【新教材新课标】苏科版数学八年级上册1.4线段垂直平分线与角平分线（第1课时线段垂直平分线的性质）课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
1.4 线段垂直平分线与角平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质
第一章 三角形
苏科版数学（新教材）八年级上册
学 习 目 标
1
2
3
经历探索线段轴对称性的过程，进一步体会轴对称的特性，发展空间观念．
掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，并能应用它们进行计算、证明．
通过探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理能力．
操作引入
在一张薄纸上画一条线段AB，折叠画出线段AB的垂直平分线．
●
●
A
B
●
O
l
●
●
A
B
新知探究
垂直平分线上的任意一点P与A、B的距离有什么关系？如何证明？
●
O
l
●
P
∵OP是线段AB的垂直平分线，
∴OP⊥AB且AO＝BO．
∴∠AOP＝∠BOP＝90°.
在△AOP 和△BOP 中，
∴△AOP≌△BOP，
∴PAPB．
新知归纳
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
线段垂直平分线的性质定理：
任意一点
新知归纳
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA＝PB
（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
符号语言：
l
B
A
●
O
●
用途：
证明线段相等.
P
●
讨论交流
如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？
A
B
●
Q
如图，当点Q在线段AB上时，如果QA＝QB，那么Q是线段AB的中点，所以线段AB的垂直平分线一定经过点Q.
讨论交流
如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？
A
B
●
Q
M
如图，当点Q在线段AB外时，作
QM⊥AB，垂足为M.
在Rt△QAM和Rt△QBM中，
∠QMA＝∠QMB＝90°，
∵
∴Rt△QAM≌Rt△QBM.
∴AMBM，即M是线段AB的中点.
∴直线QM是线段AB的垂直平分线.
即点Q一定在线段AB的垂直平分线上.
新知归纳
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线性质定理的逆定理：
线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
新知归纳
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上
（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
符号语言：
l
B
A
●
O
●
用途：
确定点在线段的垂直平分线上.
P
●
讨论交流
如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E. 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？
A
D
C
B
E
我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.
讨论交流
如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E. 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？
A
D
C
B
E
解：∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠ADC，∠ABE＝∠ADE，∠CBE＝∠CDE，∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED.
在△ABC和△ADC 中，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝∠ADC．
讨论交流
如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E. 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？
A
D
C
B
E
在△ABE和△ADE 中，
∴△ABE≌△ADE.
∴∠ABE＝∠ADE，∠AEB＝∠AED．
同理：△ABE≌△ADE，
∴∠CBE＝∠CDE，∠CEB＝∠CED．
∵∠AEB＝∠CED，∠AED＝∠CEB，
∴∠AEB＝∠AED＝∠CEB＝∠CED.
讨论交流
如图，AB＝AD，CB＝CD，AC、BD相交于点E. 你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？
A
D
C
B
E
你还能得到哪些结论？
AC⊥BD，BE＝EB
S四边形ABCD＝ BD.
直线AC是线段BD的垂直平分线
证明：连接OA、OB、OC.
∵ 点O在AB的垂直平分线l1上，
∴ OA＝OB（线段垂直平分线的性质定理）
同理 OA＝OC.
∴ OB＝OC.
∴ 点O在BC的垂直平分线上
（线段垂直平分线性质定理的逆定理） .
典例分析
例1 如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O.
求证：点O在BC的垂直平分线上
B
A
C
O
l1
l2
归纳总结
三角形三条边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
已知线段的垂直平分线时，常考虑将线段垂直平分线上的点到线段两端的距离作出来.
典例分析
变式 利用网格在图中找一点O，使OA＝OB＝OC.
B
A
C
O
解：点O即为所求 .
新知巩固
1．如图，河边有两个村庄A，B．要在河岸CD上建一个自来水厂P，使水厂到A，B两村的距离相等，请确定点P的位置.
B
C
E
D
F
解：∵点P到A，B两村的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，即
线段AB的垂直平分线与CD的交点.
如图所示，点P即为所求.
P
A
新知巩固
2．如图，DE是△ABC的边AC的垂直平分线．已知BC＝8，AB＝10，求△EBC的周长．
B
A
C
D
E
解：∵DE是△ABC的边AC的垂直平分线，
∴AE＝CE．
∴BE＋CE＝BE＋AE＝AB＝10.
∵BC＝8，
∴△EBC的周长＝BE＋CE＋BC＝10＋8＝18．
新知巩固
3．如图，AB＝AE，BC＝ED，AF垂直平分CD，垂足为F．
求证：∠B＝∠E．
A
B
C
D
E
F
证明：连接AC，AD．
∵AF垂直平分CD，
∴AC＝AD．
在△ABC和△AED 中，
∴△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠E．
思维提升
如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为12 cm. (1)求BC的长；
解：(1)∵l1垂直平分AB，
∴DB＝DA，
同理可得EA＝EC.
∴BC＝BD＋DE＋EC
＝DA＋DE＋EA
＝12 cm.
B
A
E
D
C
l1
O
l2
思维提升
(2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26 cm，求OA的长．
解：(2)∵l1垂直平分AB，
∴OB＝OA.
同理可得OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC.
又∵△OBC的周长为26 cm，
BC＝12 cm，
∴OB＋OC＝26－12＝14(cm)，
∴OB＝OC＝7 cm，
∴OA＝7 cm.
B
A
E
D
C
l1
O
l2
课堂小结
线段垂直平分线的性质
性质定理
见垂直平分线，得线段相等
性质定理的逆定理
判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
感谢聆听！