【新教材新课标】苏科版数学八年级上册1.5等腰三角形（第1课时等腰三角形的性质）课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
1.5 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
第一章 三角形
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
3
经历等腰三角形性质的探究过程，体验研究几何图形的基本过程．
掌握等腰三角形的性质定理，并能应用它们进行计算和证明，发展推理能力．
3. 会利用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形．
问题引入
如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开．
得到的三角形有什么特征？
新知探究
这个三角形有两条边相等，有两个角相等．
概念引入
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形(isosceles triangle)，相等的边叫作腰．
A
B
C
腰
腰
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC．
新知探究
A
B
C
D
等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？
证明：作边BC的中线AD，则BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD ≌ △ACD (SSS).
∴ ∠B＝∠C.
还有其它证明方法吗？请你试一试.
新知探究
A
B
C
D
等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？
证明：作边BC的高线AD，
则∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD (SSS).
∴ ∠B＝∠C.
新知探究
A
B
C
D
等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？
证明：作∠BAC的平分线AD，则∠BAD＝∠CAD．
在△BAD和△CAD中，
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B＝∠C.
新知探究
A
B
C
D
等腰三角形中哪两个角相等？如何证明？
也可以用等腰三角形的对称性证明.
概念引入
等腰三角形中两个相等的角叫作底角．
A
B
C
底角
底角
新知归纳
等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
等腰三角形的性质定理1：
A
B
C
在△ABC中，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C （等边对等角）.
符号语言：
新知探究
A
B
C
D
由以上证明过程，你还有什么发现？
由以上证明可得，
△ABD≌△ACD，
∴∠BAD＝∠CAD，
即AD是△ABC的角平分线.
由△ABD≌△ACD，
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB＋∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴AD⊥BC，即AD是△ABC的高.
新知归纳
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合
(简称“三线合一”).
等腰三角形的性质定理2：
注意：应用“三线合一”的前提条件：
一是等腰三角形；二是三线中要具备一线.
归纳总结
在△ABC中，AB＝AC．
(1)∵AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，且BD＝CD；
(2)∵BD＝CD，∴AD平分∠BAC，且AD⊥BC；
(3)∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD，且AD⊥BC．
A
B
C
D
符号语言：
记忆口诀：一顶三线合．
前提条件
三线中要具备一线
典例分析
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证：∠ADB＝∠BAC.
A
B
C
D
要证∠ADB＝∠BAC
只要找与∠1相等且与∠C也相等的角.
由于∠BAC=∠1+∠2，
∠ADB=∠C+∠2.
只要证∠1=∠C
怎么想
怎么写
？
？
典例分析
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，求证：∠ADB＝∠BAC.
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠B(等边对等角)
∴∠C＝∠BAD.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C＋∠CAD.
∴∠ADB＝∠BAD＋∠CAD.
∴∠ADB＝∠BAC.
A
B
C
D
？
？
典例分析
变式 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD＝BD，AB＝AC＝CD.
求∠BAC的度数.
解：设∠B＝x°.
∵AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝x°.
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝(2x)°.
∵DC＝AC，
∴∠DAC＝∠ADC＝(2x)°.
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x°.
∵∠C＋∠DAC＋∠ADC＝180°，
∴x＋2x＋2x＝180.
∴x＝36，即∠B＝36°.
∴∠BAC＝180°－36°－36°＝108°.
A
B
C
D
典例分析
例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
A
C
B
E
D
图①
G
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE.
典例分析
例2 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
A
F
C
B
E
D
图②
证明：(2)∵F为DE的中点，
∴DF＝EF.
∵BD＝CE，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
尝试交流
如图，已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高AD＝h.
a
h
作法：
1．作线段BC＝a．
2．作线段BC的垂直平分线MN，MN交BC于点D．
3．在MN上截取线段DA，使AD＝h．
4．连接AB、AC．
△ABC就是所求作的等腰三角形．
a
M
N
A
●
B
●
●
C
h
●
D
新知巩固
1．在△ABC中，AB＝AC．
(1)如果有一个角等于120°，那么∠A＝____°，∠B＝____°，
∠C＝____°；
(2)如果有一个角等于50°，那么另两个角分别等于多少度？
120
30
30
解：如果有一个角等于50°，有以下两种情况：
①当∠A＝50°时，∠B＝∠C＝(180°－∠A)＝(180°－50°)＝65°．
②当∠B＝50°时，∠C＝∠B＝50°，
∠A＝180°－(∠B＋∠C) ＝180°－(50°＋50°)＝80°．
新知巩固
2．如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD＝DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
(2) 证明：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴ AD⊥BC．
1
2
解： (1) ∵AB＝AC，BD＝DC，
∴∠1＝∠2＝∠BAC．
∵∠BAC＝110°，
∴∠1＝∠2＝55°．
新知巩固
3．如图，AB＝AD，CB＝CD，连接AC，BD.
求证：AC⊥BD．
C
B
A
D
证明：∵AB＝AD，CB＝CD，
∴点A、C在BD的垂直平分线上.
∴ AC垂直平分BD，
∴ AC⊥BD.
新知巩固
4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．求证：DE＝DF．
D
A
B
C
F
E
证明：连接AD．
∵ AB＝AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC．
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE＝DF.
等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.
课堂小结
等腰三角形
定义
性质
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.相等的边叫作腰．
等边对等角
三线合一
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
常用辅助线：作顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线.
感谢聆听！