1.3正方形的性质与判定（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2023九上·金牛期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
2．（2024九上·昆明开学考）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1）
C．（﹣1，） D．（﹣，1）
3．（2024九上·佛山期中）如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ）
A．2 B． C． D．4
4．（2024九上·定州期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·茂名月考）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ．
7．（2018·武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ．
8．（2023·广西） 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
9．（2023·广州）如图，正方形的边长为，点在边上，且，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
10．（2024·宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若，则MN的最小值为 ．
三、解答题
11．（2025·长沙） 如图， 正方形ABCD中， 点E， F 分别在AB， CD上， 且BE=DF .
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2） 连接EF， 若BC=12， BE=5， 求EF的长.
12．（2025·德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O(两个门E、F的大小忽略不计).
（1）请问这两条路是否等长 它们有什么位置关系，说明理由；
（2）同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由.
13．（2025·广安） 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：.
（2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长.
14．（2023·绍兴）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足.连结，并延长交于点.
（1）求证：.
（2）判断与是否垂直，并说明理由.
15．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC=∠ADO=90°，
∴∠COE+∠ECO=90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD=，OD=1，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠OCE，
在和中，
∵
∴ （AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴C（-，1），
故答案为：D．
【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的综合，及全等三角形的性质与判定.先作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，据此可推出∠COE+∠ECO=90°，根据点A的坐标可求出AD和OD，再根据四边形OABC为正方形，利用正方形的性质可推出：∠AOD=∠OCE，利用全等三角形的判定定理可证明 ，利用全等三角形的性质可得：OE=AD=，CE=OD=1，据此可求出点C的坐标．
3．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接、，如图：
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴M、N两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
∴阴影部分的面积和，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接、，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再求出阴影部分的面积和，可得，最后求出即可．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝5．
∵DM＝2，
∴CM＝3．
∴在Rt△BCM中，BM＝，
∴EF＝，
故选：A．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质.连接BM，根据对称性可得：AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，再利用旋转的性质可得：AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，利用角的运算可得：∠FAE＝∠MAB，利用全等三角形的判定定理可证明△FAE≌△MAB（SAS），利用全等三角形的性质可得：EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝5，利用线段运算可求出CM＝3，再利用勾股定理可求出BM，进而可得EF的长．
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过作于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故③符合题意；
如上图，延长交于点，
∴，
∵，
∴，即，故②符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
故④符合题意；
故答案为：D
【分析】过作于点，先根据正方形的性质结合平行线的性质得到，，再结合等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质证明得到，进而判断①；根据三角形全等的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，从而判断③；延长交于点，等量代换得到，即，从而判断②；根据平行线的性质得到，再等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理结合题意即可判断④.
6．【答案】(-1.5，5)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
7．【答案】30°或150°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，
∴∠AEB=∠CED=15°，
则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．
如图2，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，
∴∠CED=∠ECD= （180°﹣30°）=75°，
∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．
故答案为：30°或150°．
【分析】如图1，根据正多边形的性质得出AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，根据角的和差得出∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，根据等腰三角形的性质得出∠AEB=∠CED=15°，根据角的和差即可算出∠BEC的度数；如图2，根据等边三角形的性质得出AD=DE，根据正方形的性质得出AD=DC，故DE=DC，根据等边对等角得出∠CED=∠ECD，根据角的和差得出∠CDE的度数，根据三角形的内角和及等腰三角形的旋转得出∠CED=∠ECD=75°，根据周角的定义即可得出答案。
8．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴.
故答案为：
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AE交BD于点F'，再连接F'C，当点F与点F'重合时，CF+EF的值最小为AE，
根据正方形的轴对称性可得AF'=CF'，
∴EF'+CF'=EF'+AF'=AE，
根据两点之间线段最短得AE就是F+EF的最小值，
在Rt△ABE中，∵∠ABC=90°，AB=4，BE=1，
∴
故答案为：.
【分析】连接AE交BD于一点F'，根据正方形的性质得到点A与点C关于BD对称，求得AF'=CF'，推出AF'+EF'=AE，当点F与点F'重合时，CF+EF的值最小为AE，根据勾股定理即可得到结论.
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长CD到点G，使DG=BM，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=CD=1，∠BAD=∠ADN=90°=∠ADG，
又∵BM=DG，AB=AD.
∴△ABM≌△ADG(SAS)，
∴∠BAM=∠DAG，AM=AG，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=90°－∠MAN=45°.
∴∠DAG+∠DAN=45°，即∠GAN=45°，
在△GAN和△MAN中，
∴△GAN≌△MAN(SAS)，
∴GN=MN.
设BM=x，MN=y，则GN=y，DG=x，
∵BC=CD=1，
∴CM=1-x，CN=DC－DN=1－(y-x)=1－y+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2=CM2+CN2，
即，
解得：
∵
∴.
故MN的最小值为
故答案为：.
【分析】由∠MAN=45°识别出半角模型，从而构造△GAN≌△MAN，将MN线段进行转化得到GN，设BM=x，MN=y，再利用勾股方程进行转化，建立一个关于y的式子，利用不等式的性质求最值即可
11．【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD且AB=CD.
又∵BE=DF ，
∴ AB-BE=CD-DF.
∴ AE=CF.
又∵AE∥CF.
∴四边形 AECF 是平行四边形
（2）解：过点E作EH⊥CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形， BC=12，
∴CD=BC=12， ∠B=∠BCD=90°.
又∵∠EHC=90°，
∴四边形EBCH 是矩形.
∴EB=HC=5， EH=BC=12.
又∵DF=BE=5，
∴HF=CD-DF-CH=12-5-5=2.
在Rt△EHF中，由勾股定理得
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点E作EH⊥CD于点H.即可得到EBCH 是矩形，即可得到EB=HC=5， EH=BC=12.求出HF长，利用勾股定理解答即可.
12．【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°.
∵DE=CF，
∴AE=DF.
∴△BAE≌△ADF.
∴BE=AF.
∴∠DAF=∠ABE.
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°.
∴AF⊥BE.
所以这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直.
（2）∵AD=4，AE=3，∴DF=3.
∴BE=5.
又∵在Rt△ABE中有BE·AO=AB·AE，
∴5AO=4×3.
①如果另一端点P在路段OB上，
则在Rt△OPF中，
此种情况不成立．
②如果另一端点在花园边界BC上时，设，则在Rt中，
有，．，
能修建成这样的一条直路．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用SAS证明△BAE≌△ADF，即可得到BE=AF，然后根据等量代换得到∠DAF+∠AEB=90°即可得到位置关系解题；
（2）先根据勾股定理求出AF长，然后利用面积法求出AO长，然后分为点P在路段OB上或在花园边界BC上两种情况，利用勾股定理解答即可.
13．【答案】（1）证明： ∵四边形 ABCD 为正方形
∴，，
在 和 中，
（2）解： 连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，，
∴BD垂直平分AC，，
∴，，
由（1）知，
∴，，
∵四边形AECF的周长为，
∴，
在Rt△AOF中，，
∴，
∴，
答：EF的长为6
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADE=∠CBF=45°，AD=BC，再利用SAS可证得结论.
（2）连接AC交BD于点O，利用正方形的性质求出OA的长；利用全等三角形的性质可证得AE=CF=AE=CE，据此可求出AF的长，利用勾股定理可求出OF的长；然后求出BF的长，根据EF=BD-BF，代入计算求出EF的长.
14．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵GE⊥CD，
∴∠GEC=90°，
∴∠GEC=∠ADC=90°，
∴GE∥AD，
∴∠DAG=∠EGH；
（2）解：AH与EF垂直，理由如下：
连结GC交EF于点O.
∵四边形ABCD为正方形ABCD，
，AD=CG，∠BCD=90°，
又
∴△ADG≌△CDG，
.
∴∠GFC=∠GEC=∠BCD=90°，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DAG=∠OEC，
由（1）得∠DAG=∠EGH，
∴∠EGH=∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°，
∴∠GHE=90°，
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由正正方形的性质及垂直的定义可得∠GEC=∠ADC=90°，由同位角相等，两直线平行，得GE∥AD，进而根据二直线平行，同位角相等，得∠DAG=∠EGH；
（2）AH与EF垂直，理由如下：连结GC交EF于点O，由正方形的性质得∠ADG=∠CDG，AD=CD，然后用SAS判断出△ADG≌△CDG，得∠DAG=∠DCG；易得四边形FCEG是矩形，得OE=OC，由等边对等角及等量代换可得∠EGH=∠OEC，进而根据角的和差及等量代换可求出∠EGH+∠GEH=90°，进而根据三角形的内角和定理得∠GHE=90°，从而根据垂直的定义得出结论.
15．【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
1 / 11.3正方形的性质与判定（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2023九上·金牛期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
2．（2024九上·昆明开学考）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1）
C．（﹣1，） D．（﹣，1）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC=∠ADO=90°，
∴∠COE+∠ECO=90°，
∵A的坐标为（1，），
∴AD=，OD=1，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠AOD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠OCE，
在和中，
∵
∴ （AAS），
∴OE=AD=，CE=OD=1，
∴C（-，1），
故答案为：D．
【分析】本题考查正方形的性质、坐标与图形的综合，及全等三角形的性质与判定.先作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，据此可推出∠COE+∠ECO=90°，根据点A的坐标可求出AD和OD，再根据四边形OABC为正方形，利用正方形的性质可推出：∠AOD=∠OCE，利用全等三角形的判定定理可证明 ，利用全等三角形的性质可得：OE=AD=，CE=OD=1，据此可求出点C的坐标．
3．（2024九上·佛山期中）如图，三个边长相同的正方形叠放在一起，M，N是其中两个正方形的中心，阴影部分的面积和是4，则正方形的边长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接、，如图：
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴M、N两个正方形阴影部分的面积是，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
∴阴影部分的面积和，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接、，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再求出阴影部分的面积和，可得，最后求出即可．
4．（2024九上·定州期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．
∴∠FAB＝∠MAE
∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠FAE＝∠MAB．
∴△FAE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝5．
∵DM＝2，
∴CM＝3．
∴在Rt△BCM中，BM＝，
∴EF＝，
故选：A．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质.连接BM，根据对称性可得：AE＝AD，∠MAD＝∠MAE，再利用旋转的性质可得：AF＝AM，∠FAB＝∠MAD，利用角的运算可得：∠FAE＝∠MAB，利用全等三角形的判定定理可证明△FAE≌△MAB（SAS），利用全等三角形的性质可得：EF＝BM．再根据BC＝CD＝AB＝5，利用线段运算可求出CM＝3，再利用勾股定理可求出BM，进而可得EF的长．
5．（2024九上·茂名月考）如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：过作于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故③符合题意；
如上图，延长交于点，
∴，
∵，
∴，即，故②符合题意；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，
故④符合题意；
故答案为：D
【分析】过作于点，先根据正方形的性质结合平行线的性质得到，，再结合等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质证明得到，进而判断①；根据三角形全等的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，从而判断③；延长交于点，等量代换得到，即，从而判断②；根据平行线的性质得到，再等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理结合题意即可判断④.
二、填空题
6．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ．
【答案】(-1.5，5)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
7．（2018·武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ．
【答案】30°或150°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，
∴∠AEB=∠CED=15°，
则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．
如图2，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD=DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，
∴DE=DC，
∴∠CED=∠ECD，
∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，
∴∠CED=∠ECD= （180°﹣30°）=75°，
∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．
故答案为：30°或150°．
【分析】如图1，根据正多边形的性质得出AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，根据角的和差得出∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，根据等腰三角形的性质得出∠AEB=∠CED=15°，根据角的和差即可算出∠BEC的度数；如图2，根据等边三角形的性质得出AD=DE，根据正方形的性质得出AD=DC，故DE=DC，根据等边对等角得出∠CED=∠ECD，根据角的和差得出∠CDE的度数，根据三角形的内角和及等腰三角形的旋转得出∠CED=∠ECD=75°，根据周角的定义即可得出答案。
8．（2023·广西） 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴.
故答案为：
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
9．（2023·广州）如图，正方形的边长为，点在边上，且，为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接AE交BD于点F'，再连接F'C，当点F与点F'重合时，CF+EF的值最小为AE，
根据正方形的轴对称性可得AF'=CF'，
∴EF'+CF'=EF'+AF'=AE，
根据两点之间线段最短得AE就是F+EF的最小值，
在Rt△ABE中，∵∠ABC=90°，AB=4，BE=1，
∴
故答案为：.
【分析】连接AE交BD于一点F'，根据正方形的性质得到点A与点C关于BD对称，求得AF'=CF'，推出AF'+EF'=AE，当点F与点F'重合时，CF+EF的值最小为AE，根据勾股定理即可得到结论.
10．（2024·宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若，则MN的最小值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长CD到点G，使DG=BM，如图：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=CD=1，∠BAD=∠ADN=90°=∠ADG，
又∵BM=DG，AB=AD.
∴△ABM≌△ADG(SAS)，
∴∠BAM=∠DAG，AM=AG，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=90°－∠MAN=45°.
∴∠DAG+∠DAN=45°，即∠GAN=45°，
在△GAN和△MAN中，
∴△GAN≌△MAN(SAS)，
∴GN=MN.
设BM=x，MN=y，则GN=y，DG=x，
∵BC=CD=1，
∴CM=1-x，CN=DC－DN=1－(y-x)=1－y+x，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2=CM2+CN2，
即，
解得：
∵
∴.
故MN的最小值为
故答案为：.
【分析】由∠MAN=45°识别出半角模型，从而构造△GAN≌△MAN，将MN线段进行转化得到GN，设BM=x，MN=y，再利用勾股方程进行转化，建立一个关于y的式子，利用不等式的性质求最值即可
三、解答题
11．（2025·长沙） 如图， 正方形ABCD中， 点E， F 分别在AB， CD上， 且BE=DF .
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2） 连接EF， 若BC=12， BE=5， 求EF的长.
【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD且AB=CD.
又∵BE=DF ，
∴ AB-BE=CD-DF.
∴ AE=CF.
又∵AE∥CF.
∴四边形 AECF 是平行四边形
（2）解：过点E作EH⊥CD于点H.
∵四边形ABCD是正方形， BC=12，
∴CD=BC=12， ∠B=∠BCD=90°.
又∵∠EHC=90°，
∴四边形EBCH 是矩形.
∴EB=HC=5， EH=BC=12.
又∵DF=BE=5，
∴HF=CD-DF-CH=12-5-5=2.
在Rt△EHF中，由勾股定理得
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点E作EH⊥CD于点H.即可得到EBCH 是矩形，即可得到EB=HC=5， EH=BC=12.求出HF长，利用勾股定理解答即可.
12．（2025·德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O(两个门E、F的大小忽略不计).
（1）请问这两条路是否等长 它们有什么位置关系，说明理由；
（2）同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由.
【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°.
∵DE=CF，
∴AE=DF.
∴△BAE≌△ADF.
∴BE=AF.
∴∠DAF=∠ABE.
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°.
∴AF⊥BE.
所以这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直.
（2）∵AD=4，AE=3，∴DF=3.
∴BE=5.
又∵在Rt△ABE中有BE·AO=AB·AE，
∴5AO=4×3.
①如果另一端点P在路段OB上，
则在Rt△OPF中，
此种情况不成立．
②如果另一端点在花园边界BC上时，设，则在Rt中，
有，．，
能修建成这样的一条直路．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用SAS证明△BAE≌△ADF，即可得到BE=AF，然后根据等量代换得到∠DAF+∠AEB=90°即可得到位置关系解题；
（2）先根据勾股定理求出AF长，然后利用面积法求出AO长，然后分为点P在路段OB上或在花园边界BC上两种情况，利用勾股定理解答即可.
13．（2025·广安） 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：.
（2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长.
【答案】（1）证明： ∵四边形 ABCD 为正方形
∴，，
在 和 中，
（2）解： 连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，，
∴BD垂直平分AC，，
∴，，
由（1）知，
∴，，
∵四边形AECF的周长为，
∴，
在Rt△AOF中，，
∴，
∴，
答：EF的长为6
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADE=∠CBF=45°，AD=BC，再利用SAS可证得结论.
（2）连接AC交BD于点O，利用正方形的性质求出OA的长；利用全等三角形的性质可证得AE=CF=AE=CE，据此可求出AF的长，利用勾股定理可求出OF的长；然后求出BF的长，根据EF=BD-BF，代入计算求出EF的长.
14．（2023·绍兴）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足.连结，并延长交于点.
（1）求证：.
（2）判断与是否垂直，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∵GE⊥CD，
∴∠GEC=90°，
∴∠GEC=∠ADC=90°，
∴GE∥AD，
∴∠DAG=∠EGH；
（2）解：AH与EF垂直，理由如下：
连结GC交EF于点O.
∵四边形ABCD为正方形ABCD，
，AD=CG，∠BCD=90°，
又
∴△ADG≌△CDG，
.
∴∠GFC=∠GEC=∠BCD=90°，
∴四边形FCEG为矩形，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DAG=∠OEC，
由（1）得∠DAG=∠EGH，
∴∠EGH=∠OEC，
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°，
∴∠GHE=90°，
【知识点】平行线的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由正正方形的性质及垂直的定义可得∠GEC=∠ADC=90°，由同位角相等，两直线平行，得GE∥AD，进而根据二直线平行，同位角相等，得∠DAG=∠EGH；
（2）AH与EF垂直，理由如下：连结GC交EF于点O，由正方形的性质得∠ADG=∠CDG，AD=CD，然后用SAS判断出△ADG≌△CDG，得∠DAG=∠DCG；易得四边形FCEG是矩形，得OE=OC，由等边对等角及等量代换可得∠EGH=∠OEC，进而根据角的和差及等量代换可求出∠EGH+∠GEH=90°，进而根据三角形的内角和定理得∠GHE=90°，从而根据垂直的定义得出结论.
15．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
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