1.1菱形的性质与判定（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024·通辽）如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，A不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是菱形，B不符合题意；
C、∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，C不符合题意；
D、∵，
∴，无法得到是菱形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质得到，进而根据菱形的判定即可判断A；根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而等量代换根据等腰三角形的性质得到，再根据菱形的判定即可判断B；根据勾股定理的逆定理得到，即，进而根据菱形的判定即可判断C；根据勾股定理的逆定理得到，进而根据菱形的判定即可判断D.
2．（2023·达州）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在中，若，则是直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：
A、平行四边形不是轴对称图形，A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，C符合题意；
D、由题意得最大角，
∴不是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质、菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理逐一求解即可。
3．（2022·西宁）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ）
A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，不符合题意；
由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，不符合题意；
由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF（HL） ，不符合题意；
∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据所给的图形，结合题意对每个选项一一判断即可。
4．（2019·雅安）如图，在四边形 中， ， 是对角线， 分别是 的中点，连接 ，则四边形 的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 分别是 的中点，
∴在 中， 为 的中位线，所以 且 ；同理 且 ，同理可得 ，
则 且 ，
∴四边形 为平行四边形，又 ，所以 ，
∴四边形 为菱形．
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理可得 且 ， 且 ， ，从而可得EH∥FG且EH=FG，利用一组对边平行且相等可证四边形EFGH为平行四边形，由AB=CD，即得EF=EH，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即证.
5．（2024·上海）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，四边形ABCD为矩形，AC，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，BF⊥AC，DE⊥AC
∴ AO=DO=BO=CO，∠AGO=∠DHO=∠BKO=∠CPO=90°
∴
∴ ∠GAO=∠HDO=∠KBO=∠PCO
∴ ∠BAM=∠CDN=∠ABM=∠DCN，∠EAD=∠EDA=∠FBC=∠FCB
∴ EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN
∴ FM=ME=EN=NF
∴ 四边形MENF为菱形
故答案为：A
【分析】本题考查特殊四边形--矩形的性质，菱形的判定，三角形的全等判定与性质等知识，熟悉矩形的性质，菱形的判定是解题关键。根据矩形性质，证明，结合其性质，可得EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN，可知FM=ME=EN=NF，则四边形MENF为菱形.
二、填空题
6．（2023·齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，，于点O.请添加一个条件： ，使四边形ABCD成为菱形.
【答案】
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加条件：，
，，
四边形是平行四边形，
，
是菱形.
故答案为：.
【分析】先证明四边形是平行四边形，再通过对角线互相垂直证明平行四边形是菱形.
7．（2024·西藏）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加（答案不唯一），
∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，四边形是平行四边形，则根据定义判定的话需要保证邻边相等即可；若依据对角线判定的话只需要保证对角线垂直即可．
8．（2021·北京）如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加 或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为 （答案不唯一）．
【分析】利用菱形的判定方法求解即可。
9．（2020·玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD 菱形（填“是”或“不是”）.
【答案】是
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝DC AF，
∴BC＝DC，
∴ ABCD是菱形.
故答案为：是.
【分析】作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得AE＝AF，再根据等面积法证明BC＝DC，进而证明四边形ABCD的形状一定是菱形.
10．（2011·内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
【答案】AB=CD
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：需添加条件AB=CD．
∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，EF= AB，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，HG= AB，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，H是AD，AC中点，
∴EH= CD，
∵AB=CD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：AB=CD．
【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF= AB，HG∥AB，HG= AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．
三、解答题
11．（2025·遂宁）如图，在四边形ABCD中，，点E，F在对角线BD上，，且，．
（1）求证：；
（2）连结AE，CF，若，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）)证明： ∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF= FD，
∴BF =DE=2EF，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
（2）解：四边形AECF是菱形，
连接AE， CF，
由(1)得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE， ∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°， BE = EF，
∵∠ABD=30°，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由AB∥CD，得∠ABF =∠CDE， 由BE =EF=FD， 得BF = DE =2EF， 而BAF =∠DCE， 即可根据“AAS”证明△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质得AF=CE，∠AFB=∠CED， 则AF∥CE，所以四边形AECF是平行四边形， 由∠BAF =90°， BE= EF，∠ABD=30°， 可证明 则四边形AECF是菱形.
12．（2023·永州）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
（2）证明：由（1）可得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形即可；
（2）先证出，再结合四边形是平行四边形，即可得到平行四边形是菱形．
13．（2023·张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若时，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即
在和中，
，
∴
∴，
∴
（2）证明：方法一：在和中，
，
∴
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形；
方法二：∵，
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再根据平行线的判定即可求解；
（2）方法一：先证明即可得到，又，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，再根据菱形的判定即可求解；
方法二：先根据三角形全等的性质即可得到，进而得到，再根据平行四边形的判定和菱形的判定即可求解。
14．（2024·扬州）如图，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下．
如图所示，过点作于点，过点作于点，
根据题意，四边形，四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
宽度相等，即，且，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：如图所示，过点作于点，
根据题意，，
，
，
由可得四边形是菱形，
，
在中，，
即，
．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)先根据两个矩形纸条的对边平行，得出四边形是平行四边形，过点作于点，过点作于点，因为等宽，再证明，推出即可得出结论.
(2)由 四边形的面积为， 列出方程，求出CD=4，根据菱形的性质，得出AD=4，又因为AR=2，得出即可求出的度数．
15．（2025·达州） 归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
① ；
② ；
③ ．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）∠A+∠B=90°；a2+b2=c2；c＞a(c>b)
（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE∥AC， AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC=90°， 点D是AC的中点，
∴四边形ADBE是菱形.
【知识点】菱形的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
1 / 11.1菱形的性质与判定（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2024·通辽）如图，的对角线，交于点O，以下条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·达州）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在中，若，则是直角三角形
3．（2022·西宁）如图，∠MON=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F．则以下结论错误的是（ ）
A．△AOB是等边三角形 B．PE=PF
C．△PAE≌△PBF D．四边形OAPB是菱形
4．（2019·雅安）如图，在四边形 中， ， 是对角线， 分别是 的中点，连接 ，则四边形 的形状是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．（2024·上海）四边形为矩形，过作对角线的垂线，过作对角线的垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
二、填空题
6．（2023·齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，，于点O.请添加一个条件： ，使四边形ABCD成为菱形.
7．（2024·西藏）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形．
8．（2021·北京）如图，在矩形 中，点 分别在 上， ．只需添加一个条件即可证明四边形 是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
9．（2020·玉林）如图，将两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形ABCD 菱形（填“是”或“不是”）.
10．（2011·内江）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形．
三、解答题
11．（2025·遂宁）如图，在四边形ABCD中，，点E，F在对角线BD上，，且，．
（1）求证：；
（2）连结AE，CF，若，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
12．（2023·永州）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形是菱形．
13．（2023·张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若时，求证：四边形是菱形．
14．（2024·扬州）如图，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数．
15．（2025·达州） 归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
① ；
② ；
③ ．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，A不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是菱形，B不符合题意；
C、∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形，C不符合题意；
D、∵，
∴，无法得到是菱形，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质得到，进而根据菱形的判定即可判断A；根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，进而等量代换根据等腰三角形的性质得到，再根据菱形的判定即可判断B；根据勾股定理的逆定理得到，即，进而根据菱形的判定即可判断C；根据勾股定理的逆定理得到，进而根据菱形的判定即可判断D.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：
A、平行四边形不是轴对称图形，A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，C符合题意；
D、由题意得最大角，
∴不是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据平行四边形的性质、菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理逐一求解即可。
3．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵∠MON=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，不符合题意；
由作图知：射线OP是∠MON的平分线，且PE⊥OM，PF⊥ON，∴PE=PF，不符合题意；
由作图知：AP=BP，又PE=PF，∴△PAE≌△PBF（HL） ，不符合题意；
∵OA与AP不一定相等，∴四边形OAPB不一定是菱形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据所给的图形，结合题意对每个选项一一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 分别是 的中点，
∴在 中， 为 的中位线，所以 且 ；同理 且 ，同理可得 ，
则 且 ，
∴四边形 为平行四边形，又 ，所以 ，
∴四边形 为菱形．
故答案为：C．
【分析】根据三角形中位线定理可得 且 ， 且 ， ，从而可得EH∥FG且EH=FG，利用一组对边平行且相等可证四边形EFGH为平行四边形，由AB=CD，即得EF=EH，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即证.
5．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，四边形ABCD为矩形，AC，BD为对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，BF⊥AC，DE⊥AC
∴ AO=DO=BO=CO，∠AGO=∠DHO=∠BKO=∠CPO=90°
∴
∴ ∠GAO=∠HDO=∠KBO=∠PCO
∴ ∠BAM=∠CDN=∠ABM=∠DCN，∠EAD=∠EDA=∠FBC=∠FCB
∴ EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN
∴ FM=ME=EN=NF
∴ 四边形MENF为菱形
故答案为：A
【分析】本题考查特殊四边形--矩形的性质，菱形的判定，三角形的全等判定与性质等知识，熟悉矩形的性质，菱形的判定是解题关键。根据矩形性质，证明，结合其性质，可得EA=ED=FB=FC，AM=BM=DN=CN，可知FM=ME=EN=NF，则四边形MENF为菱形.
6．【答案】
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加条件：，
，，
四边形是平行四边形，
，
是菱形.
故答案为：.
【分析】先证明四边形是平行四边形，再通过对角线互相垂直证明平行四边形是菱形.
7．【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加（答案不唯一），
∵在四边形中，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，四边形是平行四边形，则根据定义判定的话需要保证邻边相等即可；若依据对角线判定的话只需要保证对角线垂直即可．
8．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加 或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为 （答案不唯一）．
【分析】利用菱形的判定方法求解即可。
9．【答案】是
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，
∵两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起，
∴AE＝AF，
∴S平行四边形ABCD＝BC AE＝DC AF，
∴BC＝DC，
∴ ABCD是菱形.
故答案为：是.
【分析】作AE⊥BC于点E，AF⊥DC于点F，根据两张等宽的长方形纸条交叉叠放在一起可得AE＝AF，再根据等面积法证明BC＝DC，进而证明四边形ABCD的形状一定是菱形.
10．【答案】AB=CD
【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：需添加条件AB=CD．
∵E，F是AD，DB中点，
∴EF∥AB，EF= AB，
∵H，G是AC，BC中点，
∴HG∥AB，HG= AB，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，H是AD，AC中点，
∴EH= CD，
∵AB=CD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：AB=CD．
【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF= AB，HG∥AB，HG= AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．
11．【答案】（1）)证明： ∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF= FD，
∴BF =DE=2EF，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
（2）解：四边形AECF是菱形，
连接AE， CF，
由(1)得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE， ∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°， BE = EF，
∵∠ABD=30°，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由AB∥CD，得∠ABF =∠CDE， 由BE =EF=FD， 得BF = DE =2EF， 而BAF =∠DCE， 即可根据“AAS”证明△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质得AF=CE，∠AFB=∠CED， 则AF∥CE，所以四边形AECF是平行四边形， 由∠BAF =90°， BE= EF，∠ABD=30°， 可证明 则四边形AECF是菱形.
12．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
（2）证明：由（1）可得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形即可；
（2）先证出，再结合四边形是平行四边形，即可得到平行四边形是菱形．
13．【答案】（1）证明：∵，
∴，
即
在和中，
，
∴
∴，
∴
（2）证明：方法一：在和中，
，
∴
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形；
方法二：∵，
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再根据平行线的判定即可求解；
（2）方法一：先证明即可得到，又，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，再根据菱形的判定即可求解；
方法二：先根据三角形全等的性质即可得到，进而得到，再根据平行四边形的判定和菱形的判定即可求解。
14．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下．
如图所示，过点作于点，过点作于点，
根据题意，四边形，四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
宽度相等，即，且，
，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：如图所示，过点作于点，
根据题意，，
，
，
由可得四边形是菱形，
，
在中，，
即，
．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)先根据两个矩形纸条的对边平行，得出四边形是平行四边形，过点作于点，过点作于点，因为等宽，再证明，推出即可得出结论.
(2)由 四边形的面积为， 列出方程，求出CD=4，根据菱形的性质，得出AD=4，又因为AR=2，得出即可求出的度数．
15．【答案】（1）∠A+∠B=90°；a2+b2=c2；c＞a(c>b)
（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE∥AC， AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC=90°， 点D是AC的中点，
∴四边形ADBE是菱形.
【知识点】菱形的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
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