【精品解析】1.3正方形的性质与判定(第2课时)—北师大版数学九(上)课堂达标卷

文档属性

名称 【精品解析】1.3正方形的性质与判定(第2课时)—北师大版数学九(上)课堂达标卷
格式 zip
文件大小 1.5MB
资源类型 试卷
版本资源
科目 数学
更新时间 2025-08-04 10:39:30

文档简介

1.3正方形的性质与判定(第2课时)—北师大版数学九(上)课堂达标卷
一、选择题
1.下列说法中,正确的是(  )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是矩形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】解:A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,是假命题,不符合题意;
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,是假命题,不符合题意;
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,是真命题,符合题意;
D、对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项说法是假命题,不符合题意;
故答案为:C.
【分析】根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的判定定理判断.
2.(2025八下·渭源月考)如图,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是(  )
A.当,是矩形 B.当,是矩形
C.当,是菱形 D.当,是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】四边形是平行四边形,
当,平行四边形是矩形,故选项A正确,不符合题意;
当,平行四边形是矩形,故选项B正确,不符合题意;
当,平行四边形是菱形,故选项C正确,不符合题意;
当,平行四边形是菱形,但不一定是正方形,故选项D错误,符合题意;
故选:
【分析】
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A;根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B;根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断
3.(2025九下·威远开学考)如图,点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点.则正确的是(  )
A.若,则四边形为矩形
B.若,则四边形为菱形
C.若是平行四边形,则与互相平分
D.若是正方形,则与互相垂直且相等
【答案】D
【知识点】菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点,
,,,,,,
,,
四边形为平行四边形,
但与不一定互相平分,故选项C不符合题意;
A.,

四边形为菱形,故本选项不符合题意;
B.时,,
则四边形为矩形,故本选项不符合题意;
D.当四边形是正方形时,与互相垂直且相等,故本选项不符合题意;
故答案为:D.
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形,再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可.
4.(2024九上·兰州期中)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列说法正确的是(  )
A.若,则是菱形 B.若,则是矩形
C.若,则是正方形 D.若,则是正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】解:A、∵四边形是平行四边形且,
∴是矩形,而不是菱形;
∴此选项不符合题意;
B、∵四边形是平行四边形且,
∴是矩形,
∴此选项符合题意;
C、∵四边形是平行四边形且,
∴是菱形,
∴此选项不符合题意;
D、∵四边形是平行四边形且,
∴是菱形,
∴此选项不符合题意.
故答案为:B.
【分析】A、根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得四边形ABCD是矩形;
B、根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断求解;
C、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断求解;
D、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解.
5.(2024八下·荣成期中)如图,已知四边形为正方形,,为对角线上一点,连接,过点作,交的延长线于点,以,为邻边作矩形,连接.以下结论:①矩形是正方形;②;③平分;④.其中结论正确的序号有(  ).
A.①③④ B.①②④ C.①②③ D.①②③④
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;角平分线的判定
【解析】【解答】解:过点E作于点M,作于点N,如图所示,
∵四边形是正方形,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是正方形,
∴.
∵四边形是矩形,
∴,
∴.
在和中,,
∴,
∴,
∴矩形是正方形,故①正确;
∵四边形是正方形,
∴,.
∵四边形是正方形,
∴,
∴.
在和中,,
∴,
∴,,故④正确.
∵,
∴平分,故③正确;
∵,
∴,故②错误.
综上可知①③④正确.
故答案为:A.
【分析】过点E作于点M,作于点N,根据正方形性质可得,则,根据正方形判定定理可得四边形是正方形,则四边形是矩形,再根据矩形性质可得,根据全等三角形判定定理可得,则,再根据正方形判定定理可判断①;根据角之间的关系可得,再根据全等三角形判定定理可得,则,,可判断④;再根据角平分线判定定理可判断③,根据边之间的关系可判断②.
二、填空题
6.(2024八下·威海经济技术开发期中)如图,四边形为正方形,点E是的中点,将正方形沿折叠,得到点B的对应点为点F,延长交线段于点P,若,则的长度为   .
【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;勾股定理;正方形的性质;正方形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:连接AP,如图所示,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=AD=6,∠B=∠C=∠D=90°,
∵点E是BC的中点,
∴BE=AB=3,
由折叠性质可得:AF=AB=6,EF=BE=AB=3, ∠AFE=∠B=90°,
∴AD=AF,∠AFP=∠D=90°,
在Rt△AFP和Rt△ADP中,

∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),
∴PF=PD,
设PF=PD=x,则CP=CD PD=6 x,EP=EF+FP=3+x,
在Rt△PEC中,根据勾股定理得:EP2=EC2+CP2,
∴(3+x)2=32+(6 x)2,解得x=2,则DP的长度为2,
故答案为:2.
【分析】首先根据折叠性质得出EF=BE=EC=3,再根据HL通过证明Rt△AFP≌Rt△ADP,可得出PF=PD,然后设PF=PD=x,即可得出CP=6 x,EP=3+x,然后在Rt△CEP中,根据勾股定理可得出关于x的方程(3+x)2=32+(6 x)2,解方程即可求得结果。
7.(2024八下·西安月考)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点处,当为直角三角形时,BE的长为   
【答案】3或
【知识点】勾股定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;翻折变换(折叠问题);直角三角形的性质
【解析】【解答】解:当△CEB'为直角三角形时,有两种情况:
①当点B'落在矩形内部时,如答图1所示.
连结AC,
在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,
∴AC==5,
∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处,
∴∠AB'E=∠B=90°,
当△CEB'为直角三角形时,只能得到∠EB'C=90°,
∴点A、B'、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B'处,
∴EB=EB',AB=AB'=3,
∴CB'=5-3=2,
设BE=x,则EB'=x,CE=4-x,
在Rt△CEB'中,
∵EB'2+CB'2=CE2,
∴x2+22=(4-x)2,解得,
∴BE=;
②当点B'落在AD边上时,如答图2所示.此时ABEB'为正方形,
∴BE=AB=3.
综上所述,BE的长为或3.
故答案为:或3.
【分析】根据等腰直角三角形性质分类讨论:①当点B'落在矩形内部时,连结AC,根据勾股定理可得AC,再根据折叠性质可得∠AB'E=∠B=90°,当△CEB'为直角三角形时,只能得到∠EB'C=90°,则点A、B'、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B'处,由折叠性质可得EB=EB',AB=AB'=3,设BE=x,则EB'=x,CE=4-x,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案;当点B'落在AD边上时,此时ABEB'为正方形,根据正方形性质即可求出答案.
8.(2024九上·高要期中)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为   .
【答案】2
【知识点】正方形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS;全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解:将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF'位置,
由题意可得出:△DAF≌△BAF',
∴DF=BF',∠DAF=∠BAF',
∴∠EAF'=45°,
在△FAE和△EAF'中 ,
∴△FAE≌△EAF'(SAS),
∴EF=EF',
∵△ECF的周长为4,
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=DF+FC+BC=4,
∴2BC=4,
∴BC=2.
故答案为:2.
【分析】本题考查旋转的性质,全等三角形的判定与性质.将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF'位置,根据旋转的性质可得:△DAF≌△BAF',利用全等三角形的性质可得:DF=BF',∠DAF=∠BAF',进而可推出∠EAF'=45°,利用全等三角形的判定定理可得:△FAE≌△EAF',利用全等三角形的性质可得:EF=EF',再利用三角形的周长公式可得:EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=4,进而可求出BC,求出答案.
9.(2020·朝阳模拟)正方形 的边长为4,点 在对角线 上(可与点 重合), ,点 在正方形的边上.下面四个结论中,
①存在无数个四边形 是平行四边形;
②存在无数个四边形 是菱形;
③存在无数个四边形 是矩形;
④至少存在一个四边形 是正方形.
所有正确结论的序号是   .
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的判定与性质;菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】解:①设正方形的对角线相交于点O,若MN的中点恰好是点O,则经过点O任意一直线PQ,分别与正方形的边AD,BC交于点P,G,通过正方形的性质对称性易得OP=OG,则四边形PMQN是平行四边形,由于PQ的任意性,则存在无数个四边形 是平行四边形,故①正确;
②过MN的中点E作垂线,分别与正方形的相邻两边交于P,Q,根据正方形的对称性可得,PE=GE,则四边形 是菱形,由于MN的任意性,则存在四边形 是菱形;③由①存在由无数个平行四边边形,要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD,故此时PQ经过正方形对角线的交点,且与正方形的边BC垂直,是唯一的,故不存在无数个四边形 是矩形;④由②知存在菱形,故只需满足∠PMQ=90°时,则四边形PMQN时正方形,此时M与点A重合即可,故存在至少存在一个四边形 是正方形;
故正确的结论序号是①②④.
【分析】根据平行四边形的判定和性质,菱形的判定,矩形的判定,正方形的判定定理即可得到结论.
10.(2017·兰州)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是   .
【答案】①③④
【知识点】平行四边形的性质;正方形的判定
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
又∵AB⊥AD,
∴四边形ABCD是正方形,①正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,AB⊥BD,
∴平行四边形ABCD不可能是正方形,②错误;
∵四边形ABCD是平行四边形,OB=OC,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
又OB⊥OC,即对角线互相垂直,
∴平行四边形ABCD是正方形,③正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,
∴平行四边形ABCD是正方形,④正确;
故答案为:①③④.
【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可.
三、解答题
11.(2024·呼和浩特)如图,∠ACB=∠AED=90°,AC=FE,AB平分∠CAE,AB∥DF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)过点B作BG⊥AE于点G,若CB=AF,请直接写出四边形BGED的形状.
【答案】(1)证明:∵AB平分∠CAE,
∴∠CAB=∠BAE,
∵AB∥DF.
∴∠BAE=∠DFE,
∴∠CAB=∠EFD,
在△CAB和△EFD中,

∴△CAB≌△EFD(ASA),
∴AB=FD,又AB∥FD,
∴四边形ABDF是平行四边形;
(2)解:四边形BGED是正方形,理由如下:
由(1)可知,BC=DE,四边形ABDF是平行四边形,
∴BD=AF,
∵AB平分∠CAE,BC⊥AC,BG⊥AE,
∴BC=BG,
∵BC=AF,
∴BD=DE=BG,且∠BGE=∠GED=90°
∵BG∥DE,BG=DE,
∴四边形BGED是平行四边形,
∵BD=DE,
∴四边形BGED是菱形,
∵∠BGE=∠GED=90°,
∴四边形BGED是正方形.
【知识点】平行线的性质;角平分线的性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定;正方形的判定;角平分线的判定;三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质和平行线的性质得到:进而利用"ASA"证明,则最后根据对边相等且平行的四边形为平行四边形即可求证;
(2)根据平行四边形的性质得到:然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到:进而可证明四边形BGED是平行四边形,再根据菱形的判定即可知四边形BGED是菱形,最后根据有一个内角为直角的菱形为正方形即可证明四边形BGED是正方形.
12.(2023九上·阳新期中)如图,点E为正方形外一点,,将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点.
(1)试判定四边形的形状,并说明理由;
(2)已知,求的长.
【答案】解:(1)四边形是正方形,理由如下:
根据旋转:
∵四边形是正方形
∴∠DAB=90°
∴∠FAE=∠DAB=90°

∴四边形是矩形,
又∵
∴矩形是正方形.
(2)连接
∵,
在中,
∵四边形是正方形

在中,,又,
∴.
【知识点】勾股定理;矩形的判定与性质;正方形的判定与性质;旋转的性质
【解析】【分析】(1)由旋转的性质可得∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF,∠DAF=∠EAB,再根据正方形性质可得∠FAE=∠DAB=90°,再根据矩形判定定理可得四边形是矩形,由,结合正方形判定定理即可求出答案.
(2)连接,根据勾股定理可求,再根据正方形性质可得,在中,再根据勾股定理即可求出答案.
13.(2021·扬州)如图,在 中, 的角平分线交 于点D, .
(1)试判断四边形 的形状,并说明理由;
(2)若 ,且 ,求四边形 的面积.
【答案】(1)解:四边形AFDE是菱形,理由是:
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∵AD平分∠BAC,
∴∠FAD=∠EAD,
∵DE∥AB,
∴∠EDA=∠FAD,
∴∠EDA=∠EAD,
∴AE=DE,
∴平行四边形AFDE是菱形
(2)解:∵∠BAC=90°,
∴四边形AFDE是正方形,
∵AD= ,
∴AF=DF=DE=AE= =2,
∴四边形AFDE的面积为2×2=4
【知识点】平行四边形的判定与性质;菱形的判定;正方形的判定与性质
【解析】【分析】(1)四边形AFDE是菱形,理由:由DE∥AB,DF∥AC,可证四边形AFDE是平行四边形,根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EDA=∠EAD,由等角对等边可得AE=DE,即可证明;
(2) 由∠BAC=90°,可证菱形AFDE是正方形,由对角线的长可求出边长,然后求出正方形的面积即可.
14.(2017八下·郾城期末)如图,正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q.
(1)如图1,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系;并加以证明;
(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想.
【答案】(1)PB=PQ,
证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C为正方形对角线AC上的点,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90°,
∴PF=PE,
∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPE+∠QPE=90°,∠QPE+∠QPF=90°,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≌Rt△PBE,
∴PB=PQ;
(2)PB=PQ,
证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C为正方形对角线AC上的点,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90°,
∴PF=PE,
∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPF+∠QPF=90°,∠BPF+∠BPE=90°,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≌Rt△PBE,
∴PB=PQ.
【知识点】全等三角形的判定与性质;正方形的判定与性质
【解析】【分析】(1)过P作PE⊥BC,PF⊥CD,证明Rt△PQF≌Rt△PBE,即可;(2)证明思路同(1)
15.(2024八下·霞山期末)综合实践
如图1,点E为正方形内一点,,点为正方形外一点,且,,延长交于点F,连接.
(1)试判断四边形的形状,并说明理由;
(2)如图2,若,请猜想线段与的数量关系,并加以证明;
(3)如图1,若,,请求出的长.
【答案】(1)解:四边形是正方形,
理由:∵四边形是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是矩形,
又∵,
∴四边形是正方形.
(2)解:如图2,过D作于H,则,
∴,又,
∴,又,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵四边形是正方形,,
∴,,
∴,即.
(3)解:如图1,过D作于H,
在中,,,
∴,
由(2)知,,
∴,,
在中,,
∴.
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的性质;勾股定理;正方形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先利用“HL”证明,再利用全等三角形的性质得到,,再求出,从而证出四边形是矩形,再结合,证出四边形是正方形即可;
(2)过D作于H,先利用“AAS”证明,再利用全等三角形的性质得到,再利用等腰三角形的三线合一性质得到,再结合正方形和全等三角形的性质得到,,最后利用等量代换可得答案;
(3)过D作于H,先利用勾股定理求得,再利用得到,,再利用线段的和差求出HE的长,最后利用勾股定理求出DE的长即可.
(1)解:四边形是正方形,理由:
∵四边形是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是矩形,又,
∴四边形是正方形;
(2)解:如图2,过D作于H,则,
∴,又,
∴,又,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵四边形是正方形,,
∴,,
∴,即;
(3)解:如图1,过D作于H,
在中,,,
∴,
由(2)知,,
∴,,
在中,,
∴.
1 / 11.3正方形的性质与判定(第2课时)—北师大版数学九(上)课堂达标卷
一、选择题
1.下列说法中,正确的是(  )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.一组邻边相等的平行四边形是正方形
C.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
D.对角线相等的四边形是矩形
2.(2025八下·渭源月考)如图,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是(  )
A.当,是矩形 B.当,是矩形
C.当,是菱形 D.当,是正方形
3.(2025九下·威远开学考)如图,点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点.则正确的是(  )
A.若,则四边形为矩形
B.若,则四边形为菱形
C.若是平行四边形,则与互相平分
D.若是正方形,则与互相垂直且相等
4.(2024九上·兰州期中)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列说法正确的是(  )
A.若,则是菱形 B.若,则是矩形
C.若,则是正方形 D.若,则是正方形
5.(2024八下·荣成期中)如图,已知四边形为正方形,,为对角线上一点,连接,过点作,交的延长线于点,以,为邻边作矩形,连接.以下结论:①矩形是正方形;②;③平分;④.其中结论正确的序号有(  ).
A.①③④ B.①②④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题
6.(2024八下·威海经济技术开发期中)如图,四边形为正方形,点E是的中点,将正方形沿折叠,得到点B的对应点为点F,延长交线段于点P,若,则的长度为   .
7.(2024八下·西安月考)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点处,当为直角三角形时,BE的长为   
8.(2024九上·高要期中)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为   .
9.(2020·朝阳模拟)正方形 的边长为4,点 在对角线 上(可与点 重合), ,点 在正方形的边上.下面四个结论中,
①存在无数个四边形 是平行四边形;
②存在无数个四边形 是菱形;
③存在无数个四边形 是矩形;
④至少存在一个四边形 是正方形.
所有正确结论的序号是   .
10.(2017·兰州)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是   .
三、解答题
11.(2024·呼和浩特)如图,∠ACB=∠AED=90°,AC=FE,AB平分∠CAE,AB∥DF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)过点B作BG⊥AE于点G,若CB=AF,请直接写出四边形BGED的形状.
12.(2023九上·阳新期中)如图,点E为正方形外一点,,将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点.
(1)试判定四边形的形状,并说明理由;
(2)已知,求的长.
13.(2021·扬州)如图,在 中, 的角平分线交 于点D, .
(1)试判断四边形 的形状,并说明理由;
(2)若 ,且 ,求四边形 的面积.
14.(2017八下·郾城期末)如图,正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于Q.
(1)如图1,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系;并加以证明;
(2)如图2,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,请证明你的猜想.
15.(2024八下·霞山期末)综合实践
如图1,点E为正方形内一点,,点为正方形外一点,且,,延长交于点F,连接.
(1)试判断四边形的形状,并说明理由;
(2)如图2,若,请猜想线段与的数量关系,并加以证明;
(3)如图1,若,,请求出的长.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】平行四边形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】解:A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,是假命题,不符合题意;
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,是假命题,不符合题意;
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,是真命题,符合题意;
D、对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项说法是假命题,不符合题意;
故答案为:C.
【分析】根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的判定定理判断.
2.【答案】D
【知识点】菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】四边形是平行四边形,
当,平行四边形是矩形,故选项A正确,不符合题意;
当,平行四边形是矩形,故选项B正确,不符合题意;
当,平行四边形是菱形,故选项C正确,不符合题意;
当,平行四边形是菱形,但不一定是正方形,故选项D错误,符合题意;
故选:
【分析】
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A;根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B;根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C;根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断
3.【答案】D
【知识点】菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:点 E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点,
,,,,,,
,,
四边形为平行四边形,
但与不一定互相平分,故选项C不符合题意;
A.,

四边形为菱形,故本选项不符合题意;
B.时,,
则四边形为矩形,故本选项不符合题意;
D.当四边形是正方形时,与互相垂直且相等,故本选项不符合题意;
故答案为:D.
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形,再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可.
4.【答案】B
【知识点】平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】解:A、∵四边形是平行四边形且,
∴是矩形,而不是菱形;
∴此选项不符合题意;
B、∵四边形是平行四边形且,
∴是矩形,
∴此选项符合题意;
C、∵四边形是平行四边形且,
∴是菱形,
∴此选项不符合题意;
D、∵四边形是平行四边形且,
∴是菱形,
∴此选项不符合题意.
故答案为:B.
【分析】A、根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可得四边形ABCD是矩形;
B、根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断求解;
C、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断求解;
D、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断求解.
5.【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;角平分线的判定
【解析】【解答】解:过点E作于点M,作于点N,如图所示,
∵四边形是正方形,
∴,
∴,
∴,
∴四边形是正方形,
∴.
∵四边形是矩形,
∴,
∴.
在和中,,
∴,
∴,
∴矩形是正方形,故①正确;
∵四边形是正方形,
∴,.
∵四边形是正方形,
∴,
∴.
在和中,,
∴,
∴,,故④正确.
∵,
∴平分,故③正确;
∵,
∴,故②错误.
综上可知①③④正确.
故答案为:A.
【分析】过点E作于点M,作于点N,根据正方形性质可得,则,根据正方形判定定理可得四边形是正方形,则四边形是矩形,再根据矩形性质可得,根据全等三角形判定定理可得,则,再根据正方形判定定理可判断①;根据角之间的关系可得,再根据全等三角形判定定理可得,则,,可判断④;再根据角平分线判定定理可判断③,根据边之间的关系可判断②.
6.【答案】2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL;勾股定理;正方形的性质;正方形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:连接AP,如图所示,
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC=AD=6,∠B=∠C=∠D=90°,
∵点E是BC的中点,
∴BE=AB=3,
由折叠性质可得:AF=AB=6,EF=BE=AB=3, ∠AFE=∠B=90°,
∴AD=AF,∠AFP=∠D=90°,
在Rt△AFP和Rt△ADP中,

∴Rt△AFP≌Rt△ADP(HL),
∴PF=PD,
设PF=PD=x,则CP=CD PD=6 x,EP=EF+FP=3+x,
在Rt△PEC中,根据勾股定理得:EP2=EC2+CP2,
∴(3+x)2=32+(6 x)2,解得x=2,则DP的长度为2,
故答案为:2.
【分析】首先根据折叠性质得出EF=BE=EC=3,再根据HL通过证明Rt△AFP≌Rt△ADP,可得出PF=PD,然后设PF=PD=x,即可得出CP=6 x,EP=3+x,然后在Rt△CEP中,根据勾股定理可得出关于x的方程(3+x)2=32+(6 x)2,解方程即可求得结果。
7.【答案】3或
【知识点】勾股定理;矩形的性质;正方形的判定与性质;翻折变换(折叠问题);直角三角形的性质
【解析】【解答】解:当△CEB'为直角三角形时,有两种情况:
①当点B'落在矩形内部时,如答图1所示.
连结AC,
在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,
∴AC==5,
∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处,
∴∠AB'E=∠B=90°,
当△CEB'为直角三角形时,只能得到∠EB'C=90°,
∴点A、B'、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B'处,
∴EB=EB',AB=AB'=3,
∴CB'=5-3=2,
设BE=x,则EB'=x,CE=4-x,
在Rt△CEB'中,
∵EB'2+CB'2=CE2,
∴x2+22=(4-x)2,解得,
∴BE=;
②当点B'落在AD边上时,如答图2所示.此时ABEB'为正方形,
∴BE=AB=3.
综上所述,BE的长为或3.
故答案为:或3.
【分析】根据等腰直角三角形性质分类讨论:①当点B'落在矩形内部时,连结AC,根据勾股定理可得AC,再根据折叠性质可得∠AB'E=∠B=90°,当△CEB'为直角三角形时,只能得到∠EB'C=90°,则点A、B'、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B'处,由折叠性质可得EB=EB',AB=AB'=3,设BE=x,则EB'=x,CE=4-x,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案;当点B'落在AD边上时,此时ABEB'为正方形,根据正方形性质即可求出答案.
8.【答案】2
【知识点】正方形的判定与性质;三角形全等的判定-SAS;全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解:将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF'位置,
由题意可得出:△DAF≌△BAF',
∴DF=BF',∠DAF=∠BAF',
∴∠EAF'=45°,
在△FAE和△EAF'中 ,
∴△FAE≌△EAF'(SAS),
∴EF=EF',
∵△ECF的周长为4,
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=DF+FC+BC=4,
∴2BC=4,
∴BC=2.
故答案为:2.
【分析】本题考查旋转的性质,全等三角形的判定与性质.将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF'位置,根据旋转的性质可得:△DAF≌△BAF',利用全等三角形的性质可得:DF=BF',∠DAF=∠BAF',进而可推出∠EAF'=45°,利用全等三角形的判定定理可得:△FAE≌△EAF',利用全等三角形的性质可得:EF=EF',再利用三角形的周长公式可得:EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=4,进而可求出BC,求出答案.
9.【答案】①②④
【知识点】平行四边形的判定与性质;菱形的判定;矩形的判定;正方形的判定
【解析】【解答】解:①设正方形的对角线相交于点O,若MN的中点恰好是点O,则经过点O任意一直线PQ,分别与正方形的边AD,BC交于点P,G,通过正方形的性质对称性易得OP=OG,则四边形PMQN是平行四边形,由于PQ的任意性,则存在无数个四边形 是平行四边形,故①正确;
②过MN的中点E作垂线,分别与正方形的相邻两边交于P,Q,根据正方形的对称性可得,PE=GE,则四边形 是菱形,由于MN的任意性,则存在四边形 是菱形;③由①存在由无数个平行四边边形,要是的四边形为正方形则PQ=MN=2=CD,故此时PQ经过正方形对角线的交点,且与正方形的边BC垂直,是唯一的,故不存在无数个四边形 是矩形;④由②知存在菱形,故只需满足∠PMQ=90°时,则四边形PMQN时正方形,此时M与点A重合即可,故存在至少存在一个四边形 是正方形;
故正确的结论序号是①②④.
【分析】根据平行四边形的判定和性质,菱形的判定,矩形的判定,正方形的判定定理即可得到结论.
10.【答案】①③④
【知识点】平行四边形的性质;正方形的判定
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
又∵AB⊥AD,
∴四边形ABCD是正方形,①正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,AB⊥BD,
∴平行四边形ABCD不可能是正方形,②错误;
∵四边形ABCD是平行四边形,OB=OC,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
又OB⊥OC,即对角线互相垂直,
∴平行四边形ABCD是正方形,③正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,
∴平行四边形ABCD是正方形,④正确;
故答案为:①③④.
【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可.
11.【答案】(1)证明:∵AB平分∠CAE,
∴∠CAB=∠BAE,
∵AB∥DF.
∴∠BAE=∠DFE,
∴∠CAB=∠EFD,
在△CAB和△EFD中,

∴△CAB≌△EFD(ASA),
∴AB=FD,又AB∥FD,
∴四边形ABDF是平行四边形;
(2)解:四边形BGED是正方形,理由如下:
由(1)可知,BC=DE,四边形ABDF是平行四边形,
∴BD=AF,
∵AB平分∠CAE,BC⊥AC,BG⊥AE,
∴BC=BG,
∵BC=AF,
∴BD=DE=BG,且∠BGE=∠GED=90°
∵BG∥DE,BG=DE,
∴四边形BGED是平行四边形,
∵BD=DE,
∴四边形BGED是菱形,
∵∠BGE=∠GED=90°,
∴四边形BGED是正方形.
【知识点】平行线的性质;角平分线的性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定;正方形的判定;角平分线的判定;三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)根据角平分线的性质和平行线的性质得到:进而利用"ASA"证明,则最后根据对边相等且平行的四边形为平行四边形即可求证;
(2)根据平行四边形的性质得到:然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到:进而可证明四边形BGED是平行四边形,再根据菱形的判定即可知四边形BGED是菱形,最后根据有一个内角为直角的菱形为正方形即可证明四边形BGED是正方形.
12.【答案】解:(1)四边形是正方形,理由如下:
根据旋转:
∵四边形是正方形
∴∠DAB=90°
∴∠FAE=∠DAB=90°

∴四边形是矩形,
又∵
∴矩形是正方形.
(2)连接
∵,
在中,
∵四边形是正方形

在中,,又,
∴.
【知识点】勾股定理;矩形的判定与性质;正方形的判定与性质;旋转的性质
【解析】【分析】(1)由旋转的性质可得∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF,∠DAF=∠EAB,再根据正方形性质可得∠FAE=∠DAB=90°,再根据矩形判定定理可得四边形是矩形,由,结合正方形判定定理即可求出答案.
(2)连接,根据勾股定理可求,再根据正方形性质可得,在中,再根据勾股定理即可求出答案.
13.【答案】(1)解:四边形AFDE是菱形,理由是:
∵DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AFDE是平行四边形,
∵AD平分∠BAC,
∴∠FAD=∠EAD,
∵DE∥AB,
∴∠EDA=∠FAD,
∴∠EDA=∠EAD,
∴AE=DE,
∴平行四边形AFDE是菱形
(2)解:∵∠BAC=90°,
∴四边形AFDE是正方形,
∵AD= ,
∴AF=DF=DE=AE= =2,
∴四边形AFDE的面积为2×2=4
【知识点】平行四边形的判定与性质;菱形的判定;正方形的判定与性质
【解析】【分析】(1)四边形AFDE是菱形,理由:由DE∥AB,DF∥AC,可证四边形AFDE是平行四边形,根据平行线的性质及角平分线的定义可得∠EDA=∠EAD,由等角对等边可得AE=DE,即可证明;
(2) 由∠BAC=90°,可证菱形AFDE是正方形,由对角线的长可求出边长,然后求出正方形的面积即可.
14.【答案】(1)PB=PQ,
证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C为正方形对角线AC上的点,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90°,
∴PF=PE,
∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPE+∠QPE=90°,∠QPE+∠QPF=90°,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≌Rt△PBE,
∴PB=PQ;
(2)PB=PQ,
证明:过P作PE⊥BC,PF⊥CD,
∵P,C为正方形对角线AC上的点,
∴PC平分∠DCB,∠DCB=90°,
∴PF=PE,
∴四边形PECF为正方形,
∵∠BPF+∠QPF=90°,∠BPF+∠BPE=90°,
∴∠BPE=∠QPF,
∴Rt△PQF≌Rt△PBE,
∴PB=PQ.
【知识点】全等三角形的判定与性质;正方形的判定与性质
【解析】【分析】(1)过P作PE⊥BC,PF⊥CD,证明Rt△PQF≌Rt△PBE,即可;(2)证明思路同(1)
15.【答案】(1)解:四边形是正方形,
理由:∵四边形是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是矩形,
又∵,
∴四边形是正方形.
(2)解:如图2,过D作于H,则,
∴,又,
∴,又,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵四边形是正方形,,
∴,,
∴,即.
(3)解:如图1,过D作于H,
在中,,,
∴,
由(2)知,,
∴,,
在中,,
∴.
【知识点】三角形全等及其性质;等腰三角形的性质;勾股定理;正方形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先利用“HL”证明,再利用全等三角形的性质得到,,再求出,从而证出四边形是矩形,再结合,证出四边形是正方形即可;
(2)过D作于H,先利用“AAS”证明,再利用全等三角形的性质得到,再利用等腰三角形的三线合一性质得到,再结合正方形和全等三角形的性质得到,,最后利用等量代换可得答案;
(3)过D作于H,先利用勾股定理求得,再利用得到,,再利用线段的和差求出HE的长,最后利用勾股定理求出DE的长即可.
(1)解:四边形是正方形,理由:
∵四边形是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是矩形,又,
∴四边形是正方形;
(2)解:如图2,过D作于H,则,
∴,又,
∴,又,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵四边形是正方形,,
∴,,
∴,即;
(3)解:如图1,过D作于H,
在中,,,
∴,
由(2)知,,
∴,,
在中,,
∴.
1 / 1