一、复数的概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
【例1】 （1）设i是虚数单位，若复数a＋（a∈R）是纯虚数，则a＝（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
（2）（多选）若复数z满足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虚数单位），则（ ）
A.z的虚部为－i
B.z的模为
C.z的共轭复数为4－i
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
反思感悟
处理复数概念问题的两个注意点
（1）当已知复数不是以代数形式给出时，要通过变形化为复数的代数形式a＋bi（a，b∈R），以便确定其实部和虚部；
（2）求解与复数的概念有关的参数时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根.
【跟踪训练】
1.若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（ ）
A.0 B.－1
C.1 D.－2
2.已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋（5m＋6）i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为（ ）
A.4 B.－1
C.6 D.－1或6
二、复数的四则运算
复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比.
【例2】 （1）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝，则z－＝（ ）
A.－i B.i
C.0 D.1
（2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2，的值.
反思感悟
进行复数代数运算的策略
（1）复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算；
（2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式.
【跟踪训练】
1.（2023·全国甲卷2题）＝（ ）
A.－1 B.1
C.1－i D.1＋i
2.已知z＝－，则z100＋z50＋1＝（ ）
A.i B.－i
C.1＋i D.1－i
三、复数的几何意义
复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内的点，向量之间的关系解题.
【例3】 （1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它们在复平面内所对应的点分别为A，B，C.若O为原点，且＝2＋，求a，b的值.
反思感悟
在复平面内确定复数对应的点的步骤
（1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序实数对（a，b）；
（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）；
（3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量＝（a，b），同时也对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
【跟踪训练】
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），则z的共轭复数＝（ ）
A.1＋i B.1－i
C.－1＋i D.－1－i
2.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点P是△ABC的（ ）
A.外心 B.内心
C.重心 D.垂心
章末复习与总结
【例1】 （1）C （2）BD 解析：（1）∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C.
（2）由（1＋i）·z＝5＋3i得z＝＝＝＝4－i，所以z的虚部为－1，A错误；z的模为＝，B正确；z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应的点为（4，－1），位于第四象限，D正确.
跟踪训练
1.A 因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.
2.B 由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋（5m＋6）i，根据两个复数相等的充要条件可得解得m＝－1.
【例2】 （1）A 由题意，得z＝＝＝－i，所以＝i，所以z－＝－i－i＝－i.故选A.
（2）解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i，
＝＝＝＝－i.
跟踪训练
1.C 由题意得＝＝＝1－i.故选C.
2.B 因为（1－i）2＝1－2i＋i2＝－2i，所以z100＋z50＋1＝（－）100＋（－）50＋1＝（－）100（1－i）100＋（－）50·（1－i）50＋1＝（－2i）50＋（－2i）25＋1＝i50－i25＋1＝i2－i＋1＝－i.
【例3】 （1）A ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
（2）解：∵＝2＋，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋bi），即∴
跟踪训练
1.D ∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，），∴z＝－1＋i，则z的共轭复数＝－1－i，故选D.
2.A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴点P是△ABC的外心.
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章末复习与总结
一、复数的概念
复数的概念是掌握复数的基础，如虚数、纯虚数、复数相等、复数的
模等.有关复数的题目不同于实数，应注意根据复数的相关概念解答.
【例1】 （1）设i是虚数单位，若复数a＋ （a∈R）是纯虚
数，则a＝（ C ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
解析：∵a＋ ＝a＋ ＝a＋ ＝a－2－4i是纯虚
数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C.
C
（2）（多选）若复数z满足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虚数单
位），则（ BD ）
A. z的虚部为－i
C. z的共轭复数为4－i
D. z在复平面内对应的点位于第四象限
BD
解析：由（1＋i）·z＝5＋3i得z＝ ＝ ＝ ＝4
－i，所以z的虚部为－1，A错误；z的模为 ＝
，B正确；z的共轭复数为4＋i，C错误；z在复平面内对应
的点为（4，－1），位于第四象限，D正确.
反思感悟
处理复数概念问题的两个注意点
（1）当已知复数不是以代数形式给出时，要通过变形化为复数的代
数形式a＋bi（a，b∈R），以便确定其实部和虚部；
（2）求解与复数的概念有关的参数时，要注意实部和虚部本身对变
量的要求，否则容易产生增根.
【跟踪训练】
1. 若复数z＝1＋i（i为虚数单位）， 是z的共轭复数，则z2＋ 的
虚部为（ ）
A. 0 B. －1
C. 1 D. －2
解析： 因为z＝1＋i，所以 ＝1－i，所以z2＋ ＝（1＋i）2＋
（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.
2. 已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋（5m＋6）i，其中m为实数，i为
虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为（ ）
A. 4 B. －1
C. 6 D. －1或6
解析：由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋（5m＋6）i，根据两个复数相等的充要条件可得解得m＝－1.
二、复数的四则运算
复数运算是本章的重要内容，掌握复数的加法、减法、乘法和除法法
则是关键，注意与多项式的四则运算法则做类比.
【例2】 （1）（2023·新高考Ⅰ卷2题）已知z＝ ，则z－ ＝
（ ）
A. －i B. i
C. 0 D. 1
解析： 由题意，得z＝ ＝ ＝－ i，所以 ＝
i，所以z－ ＝－ i－ i＝－i.故选A.
（2）设z1＝3－2i，z2＝5＋4i，求z1＋z2，z1z2， 的值.
解：因为z1＝3－2i，z2＝5＋4i.
所以z1＋z2＝3－2i＋5＋4i＝8＋2i，
z1z2＝（3－2i）（5＋4i）＝23＋2i，
＝ ＝ ＝ ＝ － i.
（2）复数的四则运算中含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看
作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单
的形式.
反思感悟
进行复数代数运算的策略
（1）复数的运算的基本思路就是应用运算法则进行计算；
【跟踪训练】
1. （2023·全国甲卷2题） ＝（ ）
A. －1 B. 1
C. 1－i D. 1＋i
解析： 由题意得 ＝ ＝ ＝1－i.
故选C.
2. 已知z＝－ ，则z100＋z50＋1＝（ ）
A. i B. －i
C. 1＋i D. 1－i
解析： 因为（1－i）2＝1－2i＋i2＝－2i，所以z100＋z50＋1＝
（－ ）100＋（－ ）50＋1＝（－ ）100（1－i）100＋（－
）50（1－i）50＋1＝ （－2i）50＋ （－2i）25＋1＝i50－i25＋
1＝i2－i＋1＝－i.
三、复数的几何意义
复数的几何意义是本章学习的难点，解答此类问题的关键是利用复数
运算将复数化为a＋bi（a，b∈R）的形式，再利用复数与复平面内
的点，向量之间的关系解题.
【例3】 （1）（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－
i）对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：A ∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）
（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－
i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
（2）已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi（a，b∈R），z3＝1－4i，它
们在复平面内所对应的点分别为A，B，C. 若O为原点，且
＝2 ＋ ，求a，b的值.
解：∵ ＝2 ＋ ，∴1－4i＝2（2＋3i）＋（a＋bi），
即∴
反思感悟
在复平面内确定复数对应的点的步骤
（1）由复数确定有序实数对，即由z＝a＋bi（a，b∈R）确定有序
实数对（a，b）；
（2）由有序实数对（a，b）确定复平面内的点Z（a，b）；
（3）由复平面内的点Z（a，b）确定向量 ＝（a，b），同时也
对应复数z＝a＋bi（a，b∈R）.
【跟踪训练】
1. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1， ），则z的共轭
复数 ＝（ ）
解析： ∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（－1，
），∴z＝－1＋ i，则z的共轭复数 ＝－1－ i，故选D.
2. △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z
－z1｜＝｜z－z2｜＝｜z－z3｜，则z对应的点P是△ABC的（ ）
A. 外心 B. 内心
C. 重心 D. 垂心
解析： 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复
数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴点P是
△ABC的外心.
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