坐标公式及应用
【例4】 已知点A（3，－4）与点B（－1，2），点P在直线AB
上，且｜ ｜＝2｜ ｜，求点P的坐标.
解：设点P的坐标为（x，y），
因为｜ ｜＝2｜ ｜，
所以当P在线段AB上时， ＝2 ，
所以（x－3，y＋4）＝2（－1－x，2－y），
所以解得
所以点P的坐标为（ ，0）；
当P在线段AB的延长线上时， ＝－2 ，
所以（x－3，y＋4）＝－2（－1－x，2－y），
所以解得
所以点P的坐标为（－5，8），
综上所述，点P的坐标为（ ，0）或（－5，8）.
【母题探究】
（变条件、变设问）若将本例条件改为“经过点P（－2，3）的直线
分别交x轴、y轴于点A，B，且｜ ｜＝3｜ ｜”，求点A，B
的坐标.
解：由题设知，A，B，P三点共线，且｜ ｜＝3｜ ｜.
设A（x，0），B（0，y）.
①点P在A，B之间，则有 ＝3 ，
所以（－x，y）＝3（－2－x，3），
所以解得
点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）.
②点P不在A，B之间，则有 ＝－3 ，
易得点A，B的坐标分别为（－ ，0），（0，－9）.
综上，点A，B的坐标分别为（－3，0），（0，9）或（－ ，0），
（0，－9）.
通性通法
点P分线段P1P2的比为λ，点P坐标的求法
（1）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）.若 ＝λ 时，则P点的坐
标为（ ， ）（其中λ称为定比，此公式为定比分
点坐标公式，λ≠－1）.
①当λ＜0时，点P为外分点（点P在线段P1P2的延长线上）；
②当λ＞0时，点P为内分点（点P在线段P1P2上）.
（2）当λ＝1时，即点P是P1P2的中点（ ＝ ）时，则P点坐标
为（ ， ）.
【跟踪训练】
1. （2024·泉州月考）在△ABC中，A（2，3），B（8，－4），点G
（2，－1）在中线AD上，且 ＝2 ，则点C的坐标是（ ）
A. （－4，2） B. （－4，－2）
C. （4，－2） D. （4，2）
解析： 设点C的坐标为（x，y），则点D的坐标为（ ，
）.由 ＝2 可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，
y＝－2，故点C的坐标为（－4，－2）.
2. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，
y2），C（x3，y3），D是边AB的中点，G是CD上的一点，且
＝2，则点G的坐标为 .
（ ， ）
解析：∵D是AB的中点，∴点D的坐标为（ ， ），
∵ ＝2，∴ ＝2 ，设G点坐标为（x，y），由定比分点坐
标公式可得x＝ ＝ ，y＝ ＝
，即点G的坐标为（ ， ）.
1. 下列各组向量中，共线的是（ ）
C. a＝（2，3），b＝（2，－3）
D. a＝（－3，2），b＝（3，－2）
解析： 选项A中，2× －（－1）×1≠0，则a与b不共线；同
理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－（－3）×（－2）
＝0，则有a∥b.
2. 已知向量e1＝（－1，2），e2＝（2，1），若向量a＝2e1－e2，则
向量a的坐标为（ ）
A. （4，3） B. （－4，3）
C. （－4，－3） D. （0，5）
解析： a＝2e1－e2＝（－2，4）－（2，1）＝（－4，3）.
3. 已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，m＋1），a∥b，则2a
＋3b＝（ ）
A. （－5，－10） B. （－4，－8）
C. （－3，－6） D. （－2，－4）
解析： 依题意a＝（1，2），b＝（－2，m＋1），a∥b， 所
以1×（m＋1）＝－2×2，m＝－5，即b＝（－2，－4），所以
2a＋3b＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8）.故选B.
4. 已知A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），且A，B，C三点
共线，则λ＝ .
解析：由A（1，－3），B（8， ），C（9，λ），可得 ＝
（7， ）， ＝（8，λ＋3），由A，B，C三点共线，得
∥ ，则7（λ＋3）－8× ＝0，解得λ＝1.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量 ＝（2，4）， ＝（0，2），则 ＝（ ）
A. （－2，－2） B. （2，2）
C. （1，1） D. （－1，－1）
解析： ∵ ＝（2，4）， ＝（0，2），∴ ＝ －
＝（－2，－2），∴ ＝（－1，－1）.
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2. 下列向量组中，能作为基底的是（ ）
A. e1＝（0，0），e2＝（1，－2）
B. e1＝（－1，2），e2＝（5，7）
C. e1＝（3，5），e2＝（6，10）
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解析： 对于A，因e1＝0，则有e1∥e2，e1与e2不能作为基底；
对于B，因e1＝（－1，2），e2＝（5，7），（－1）×7－
2×5≠0，则有e1与e2不共线，e1与e2可作基底；对于C，因e1＝
（3，5），e2＝（6，10），则有e2＝2e1，e1与e2不能作为基底；
对于D，因e1＝（2，－3），e2＝（ ，－ ），则有e1＝4e2，e1
与e2不能作为基底.故选B.
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3. 已知A（3，－2），B（－1，4），若 ＝ ，则P点的坐标
为（ ）
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解析： 设P点的坐标为（x，y），则 ＝（－1－x，4－
y）， ＝（－4，6），由 ＝ ，得解得
所以P点的坐标为（0， ）.
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4. 已知向量 ＝（7，6）， ＝（－3，m）， ＝（－1，
2m），若A，C，D三点共线，则m＝（ ）
解析： ＝ ＋ ＝（4，m＋6），因为A，C，D三点
共线，所以 与 共线，所以4×2m＝－（m＋6），解得m＝
－ .故选D.
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5. （多选）已知a＝（5，4），b＝（3，2），则下列向量中与2a－
3b平行的向量有（ ）
C. （－2，1） D. （1，2）
解析： ∵a＝（5，4），b＝（3，2），∴2a－3b＝（1，
2），则与2a－3b平行的向量c＝（x，y）需满足y－2x＝0，即
y＝2x.选项A，D中向量满足，故选A、D.
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6. （多选）已知向量 ＝（1，－3）， ＝（2，－1）， ＝
（m＋1，m－2），若A，B，C为三角形的顶点，则实数m可以
是（ ）
A. －2
C. 1 D. －1
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解析： 若A，B，C三点不共线即可作为三角形的顶点.因为 ＝ － ＝（2，－1）－（1，－3）＝（1，2）， ＝ － ＝（m＋1，m－2）－（1，－3）＝（m，m＋1），假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点即可作为三角形的顶点.故选A、B、D.
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7. 已知向量a＝（2，－3），b＝（1，2），p＝（9，4），若p＝
ma＋nb，则m＋n＝ .
解析：由于p＝ma＋nb，即（9，4）＝（2m，－3m）＋（n，
2n）＝（2m＋n，－3m＋2n），所以解得
所以m＋n＝7.
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8. 如果向量a＝（k，1），b＝（4，k）共线且方向相反，则k
＝ .
解析：∵a与b共线且方向相反，∴存在实数λ（λ＜0），使得b＝
λa，即（4，k）＝λ（k，1）＝（λk，λ），∴解得
或（舍去）.
－2
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9. 已知点A（2，3），B（4，－3），点P在线段AB的延长线上，
且｜AP｜＝2｜BP｜，则点P的坐标为 .
解析：设点P的坐标为（x，y），由条件可知 ＝－2 ，由定
比分点坐标公式可知即点P的坐标为（6，－
9）.
（6，－9）
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10. 已知向量 ＝（4，3）， ＝（－3，－1），点A（－1，－2）.
（1）求线段BD的中点M的坐标；
解：设B（x1，y1），
因为 ＝（4，3），A（－1，－2），
所以（x1＋1，y1＋2）＝（4，3），
所以解得
所以B（3，1）.
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同理可得D（－4，－3），设BD的中点M（x2，y2），
则x2＝ ＝－ ，y2＝ ＝－1，
所以M（－ ，－1）.
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（2）若点P（2，y）满足 ＝λ （λ∈R），求实数λ与y的值.
解：因为 ＝（3，1）－（2，y）＝（1，1－y），
＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4），
又 ＝λ （λ∈R），
所以（1，1－y）＝λ（－7，－4）＝（－7λ，－4λ），
所以解得
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11. （2024·南平质检）已知A（－3，0），B（0，－2），O为坐标
原点，点C在∠AOB内，｜ ｜＝2 ，且∠AOC＝ ，设 ＝
λ ＋ （λ∈R），则λ＝（ ）
A. 1
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解析： 由题设知，C在第三象限内，又｜ ｜＝2 且
∠AOC＝ ，所以C（－2，－2），所以 ＝（－2，－2），而
＝（－3，0）， ＝（0，－2），则 ＝λ ＋ ，即
（－2，－2）＝λ（－3，0）＋（0，－2）＝（－3λ，－2），可
得λ＝ .故选D.
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12. （多选）（2024·韶关月考）已知λ，μ∈R， ＝（λ，1），
＝（－1，1）， ＝（1，μ），则（ ）
C. 若A是BD的中点，则B，C两点重合
D. 若点B，C，D共线，则μ＝1
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解析： A选项， ＋ ＝ － ＋ － ＝ －
＝（λ，1）－（1，μ）＝（λ－1，1－μ），A选项正确；B选
项，若 ∥ ，则λ·μ＝1，故也可取λ＝3，μ＝ ，B选项错
误；C选项，若A是BD的中点，则 ＝－ ，即（λ，1）＝
（－1，－μ） λ＝μ＝－1，所以 ＝ ＝（－1，1），所以
B，C两点重合，C选项正确；D选项，由于B，C，D三点共线，所以 ∥ ， ＝ － ＝（－1，1）－（λ，1）＝（－1－λ，0）， ＝ － ＝（1，μ）－（λ，1）＝（1－λ，μ－1），则（－1－λ）×（μ－1）＝0×（1－λ） λ＝－1或μ＝1，所以D选项错误.
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13. 已知A（0，5），B（－1，0），C（3，4），D是BC上一点且
△ACD的面积是△ABC面积的 ，则△ABC的重心G的坐标
是 ，D的坐标是 .
解析：由题可得△ABC的重心G的坐标为（ ， ），即
（ ，3）.由题意得 ＝3 .设D（x，y），则 ＝（x＋
1，y）， ＝（3－x，4－y），所以x＋1＝3（3－x），y＝3
（4－y），解得x＝2，y＝3，即D（2，3）.
（ ，3）
（2，3）
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14. 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且 ＝ ＋
t ，试问：
（1）当t为何值时，点P分别在x轴上、y轴上、第二象限？
解：由题意得 ＝（1，2）， ＝（3，3），
∴ ＝ ＋t ＝（1，2）＋t（3，3）＝（1＋3t，2＋3t）.
（1）若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，解得t＝－ ；
若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，解得t＝－ ；
若点P在第二象限，则有解得－ ＜t＜－ .
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（2）四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t
值；若不能，请说明理由.
解：不能.理由： ＝ － ＝（3－3t，3－3t），若
四边形OABP是平行四边形，则有 ＝ ，即有3－3t＝1
且3－3t＝2，这显然是不可能的.因此，四边形OABP不能
成为平行四边形.
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15. 如图所示，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6），则直
线AC和OB的交点P的坐标为 .
（3，3）
解析：设P（x，y），则 ＝（x，y），因为 ＝（4，4），且 与 共线，所以4x＝4y，即x＝y.又 ＝（x－4，y）， ＝（－2，6），且 与 共线，则得（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为（3，3）.
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16. 设向量a＝（λ＋2，λ2－ cos 2α），b＝（m， ＋ sin α），其中
λ，m，α为实数，若a＝2b，求 的取值范围.
解：由a＝2b，知
∴
∴ ＝ ＝2－ ，
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∵ cos 2α＋2 sin α＝－ sin 2α＋2 sin α＋1
＝－（ sin α－1）2＋2，－1≤ sin α≤1，
∴－2≤ cos 2α＋2 sin α≤2，
∴－2≤λ2－m＝（2m－2）2－m≤2，
∴ ≤m≤2，
∴－6≤2－ ≤1，
即－6≤ ≤1，
∴ 的取值范围为[－6，1].
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