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专题04 全等三角形的判定
全等三角形的判定是指通过三角形边、角的对应关系，判断两个三角形是否全等的推理依据。初中阶段核心判定定理有4种：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）.每种定理均需满足特定的边、角对应条件，且需严格区分“对应关系”（如“夹角”与“对角”的差异）.
【知识点01】全等三角形的判定定理1——“边边边（SSS）”
1.核心内容
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
2.符号表示：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′，则△ABC≌△△A′B′C′.
3.注意事项
（1）SSS是唯一不涉及“角”的判定定理，适用于已知三边对应相等的场景；
（2）可用于证明线段相等（通过全等三角形对应边相等推导）
【知识点02】全等三角形的判定定理2——“边角边（SAS）”
1.核心内容
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
2.符号表示：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果AB=A′B′，∠A＝∠，AC=A′C′，则△ABC≌△△A′B′C′.
3.注意事项
（1）这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
示例：如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【知识点03】全等三角形的判定定理3——“角边角（ASA）”
1.核心内容
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
2.符号表示：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A＝∠，AB=A′B′，∠B＝∠，则△ABC≌△△A′B′C′.
3.注意事项
关键条件：“夹边”是指两个角所共同对的边（即两个角的公共边）.
【知识点04】全等三角形的判定定理4——“角角边（AAS）”
1.核心内容
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
2.符号表示：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A＝∠，∠B＝∠，AC=A′C′（或BC=B′C′），则△ABC≌△△A′B′C′.
3.注意事项
（1）AAS是ASA的推论：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【知识点05】全等三角形判定方法的选择
1.基于已知条件的判定方法选择
已知条件 可选择的判定方法 示例场景（在△ABC和△DEF中）
一边一角对应相等 SAS、AAS、ASA 已知AB=DE，∠A=∠D，可选择SAS（需另一组夹边相等）或AAS（需另一角相等）
两角对应相等 ASA、AAS 已知∠A=∠D，∠B=∠E，可选择ASA（需夹边相等）或AAS（需一角的对边相等）
两边对应相等 SSS、SAS 已知AB=DE，AC=DF，可选择SSS（需第三边相等）或SAS（需夹角相等）
2.如何选择三角形证全等
（1）从求证出发：分析需证明的线段或角所在的两个三角形，尝试证这两个三角形全等。
示例：求证BC=EF，若BC在△ABC中，EF在△DEF中，可尝试证△ABC≌△DEF。
（2）从已知出发：根据已知条件（如公共边、公共角、中线等）确定可证全等的两个三角形。
示例：已知在△ABC中AD是中线（BD=CD），且AB=AC，可优先考虑△ABD与△ACD。
（3）条件与结论结合：综合已知条件和求证目标，锁定可能全等的三角形。
示例：已知AB∥DE（得∠B=∠E），且需证AC=DF，可锁定△ABC与△DEF。
（4）辅助线构造：若直接证全等困难，可添加辅助线（如连接某线段、作角平分线等）构造全等三角形。
示例：证明线段和差关系时，可延长短线段构造全等三角形。
总述：【知识体系与学习要点】
1.核心逻辑：全等三角形的判定本质是通过“边、角对应关系”证明三角形“完全重合”，需严格满足判定定理的条件（如SAS的“夹角”、ASA的“夹边”）。
2.易错点：
混淆“夹角”与“对角”，误用“SSA”作为判定定理；
忽略“对应”二字，将“边或角相等”直接等同于“对应边或角相等”；
误认为“三个角对应相等”或“面积/周长相等”可证全等（实际不能）。
3.学习建议：通过画图对比（如SSA的反例图）、多解例题（同一问题用不同判定方法）加深对定理的理解，强化“对应关系”意识。
考点1 SSS判定三角形全等
【典例1】如图，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ．
【变式1】油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式2】如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
【变式3】如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求∠CDE的度数．
考点2 SAS判定三角形全等
【典例1】如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：．
【变式1】下列表格中，填入“◎”处正确的是（ ）
已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知，若根据“”判定，需要补充的一个条件是 ．
【变式3】如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．
(1)若，，求的度数．
(2)若，求证．
【变式4】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
考点3 AAS判定三角形全等
【典例1】如图，已知，，添加一个条件 判定．
【典例2】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式1】如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由．
【变式2】如图，，，连接交于点O，点E，F在线段上，且．求证：．
【变式3】如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若＝16,求的长．
考点4 ASA判定三角形全等
【典例1】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．
【变式1】小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式2】如图，点E在线段AB上，，，.
求证：
(1)；
(2)．
考点5 全等三角形的判定综合
【典例1】如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，如果已知，那么还不能判定，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，四边形中，，，，
(1)求证：；
(2)求证：；
考点6 全等三角形的性质与判定综合
【典例1】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【变式1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
考点7 尺规作图
【典例1】如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹）
【变式1】下面是黑板上出示的尺规作图题，横线上符号代表的内容，正确的是（ ）
如图，已知，求作：，使． 作法：（1）作射线； （2）以点为圆心，①为半径作弧，分别交，于点，； （3）以点为圆心，②为半径作弧交于点； （4）以③为圆心，④长为半径作弧交第（3）步中所作弧于点； （5）过点作射线，即为所求作的角．
A．① B．② C．③ D．④任意长
1．如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
2．如图所示，中，，则由“”可以判定（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
3．如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．不需要添加
4．如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，由，，，得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
7．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点D在上，E在上，，补充一个条件：①；②；③；④，能证明的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，，，连接，则 ．
10．如图，，，，，则等于 ．
11．如图，和分别在线段的两侧，点C，D在线段上，，，则 ．
12．如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明 或 ．
13．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则
14．如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ．
15.在中，，中线，则边AB的取值范围是 ．
16．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ．
17.如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积等于 ．
18．已知：如图，．试证明：．
19．如图，已知，，为的中点，说出的理由．
20．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．
求证：△AEC≌△BED；
21．如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF
求证：△ABE≌△ABF．
22．（2025·浙江金华·二模）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
23.如图，已知在中，，，，．求证：．
24．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
25．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
26．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为．
(1)如果， 求的度数；
(2)判断和是否全等．请说明理由．
27．如图，点B，C，D在同一条直线上，，且．
(1)试说明．
(2)若，C是的中点，求的长．
28．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
29．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
30．（推理能力）如图，是上的两个动点，且．
(1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：；
(2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由；
(3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由．
31．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 全等三角形的判定
全等三角形的判定是指通过三角形边、角的对应关系，判断两个三角形是否全等的推理依据。初中阶段核心判定定理有4种：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）.每种定理均需满足特定的边、角对应条件，且需严格区分“对应关系”（如“夹角”与“对角”的差异）.
【知识点01】全等三角形的判定定理1——“边边边（SSS）”
1.核心内容
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
2.符号表示：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′，则△ABC≌△△A′B′C′.
3.注意事项
（1）SSS是唯一不涉及“角”的判定定理，适用于已知三边对应相等的场景；
（2）可用于证明线段相等（通过全等三角形对应边相等推导）
【知识点02】全等三角形的判定定理2——“边角边（SAS）”
1.核心内容
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
2.符号表示：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果AB=A′B′，∠A＝∠，AC=A′C′，则△ABC≌△△A′B′C′.
3.注意事项
（1）这里的角，指的是两组对应边的夹角.
（2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
示例：如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
【知识点03】全等三角形的判定定理3——“角边角（ASA）”
1.核心内容
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
2.符号表示：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A＝∠，AB=A′B′，∠B＝∠，则△ABC≌△△A′B′C′.
3.注意事项
关键条件：“夹边”是指两个角所共同对的边（即两个角的公共边）.
【知识点04】全等三角形的判定定理4——“角角边（AAS）”
1.核心内容
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
2.符号表示：如图，在△ABC与△A′B′C′中，如果∠A＝∠，∠B＝∠，AC=A′C′（或BC=B′C′），则△ABC≌△△A′B′C′.
3.注意事项
（1）AAS是ASA的推论：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【知识点05】全等三角形判定方法的选择
1.基于已知条件的判定方法选择
已知条件 可选择的判定方法 示例场景（在△ABC和△DEF中）
一边一角对应相等 SAS、AAS、ASA 已知AB=DE，∠A=∠D，可选择SAS（需另一组夹边相等）或AAS（需另一角相等）
两角对应相等 ASA、AAS 已知∠A=∠D，∠B=∠E，可选择ASA（需夹边相等）或AAS（需一角的对边相等）
两边对应相等 SSS、SAS 已知AB=DE，AC=DF，可选择SSS（需第三边相等）或SAS（需夹角相等）
2.如何选择三角形证全等
（1）从求证出发：分析需证明的线段或角所在的两个三角形，尝试证这两个三角形全等。
示例：求证BC=EF，若BC在△ABC中，EF在△DEF中，可尝试证△ABC≌△DEF。
（2）从已知出发：根据已知条件（如公共边、公共角、中线等）确定可证全等的两个三角形。
示例：已知在△ABC中AD是中线（BD=CD），且AB=AC，可优先考虑△ABD与△ACD。
（3）条件与结论结合：综合已知条件和求证目标，锁定可能全等的三角形。
示例：已知AB∥DE（得∠B=∠E），且需证AC=DF，可锁定△ABC与△DEF。
（4）辅助线构造：若直接证全等困难，可添加辅助线（如连接某线段、作角平分线等）构造全等三角形。
示例：证明线段和差关系时，可延长短线段构造全等三角形。
总述：【知识体系与学习要点】
1.核心逻辑：全等三角形的判定本质是通过“边、角对应关系”证明三角形“完全重合”，需严格满足判定定理的条件（如SAS的“夹角”、ASA的“夹边”）。
2.易错点：
混淆“夹角”与“对角”，误用“SSA”作为判定定理；
忽略“对应”二字，将“边或角相等”直接等同于“对应边或角相等”；
误认为“三个角对应相等”或“面积/周长相等”可证全等（实际不能）。
3.学习建议：通过画图对比（如SSA的反例图）、多解例题（同一问题用不同判定方法）加深对定理的理解，强化“对应关系”意识。
考点1 SSS判定三角形全等
【典例1】如图，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
证，得出，根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】解：∵在和中
，
，
，
，
故选：C．
【典例2】如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)4
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，与三角形高相关的计算．
（1）根据，得到，结合，利用即可证明；
（2）由（1）知，推出，即可证明；
（3）根据，且的面积为1，可求出的面积为，再根据（2）知得到点到的距离与点到的距离相等，推出的面积与的面积相等，即可求出四边形的面积．
【解析】（1）证明：，
，即，
，
；
（2）证明：由（1）知，
，
；
（3）解：，且的面积为1，
的面积为，
由（2）知，
点到的距离与点到的距离相等，
的面积与的面积相等，
四边形的面积为．
【变式1】油纸伞是中华民族传统工艺品之一，其中截面如图所示，伞骨，支撑杆，，当沿AD滑动时，油纸伞开闭，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，得出，进而可求出的大小．
【解析】解：
理由：∵，，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选C．
【变式2】如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ．
【答案】80
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，正确找出两个全等三角形是解题关键．先利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得．
【解析】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：80．
【变式3】如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
(1)若的周长为19，的周长为7，求的长．
(2)若，，求∠CDE的度数．
【答案】(1)；(2)．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【解析】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
考点2 SAS判定三角形全等
【典例1】如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有对顶角相等，可以根据全等三角形的判定方法，判定．
【解析】解：∵O是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：B．
【典例2】如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证明得出，再证明．
【解析】证明：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式1】下列表格中，填入“◎”处正确的是（ ）
已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是.
【解析】证明：，
，
∵，
∴，
又，
，
故选：D
【变式2】如图，已知，若根据“”判定，需要补充的一个条件是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，利用公共边以及，依据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，即可得到需要的条件．
【解析】在和中，
，，
添加时，可以根据判定，
故答案为：．
【变式3】如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．
(1)若，，求的度数．
(2)若，求证．
【答案】(1)(2)见详解
【分析】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键；
（1）由旋转可知，则有，然后根据三角形内角和及旋转的性质可进行求解；
（2）由旋转可知，，然后问题可求证．
【解析】（1）解：由旋转可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：由旋转可知，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式4】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D．使AD＝AC．在边AC上截取AF＝AB，连接DF．求证：DF＝CB．
【分析】利用三角形内角和定理得∠CAB的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【解析】证明：在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
考点3 AAS判定三角形全等
【典例1】如图，已知，，添加一个条件 判定．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解析】解：添加一个条件，判定，
理由如下：
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【典例2】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案．
【解析】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1】如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由．
【答案】理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证．
【解析】解：与全等的理由如下：
∵是边的中线，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2】如图，，，连接交于点O，点E，F在线段上，且．求证：．
【分析】利用已知条件证明，推出，由，得到，即．
【解析】证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】此题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是证明．
【变式3】如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若＝16,求的长．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键．
（1）中线可得，通过两个垂直可以判断两个角都为，还有对顶角,通过即可证明两个三角形全等,进而得证．
（2）通过观察可发现根据（1）中的全等可拆分为，从而得出答案．
【解析】（1）证明：是的边上的中线，
，
，
．
在和中,
，
，
．
（2）由（1）知，
，
，
，
，
∴．
故．
考点4 ASA判定三角形全等
【典例1】如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：C．
【典例2】如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据推出，根据，，得出，结合，利用证明，即可得出，熟练掌握利用证明三角形全等是解题的关键．
【解析】证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式1】小明不慎将一块三角形的玻璃片摔碎成如图所示的四块，要想重新获取一块与原来一样完整的玻璃片，带去加工厂的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据三角形全等判定的条件可直接选出答案．
【解析】②、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第①块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：A
【变式2】如图，点E在线段AB上，，，.
求证：
(1)；
(2)．
【分析】（1）延长交的延长线于，根据平行线的性质和已知求出，推出，根据等腰三角形性质求出，证，求出即可．
（2）根据（1）可得，即可得到．
【解析】（1）延长交的延长线于，
∵，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
即．
（2）根据（1）可得，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．
考点5 全等三角形的判定综合
【典例1】如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，如果已知，那么还不能判定，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．三角形中，则，又，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】解：添加选项中条件可用判定两个三角形全等；
添加选项以后是，无法证明三角形全等；
添加选项中条件首先根据等边对等角得到，再由等式的性质得到，最后运用判定两个三角形全等；
添加选项中条件首先根据等角的补角相等可得，再由判定两个三角形全等；
故选：．
【变式1】如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据得到，根据“”对①进行判断；根据“”对③进行判断；根据“”对④进行判断；根据全等三角形的判定方法对②进行判断．
【解析】解：∵，
∴，即，
当时，
在和中，
，
∴；
当时，不能判断．
当时，
在和中，
，
∴；
当时，
在和中，
，
∴；
综上分析可知，能使的条件有3个．
故选：C．
【变式2】如图，四边形中，，，，
(1)求证：；
(2)求证：；
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由证明即可；
（2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论．
【解析】（1）证明：，
，
即，
在和中，
（2）证明：由（1）可知，，
，
在和中，
，
，
，
即．
考点6 全等三角形的性质与判定综合
【典例1】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△ACE≌△DBF即可；
（2）根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的长为4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
【分析】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论；
（2）由图可知，△ADC与△CEB仍全等，但线段的关系已发生改变．
【解析】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE．
又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE．
∴DE＝CE+CD＝AD+BE．
（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．
证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE．
又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ADC≌△CEB．
∴CD＝BE，AD＝CE．
∴DE＝AD﹣BE．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定，此题作为选择或填空很容易漏掉后一问，注意运用．
考点7 尺规作图
【典例1】如图，已知，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果．
【解析】解：如图，．
【变式1】下面是黑板上出示的尺规作图题，横线上符号代表的内容，正确的是（ ）
如图，已知，求作：，使． 作法：（1）作射线； （2）以点为圆心，①为半径作弧，分别交，于点，； （3）以点为圆心，②为半径作弧交于点； （4）以③为圆心，④长为半径作弧交第（3）步中所作弧于点； （5）过点作射线，即为所求作的角．
A．① B．② C．③ D．④任意长
【答案】B
【分析】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
根据作一个角等于已知角的方法进行判断即可求解．
【解析】解：由图可得作法：
（1）作射线；
（2）以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；
（3）以点为圆心，为半径作弧交于点；
（4）以为圆心，长为半径作弧交第（3）步中所作弧于点；
（5）过点作射线，即为所求作的角．
①任意长；②；③；④表．
故选：B．
1．如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键．
【解析】解：由作图得：，，
在和中，
，
∴，
∴能得到的依据是．
故选：B．
2．如图所示，中，，则由“”可以判定（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“”证明，即可求解．
【解析】解：因为，
所以．
故选B．
3．如图，，，若要用“”证明，则还需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．不需要添加
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定，根据，结合公共边直接判断即可得到答案；
【解析】解：∵，，，
∴，
∴不需要添加条件，
故选：D．
4．如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【解析】解：∵D为的中点，
∴，
又∵为公共边
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，即，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
5．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明．人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如下图所示的“风筝“图案中，、、．则可以直接判定（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．
根据已知条件，分析和，易得．
【解析】解：在和中，
，
．
故选D．
6．如图，由，，，得的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】A
【分析】由已知得到，即可利用“”证明．
【解析】解：，
，
，
在和中，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的一般判定方法是解题关键．
7．如图，点B，C，D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据得到，证明，结合三角形外角性质，计算即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：B．
8．如图，点D在上，E在上，，补充一个条件：①；②；③；④，能证明的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；熟练掌握三角形全等的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
【解析】解：①不能；∵，，，
∴不能证明；
②能证明；∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
③能证明；在和中，
，
∴；
④能证明；在和中，
，
∴；
能证明的有个，
故选：C．
9．如图，，，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，根据判定三角形全等即可得解．
【解析】解：在和中，
∴，
故答案为：．
10．如图，，，，，则等于 ．
【答案】3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案；
【解析】解：∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
11．如图，和分别在线段的两侧，点C，D在线段上，，，则 ．
【答案】4
【分析】通过证明，进而解答即可．本题考查了全等三角形的性质与判定．
【解析】解：∵
∴
∴
则
故答案为：4
12．如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明 或 ．
【答案】
【分析】由、、可证出；由、、可证出．综上即可得出结论．
【解析】解：在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
13．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则
【答案】/90度
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【解析】解：如图，
在和中 ，
，
，
，
，
故答案为：．
14．如图，点、分别为的边、上的点，，，，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
连结，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案．
【解析】解：连结，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15.在中，，中线，则边AB的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出图形，延长AD至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【解析】如图，延长AD至E，使，
是的中线，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，，
，
即．
故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
16．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，．若，则的度数为 ．
【答案】110
【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再证明，即可．
【解析】解：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：110．
17.如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．延长交于，根据已知条件证得，推出，得出，即可得出答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【解析】解：如图，延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴的面积等于．
故答案为：．
18．已知：如图，．试证明：．
【答案】见解析
【分析】连接，可直接利用“”证明．
【解析】证明：连接，如图，
在与中，
，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
19．如图，已知，，为的中点，说出的理由．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质，即可得到结论．
【解析】∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴（SSS），
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
20．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．
求证：△AEC≌△BED；
【解析】∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
21．如图，在△ABC与△ABD中，BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF
求证：△ABE≌△ABF．
【分析】根据线段中点的意义求出BE＝BF，根据SAS即可证出答案．
【解析】证明：∵BC＝BD，点E为BC中点，点F为BD中点，
∴BE＝BF，
在△ABE和△ABF中，
∴△ABE≌△ABF（SAS）．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定的理解和掌握，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键．
22．（2025·浙江金华·二模）如图，已知，，，在同一条直线上，，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明；
（2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23.如图，已知在中，，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了平行线性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，根据两直线平行同位角相等，得到，结合题意以及三角形内角和可得，利用证明，即可得出结论．
【解析】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
24．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
【分析】（1）由ASA证明△ABD≌△COD即可；
（2）理由全等三角形的性质即可解决问题；
【解析】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
25．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解析】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
26．长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠， 使点 C与点A重合， 折痕为．
(1)如果， 求的度数；
(2)判断和是否全等．请说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见详解
【分析】（1）由长方形的性质得，，则可得．再由折叠的性质得，则可得．在中，根据三角形内角和定理即可求出的度数．
（2）由长方形的性质和折叠的性质可得，，，根据即可证明．
【解析】（1）解：∵四边形是长方形，
，，
∴，
，
，
，
由折叠知，
，
在中，．
（2）解：，理由如下：
∵四边形是长方形，
，，
由折叠知，，，
，，，
．
27．如图，点B，C，D在同一条直线上，，且．
(1)试说明．
(2)若，C是的中点，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据平行线的性质、垂直的定义，余角的性质可得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据全等三角形的性质和线段中点的定义求解即可．
【解析】（1）证明：，
，
又，
，
，
在中，，
∵，
∴，
，
又，，
，
；
（2）解：由（1）得，
，，
又点是的中点，
，
．
28．（2023 衢州）已知：如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上．下面四个条件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF（写出一种情况即可）．
（2）在（1）的条件下，求证：△ABC≌△DEF．
【分析】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可．
（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可．
【解析】解：（1）由题知，
选择的三个条件是：①②③；
或者选择的三个条件是：①③④．
证明：（2）当选择①②③时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
当选择①③④时，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点评】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
29．如图，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连．
(1)求证：；
(2)若，连接，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
（1）证出，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出即可．
【解析】（1）证明：证明：∵E为中点，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
30．（推理能力）如图，是上的两个动点，且．
(1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：；
(2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由；
(3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)成立．理由见解析(3)．理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由得出是关键．
（1）由知，即，又、，由可证；
（2）由知，即，又、，由可证；
（3）由（1）（2）知，所以，可由平行线的判定得出．
【解析】（1）解：因为，
所以，
即．
在和中，
所以．
（2）解：成立．理由如下：
因为，
所以，即．
在和中，
所以．
（3）解：．理由如下：
由（1）（2）知，
所以，
所以．
31．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
【解析】解：（1）如图1，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE．
如图2，
证明如下：
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中．
．
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE
（3）如图3，
过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI＝GNI＝90°
由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN
∴EM＝GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD＝AE、CE＝AD是解题的关键．
