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专题06 角平分线的性质
【知识点01】角的平分线的性质定理
1.定理内容：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
2.符号表示：
如图，若CD平分∠ADB（即∠ADC=∠BDC），点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF.
3.证明过程
已知：CD平分∠ADB，P在CD上，PE⊥AD，PF⊥BD.
求证：PE=PF.
证明：∵CD平分∠ADB（已知），
∴∠PDE=∠PDF（角平分线定义）.
∵PE⊥AD，PF⊥BD（已知），
∴∠PED=∠PFD=90°（垂直定义）.
在△PDE和△PDF中：，
∴△PDE≌△PDF（AAS）.
∴PE=PF（全等三角形对应边相等）.
4.应用要点
（1）核心作用：直接证明两条垂线段相等（无需反复证明全等，简化推理过程）.
（2）关键条件：
①点必须在角的平分线上；
②到角两边的距离需是“垂线段”（即与两边垂直）.
（3）辅助线技巧：遇到角平分线时，可过线上一点向角的两边作垂线，构造等长垂线段（PE=PF），为后续计算或证明提供等量关系.
【知识点02】角平分线的尺规作图
1.已知与求作
已知：∠AOB。
求作：射线OC，使OC平分∠AOB.
2.作图步骤
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求（如图）.
3.关键说明
1. 第一步 “适当长”：确保弧能与角的两边交于两点（D、E），长度不影响结果但需适中；
2. 第二步 “半径大于21 DE”：保证两弧能在角内部交于一点（C），若半径等于或小于21 DE，两弧无交点或仅交于DE中点，无法确定角平分线；
3. 作图原理：由作图得OD=OE，CD=CE，结合OC=OC，可证△OCD △OCE（SSS），故∠COD=∠COE，即OC平分∠AOB。
考点1 角平分线的性质定理
【典例1】如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为 ．
【答案】3
【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF＝CM，进而可得答案．
【解析】过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM＝CF，
∵OC＝5，OM＝4，
∴CM＝3，
∴CF＝3，
故答案为：3．
【变式1】如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】解： ∵，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点D作于E，
∵平分，，
∴，
∴点D到边的距离是．
故选：C．
【变式2】如图，是的角平分线，于的面积是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法列方程求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：过点作，如图所示：
是的角平分线，于，
，
的面积是，
，即，解得，
故答案为：
【变式3】如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6，I是三条角平分线的交点，ID⊥BC于D，则ID的长是 ．
【答案】2
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【分析】过I作I⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接IA，IC，IB，根据角平分线的性质得出ID＝IE＝IF，根据三角形的面积求出△ABC的面积，再根据三角形的面积求出即可．
【解析】过I作I⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接IA，IC，IB，
∵I是三条角平分线的交点，ID⊥BC，
∴OE＝ID＝IF，
设OE＝ID＝IF＝R，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，CB＝6，
∴△ABC的面积SAC×BC24，
∴S△ACI+S△BCI+S△ABI＝24，
∴AC×IEIF＝24，
∴6×RR＝24，
解得：R＝2，
即ID＝2，
故答案为：2．
考点2 角平分线的作图问题
【典例1】如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I．
【详解】解：所作点I如下图所示：
【典例2】如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点P作于H，由作图方法可得，平分，由角平分线的性质可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P作于H，
由作图方法可得，平分，
∵，，
∴，
∴点到的距离为3，
故选：C．
【变式1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点D，，垂足为．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了作角的平分线，角平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由作图可得是的角平分线，然后根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：由作图可得，是的角平分线，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选B．
【变式2】如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图，平行线的性质，三角形外角的性质．
根据作图步骤可知是的平分线，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质即可得解．
【详解】根据作图步骤可知是的平分线，
∴，
∵直线，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【变式3】如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C作于点D；
(2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法)
【答案】(1)见详解(2)见详解
【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答．
（2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，如图所示：
（2）解：依题意，点E如图所示．
考点3 角平分线性质的应用（求面积）
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为 ．
【答案】5
【分析】作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH＝DC＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解析】作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2，
∴△ABD的面积5×2＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【变式1】如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（ ）
A．15 B．12 C．10 D．14
【答案】B
【分析】过点E作EF⊥AB于点F，由角平分线的性质可得EF的值等于DE的值，再按照三角形的面积计算公式计算即可．
【解析】过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝3，
∴EF＝3，
∵AB＝8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质及三角形的面积计算，属于基础知识的考查，难度不大．
【变式2】如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形的面积，角平分线的性质，过作于，于，连接，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式得到，代入数据计算即可．解题的关键是由角平分线的性质推出．
【详解】解：如图，过作于，于，连接，
∵，分别平分和，于，
∴，，
∵的周长是，
∴，
∴
，
即的面积为．
故选：C．
考点3 角平分线性质的应用（求最值）
【典例1】如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 ．
【答案】3
【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【解析】根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案为：3．
【变式1】如图，在四边形中，，，平分，若点是边上一动点，则的长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，能知道当时，的长度最小是解此题的关键．根据垂线段最短得出当时，的长度最小，求出，根据角平分线的性质得出即可得出结论．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
由垂线段最短得，时最小，
此时，．
故选：C．
【变式2】如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：∵的面积为，，
∴，
∴，
过P点作于H，如图，
平分，，
，
点E是射线上的动点，
的最小值为，
故选：C．
1．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要有角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【详解】解：∵P是的平分线上一点，，，
∴，
故选C．
2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：作交于点，
，
由基本尺规作图可知，是的平分线，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，
，
．
故选：A．
4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离，
作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案．
【详解】解：过点O作，分别交于点F，G，
∴，
∴点F，O，G三点共线．
∵分别是的平分线，且，
∴，
∴，
∴与两平行线之间的距离是6．
故选：C．
5．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果．
【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点，
∵与的角平分线交于点E，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴只需要知道的度数即可求出的度数；
故选C．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．
过F作于G，根据角平分线的性质求得，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可．
【详解】解：过F作于G，
∵平分，，，
∴，
∵为的边上的中线，
∴为的边上在中线，
又∵，
∴，
故选：C．
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝12cm，则D到AB的距离为 cm．
【答案】4
【分析】过点D作DE⊥AB，根据题意求出DC，根据角平分线的性质解答即可．
【解析】过点D作DE⊥AB于E，
∵BD：DC＝2：1，BC＝12，
∴DC＝4，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，即D到AB的距离为4cm，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．如图，和是中和的平分线的交点，若点O到的距离为3，到的距离为，到的距离为，则
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意易得点O是的内心，根据角平分线的性质可得点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等，得到，即可解答．
【详解】解：由题意易得点O是的内心，
则点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等，
∵点O到的距离为3，
∴，
∴．
故答案为：．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝2，AB＝9，则△ABD的面积为 ．
【答案】9
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得DE＝DC＝2，再根据三角形的面积计算公式得出△ABD的面积．
【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，
又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC＝2，
∴△ABD的面积 AB DE9×2＝9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．
10．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．如图，过点作于，于，于，连接，根据角平分线的性质得出，根据，结合三角形面积公式即可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，于，于，连接，
∵的外角和的平分线相交于点，点到的距离为，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：
11．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义及其尺规作图，根据平角的定义得到，由作图方法可知，分别平分，根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
由作图方法可知，分别平分，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是 .
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是关键．
如图所示，过点作于点，由题意可得，根据，代入求解即可．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵点是，的平分线交点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，且，
解得，，
故答案为：3 ．
13．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，掌握角平分线性质和判定是解题的关键．根据角平分线的性质即可求得点E到的距离相等，再利用角平分线的判定即可得到是的角平分线，进而得到的度数．
【详解】解：过点E分别作，，，垂足分别为H，F，G，
∵的平分线与的平分线相交于点E，
∴，
∴是的平分线，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则
（1）的长为 ；
（2）的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解．
过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长；
过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值．
【详解】解：如下图所示，过点作，
平分交于点，
，
，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：；
解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，
平分交于点，
点与点关于对称，
，
在中，，
，
，
解得：，
故答案为：．
15．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．
【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．
【解析】过点D作DE⊥AB于E．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
∴点D到AB的距离为2.6cm．
【点评】此题主要考查角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答．
16．如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，推出为的角平分线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．
【详解】证明：∵为的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的角平分线，
∵点P在上，，
∴．
17．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明．
【答案】(1)见解析(2)，证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由角平分线的定义得到，由线段垂直平分线的性质得到，据此可利用证明．
【详解】（1）解；如图所示，射线，直线即为所求．
（2）解：，证明如下：
∵为的平分线，
∴，
∵垂直平分，
∴．
又∵，
∴．
18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC，
（1）求∠ADE的度数；
（2）若DE＝3，求点D到AB的距离．
【分析】（1）先利用三角形内角和计算出∠BAC＝68°，再利用角平分线的定义得到∠DAC＝34°，然后利用互余计算出∠ADE的度数；
（2）作DF⊥AB于F，如图，然后根据角平分线的性质得到DF＝DE＝3．
【解析】（1）∵∠B＝50°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣62°＝68°，
∵AD是角平分线，
∴∠DAC∠BAC＝34°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣34°＝56°；
（2）作DF⊥AB于F，如图，
∵AD是角平分线，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
即点D到AB的距离为3．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
19．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E分别作，垂足分别为F，G，H，且，连接．
(1)试说明：；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据平分得到，根据平分得到即可得证；
（2）设．由（1），得．利用已知建立方程解答即可．
本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，解方程，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴即为的平分线．
又∵，
∴．
∵是的平分线，，
∴，
∴．
（2）解：设．
由（1），得．
∵，
∴，
即，
解得，
∴，
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专题06 角平分线的性质
【知识点01】角的平分线的性质定理
1.定理内容：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
2.符号表示：
如图，若CD平分∠ADB（即∠ADC=∠BDC），点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF.
3.证明过程
已知：CD平分∠ADB，P在CD上，PE⊥AD，PF⊥BD.
求证：PE=PF.
证明：∵CD平分∠ADB（已知），
∴∠PDE=∠PDF（角平分线定义）.
∵PE⊥AD，PF⊥BD（已知），
∴∠PED=∠PFD=90°（垂直定义）.
在△PDE和△PDF中：，
∴△PDE≌△PDF（AAS）.
∴PE=PF（全等三角形对应边相等）.
4.应用要点
（1）核心作用：直接证明两条垂线段相等（无需反复证明全等，简化推理过程）.
（2）关键条件：
①点必须在角的平分线上；
②到角两边的距离需是“垂线段”（即与两边垂直）.
（3）辅助线技巧：遇到角平分线时，可过线上一点向角的两边作垂线，构造等长垂线段（PE=PF），为后续计算或证明提供等量关系.
【知识点02】角平分线的尺规作图
1.已知与求作
已知：∠AOB。
求作：射线OC，使OC平分∠AOB.
2.作图步骤
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求（如图）.
3.关键说明
1. 第一步 “适当长”：确保弧能与角的两边交于两点（D、E），长度不影响结果但需适中；
2. 第二步 “半径大于21 DE”：保证两弧能在角内部交于一点（C），若半径等于或小于21 DE，两弧无交点或仅交于DE中点，无法确定角平分线；
3. 作图原理：由作图得OD=OE，CD=CE，结合OC=OC，可证△OCD △OCE（SSS），故∠COD=∠COE，即OC平分∠AOB。
考点1 角平分线的性质定理
【典例1】如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为 ．
【变式1】如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【变式2】如图，是的角平分线，于的面积是，则 ．
【变式3】如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，CB＝6，I是三条角平分线的交点，ID⊥BC于D，则ID的长是 ．
考点2 角平分线的作图问题
【典例1】如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等．
【典例2】如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧交于两点，再分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线．过点作于点．若，则点到的距离为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
【变式1】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线与交于点D，，垂足为．若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图：
(1)过点C作于点D；
(2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法)
考点3 角平分线性质的应用（求面积）
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝5，DC＝2，则△ABD的面积为 ．
【变式1】如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（ ）
A．15 B．12 C．10 D．14
【变式2】如图，的周长是，，分别平分和，于，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点3 角平分线性质的应用（求最值）
【典例1】如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为 ．
【变式1】如图，在四边形中，，，平分，若点是边上一动点，则的长的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【变式2】如图，平分，在上取一点，作，已知的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
1．（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，P是的平分线上一点，，，垂足分别为D，E，若，则的长是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
3．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上的中线，于点，，相交于点，连接．若平分，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．6
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝12cm，则D到AB的距离为 cm．
8．如图，和是中和的平分线的交点，若点O到的距离为3，到的距离为，到的距离为，则
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝2，AB＝9，则△ABD的面积为 ．
10．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，的外角和的平分线相交于点，点到的距离为．若，，则四边形的面积为 ．
11．（2025·辽宁丹东·二模）如图，在中，为的外角，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交射线于点，则的度数为 ．
12．（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是 .
13．（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，点D在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点E，连接，则 ．
14．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，平分交于点，点，分别是上的动点，则
（1）的长为 ；
（2）的最小值为 ．
15．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．
16．如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：．
17．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，已知．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线，交于点D，作线段的垂直平分线，分别交于点E，交于点F，垂足为O（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在所作图中，写出一对全等三角形，并给出证明．
18．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝62°，DE⊥AC，
（1）求∠ADE的度数；
（2）若DE＝3，求点D到AB的距离．
19．如图，在中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E分别作，垂足分别为F，G，H，且，连接．
(1)试说明：；
(2)若，且，求的面积．
