6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.向量a=(1,-2),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0
C.2 D.5
2.已知a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,则|b|=( )
A.2 B.
C.10 D.5
3.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
4.设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),O为坐标原点,若四边形OABC是平行四边形,则向量与的夹角为( )
A. B.
C. D.
5.(多选)已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),c=(1,1),则( )
A.a∥b B.(a+b)⊥c
C.a+b=c D.c=5a+3b
6.(多选)(2024·平顶山月考)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),则( )
A.a与a-b夹角的余弦值为
B.(a+b)∥a
C.向量a在向量b上的投影向量的模为
D.若c=(,-),则a⊥c
7.设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m= .
8.已知a=(1,2),b=(-2,n),且a⊥b,则|3a+b|= .
9.(2024·湖州质检)设向量a=(2,3),b=(6,t),若a与b的夹角为锐角,则实数t的取值范围为 .
10.已知向量a=(-1,2),b=(3,-1).
(1)求a+2b的坐标与|a-b|;
(2)求向量a与a-b的夹角的余弦值.
11.若向量=(3,-1),n=(2,1),且n·=7,则n·=( )
A.-2 B.2
C.-2或2 D.0
12.如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E在边CD上,且=2,则·=( )
A. B.
C. D.
13.(2024·宁德质检)已知O为坐标原点,向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P使得·有最小值,则点P的坐标为 .
14.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c与a 方向相反,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
15.已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p与q的夹角是( )
A.锐角 B.钝角
C.直角 D.不确定
16.(2024·云浮月考)已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3).
(1)若∥,求x与y之间的关系式;
(2)在(1)的条件下,若⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.D 由题意得,2a+b=(2,-4)+(-1,2)=(1,-2),所以(2a+b)·a=1×1+(-2)×(-2)=5.故选D.
2.B 因为a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,所以2x+2=0,解得x=-1,所以b=(-1,2),则|b|==.
3.A 由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),所以·=8×2+(-4)×4=0,即⊥.所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
4.B ∵四边形OABC是平行四边形,∴=,即(4-0,2-0)=(a-2,8-a),∴a=6,∴=(4,2),=(2,6),设向量与的夹角为θ,∴cos θ===,又θ∈(0,π),∴与的夹角为.
5.BD 由2×2-(-3)×(-1)≠0知,A错误;由题意得a+b=(-1,1),所以(a+b)·c=-1+1=0,所以B正确,C错误;由题意得5a+3b=5(2,-1)+3(-3,2)=(1,1)=c,所以D正确.故选B、D.
6.ACD 对于A:由题意得,a-b=(5,0),所以a与a-b夹角的余弦值为=,故A正确;对于B:由题意得,a+b=(-1,2),所以(a+b)·a=-1×2+1×2=0,所以(a+b)⊥a,故B不正确;对于C:易知===-,所以向量a在向量b上的投影向量的模为,故C正确;对于D:因为a=(2,1),c=(,-),所以a·c=2×+1×(-)=0,所以a⊥c,故D正确.故选A、C、D.
7.-1 解析:由题意得ma-b=(m+1,-m),根据向量垂直的充要条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1.
8.5 解析:因为a⊥b,所以-2+2n=0,于是n=1,因此a=(1,2),b=(-2,1),所以3a+b=(1,7),故|3a+b|=5.
9.(-4,9)∪(9,+∞) 解析:因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,且a与b不共线,所以解得t>-4且t≠9,所以实数t的取值范围为(-4,9)∪(9,+∞).
10.解:(1)a+2b=(5,0),
a-b=(-4,3),
|a-b|==5.
(2)a·(a-b)=10,
|a|==,
cos<a,a-b>===.
11.B ∵+=,∴n·(+)=n·,即n·+n·=n·,∴n·=n·-n·=7-5=2.
12.C 以A为原点,AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB=,BC=2,∴A(0,0),B(,0),C(,2),D(0,2),∵点E在边CD上,且=2,
∴E(,2).∴=(,2),=(-,2),∴·=-+4=.
13.(3,0) 解析:设点P的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).所以·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以当x=3时,·有最小值1.此时点P的坐标为(3,0).
14.解:(1)设c=(x,y),由c∥a及|c|=2.
可得
所以或
因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),
所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
所以2×5+3a·b-2×=0,
所以a·b=-,
所以cos θ==-1.
又因为 θ∈[0,π],所以θ=π.
15.A 因为△ABC是锐角三角形,所以A+B>,即>A>-B>0,又因为函数y=sin x在(0,)上单调递增,所以sin A>sin(-B)=cos B,所以p·q=sin A-cos B>0,设p与q的夹角为θ,所以cos θ=>0,又因为p与q不共线,所以p与q的夹角是锐角.
16.解:(1)∵=++=(x+4,y-2),
∴=-=(-x-4,2-y).
又∥,且=(x,y),
∴x(2-y)-y(-x-4)=0,
即x+2y=0.
(2)=+=(x+6,y+1),
=+=(x-2,y-3).
∵⊥,∴·=0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.
由(1)知x+2y=0,与上式联立,
化简得y2-2y-3=0,
解得y=3或y=-1.
当y=3时,x=-6,
此时=(0,4),=(-8,0);
当y=-1时,x=2,
此时=(8,0),=(0,-4);
∴S四边形ABCD=||||=16.
2 / 26.3.5 平面向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角 数学运算
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 逻辑推理
通过前面的学习,我们知道,已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),我们可以求出a+b,a-b以及λa(λ≠0)的坐标.
【问题】 那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢?
知识点 平面向量数量积的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.则
(1)a·b= ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ;
(2)|a|2= ,或|a|= ;
(3)a⊥b =0(a,b是非零向量);
(4)若a,b都是非零向量,则cos θ= = .
【想一想】
向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别?
1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x=( )
A.3 B. C.- D.-3
2.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b 与b垂直,则|a|=( )
A.1 B. C.2 D.4
3.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
题型一 平面向量数量积的坐标表示
【例1】 (2024·江门月考)已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b).
通性通法
向量数量积坐标运算的方法
进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有三种途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算;三是若题中涉及图形,则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标,再由向量坐标求得数量积.
【跟踪训练】
1.(2024·三明月考)已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),若(8a-b)·c=30,则x=( )
A.6 B.5
C.4 D.3
2.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上,=2,求·的值.
题型二 平面向量的模
【例2】 (1)(2022·全国乙卷3题)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
(2)(2024·商丘月考)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|= .
通性通法
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题;
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= .
【跟踪训练】
1.已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=( )
A. B.
C.5 D.25
2.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.以上均不正确
题型三 向量的夹角与垂直
【例3】 已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值;
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
通性通法
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法:由cos θ==直接求出cos θ;
(2)注意事项:利用三角函数值cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时,要注意cos θ<0时,有两种情况:一是θ是钝角,二是θ为180°;cos θ>0时,也有两种情况:一是θ是锐角,二是θ为0°.
【跟踪训练】
1.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1),则向量a与b夹角的余弦值为 .
2.(2024·济宁月考)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
1.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),则a与b的夹角为( )
A.0° B.45°
C.60° D.90°
2.(2024·丽水月考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )
A.-12 B.-6
C.6 D.12
3.设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+b|= .
4.已知点A(0,1),B(1,-2),向量=(4,-1),求·及||.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
【基础知识·重落实】
知识点
(1)x1x2+y1y2 乘积的和 (2)+ (3)x1x2+y1y2
(4)
想一想
提示:向量垂直与向量平行的条件容易混淆,注意以下特点:
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2-x2y1=0 交叉相乘差为0
自我诊断
1.C 由3a·b=4,得(6,-9)·(x,2x)=-12x=4,∴x=-.
2.C ∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0,∴n2=3,∴|a|==2.
3.A |a|==5,|b|==13.a·b=3×5+4×12=63.设a与b的夹角为θ,所以cos θ==.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)法一 因为a=(-1,2),b=(3,2),
所以a-b=(-4,0).
所以a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
法二 a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
跟踪训练
1.C 由题意可得,8a-b=(6,3),又(8a-b)·c=30,c=(3,x),所以18+3x=30,解得x=4.
2.解:建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),因为=2,所以F(,2).所以=(2,1),=(,2)-(2,0)=(-,2),所以·=(2,1)·(-,2)=2×(-)+1×2=.
【例2】 (1)D (2)5 解析:(1)由题意知a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所以|a-b|==5,故选D.
(2)∵a+b=(x-1,y+2)=(1,3),则x=2,且y=1.∴a=(2,1),则a-2b=(4,-3),故|a-2b|==5.
跟踪训练
1.C ∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5,∴(a+b)2=a2+2a·b+b2=50,∴5+2×10+b2=50,∴b2=25,∴|b|=5.故选C.
2.C ||==,||==.又||==,∴||=||,且||2+||2=||2,因此△ABC为等腰直角三角形.
【例3】 解:(1)因为a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|==5,|b|==,
设a与b的夹角为θ,
所以cos θ===.
(2)因为a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
又(a-λb)⊥(2a+b),
所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0,解得λ=.
跟踪训练
1. 解析:∵a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1),b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3),∴|a|=,|b|=5,a·b=4×1+3×(-1)=1,设a,b的夹角为θ,∴cos θ===.
2. 解析:法一 a-λb=(1-3λ,3-4λ),∵(a-λb)⊥b,∴(a-λb)·b=0,即(1-3λ,3-4λ)·(3,4)=0,∴3-9λ+12-16λ=0,解得λ=.
法二 由(a-λb)⊥b可知,(a-λb)·b=0,即a·b-λb2=0,从而 λ====.
随堂检测
1.D a·b=2-2=0,所以a⊥b,所以a与b的夹角为90°.故选D.
2.D 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.
3. 解析:∵a∥b,∴1×y-2×(-2)=0,解得y=-4,从而3a+b=(1,2),|3a+b|=.
4.解:因为=(1,-3),所以·=1×4+(-3)×(-1)=7,
=-=(4,-1)-(1,-3)=(3,2),
所以||==.
3 / 3(共57张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
新课程标准解读 核心素养
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两
个平面向量的夹角 数学运算
2.能用坐标表示平面向量垂直的条件 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
通过前面的学习,我们知道,已知a=(x1,y1),b=(x2,
y2),我们可以求出a+b,a-b以及λa(λ≠0)的坐标.
【问题】 那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢?
知识点 平面向量数量积的坐标表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ.则
(1)a·b= ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标
的 ;
(2)|a|2= ,或|a|= ;
(3)a⊥b =0(a,b是非零向量);
x1x2+y1y2
乘积的和
+
x1x2+y1y2
(4)若a,b都是非零向量,则 cos θ= = .
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2-x2y1=0 交叉相乘差为0
提示:向量垂直与向量平行的条件容易混淆,注意以下特点:
【想一想】
向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别?
1. 若a=(2,-3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x=( )
A. 3
D. -3
解析: 由3a·b=4,得(6,-9)·(x,2x)=-12x=4,
∴x=- .
2. 已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b 与b垂直,
则|a|=( )
A. 1
C. 2 D. 4
解析: ∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1
+n2)=n2-3=0,∴n2=3,∴|a|= =2.
3. 已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为
( )
解析: |a|= =5,|b|= =13.a·b=
3×5+4×12=63.设a与b的夹角为θ,所以 cos θ= = .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量数量积的坐标表示
【例1】 (2024·江门月考)已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
解:法一 因为a=(-1,2),b=(3,2),
所以a-b=(-4,0).
所以a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=(-1)×(-
4)+2×0=4.
法二 a·(a-b)=a2-a·b=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)求(a+b)·(2a-b).
解:因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=
(-5,2),
所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-
5)+4×2=-2.
通性通法
向量数量积坐标运算的方法
进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性
质.解题时通常有三种途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行
数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计
算;三是若题中涉及图形,则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之
差求出向量的坐标,再由向量坐标求得数量积.
【跟踪训练】
1. (2024·三明月考)已知a=(1,1),b=(2,5),c=(3,
x),若(8a-b)·c=30,则x=( )
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析: 由题意可得,8a-b=(6,3),又(8a-b)·c=
30,c=(3,x),所以18+3x=30,解得x=4.
2. 已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,点F在AD上,
=2 ,求 · 的值.
解:建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,2),E(2,1),
D(2,2),B(0,0),C(2,0),因为 =2 ,所以F
( ,2).所以 =(2,1), =( ,2)-(2,0)=(-
,2),
所以 · =(2,1)·(- ,2)=2×(- )+1×2= .
题型二 平面向量的模
【例2】 (1)(2022·全国乙卷3题)已知向量a=(2,1),b=
(-2,4),则|a-b|=( D )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析:由题意知a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),所
以|a-b|= =5,故选D.
D
(2)(2024·商丘月考)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),
且a+b=(1,3),则|a-2b|= .
解析:∵a+b=(x-1,y+2)=(1,3),则x=2,且y=
1.∴a=(2,1),则a-2b=(4,-3),故|a-2b|=
=5.
5
通性通法
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为
向量与向量的数量积的问题;
(2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=
x2+y2,于是有|a|= .
【跟踪训练】
1. 已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5 ,则|b|=
( )
C. 5 D. 25
解析: ∵a=(2,1),∴a2=5,又|a+b|=5 ,
∴(a+b)2=a2+2a·b+b2=50,∴5+2×10+b2=50,∴b2=
25,∴|b|=5.故选C.
2. 已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),
B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 以上均不正确
解析: | |= = ,| |
= = .又| |=
= ,∴| |=| |,且|
|2+| |2=| |2,因此△ABC为等腰直角三角形.
题型三 向量的夹角与垂直
【例3】 已知a=(4,3),b=(-1,2).
(1)求a与b夹角的余弦值;
解:因为a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|= =5,|b|= = ,
设a与b的夹角为θ,
所以 cos θ= = = .
(2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值.
解:因为a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
又(a-λb)⊥(2a+b),
所以7(4+λ)+8(3-2λ)=0,解得λ= .
通性通法
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法:由 cos θ= = 直接求出
cos θ;
(2)注意事项:利用三角函数值 cos θ求θ的值时,应注意角θ的取值
范围是0°≤θ≤180°.利用 cos θ= 判断θ的值时,要注
意 cos θ<0时,有两种情况:一是θ是钝角,二是θ为180°;
cos θ>0时,也有两种情况:一是θ是锐角,二是θ为0°.
【跟踪训练】
解析:∵a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1),b=4e1
+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3),∴|a|= ,|
b|=5,a·b=4×1+3×(-1)=1,设a,b的夹角为θ,∴ cos
θ= = = .
2. (2024·济宁月考)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a
-λb)⊥b,则λ= .
解析:法一 a-λb=(1-3λ,3-4λ),∵(a-λb)⊥b,
∴(a-λb)·b=0,即(1-3λ,3-4λ)·(3,4)=0,∴3-9λ
+12-16λ=0,解得λ= .
法二 由(a-λb)⊥b可知,(a-λb)·b=0,即a·b-λb2=0,
从而 λ= = = = .
1. 已知向量a=(2,1),b=(1,-2),则a与b的夹角为( )
A. 0° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析:D a·b=2-2=0,所以a⊥b,所以a与b的夹角为90°.
故选D.
2. (2024·丽水月考)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),
a·(2a-b)=0,则k=( )
A. -12 B. -6
C. 6 D. 12
解析: 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由
a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k
=0,解得k=12.
3. 设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+
b|= .
解析:∵a∥b,∴1×y-2×(-2)=0,解得y=-4,从而3a
+b=(1,2),|3a+b|= .
4. 已知点A(0,1),B(1,-2),向量 =(4,-1),求
· 及| |.
解:因为 =(1,-3),所以 · =1×4+(-3)×(-
1)=7,
= - =(4,-1)-(1,-3)=(3,2),
所以| |= = .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 向量a=(1,-2),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A. -1 B. 0
C. 2 D. 5
解析: 由题意得,2a+b=(2,-4)+(-1,2)=(1,
-2),所以(2a+b)·a=1×1+(-2)×(-2)=5.故选D.
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2. 已知a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,则|b|=( )
C. 10 D. 5
解析: 因为a=(1,-2),b=(x,2),且a∥b,所以
2x+2=0,解得x=-1,所以b=(-1,2),则|b|=
= .
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3. 已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状
是( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
解析: 由题设知 =(8,-4), =(2,4), =
(-6,8),所以 · =8×2+(-4)×4=0,即 ⊥ .
所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
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4. 设点A(4,2),B(a,8),C(2,a),O为坐标原点,若
四边形OABC是平行四边形,则向量 与 的夹角为( )
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解析: ∵四边形OABC是平行四边形,∴ = ,即(4-
0,2-0)=(a-2,8-a),∴a=6,∴ =(4,2),
=(2,6),设向量 与 的夹角为θ,∴ cos θ= =
= ,又θ∈(0,π),∴ 与 的夹角为 .
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5. (多选)已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),c=(1,
1),则( )
A. a∥b B. (a+b)⊥c
C. a+b=c D. c=5a+3b
解析: 由2×2-(-3)×(-1)≠0知,A错误;由题意得
a+b=(-1,1),所以(a+b)·c=-1+1=0,所以B正
确,C错误;由题意得5a+3b=5(2,-1)+3(-3,2)=
(1,1)=c,所以D正确.故选B、D.
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6. (多选)(2024·平顶山月考)已知向量a=(2,1),b=(-
3,1),则( )
B. (a+b)∥a
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解析: 对于A:由题意得,a-b=(5,0),所以a与a-
b夹角的余弦值为 = ,故A正确;对于B:由题意得,
a+b=(-1,2),所以(a+b)·a=-1×2+1×2=0,所以
(a+b)⊥a,故B不正确;对于C:易知 = =
=- ,所以向量a在向量b上的投影向量的模为 ,故C正
确;对于D:因为a=(2,1),c=( ,- ),所以a·c=2× +1×(- )=0,所以a⊥c,故D正确.故选A、C、D.
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7. 设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m
= .
解析:由题意得ma-b=(m+1,-m),根据向量垂直的充要
条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1.
-1
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8. 已知a=(1,2),b=(-2,n),且a⊥b,则|3a+b|
= .
解析:因为a⊥b,所以-2+2n=0,于是n=1,因此a=(1,
2),b=(-2,1),所以3a+b=(1,7),故|3a+b|=
5 .
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9. (2024·湖州质检)设向量a=(2,3),b=(6,t),若a与b
的夹角为锐角,则实数t的取值范围为 .
解析:因为a与b的夹角为锐角,所以a·b>0,且a与b不共线,
所以解得t>-4且t≠9,所以实数t的取值范围为
(-4,9)∪(9,+∞).
(-4,9)∪(9,+∞)
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10. 已知向量a=(-1,2),b=(3,-1).
(1)求a+2b的坐标与|a-b|;
解:a+2b=(5,0),
a-b=(-4,3),
|a-b|= =5.
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(2)求向量a与a-b的夹角的余弦值.
解:a·(a-b)=10,
|a|= = ,
cos <a,a-b>= = = .
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11. 若向量 =(3,-1),n=(2,1),且n· =7,则n·
=( )
A. -2 B. 2
C. -2或2 D. 0
解析: ∵ + = ,∴n·( + )=n· ,即
n· +n· =n· ,∴n· =n· -n· =7-5=2.
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12. 如图所示,在矩形ABCD中,AB= ,BC=2,点E在边CD
上,且 =2 ,则 · =( )
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解析: 以A为原点,AB所在直线为x轴、AD所
在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.∵AB
= ,BC=2,∴A(0,0),B( ,0),C
( ,2),D(0,2),∵点E在边CD上,且
=2 ,
∴E( ,2).∴ =( ,2), =(-
,2),∴ · =- +4= .
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13. (2024·宁德质检)已知O为坐标原点,向量 =(2,2),
=(4,1),在x轴上有一点P使得 · 有最小值,则点P的
坐标为 .
解析:设点P的坐标为(x,0),则 =(x-2,-2),
=(x-4,-1).所以 · =(x-2)(x-4)+(-2)×
(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1,所以当x=3时, ·
有最小值1.此时点P的坐标为(3,0).
(3,0)
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14. 已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2 ,且c与a 方向相反,求c的坐标;
解:设c=(x,y),由c∥a及|c|=2 .
可得
所以或
因为c与a方向相反,所以c=(-2,-4).
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(2)若|b|= ,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解:因为(a+2b)⊥(2a-b),
所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
所以2×5+3a·b-2× =0,
所以a·b=- ,
所以 cos θ= =-1.
又因为 θ∈[0,π],所以θ=π.
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15. 已知A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角,向量p=( sin
A,1),q=(1,- cos B),则p与q的夹角是( )
A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 不确定
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解析: 因为△ABC是锐角三角形,所以A+B> ,即 >A
> -B>0,又因为函数y= sin x在(0, )上单调递增,所以
sin A> sin ( -B)= cos B,所以p·q= sin A- cos B>0,设p
与q的夹角为θ,所以 cos θ= >0,又因为p与q不共线,
所以p与q的夹角是锐角.
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16. (2024·云浮月考)已知向量 =(6,1), =(x,y),
=(-2,-3).
(1)若 ∥ ,求x与y之间的关系式;
解:∵ = + + =(x+4,y-2),
∴ =- =(-x-4,2-y).
又 ∥ ,且 =(x,y),
∴x(2-y)-y(-x-4)=0,
即x+2y=0.
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(2)在(1)的条件下,若 ⊥ ,求x,y的值及四边形
ABCD的面积.
解: = + =(x+6,y+1),
= + =(x-2,y-3).
∵ ⊥ ,∴ · =0,
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.
由(1)知x+2y=0,与上式联立,
化简得y2-2y-3=0,
解得y=3或y=-1.
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当y=3时,x=-6,
此时 =(0,4), =(-8,0);
当y=-1时,x=2,
此时 =(8,0), =(0,-4);
∴S四边形ABCD= | || |=16.
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谢 谢 观 看!