1.2矩形的性质与判定(第3课时)—北师大版数学九(上)课堂达标卷
一、选择题
1.(2025九上·大埔期末)如图,在中,,,,点P是边上任意一点,过点P作,,垂足分别为点D,E,连接,则的最小值是( )
A. B. C. D.
2.(2022·湘西)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,M为BC的中点,H为AB上一点,过点C作CG∥AB,交HM的延长线于点G,若AC=8,AB=6,则四边形ACGH周长的最小值是( )
A.24 B.22 C.20 D.18
3.(2024八下·西安期末)如图, 在矩形中, E、F分别是边的中点, G为边上的一点, 将矩形沿翻折使得点A落在上, 点A对应点为点. 若, 则四边形的面积为( )
A.9 B. C.15 D.
4.(2025八下·金平期中)如图,在四边形ABCD中,相交于点,且,动点E从点开始,沿折线运动至点停止,CE与BD相交于点,点是线段CE的中点,连接OF,有下列结论:①四边形ABCD是矩形;②当点在边AB上,且时,点E是AB的中点;③当时,线段OF长度的最大值为2;④当点E在边AB上,且时,是等边三角形.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(2025八下·深圳期中)如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论中正确结论的个数是( )
①DE=EF;②四边形DFBE是菱形;③BM=3FM;④=1:14.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
6.(2024八下·苍南月考)如图,在中,,且,,点是斜边上的一个动点,过点分别作于点,于点,连接,则线段的最小值为 .
7.(2025八下·柳州期中)如图,∠MON=90°,长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上,当B在边OM上运动时,C随之在边ON上运动,若CD=5,BC=24,运动过程中,点D到点O的最大距离为 .
8.如图, 已知平行四边形 的对角线 相交于点 是等边三角形, , 则平行四边形 的面积为 .
9.(2024九上·福田月考)如图,已知,,,E是边的中点,F为边上一点,,若,,则的值为 .
10.(2024八下·盐田期末)如图,四边形的两条对角线,互相垂直,,,则的最小值是 .
三、解答题
11.(2025·云南)如图,在中,是AC的中点.延长BO至点D,使(连接AD,CD.记.的周长为的周长为,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若求AC的长.
12.(2023·大庆)如图,在平行四边形中,为线段的中点,连接,,延长,交于点,连接,.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若,,求四边形的面积.
13.如图所示,菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形.
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
14.(2023九上·兰州期中) 如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.
15.(2016·兰州)阅读下面材料:
在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题是,有如下思路:连接AC.
结合小敏的思路作答
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题:
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用;三角形的面积;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:中,,,,
,
连接,如图所示:
∵于点,于点,,
∴,
四边形是矩形,
,
当最小时,则最小,根据垂线段最短可知当时,则最小,
∴此时.
故选:B.
【分析】由垂直的概念得,,则四边形PDCE是矩形,所以PC=DE,显然当时,CP最小,利用勾股定理先求出斜边AB的长,再利用面积即可求出CP的最小值,即DE的最小值.
2.【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用;矩形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:∵CG∥AB,∠A=90°,
∴∠B=∠MCG,∠ACG=90°
∵点M为BC的中点,
∴BM=CM;
在△BMH和△CMG中
∴△BMH≌△CMG(ASA),
∴HM=MG,BH=CG;
∵四边形ACGH的周长为AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH;
∴当GH最小时,即GH⊥AB时,四边形ACGH的周长最小,
∴∠AHG=∠A=∠ACG=90°,
∴四边形ACGH是矩形,
∴AC=GH=8,
∴四边形ACGH的周长的最小值为14+8=22.
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得∠B=∠MCG,∠ACG=90° ,利用线段中点的定义可证得BM=CM;再利用ASA证明△BMH≌△CMG,利用全等三角形的性质可得到HM=MG,BH=CG;再利用垂线段最短可知即GH⊥AB时,四边形ACGH的周长最小值就是14+GH;然后证明四边形ACGH是矩形,利用矩形的性质可求出GH的长,即可求解.
3.【答案】B
【知识点】三角形的面积;等边三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:如图,连接,
∵四边形是矩形,
∴,,,
∵分别是边的中点,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
∴,
∴垂直平分,
∴,
∵折叠的性质,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
解得:,
∴,
∴,
∴,
故答案为:B.
【分析】连接,根据矩形的性质与判定推出四边形是矩形,从而得垂直平分,进而根据线段垂直平分线的性质得,然后根据折叠的性质,得,于是可得到是等边三角形,根据等边三角形的性质得到,由含30°的直角三角形的性质得,接下来利用勾股定理得出的值,则求出的值,最后利用三角形面积公式进行求解即可.
4.【答案】C
【知识点】等边三角形的判定;平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:①∵,
∴四边形是平行四边形,,
∴平行四边形是矩形,故①正确;
②由①可知,四边形是矩形,
∴,
∵O,F分别是,的中点,点在上,
∴是的中位线,
∴,
∵,
∴,
∴点E是的中点,故②正确;
③∵是的中位线,
∴,
∴当的值最大时,的值最大,
当点E与点D重合时,的值最大,此时,
∴线段长度的最大值是2,故③正确;
④当点E在边上,且时,,
∴不是等边三角形,故④错误.
综上所述,正确的结论有3个,
故答案为:C
【分析】先根据平行四边形的判定与性质得到,再根据矩形的判定即可判断①;根据矩形的性质结合三角形中位线定理得到,进而进行线段的运算即可判断②;根据三角形中位线定理得到,进而得到当的值最大时,的值最大,当点E与点D重合时,的值最大,此时,从而判断③;根据等边三角形的判定结合题意即可判断④.
5.【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵矩形ABCD中,O为AC中点,
∴OB=OC.
∵∠COB=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC.
∴FO=FC,
∴FB垂直平分OC;
∵△BOC为等边三角形,FO=FC,
∴BO⊥EF,BF⊥OC,
∴∠CMB=∠EOB=90°,
易知△ADE△CBF,∠1=∠2=∠3=30°,
∴∠ADE=∠CBF=30°,∠BEO=60°,
∴ ∠CDE=60°,∠DFE=∠BEO=60°,
∴∠CDE=∠DFE,
∴DE=EF=DF,故①正确;
∴BE=DF
又∵BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵DE=DF
∴四边形DEBF是菱形,故②正确;
易知△AOE≌△COF,
∴S△AOE=S△COF.
∴S△COF=2S△CMF,
∴S△AOE:S△BCM=2S△CMF:S△BCM=
∵∠FCO=30°,
∴,
∴FM=3BM,故③正确;
∴S△FOM:S△BOM=1:3
∴S△FOM:S△BCM=1:6
∴△FOM:S△ABC=1:12
∴△FOM:S矩形ABCDM=1:24,故④错误。
故答案为:C.
【分析】根据矩形性质可得 OB=OC,再根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形,则OB=BC,根据垂直平分线判定定理可得FB垂直平分OC,再根据等边三角形性质可得BO⊥EF,BF⊥OC,根据全等三角形判定定理可得△ADE△CBF,∠1=∠2=∠3=30°,则∠ADE=∠CBF=30°,∠BEO=60°,再根据角之间的关系可得∠CDE=∠DFE,再根据等腰三角形性质可判断①;再根据菱形判定定理可判断②;根据全等三角形性质可得S△AOE=S△COF,再根据三角形面积之间的关系可得S△AOE:S△BCM=2S△CMF:S△BCM=,再根据含30°角的直角三角形性质可得,,则FM=3BM,可判断③;再根据三角形面积之间的关系可判断④.
6.【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用;三角形的面积;勾股定理;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵,且,,
∴,
∵,,
∴,
∴四边形是矩形.
如图,连接AD,则,
∴当时,的值最小,此时,的面积,
∴,
∴的最小值为;
故答案为:.
【分析】由勾股定理求出BC的长,根据有三个内角是直角的四边形是矩形,可得四边形DMAN是矩形,由矩形的对角线相等可得AD=MN,根据垂线段最短得当AD⊥BC时,AD最小,进而根据等面积法建立方程可求出AD的值,从而得出答案.
7.【答案】25
【知识点】三角形三边关系;勾股定理;矩形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:取BC的中点E,连接OD、OE、DE,如图所示:
∵
∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大
∵CD=5,BC=24,∠MON=90°
∴
∴OD的最大值为:
∴点D到点O的最大距离为
故答案为:.
【分析】取BC的中点E,连接OD、OE、DE,根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,再根据勾股定理列式求出DE的长,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长,再根据边之间的关系即可求出答案.
8.【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵ 平行四边形 ,对角线 相交于点O,
∴AC=2AO,BC=2BO.
∵△AOB是等边三角形,
∴AB=BO=AO=4 cm,
∴AC=BD=8 cm,
∴四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∴
∴ 矩形ABCD的面积为:.
故答案为:.
【分析】利用平行四边形对角的性质和等边三角形的性质证得AC=BD,可得四边形ABCD是矩形,于是可求出BC的长,利用AB×BC即可得到结论.
9.【答案】
【知识点】平行线的性质;三角形全等及其性质;三角形全等的判定;勾股定理;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵,,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,;
如图,延长交于点G,
∵四边形是矩形,
∴,,
∴,,
∵E是边的中点,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,.
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
设,
根据勾股定理得:,
即,
解得,
∴,
∴,
∴.
故答案为:1.8.
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形,再根据直线平行性质可得,由矩形判定定理可得四边形是矩形,则,,延长交于点G,根据矩形性质可得,,则,,再根据全等三角形判定定理可得,则,.根据直线平行性质可得,则,即,设,根据勾股定理建立方程,解方程可得,再根据边之间的关系即可求出答案.
10.【答案】
【知识点】两点之间线段最短;勾股定理;矩形的判定与性质;三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:设的交点为,的中点分别是,连接,
互相垂直,
和为直角三角形,且分别为斜边,
,
,
当最小时,最小,再根据“两点之间线段最短”得,
当点在线段上时,最小,最小值为线段的长,
分别为的中点,
是的中位线,
,
同理,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
,
四边形是矩形,
在中,,
,
的最小值为,
的最小值为.
故答案为:.
【分析】设的交点为,的中点分别是,连接,根据直角三角形判定定理可得和为直角三角形,且分别为斜边,根据斜边上的中线可得,则,当最小时,最小,再根据“两点之间线段最短”得,当点在线段上时,最小,最小值为线段的长,根据三角形中位线定理可得,,,,根据矩形判定定理可得四边形是矩形,再根据勾股定理即可求出答案.
11.【答案】(1)证明:∵O是AC的中点,
又
∴四边形ABCD为平行四边形
为矩形
(2)解:∵l2-l1=BO+OC+BC-(BO+AB+AO),AO=OC
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=a,AD=BC=b,
∴a+a+b+b=28,
∴a+b=14,
∴
解得:
∵∠ABC=90°,
∴,
∴AC的长为10.
【知识点】解二元一次方程组;勾股定理;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先证明对角线互相平分,继而得到四边形ABCD是平行四边形,再由∠ABC=90°,即可证明为矩形;
(2)由矩形的性质得到l2-l1=b-a=2,a+b=14,得到二元一次方程组,求出a,b,再
由勾股定理即可求解.
12.【答案】(1)∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,,
∵为线段的中点,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴平行四边形是矩形.
(2)解:过点作于点,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴四边形的面积等于,
∵,,
∵点是对角线的中心,
∴,
∴,
∴平行四边形ABCE的面积为:.
【知识点】三角形的面积;勾股定理;矩形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证得AD∥BC,利用平行线的性质可得到∠DAF=∠AFC,∠ADC=∠DCF,利用线段的中点可知DE=CE,利用AAS证明△ADE≌△FCE,利用全等三角形的对应边相等可得到AE=EF,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可证得四边形ACFD是平行四边形,再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形,可证得结论.
(2)过点E作EG⊥AC于点G,利用平行四边形的性质可证得AD=BC,利用矩形的性质可推出AD=BC=CF,利用勾股定理求出DF的长;观察图形可知S四边形ABCE=S△ABC+S△AEC,利用三角形的面积公式求出△ABC的面积,利用三角形的中位线定理求出GE的长,可得到△ACE的面积,然后代入计算求出四边形ABCE的面积.
13.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴O为BD中点.
∵E为AD中点,
∴OE为△ABD的中位线,
∴OE∥FG. ∵OG∥EF,
∴四边形OEFG为平行四边形.
∵EF⊥AB,
∴平行四边形OEFG为矩形
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,AB=AD=10,
∴∠AOD=90°,
∵E是AD的中点,
∴
由(1)知,四边形OEFG是矩形,
∴FG=OE=5,
∵AE=5,EF=4,
在Rt△AEF中,
∴
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2
【知识点】勾股定理;菱形的性质;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据E是AD的中点,O是DB的中点,得到OE是三角形ADB的中位线,得到OE//AB,再根据OG//EF,可以求证出四边形OEFG是平行四边形,再由已知条件EF⊥AB得到四边形OEEG是矩形;
(2)根据菱形的性质,得到BD⊥AC,AB=AD=10,根据直角三角形斜边上的中线的性质,得到OE=AE=5,然后根据矩形的性质得到FG=OE=5,在Rt△AEF中,再根据勾股定理,即可求出AF的长度,最后根据线段的和差关系即可求出BG的长.
14.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD.
∵AE=BF=CG=DH,
∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,
即OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是矩形.
(2)解:∵G是OC的中点,
∴GO=GC.
又∵DG⊥AC,
∴CD=OD
∵F是BO中点,OF=2cm,
∴BO=4cm.
∴DO=BO=4cm,
∴DC=4cm,DB=8cm,
∴CB==4 (cm),
∴矩形ABCD的面积为4×4=16 (cm2).
【知识点】线段垂直平分线的性质;勾股定理;平行四边形的性质;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)首先根据矩形的性质得出 OA=OB=OC=OD ,然后再根据等式的性质得出 OE=OF=OG=OH, 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ;
(2)首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD,在根据矩形的性质得出OD=OB,即可得出CD=2OF=4cm,DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4,根据矩形的面积计算公式,即可得出矩形ABCD的面积为16( cm2)
15.【答案】(1)解:是平行四边形,
证明:如图2,连接AC,
∵E是AB的中点,F是BC的中点,
∴EF∥AC,EF= AC,
同理HG∥AC,HG= AC,
综上可得:EF∥HG,EF=HG,
故四边形EFGH是平行四边形
(2)解:①AC=BD.
理由如下:
由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG= BD,HG= AC,
∴当AC=BD时,FG=HG,
∴平行四边形EFGH是菱形
②当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形;
理由如下:
同(2)得:四边形EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,GH∥AC,
∴GH⊥BD,
∵GF∥BD,
∴GH⊥GF,
∴∠HGF=90°,
∴四边形EFGH为矩形.
【知识点】平行四边形的判定;菱形的判定与性质;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)如图2,连接AC,根据三角形中位线的性质得到EF∥AC,EF= AC,然后根据平行四边形判定定理即可得到结论;(2)由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG= BD,HG= AC,于是得到当AC=BD时,FG=HG,即可得到结论;(3)根据平行线的性质得到GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根据矩形的判定定理即可得到结论.此题主要考查了中点四边形,关键是掌握三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
1 / 11.2矩形的性质与判定(第3课时)—北师大版数学九(上)课堂达标卷
一、选择题
1.(2025九上·大埔期末)如图,在中,,,,点P是边上任意一点,过点P作,,垂足分别为点D,E,连接,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用;三角形的面积;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:中,,,,
,
连接,如图所示:
∵于点,于点,,
∴,
四边形是矩形,
,
当最小时,则最小,根据垂线段最短可知当时,则最小,
∴此时.
故选:B.
【分析】由垂直的概念得,,则四边形PDCE是矩形,所以PC=DE,显然当时,CP最小,利用勾股定理先求出斜边AB的长,再利用面积即可求出CP的最小值,即DE的最小值.
2.(2022·湘西)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,M为BC的中点,H为AB上一点,过点C作CG∥AB,交HM的延长线于点G,若AC=8,AB=6,则四边形ACGH周长的最小值是( )
A.24 B.22 C.20 D.18
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用;矩形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解:∵CG∥AB,∠A=90°,
∴∠B=∠MCG,∠ACG=90°
∵点M为BC的中点,
∴BM=CM;
在△BMH和△CMG中
∴△BMH≌△CMG(ASA),
∴HM=MG,BH=CG;
∵四边形ACGH的周长为AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH;
∴当GH最小时,即GH⊥AB时,四边形ACGH的周长最小,
∴∠AHG=∠A=∠ACG=90°,
∴四边形ACGH是矩形,
∴AC=GH=8,
∴四边形ACGH的周长的最小值为14+8=22.
故答案为:B.
【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得∠B=∠MCG,∠ACG=90° ,利用线段中点的定义可证得BM=CM;再利用ASA证明△BMH≌△CMG,利用全等三角形的性质可得到HM=MG,BH=CG;再利用垂线段最短可知即GH⊥AB时,四边形ACGH的周长最小值就是14+GH;然后证明四边形ACGH是矩形,利用矩形的性质可求出GH的长,即可求解.
3.(2024八下·西安期末)如图, 在矩形中, E、F分别是边的中点, G为边上的一点, 将矩形沿翻折使得点A落在上, 点A对应点为点. 若, 则四边形的面积为( )
A.9 B. C.15 D.
【答案】B
【知识点】三角形的面积;等边三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:如图,连接,
∵四边形是矩形,
∴,,,
∵分别是边的中点,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
∴,
∴垂直平分,
∴,
∵折叠的性质,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
解得:,
∴,
∴,
∴,
故答案为:B.
【分析】连接,根据矩形的性质与判定推出四边形是矩形,从而得垂直平分,进而根据线段垂直平分线的性质得,然后根据折叠的性质,得,于是可得到是等边三角形,根据等边三角形的性质得到,由含30°的直角三角形的性质得,接下来利用勾股定理得出的值,则求出的值,最后利用三角形面积公式进行求解即可.
4.(2025八下·金平期中)如图,在四边形ABCD中,相交于点,且,动点E从点开始,沿折线运动至点停止,CE与BD相交于点,点是线段CE的中点,连接OF,有下列结论:①四边形ABCD是矩形;②当点在边AB上,且时,点E是AB的中点;③当时,线段OF长度的最大值为2;④当点E在边AB上,且时,是等边三角形.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定;平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:①∵,
∴四边形是平行四边形,,
∴平行四边形是矩形,故①正确;
②由①可知,四边形是矩形,
∴,
∵O,F分别是,的中点,点在上,
∴是的中位线,
∴,
∵,
∴,
∴点E是的中点,故②正确;
③∵是的中位线,
∴,
∴当的值最大时,的值最大,
当点E与点D重合时,的值最大,此时,
∴线段长度的最大值是2,故③正确;
④当点E在边上,且时,,
∴不是等边三角形,故④错误.
综上所述,正确的结论有3个,
故答案为:C
【分析】先根据平行四边形的判定与性质得到,再根据矩形的判定即可判断①;根据矩形的性质结合三角形中位线定理得到,进而进行线段的运算即可判断②;根据三角形中位线定理得到,进而得到当的值最大时,的值最大,当点E与点D重合时,的值最大,此时,从而判断③;根据等边三角形的判定结合题意即可判断④.
5.(2025八下·深圳期中)如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F,连结BF交AC于点M,连结DE、BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论中正确结论的个数是( )
①DE=EF;②四边形DFBE是菱形;③BM=3FM;④=1:14.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵矩形ABCD中,O为AC中点,
∴OB=OC.
∵∠COB=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC.
∴FO=FC,
∴FB垂直平分OC;
∵△BOC为等边三角形,FO=FC,
∴BO⊥EF,BF⊥OC,
∴∠CMB=∠EOB=90°,
易知△ADE△CBF,∠1=∠2=∠3=30°,
∴∠ADE=∠CBF=30°,∠BEO=60°,
∴ ∠CDE=60°,∠DFE=∠BEO=60°,
∴∠CDE=∠DFE,
∴DE=EF=DF,故①正确;
∴BE=DF
又∵BE//DF
∴四边形DEBF是平行四边形
又∵DE=DF
∴四边形DEBF是菱形,故②正确;
易知△AOE≌△COF,
∴S△AOE=S△COF.
∴S△COF=2S△CMF,
∴S△AOE:S△BCM=2S△CMF:S△BCM=
∵∠FCO=30°,
∴,
∴FM=3BM,故③正确;
∴S△FOM:S△BOM=1:3
∴S△FOM:S△BCM=1:6
∴△FOM:S△ABC=1:12
∴△FOM:S矩形ABCDM=1:24,故④错误。
故答案为:C.
【分析】根据矩形性质可得 OB=OC,再根据等边三角形判定定理可得△OBC是等边三角形,则OB=BC,根据垂直平分线判定定理可得FB垂直平分OC,再根据等边三角形性质可得BO⊥EF,BF⊥OC,根据全等三角形判定定理可得△ADE△CBF,∠1=∠2=∠3=30°,则∠ADE=∠CBF=30°,∠BEO=60°,再根据角之间的关系可得∠CDE=∠DFE,再根据等腰三角形性质可判断①;再根据菱形判定定理可判断②;根据全等三角形性质可得S△AOE=S△COF,再根据三角形面积之间的关系可得S△AOE:S△BCM=2S△CMF:S△BCM=,再根据含30°角的直角三角形性质可得,,则FM=3BM,可判断③;再根据三角形面积之间的关系可判断④.
二、填空题
6.(2024八下·苍南月考)如图,在中,,且,,点是斜边上的一个动点,过点分别作于点,于点,连接,则线段的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用;三角形的面积;勾股定理;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵,且,,
∴,
∵,,
∴,
∴四边形是矩形.
如图,连接AD,则,
∴当时,的值最小,此时,的面积,
∴,
∴的最小值为;
故答案为:.
【分析】由勾股定理求出BC的长,根据有三个内角是直角的四边形是矩形,可得四边形DMAN是矩形,由矩形的对角线相等可得AD=MN,根据垂线段最短得当AD⊥BC时,AD最小,进而根据等面积法建立方程可求出AD的值,从而得出答案.
7.(2025八下·柳州期中)如图,∠MON=90°,长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上,当B在边OM上运动时,C随之在边ON上运动,若CD=5,BC=24,运动过程中,点D到点O的最大距离为 .
【答案】25
【知识点】三角形三边关系;勾股定理;矩形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:取BC的中点E,连接OD、OE、DE,如图所示:
∵
∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大
∵CD=5,BC=24,∠MON=90°
∴
∴OD的最大值为:
∴点D到点O的最大距离为
故答案为:.
【分析】取BC的中点E,连接OD、OE、DE,根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时,点D到点O的距离最大,再根据勾股定理列式求出DE的长,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长,再根据边之间的关系即可求出答案.
8.如图, 已知平行四边形 的对角线 相交于点 是等边三角形, , 则平行四边形 的面积为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵ 平行四边形 ,对角线 相交于点O,
∴AC=2AO,BC=2BO.
∵△AOB是等边三角形,
∴AB=BO=AO=4 cm,
∴AC=BD=8 cm,
∴四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,
∴
∴ 矩形ABCD的面积为:.
故答案为:.
【分析】利用平行四边形对角的性质和等边三角形的性质证得AC=BD,可得四边形ABCD是矩形,于是可求出BC的长,利用AB×BC即可得到结论.
9.(2024九上·福田月考)如图,已知,,,E是边的中点,F为边上一点,,若,,则的值为 .
【答案】
【知识点】平行线的性质;三角形全等及其性质;三角形全等的判定;勾股定理;矩形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵,,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,;
如图,延长交于点G,
∵四边形是矩形,
∴,,
∴,,
∵E是边的中点,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,.
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.
设,
根据勾股定理得:,
即,
解得,
∴,
∴,
∴.
故答案为:1.8.
【分析】根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形,再根据直线平行性质可得,由矩形判定定理可得四边形是矩形,则,,延长交于点G,根据矩形性质可得,,则,,再根据全等三角形判定定理可得,则,.根据直线平行性质可得,则,即,设,根据勾股定理建立方程,解方程可得,再根据边之间的关系即可求出答案.
10.(2024八下·盐田期末)如图,四边形的两条对角线,互相垂直,,,则的最小值是 .
【答案】
【知识点】两点之间线段最短;勾股定理;矩形的判定与性质;三角形的中位线定理;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:设的交点为,的中点分别是,连接,
互相垂直,
和为直角三角形,且分别为斜边,
,
,
当最小时,最小,再根据“两点之间线段最短”得,
当点在线段上时,最小,最小值为线段的长,
分别为的中点,
是的中位线,
,
同理,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
,
四边形是矩形,
在中,,
,
的最小值为,
的最小值为.
故答案为:.
【分析】设的交点为,的中点分别是,连接,根据直角三角形判定定理可得和为直角三角形,且分别为斜边,根据斜边上的中线可得,则,当最小时,最小,再根据“两点之间线段最短”得,当点在线段上时,最小,最小值为线段的长,根据三角形中位线定理可得,,,,根据矩形判定定理可得四边形是矩形,再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题
11.(2025·云南)如图,在中,是AC的中点.延长BO至点D,使(连接AD,CD.记.的周长为的周长为,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若求AC的长.
【答案】(1)证明:∵O是AC的中点,
又
∴四边形ABCD为平行四边形
为矩形
(2)解:∵l2-l1=BO+OC+BC-(BO+AB+AO),AO=OC
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=a,AD=BC=b,
∴a+a+b+b=28,
∴a+b=14,
∴
解得:
∵∠ABC=90°,
∴,
∴AC的长为10.
【知识点】解二元一次方程组;勾股定理;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先证明对角线互相平分,继而得到四边形ABCD是平行四边形,再由∠ABC=90°,即可证明为矩形;
(2)由矩形的性质得到l2-l1=b-a=2,a+b=14,得到二元一次方程组,求出a,b,再
由勾股定理即可求解.
12.(2023·大庆)如图,在平行四边形中,为线段的中点,连接,,延长,交于点,连接,.
(1)求证:四边形是矩形;
(2)若,,求四边形的面积.
【答案】(1)∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,,
∵为线段的中点,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∵,
∴平行四边形是矩形.
(2)解:过点作于点,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∵四边形是矩形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴四边形的面积等于,
∵,,
∵点是对角线的中心,
∴,
∴,
∴平行四边形ABCE的面积为:.
【知识点】三角形的面积;勾股定理;矩形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质可证得AD∥BC,利用平行线的性质可得到∠DAF=∠AFC,∠ADC=∠DCF,利用线段的中点可知DE=CE,利用AAS证明△ADE≌△FCE,利用全等三角形的对应边相等可得到AE=EF,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可证得四边形ACFD是平行四边形,再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形,可证得结论.
(2)过点E作EG⊥AC于点G,利用平行四边形的性质可证得AD=BC,利用矩形的性质可推出AD=BC=CF,利用勾股定理求出DF的长;观察图形可知S四边形ABCE=S△ABC+S△AEC,利用三角形的面积公式求出△ABC的面积,利用三角形的中位线定理求出GE的长,可得到△ACE的面积,然后代入计算求出四边形ABCE的面积.
13.如图所示,菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EF⊥AB,OG∥EF.
(1)求证:四边形OEFG是矩形.
(2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
∴O为BD中点.
∵E为AD中点,
∴OE为△ABD的中位线,
∴OE∥FG. ∵OG∥EF,
∴四边形OEFG为平行四边形.
∵EF⊥AB,
∴平行四边形OEFG为矩形
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC,AB=AD=10,
∴∠AOD=90°,
∵E是AD的中点,
∴
由(1)知,四边形OEFG是矩形,
∴FG=OE=5,
∵AE=5,EF=4,
在Rt△AEF中,
∴
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2
【知识点】勾股定理;菱形的性质;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据E是AD的中点,O是DB的中点,得到OE是三角形ADB的中位线,得到OE//AB,再根据OG//EF,可以求证出四边形OEFG是平行四边形,再由已知条件EF⊥AB得到四边形OEEG是矩形;
(2)根据菱形的性质,得到BD⊥AC,AB=AD=10,根据直角三角形斜边上的中线的性质,得到OE=AE=5,然后根据矩形的性质得到FG=OE=5,在Rt△AEF中,再根据勾股定理,即可求出AF的长度,最后根据线段的和差关系即可求出BG的长.
14.(2023九上·兰州期中) 如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD上的点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:四边形EFGH是矩形;
(2)若E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD.
∵AE=BF=CG=DH,
∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,
即OE=OF=OG=OH,
∴四边形EFGH是矩形.
(2)解:∵G是OC的中点,
∴GO=GC.
又∵DG⊥AC,
∴CD=OD
∵F是BO中点,OF=2cm,
∴BO=4cm.
∴DO=BO=4cm,
∴DC=4cm,DB=8cm,
∴CB==4 (cm),
∴矩形ABCD的面积为4×4=16 (cm2).
【知识点】线段垂直平分线的性质;勾股定理;平行四边形的性质;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)首先根据矩形的性质得出 OA=OB=OC=OD ,然后再根据等式的性质得出 OE=OF=OG=OH, 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ;
(2)首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD,在根据矩形的性质得出OD=OB,即可得出CD=2OF=4cm,DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4,根据矩形的面积计算公式,即可得出矩形ABCD的面积为16( cm2)
15.(2016·兰州)阅读下面材料:
在数学课上,老师请同学思考如下问题:如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗?
小敏在思考问题是,有如下思路:连接AC.
结合小敏的思路作答
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗?说明理由;参考小敏思考问题方法解决一下问题:
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形,写出结论并证明;
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形,直接写出结论.
【答案】(1)解:是平行四边形,
证明:如图2,连接AC,
∵E是AB的中点,F是BC的中点,
∴EF∥AC,EF= AC,
同理HG∥AC,HG= AC,
综上可得:EF∥HG,EF=HG,
故四边形EFGH是平行四边形
(2)解:①AC=BD.
理由如下:
由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG= BD,HG= AC,
∴当AC=BD时,FG=HG,
∴平行四边形EFGH是菱形
②当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形;
理由如下:
同(2)得:四边形EFGH是平行四边形,
∵AC⊥BD,GH∥AC,
∴GH⊥BD,
∵GF∥BD,
∴GH⊥GF,
∴∠HGF=90°,
∴四边形EFGH为矩形.
【知识点】平行四边形的判定;菱形的判定与性质;矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)如图2,连接AC,根据三角形中位线的性质得到EF∥AC,EF= AC,然后根据平行四边形判定定理即可得到结论;(2)由(1)知,四边形EFGH是平行四边形,且FG= BD,HG= AC,于是得到当AC=BD时,FG=HG,即可得到结论;(3)根据平行线的性质得到GH⊥BD,GH⊥GF,于是得到∠HGF=90°,根据矩形的判定定理即可得到结论.此题主要考查了中点四边形,关键是掌握三角形中位线定理,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.
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