1.2矩形的性质与判定（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025·泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
2．（2024·成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，
故A、B、D选项都不一定正确，只有C选项一定正确.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分，四个角都是直角，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·河北）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠ADB=∠1
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠ADB=∠A'DB
∴∠1=∠A'DB
∵∠DEC=90°-，即2∠1=90°-
∴，A错误
∵∠BDE≠∠CDE
∴∠1≠，B错误
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠C'ED=∠CED
，C错误，D正确
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，则∠ADB=∠1，再根据折叠性质可得∠ADB=∠A'DB，则∠1=∠A'DB，再根据角之间的关系逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024九上·成都期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OA=OB=OC=AC，
∵ ∠ABD=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
∴ AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可知，根据等边三角形的判定与性质可可得AO=AB，即可求得.
5．（2025·陕西） 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；余角
【解析】【解答】解：∵，为边上的中线
∴
∴CD=AD=BD
∴∠B=∠BCD
∵AD=CD，DE⊥AC
∴∠ADE=∠CDE
∵∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°
∴图中与∠A互余的角共有4个
故答案为：C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCD，根据等腰三角形性质可得∠ADE=∠CDE，再根据余角定义即可求出答案.
二、填空题
6．（2025·内江） 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴BF=2GH，
∴当BF最大时，GH最大，
∵点F是CD上的动点，
∴当点F与点D重合时，BF最大为10，
∴GH的最大值为5.
故答案为：5 .
【分析】连接BF、BD，由矩形性质得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出BF=2GH，故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10，据此即可求出答案.
7．（2022·青海）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC CD＝6，
∴S阴影＝6．
故答案为6．
【分析】利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
8．（2024·齐齐哈尔）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段CP的长为 ．
【答案】或2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当∠BCB'=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠BCB'=90°，
∴点B'在CD上，
∵折叠的性质，
∴AB'=AB=5，BP=B'P，
∴根据勾股定理得，
∴B'C=CD-DB'=5-3=2，
设CP=x，则BP=B'P=4-x，
在中，根据勾股定理得B'C2+CP2=B'P2，即22+x2=(4-x)2，
解得，即；
如图，当∠BB'C=90°时，
∴∠BB'P+∠CB'P=90°，∠B'CP+∠B'BP=90°，
∵折叠的性质，
∴B'P=BP，
∴∠BB'P=∠B'BP，
∴∠CB'P=∠B'CP，
∴B'P=CP，
∴B'P=BP=CP，
∵BC=BP+CP=4，
∴2CP=4，
∴CP=2；
当∠B'BC=90°时，
∵∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角，
∴∠B'BC≠90°，
综上所述，线段CP的长为或2.
故答案为：或2.
【分析】根据 为直角三角形，可知要分类讨论：当∠BCB'=90°时，先根据矩形的性质得点B'在CD上，再根据折叠的性质得AB'=AB=5，BP=B'P，接下来利用勾股定理求出DB'的值，从而得B'C的值，设CP=x，则BP=B'P=4-x，再利用勾股定理得关于x的方程22+x2=(4-x)2，解方程求出x的值即可；
当∠BB'C=90°时，先证∠CB'P=∠B'CP，得B'P=BP=CP，进而有2CP=BC=4，即可求解；
当∠B'BC=90°时，由∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角说明∠B'BC≠90°.
9．（2025·扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是边AB， BC的中点，
∴ DE是 的中位线，
在 中，E是斜边BC的中点，
则
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF.
10．（2025·凉山州）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是边的中点，过点作于点，于点，若，，则的长为 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接OE
四边形ABCD是菱形
、
四边形OFEG是矩形
是中点
故答案为：5.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得，同时借助AC与BD的长应用勾股定理可得边长CD=10，又因为、可得四边形OFEG是矩形，则对角线FG=OE，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
三、解答题
11．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
12．（2022·苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则 ， .
在△DAF和△ECF中，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵四边形ABCD是矩形，
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据矩形以及折叠的性质可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，根据对顶角的性质可得∠DFA=∠EFC，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠DAF=∠ECF=40°，根据矩形的性质可得∠DAB=90°，则∠EAB=90°-∠DAF=50°，根据折叠的性质可得∠FAC=∠CAB，据此计算.
13．（2024·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，再根据折叠可知：AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，依据等量代换可得：AH＝CG，再由两直线平行，内错角相等，可得：∠EAH＝∠FCG，因此可证明：△AEH≌△CFG（ASA）.
（2）由（1）可得：∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，故可得：EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以得证.
14．（2019九上·平遥月考）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF。
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点， AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形
（2）解：BC=2CD
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°
，∵∠CDE=90°，
△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得AB∥CD，进而利用平行线的性质得∠FAE=∠CDE，加上已知条件AE=DE和对顶角性质得∠FEA=∠CED，用”AAS“证得△FAE≌△CDE，利用全等三角形的性质得CD=FA，又CD∥AF，从而利用”一组对边平行平行且相等的四边形是平行四边形“证得四边形ACDF是平行四边形；
（2）由CF平分∠BCD得∠DCE=45°，从而证得△CDE是等腰直角三角形，则有CD=DE，而利用中点的定义得AD=2CD，利用矩形的性质可知AD=BC，故可得BC=2CD。
15．（2022九上·长沙开学考）如图，为矩形对角线的中点，于点，交，于点，，连接，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
点是矩形的对角线的中点，
，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形
（2）解：四边形是菱形，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得，，
即，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEO=∠CFO，由线段中点的定义可得AO=OC，结合已知用角角边可证得△FCO≌△EAO，根据全等三角形的性质可得CF=AE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质可得AF=AE=CF，设BF=x，在Rt△ABF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是AE=FC=BC-BF可求解.
1 / 11.2矩形的性质与判定（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025·泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．（2024·成都）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·成都期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2025·陕西） 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
6．（2025·内江） 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是 ．
7．（2022·青海）如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
8．（2024·齐齐哈尔）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段CP的长为 ．
9．（2025·扬州）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°．若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 ．
10．（2025·凉山州）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是边的中点，过点作于点，于点，若，，则的长为 ．
三、解答题
11．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
12．（2022·苏州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
13．（2024·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
14．（2019九上·平遥月考）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF。
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由。
15．（2022九上·长沙开学考）如图，为矩形对角线的中点，于点，交，于点，，连接，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，
故A、B、D选项都不一定正确，只有C选项一定正确.
故答案为：C.
【分析】矩形的性质：矩形的对边相等且平行，对角线相等且互相平分，四个角都是直角，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠ADB=∠1
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠ADB=∠A'DB
∴∠1=∠A'DB
∵∠DEC=90°-，即2∠1=90°-
∴，A错误
∵∠BDE≠∠CDE
∴∠1≠，B错误
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠C'ED=∠CED
，C错误，D正确
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，则∠ADB=∠1，再根据折叠性质可得∠ADB=∠A'DB，则∠1=∠A'DB，再根据角之间的关系逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OA=OB=OC=AC，
∵ ∠ABD=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
∴ AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可知，根据等边三角形的判定与性质可可得AO=AB，即可求得.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；余角
【解析】【解答】解：∵，为边上的中线
∴
∴CD=AD=BD
∴∠B=∠BCD
∵AD=CD，DE⊥AC
∴∠ADE=∠CDE
∵∠A+∠ADE=90°，∠A+∠B=90°
∴图中与∠A互余的角共有4个
故答案为：C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCD，根据等腰三角形性质可得∠ADE=∠CDE，再根据余角定义即可求出答案.
6．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴BF=2GH，
∴当BF最大时，GH最大，
∵点F是CD上的动点，
∴当点F与点D重合时，BF最大为10，
∴GH的最大值为5.
故答案为：5 .
【分析】连接BF、BD，由矩形性质得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出BF=2GH，故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10，据此即可求出答案.
7．【答案】6
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO；
又∵∠AOE＝∠COF，
在△AOE和△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴S△AOE＝S△COF，
∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD；
∵S△BCD＝BC CD＝6，
∴S阴影＝6．
故答案为6．
【分析】利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
8．【答案】或2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当∠BCB'=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠BCB'=90°，
∴点B'在CD上，
∵折叠的性质，
∴AB'=AB=5，BP=B'P，
∴根据勾股定理得，
∴B'C=CD-DB'=5-3=2，
设CP=x，则BP=B'P=4-x，
在中，根据勾股定理得B'C2+CP2=B'P2，即22+x2=(4-x)2，
解得，即；
如图，当∠BB'C=90°时，
∴∠BB'P+∠CB'P=90°，∠B'CP+∠B'BP=90°，
∵折叠的性质，
∴B'P=BP，
∴∠BB'P=∠B'BP，
∴∠CB'P=∠B'CP，
∴B'P=CP，
∴B'P=BP=CP，
∵BC=BP+CP=4，
∴2CP=4，
∴CP=2；
当∠B'BC=90°时，
∵∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角，
∴∠B'BC≠90°，
综上所述，线段CP的长为或2.
故答案为：或2.
【分析】根据 为直角三角形，可知要分类讨论：当∠BCB'=90°时，先根据矩形的性质得点B'在CD上，再根据折叠的性质得AB'=AB=5，BP=B'P，接下来利用勾股定理求出DB'的值，从而得B'C的值，设CP=x，则BP=B'P=4-x，再利用勾股定理得关于x的方程22+x2=(4-x)2，解方程求出x的值即可；
当∠BB'C=90°时，先证∠CB'P=∠B'CP，得B'P=BP=CP，进而有2CP=BC=4，即可求解；
当∠B'BC=90°时，由∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角说明∠B'BC≠90°.
9．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D， E分别是边AB， BC的中点，
∴ DE是 的中位线，
在 中，E是斜边BC的中点，
则
故答案为：6.
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出FE，进而求出DF.
10．【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接OE
四边形ABCD是菱形
、
四边形OFEG是矩形
是中点
故答案为：5.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得，同时借助AC与BD的长应用勾股定理可得边长CD=10，又因为、可得四边形OFEG是矩形，则对角线FG=OE，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
11．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
12．【答案】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则 ， .
在△DAF和△ECF中，
∴ .
（2）解：∵ ，
∴ .
∵四边形ABCD是矩形，
∴ .
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据矩形以及折叠的性质可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，根据对顶角的性质可得∠DFA=∠EFC，然后根据全等三角形的判定定理AAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠DAF=∠ECF=40°，根据矩形的性质可得∠DAB=90°，则∠EAB=90°-∠DAF=50°，根据折叠的性质可得∠FAC=∠CAB，据此计算.
13．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，再根据折叠可知：AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，依据等量代换可得：AH＝CG，再由两直线平行，内错角相等，可得：∠EAH＝∠FCG，因此可证明：△AEH≌△CFG（ASA）.
（2）由（1）可得：∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，故可得：EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以得证.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点， AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形
（2）解：BC=2CD
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°
，∵∠CDE=90°，
△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得AB∥CD，进而利用平行线的性质得∠FAE=∠CDE，加上已知条件AE=DE和对顶角性质得∠FEA=∠CED，用”AAS“证得△FAE≌△CDE，利用全等三角形的性质得CD=FA，又CD∥AF，从而利用”一组对边平行平行且相等的四边形是平行四边形“证得四边形ACDF是平行四边形；
（2）由CF平分∠BCD得∠DCE=45°，从而证得△CDE是等腰直角三角形，则有CD=DE，而利用中点的定义得AD=2CD，利用矩形的性质可知AD=BC，故可得BC=2CD。
15．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
点是矩形的对角线的中点，
，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形
（2）解：四边形是菱形，
，
设，则，
在中，，
根据勾股定理得，，
即，
解得：，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠AEO=∠CFO，由线段中点的定义可得AO=OC，结合已知用角角边可证得△FCO≌△EAO，根据全等三角形的性质可得CF=AE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AFCE是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质可得AF=AE=CF，设BF=x，在Rt△ABF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，于是AE=FC=BC-BF可求解.
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