章末检测（七） 复数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设（1＋2i）a＋b＝2i，其中a，b为实数，则（ ）
A.a＝1，b＝－1 B.a＝1，b＝1
C.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1
2.设复数z＝，则z在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A.（1，1） B.（－1，1）
C.（1，－1） D.（－1，－1）
3.已知复数z满足（1－i）2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（ ）
A.2 B.1
C.－2 D.i
4.在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是，，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为（ ）
A.1＋i B.5－i
C.5－3i D.－5＋i
5.若z＝1＋i，则｜iz＋3｜＝（ ）
A.4 B.4
C.2 D.2
6.已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足·z2是纯虚数，则复数z2＝（ ）
A.1－2i B.1＋2i
C.2－i D.2＋i
7.当1＜m＜2时，复数m－1＋（m－2）i在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝（ ）
A.2－2i B.2＋2i
C.－2＋2i D.－2－2i
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.下面关于复数z＝的四个说法中，正确的有（ ）
A.｜z｜＝2 B.z2＝2i
C.z的共轭复数为1＋i D.z的虚部为－1
10.设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是（ ）
A.若｜z1－z2｜＝0，则＝
B.若z1＝，则＝z2
C.若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝z2
D.若｜z1｜＝｜z2｜，则＝
11.任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以表示成：z＝r（cos θ＋isin θ）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cos θ＋isin θ）]n＝rn（cos nθ＋isin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A.当r＝1，θ＝，n＝1时，＝－i
B.（＋i）3＝1
C.｜z4｜＝｜z｜4
D.（＋i）10在复平面内对应的点在第三象限
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点分别为Z1和Z2，且⊥，则a＝ .
13.已知复数z1＝cos θ－i，z2＝sin θ＋i（θ∈R），则z1·z2的实部的最大值为 .
14.已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝.求：
（1）z1z2；（2）.
16.（本小题满分15分）设复数z＝log2（m2－3m－3）＋ilog2（m－2）（m∈R）对应的向量为.
（1）若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及｜｜；
（2）若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围.
17.（本小题满分15分）（1）在复平面内画出与以下复数z1，z2，z3，z4分别对应的向量，，，，z1＝1，z2＝i，z3＝4＋3i，z4＝4－3i；
（2）求向量，，，的模；
（3）点P1，P2，P3，P4中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？
18.（本小题满分17分）已知关于x的二次方程x2－（tan θ＋i）x－（i＋2）＝0.
（1）当θ为何值时，这个方程有一个实根？
（2）是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由.
19.（本小题满分17分）设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2.
（1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围；
（2）设μ＝，求证：μ为纯虚数；
（3）求ω－μ2的最小值.
章末检测（七） 复数
1.A 2.B 3.B 4.D
5.D 因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3｜＝｜2－2i｜＝＝2.故选D.
6.A 由z1＝2＋i，得＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋bi（b∈R），则·z2＝（2－i）（1＋bi）＝2＋b＋（2b－1）i.由·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i.
7.D 由1＜m＜2，可得所以复数m－1＋（m－2）i在复平面内对应的点Z（m－1，m－2）位于第四象限，故选D.
8.A 由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故选A.
9.BD ∵z＝＝＝－1－i，∴｜z｜＝，A不正确；z2＝（－1－i）2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C不正确；z的虚部为－1，D正确.
10.ABC A项，｜z1－z2｜＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 ＝，真命题；B项，z1＝ ＝z2，真命题；C项，｜z1｜＝｜z2｜ ｜z1｜2＝｜z2｜2 z1＝z2，真命题；D项，当｜z1｜＝｜z2｜时，可取z1＝1，z2＝i，显然＝1，＝－1，即≠，假命题.
11.AC 对A，由题意可知，当r＝1，θ＝，n＝1时，z＝r（cos θ＋isin θ）＝＋i，所以＝－i，A正确；对B，（＋i）3＝（cos ＋isin ）3＝cos π＋isin π＝－1，所以B错误；对C，｜z4｜＝｜r4（cos 4θ＋isin 4θ）｜＝r4，｜z｜4＝r4，所以C正确；对D，由（＋i）10＝（cos ＋isin ）10＝cos ＋isin ＝－i，所以（＋i）10在复平面内对应的点的坐标为（，－），在第四象限，D错误.故选A、C.
12. 解析：依题意可知＝（－3，4），＝（2a，1）.因为⊥，所以·＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝.
13. 解析：z1·z2＝（cos θ－i）·（sin θ＋i）＝（cos θsin θ＋1）＋i（cos θ－sin θ），故实部为cos θsin θ＋1＝1＋sin 2θ≤，最大值为.
14.[0，3] 解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z｜≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对应点A（a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，0）之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜≤3.∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3].
15.解：z2＝＝＝
＝＝1－3i.
（1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i.
（2）＝＝＝＝＋i.
16.解：（1）因为的终点Z在虚轴上，所以复数z的实部为0，
则有log2（m2－3m－3）＝0，所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1.
因为m－2＞0，所以m＝4，此时z＝i，＝（0，1），｜｜＝1.
（2）因为的终点Z在第二象限内，
则有解得＜m＜4，
所以m的取值范围为.
17.解：（1）由题意可得如图所示图象.
（2）由于，，，的坐标分别为（1，0），（0，1），（4，3），（4，－3），
则向量，，，的模分别为｜｜＝1，｜｜＝1，｜｜＝＝5，｜｜＝＝5.
（3）点P3（4，3），P4（4，－3）关于实轴对称，它们所对应的复数4＋3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反数，互为共轭复数.
18.解：（1）设x0是方程的一个实根，则－（tan θ＋i）x0－（i＋2）＝0，
即（－tan θ·x0－2）－i（x0＋1）＝0.
根据复数相等知
解得x0＝－1，tan θ＝1，θ＝kπ＋（k∈Z）.
所以当θ＝kπ＋（k∈Z）时，原方程有一实根－1.
（2）假定方程有纯虚数根bi（b∈R，且b≠0），代入原方程得（bi）2－（tan θ＋i）·bi－（i＋2）＝0，
即－b2＋b－2－（btan θ＋1）i＝0.
由复数相等知
但方程－b2＋b－2＝0即b2－b＋2＝0无实数解，即实数b不存在.
所以对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根.
19.解：（1）∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝x＋＋（y－）i，
可得 x2＋y2＝1 ｜z｜＝1，
此时，ω＝2x －＜x＜1，
即z的实部的取值范围为（－，1）.
（2）证明：μ＝＝＝＝，∵y≠0，∴μ为纯虚数.
（3）ω－μ2＝2x－（－i）2，
化简得ω－μ2＝2（x＋1）＋－3≥ 2－3＝1.
当且仅当x＋1＝，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1.
2 / 2(共29张PPT)
章末检测（七） 复数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设（1＋2i）a＋b＝2i，其中a，b为实数，则（ ）
A. a＝1，b＝－1 B. a＝1，b＝1
C. a＝－1，b＝1 D. a＝－1，b＝－1
解析： 因为a，b∈R，（a＋b）＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，
2a＝2，解得a＝1，b＝－1.
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2. 设复数z＝ ，则z在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. （1，1） B. （－1，1）
C. （1，－1） D. （－1，－1）
解析： z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，则z在复平面
内对应的点的坐标为（－1，1）.故选B.
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3. 已知复数z满足（1－i）2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数z的
虚部为（ ）
A. 2 B. 1
C. －2 D. i
解析： 由题意，化简得z＝ ＝ ＝ ＝2＋i，所以
复数z的虚部为1.故选B.
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4. 在复平面内，复数3＋2i，－2＋3i对应的向量分别是 ， ，其
中O是坐标原点，则向量 对应的复数为（ ）
A. 1＋i B. 5－i
C. 5－3i D. －5＋i
解析： 由题设 ＝（3，2）， ＝（－2，3），则 ＝
－ ＝（－5，1），所以向量 对应的复数为－5＋i.故选D.
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5. 若z＝1＋i，则｜iz＋3 ｜＝（ ）
解析： 因为z＝1＋i，所以iz＋3 ＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－
1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3 ｜＝｜2－2i｜＝
＝2 .故选D.
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6. 已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足
·z2是纯虚数，则复数z2＝（ ）
A. 1－2i B. 1＋2i
C. 2－i D. 2＋i
解析： 由z1＝2＋i，得 ＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直
线x＝1上，可设z2＝1＋bi（b∈R），则 ·z2＝（2－i）（1＋
bi）＝2＋b＋（2b－1）i.由 ·z2是纯虚数，得2＋b＝0且2b－
1≠0，解得b＝－2，故z2＝1－2i.
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7. 当1＜m＜2时，复数m－1＋（m－2）i在复平面内对应的点位于
（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 由1＜m＜2，可得所以复数m－1＋（m
－2）i在复平面内对应的点Z（m－1，m－2）位于第四象限，故
选D.
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8. 已知方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）有实根b，且z＝a
＋bi，则复数z＝（ ）
A. 2－2i B. 2＋2i
C. －2＋2i D. －2－2i
解析： 由b是方程x2＋（4＋i）x＋4＋ai＝0（a∈R）的根可
得b2＋（4＋i）b＋4＋ai＝0，整理可得（b＋a）i＋（b2＋4b＋
4）＝0，所以解得所以z＝2－2i.故
选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下面关于复数z＝ 的四个说法中，正确的有（ ）
A. ｜z｜＝2 B. z2＝2i
C. z的共轭复数为1＋i D. z的虚部为－1
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解析： ∵z＝ ＝ ＝－1－i，∴｜z｜＝ ，
A不正确；z2＝（－1－i）2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，
C不正确；z的虚部为－1，D正确.
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10. 设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是（ ）
解析： A项，｜z1－z2｜＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 ＝ ，真命题；B项，z1＝ ＝z2，真命题；C项，｜z1｜＝｜z2｜ ｜z1｜2＝｜z2｜2 z1 ＝z2 ，真命题；D项，当｜z1｜＝｜z2｜时，可取z1＝1，z2＝i，显然 ＝1， ＝－1，即 ≠ ，假命题.
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11. 任何一个复数z＝a＋bi（其中a，b∈R，i为虚数单位）都可以
表示成：z＝r（ cos θ＋i sin θ）的形式，通常称之为复数z的三
角形式.法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（ cos θ＋i sin θ）]n＝rn
（ cos nθ＋i sin nθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理.
根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
C. ｜z4｜＝｜z｜4
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解析： 对A，由题意可知，当r＝1，θ＝ ，n＝1时，z＝r
（ cos θ＋i sin θ）＝ ＋ i，所以 ＝ － i，A正确；对B，
（ ＋ i）3＝（ cos ＋i sin ）3＝ cos π＋i sin π＝－1，所以B错
误；对C，｜z4｜＝｜r4（ cos 4θ＋i sin 4θ）｜＝r4，｜z｜4＝
r4，所以C正确；对D，由（ ＋ i）10＝（ cos ＋i sin ）10＝
cos ＋i sin ＝ － i，所以（ ＋ i）10在复平面内对应的点
的坐标为（ ，－ ），在第四象限，D错误.故选A、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知复数z1＝－3＋4i，z2＝2a＋i（a∈R）对应的复平面内的点
分别为Z1和Z2，且 ⊥ ，则a＝ .
解析：依题意可知 ＝（－3，4）， ＝（2a，1）.因为
⊥ ，所以 · ＝0，即－6a＋4＝0，解得a＝ .
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13. 已知复数z1＝ cos θ－i，z2＝ sin θ＋i（θ∈R），则z1·z2的实部的
最大值为 .
解析：z1·z2＝（ cos θ－i）·（ sin θ＋i）＝（ cos θ sin θ＋1）＋i
（ cos θ－ sin θ），故实部为 cos θ sin θ＋1＝1＋ sin 2θ≤ ，最
大值为 .
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14. 已知复数z＝a＋bi（a，b∈R），1≤｜z｜≤2，则｜z＋1｜的
取值范围为 .
解析：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤｜z｜
≤2表示如图所示的圆环，而｜z＋1｜表示复数z的对应点A
（a，b）与复数z1＝－1的对应点B（－1，0）
之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图
易知当A与B重合时，dmin＝0；当点A与点
C（2，0）重合时，dmax＝3，∴0≤｜z＋1｜
≤3.∴｜z＋1｜的取值范围是[0，3].
[0，3]
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知复数z1＝2－3i，z2＝ .求：
（1）z1z2；（2） .
解：z2＝ ＝ ＝
＝ ＝1－3i.
（1）z1z2＝（2－3i）（1－3i）＝－7－9i.
（2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i.
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16. （本小题满分15分）设复数z＝log2（m2－3m－3）＋ilog2（m－
2）（m∈R）对应的向量为 .
（1）若 的终点Z在虚轴上，求实数m的值及｜ ｜；
解：因为 的终点Z在虚轴上，所以复数z的实部为0，
则有log2（m2－3m－3）＝0，所以m2－3m－3＝1，所以
m＝4或m＝－1.
因为m－2＞0，所以m＝4，此时z＝i， ＝（0，1），｜ ｜＝1.
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（2）若 的终点Z在第二象限内，求m的取值范围.
解：因为 的终点Z在第二象限内，
则有解得 ＜m＜4，
所以m的取值范围为 .
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17. （本小题满分15分）（1）在复平面内画出与以下复数z1，z2，
z3，z4分别对应的向量 ， ， ， ，z1＝1，z2＝i，z3
＝4＋3i，z4＝4－3i；
解：由题意可得如图所示图象.
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（2）求向量 ， ， ， 的模；
解：由于 ， ， ， 的坐标分别为（1，0），（0，1），（4，3），（4，－3），
则向量 ， ， ， 的模分别为｜ ｜＝
1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝
＝5.
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（3）点P1，P2，P3，P4中是否存在两个点关于实轴对称？若存
在，则它们所对应的复数有什么关系？
解：点P3（4，3），P4（4，－3）关于实轴对称，它们所对应的复数4＋3i与4－3i的实部相同，虚部互为相反数，互为共轭复数.
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18. （本小题满分17分）已知关于x的二次方程x2－（tan θ＋i）x－
（i＋2）＝0.
（1）当θ为何值时，这个方程有一个实根？
解：设x0是方程的一个实根，则 －（tan θ＋i）x0－
（i＋2）＝0，
即（ －tan θ·x0－2）－i（x0＋1）＝0.
根据复数相等知
解得x0＝－1，tan θ＝1，θ＝kπ＋ （k∈Z）.
所以当θ＝kπ＋ （k∈Z）时，原方程有一实根－1.
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（2）是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；
若不存在，试说明理由.
解：假定方程有纯虚数根bi（b∈R，且b≠0），代
入原方程得（bi）2－（tan θ＋i）·bi－（i＋2）＝0，
即－b2＋b－2－（btan θ＋1）i＝0.
由复数相等知
但方程－b2＋b－2＝0即b2－b＋2＝0无实数解，即实数b
不存在.
所以对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根.
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19. （本小题满分17分）设z是虚数，ω＝z＋ 是实数，且－1＜ω
＜2.
（1）求｜z｜的值及z的实部的取值范围；
解：∵z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋yi＋ ＝x＋
＋（y－ ）i，
可得 x2＋y2＝1 ｜z｜＝1，
此时，ω＝2x － ＜x＜1，
即z的实部的取值范围为（－ ，1）.
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（2）设μ＝ ，求证：μ为纯虚数；
解：证明：μ＝ ＝ ＝ ＝
，∵y≠0，∴μ为纯虚数.
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（3）求ω－μ2的最小值.
解：ω－μ2＝2x－（－ i）2，
化简得ω－μ2＝2（x＋1）＋ －3≥ 2
－3＝1.
当且仅当x＋1＝ ，即x＝0时，ω－μ2取得最小值1.
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