第一章《特殊平行四边形》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·成都）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
2．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）
3．（2025·辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．
4．（2025·绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（ ）
A．25 B．25 C．25 D．50
5．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为( )
A． B． C． D．
6．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
7．（2025·德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE= （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
8．（2024·武汉）小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．（2024·济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD为菱形。
12．（2025·湖北） 一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ．
13．（2024·黑龙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形．
14．（2025·内蒙古自治区）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为 ．
15．（2025八下·阜宁月考）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
16．（2023·雅安）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·贵州）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
18．（2024·江西）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
19．（2023·随州）如图，矩形的对角线，相交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
20．（2025九下·沛县月考）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
21．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，的中线BD，CE交于点，点F，G分别是OB，OC的中点.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD=CE时，求证：是矩形.
22．（2025·安徽） 已知点 在正方形 ABCD 内，点 E 在边 AD 上，BE 是线段的垂直平分线，连接.
（1） 如图 1， 若 的延长线经过点 D， ， 求 AB 的长；
（2） 如图 2， 点 F 是 的延长线与 CD 的交点，连接 .
(a) 求证： ；
(b) 如图 3， 设 AF， BE 相交于点 G， 连接， 若 ， 判断 的形状，并说明理由.
23．（2021·北部湾）（1）（阅读理解）如图1， ， 的面积与 的面积相等吗？为什么？
（2）（类比探究）问题①，如图2，在正方形 的右侧作等腰 ， ， ，连接 ，求 的面积.
解：过点 作 于点 ，连接 .
请将余下的求解步骤补充完整.
（3）（拓展应用）问题②，如图3，在正方形 的右侧作正方形 ，点 ， ， 在同一直线上， ，连接 ， ， ，直接写出 的面积.
24．（2025·吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
（1）【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
（2）【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
（3）【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A： 矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B： 菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；；
C： 正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D： 平行四边形的对角线平分，原说法是假命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的性质逐项判断解答即可.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的长，再利用勾股定理求得CE.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；补角
【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB= 60°，
在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB= 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=5，
另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，
在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD= 120°，
由勾股定理计算得AD=
∴矩形面积为ABxAD=5x 5= 25.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO= 5，利用勾股定理计算AD=，再利用面积公式，即可解答.
5．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
6．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：互相平分
四边形ABCD是平行四边形
是菱形
四边形ABCD的周长
故答案为：C.
【分析】由于对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而菱形的四条边相等，即四边形ABCD的周长等于边长AB的4倍.
7．【答案】B
【知识点】平移的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AB=2CD=2，
由平移可得EG=AB=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的中线性质得到AB=2CD=2，然后根据平移解答即可.
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图得：AB=BC=DC=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
答案为：C．
【分析】根据作图得四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴OE是AB边的中线，
∴AB=2OE=2×3=6，
∴菱形的边长为6.
故答案为：A.
【分析】利用菱形的对角线互相垂直，可证得AC⊥BD，可推出△AOB是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长，即可得到菱形的边长.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠ADC=90°，
由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，
∴AH=BH，∠AHM=∠BHM=90°，
∴四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，
∴AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，
∴点G是DK的中点
∴GM是△DCK的中位线，
设GM=x，则CK=2x，
∴AB=BC=AD=2+2x，
∴AH=BH=x+1，
由作图知AG=AD=2x+2，
∴，
∴
∴，
解得x=，
∴，即该正方形的边长为.
故答案为：D.
【分析】连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，由正方形的性质得AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，则可根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，由矩形的性质得AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，由平行线等分线段定理得点G是DK的中点，由三角形中位线定理设GM=x，则CK=2x，推出AB=BC=AD=2+2x，AH=BH=x+1，由作图知AG=AD=x+1，由勾股定理表示出GH，进而再由线段和差表示出MH，最后根据MH=BC建立方程求出x的值，从而可求出正方形的边长.
11．【答案】AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，可添加AC⊥BD；根据菱形的定义邻边相等的平行四边形是菱形可添加，即AB=BC(答案不唯一）。
故答案为：AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）.
【分析】根据菱形不同的判定方法，可添加不同的条件AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）。
12．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积2m
故答案为：2m
【分析】根据矩形面积即可求出答案.
13．【答案】AC＝BD
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：在菱形的基础上进行正方形的判定，常见的考虑有，
①有一个角为直角的菱形是正方形，如：∠ABC=90°；
②对角线相等的菱形是正方形，如：AC=BD，AO=BO等.
故答案为：AC=BD.
【分析】在菱形的基础上得出正方形的判定，可以从内角和对角线两个角度进行条件添加，言之有理即可.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=， AC⊥BD，
在Rt中：AO=，
∵是的中点，EH∥AC，
∴EH=，OH=，
∵BF=3，
∴FO=BO-BF=8-3=5，
∴FH=5+4=9，
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BO=DO=， AC⊥BD，然后根据勾股定理求得AO的长度，进一步根据三角形中位线定理，可求得EH的长度，再结合题中已知条件求得FH的长，最后根据勾股定理求得EF的长度。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质和中点定义可得，根据折叠得到，设，根据勾股定理列方程求出x值即可解题．
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，如图所示：
由勾股定理得，
∵，，，
∴四边形EPDC为矩形，
∴ED=PC，
∴当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，
∴，
代入数据解得，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】连接PC，先根据勾股定理即可求出AB的长，进而运用矩形的判定与性质即可得到ED=PC，从而根据垂线段最短得到当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，再运用代入数据即可求解。
17．【答案】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 利用垂直平分线的性质（中点 + 垂直 → 垂直平分 ），结合菱形判定（邻边相等的平行四边形 ），证明结论.
（2）通过等腰三角形EB = EF，CE = CF的角关系，结合直角三角形BE⊥AC求角度；再利用菱形性质（边相等、平行 ）和等边三角形判定，推导线段长度；最后用三角形面积公式计算.
18．【答案】（1）解：如图：
答：直线BD即为所求.
（2）解：方法一：
如图：连接CE并延长交DA的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AF//BC，
∴∠AFE=∠BCE，∠FAE=∠CBE，
又∵点E为AB中点，
∴AE=BE，
∴△AFE≌△BCE(AAS)
∴AF=BC.
∴四边形AFBC是平行四边形.
∴BF//AC.
故直线BF即为所求.
方法二：
如图：连接BD和CE，产生交点G，连接AG并延长，与DC的延长线交于点F，
∴点G为三角形各边中线的交点，
∴点O为BC边中点.
由方法一，可证四边形ABFC是平行四边形，
∴BF//AC，
答：直线BF即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，对角线互相垂直，作过点B和D的直线，即得到所求作的直线；
（2）方法一：连接CE并延长交DA的延长线于点F，证明四边形AFBC是平行四边形，即可得到AC的平行线；
方法二：连接BD和CE，产生交点G，连接AG并延长，与DC的延长线交于点F，即可根据方法一的思路得到AC的平行线.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：矩形的面积为，
∴的面积为，
∴菱形的面积为．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由题意可得四边形OCED为平行四边形，根据矩形的性质可得OC=OD，然后利用菱形的判定定理进行证明；
（2）首先求出矩形ABCD的面积，然后求出△BCD的面积，结合点O为BD的中点可得△COD的面积，进而可得菱形OCED的面积.
20．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，，
在和中，
，
；
（2）证明：∵四边形为正方形，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质利用SAS证明即可；
（2）根据正方形和全等三角形的性质得到∠DEC的度数，然后根据三角形的外角求出∠DCE的度数，即可得到结论．
（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）∵BD为△ABC中线
∴E、D为AB、AC中点
∴
∵F、G为OB、OC中点
∴
∴
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）证明：的中线，交于点，
点是的重心，
，．
又点，分别是，的中点，
，，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据中线得到E、D为AB、AC中点，进而根据中位线得到，，等量代换得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据三角形的重心得到，，再根据中点得到，，从而得到，再根据矩形的判定结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解： 由垂直平分线的性质知，，，又，
所以，从而，
又，所以是等腰直角三角形，
于是，，
故。
（2）解：(a) 证明：由题意知，，且 ，.
于是
.
所以 .
(b) 解： 是等腰直角三角形. 理由如下：
（方法一）作 交 BG 于点 M， 交 AB 于点 N.
由题意知， M 为 BG 的中点.
又 ，所以 ，故 MN 是 的中位线，.
因为 ，
，且 ，
所以 ，故 ，即 E 为 AD 的中点.
又 ，所以 ，于是 .
同理可证 ，因此 .
所以 是等腰直角三角形.
（方法二）设 ，则 .
因为 ，所以 .
又因为 ，.则 ，于是 .
因此 ，所以 .
于是 ，所以 .
因此 .
故 .
由于 ，，所以 .
于是 ，.
由 (a) 知 ，从而 .
又 ，所以 为等腰直角三角形
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可证得A'E=AE，BA'=BA，利用SSS可证得△EA'B'≌△EAB，利用全等三角形的性质可求出∠EA'B的度数，由此可证得△A'DE是等腰直角三角形，可得到A'E、DE的长，然后求出AB的长.
（2）(a) 利用正方形的性质和折叠的性质可证得BA=BA'=BC，同时可证得∠BAA'=∠BA'A，∠BCA'=∠BA'C，再求出∠AA'C的度数，然后求出∠CA'F的度数；(b)（方法一）作 交 BG 于点 M， 交 AB 于点 N，易证点M是BG的中点，同时可证得MN是△ABG的中位线，，利用SAS可证得△ABE≌△BCN，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出点E为AD的中点；同理可知，利用全等三角形的性质可证得A'D=AG=A'G，由此可证得结论；（方法二）设 ，则 .，
23．【答案】（1）解：相等，在 和 中，分别作 ， ，垂足分别为 ， .
，
.
，
四边形 是平行四边形，
.
又 ， ，
.
（2）解：过点 作 于点 ，连接 ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ；
（3）②
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）② ，
过程如下：如解图3，连接CE，
∵在正方形 、正方形 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ， ，
∴ .
【分析】阅读理解：过点A作AE⊥l2，过点D作DF⊥l2，可证得∠AEF=∠DFC=90°，再证明四边形AEFD是平行四边形，可证得AE=DF；再利用三角形的面积公式可证得△ABC和△DBC的面积相等.
类比探究：问题① 过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，利用正方形的性质可证得EF∥AD，易证△ADE和△ADF的面积相等；再利用等腰三角形的性质，可证得DF=CD，利用正方形的性质及三角形的面积公式，可求出△ADF的面积，即可得到△ADE的面积；②如图3，连接CE，利用正方形的性质可证得∠BDC=∠FCE=45°，由CF∥BD，可证得△BDF的面积和△BDC的面积相等，再利用正方形的边长，可求出△BDC的面积，即可得到△BDF的面积.
24．【答案】（1）解：四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，
∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形；
（2）证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，
∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴DEAD，BMBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
（3）解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，
∴∠AET＝30°，
∴ATAE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ETx＝GK，
∵E为AD中点，
∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KNGKx＝3x，
∵BN＝BMBCAD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NHy，
∵四边形GFHN是菱形，
∴GF＝FH＝NH＝GNy，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EGy，GW＝AEy，
∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴WN＝GWy，
∴AB＝AW+WN+BNyyyy，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】【探究发现】由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE =GE， DF=GF， 而DF =DE， 故GE=DE=DF=GF， 从而四边形DEGF是菱形；
【探究证明】同【探究发现】可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE =BM，AD∥NH，又DE=FG，FG∥AD，故FG=DE=BM=HN，FGIINH， 从而四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时， 过G作GK⊥AB于K， 过E作ET⊥AB于T， 设AT =x， 则AE =2x， 可得AD=2AE =4x， DE =AE =2x， 求出AB=AT+TK+KN+BN =x+2x+3x+2x=8x，即可得到比值；当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W， 设AD= y， 求出 ，即可得到比值.
1 / 1第一章《特殊平行四边形》A卷—北师大版数学九年级上册单元检测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025·成都）下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A： 矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B： 菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；；
C： 正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D： 平行四边形的对角线平分，原说法是假命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的性质逐项判断解答即可.
2．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
3．（2025·辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（ ）
A．1 B．5 C．2 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的长，再利用勾股定理求得CE.
4．（2025·绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（ ）
A．25 B．25 C．25 D．50
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；补角
【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB= 60°，
在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB= 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=5，
另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，
在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD= 120°，
由勾股定理计算得AD=
∴矩形面积为ABxAD=5x 5= 25.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO= 5，利用勾股定理计算AD=，再利用面积公式，即可解答.
5．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
6．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：互相平分
四边形ABCD是平行四边形
是菱形
四边形ABCD的周长
故答案为：C.
【分析】由于对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而菱形的四条边相等，即四边形ABCD的周长等于边长AB的4倍.
7．（2025·德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE= （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AB=2CD=2，
由平移可得EG=AB=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的中线性质得到AB=2CD=2，然后根据平移解答即可.
8．（2024·武汉）小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由尺规作图得：AB=BC=DC=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴
∵，
∴，
∴，
答案为：C．
【分析】根据作图得四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
9．（2024·济宁）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝3，则菱形的边长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴△AOB是直角三角形，
∵E为AB的中点，
∴OE是AB边的中线，
∴AB=2OE=2×3=6，
∴菱形的边长为6.
故答案为：A.
【分析】利用菱形的对角线互相垂直，可证得AC⊥BD，可推出△AOB是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长，即可得到菱形的边长.
10．（2024·济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠ADC=90°，
由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，
∴AH=BH，∠AHM=∠BHM=90°，
∴四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，
∴AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，
∴点G是DK的中点
∴GM是△DCK的中位线，
设GM=x，则CK=2x，
∴AB=BC=AD=2+2x，
∴AH=BH=x+1，
由作图知AG=AD=2x+2，
∴，
∴
∴，
解得x=，
∴，即该正方形的边长为.
故答案为：D.
【分析】连接AG，设EF交AB于点H，交CD于点M，由正方形的性质得AB=AD=BC，AB∥CD，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，由作图过程可得EF是AB的垂直平分线，则可根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形AHMD与四边形BHMC都是矩形，由矩形的性质得AD∥HM∥BC，BH=CM=AH=DM，HM=BC，由平行线等分线段定理得点G是DK的中点，由三角形中位线定理设GM=x，则CK=2x，推出AB=BC=AD=2+2x，AH=BH=x+1，由作图知AG=AD=x+1，由勾股定理表示出GH，进而再由线段和差表示出MH，最后根据MH=BC建立方程求出x的值，从而可求出正方形的边长.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD为菱形。
【答案】AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，可添加AC⊥BD；根据菱形的定义邻边相等的平行四边形是菱形可添加，即AB=BC(答案不唯一）。
故答案为：AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）.
【分析】根据菱形不同的判定方法，可添加不同的条件AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）。
12．（2025·湖北） 一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积2m
故答案为：2m
【分析】根据矩形面积即可求出答案.
13．（2024·黑龙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形．
【答案】AC＝BD
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：在菱形的基础上进行正方形的判定，常见的考虑有，
①有一个角为直角的菱形是正方形，如：∠ABC=90°；
②对角线相等的菱形是正方形，如：AC=BD，AO=BO等.
故答案为：AC=BD.
【分析】在菱形的基础上得出正方形的判定，可以从内角和对角线两个角度进行条件添加，言之有理即可.
14．（2025·内蒙古自治区）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=， AC⊥BD，
在Rt中：AO=，
∵是的中点，EH∥AC，
∴EH=，OH=，
∵BF=3，
∴FO=BO-BF=8-3=5，
∴FH=5+4=9，
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BO=DO=， AC⊥BD，然后根据勾股定理求得AO的长度，进一步根据三角形中位线定理，可求得EH的长度，再结合题中已知条件求得FH的长，最后根据勾股定理求得EF的长度。
15．（2025八下·阜宁月考）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是中点，
∴，
由折叠的性质得到：，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质和中点定义可得，根据折叠得到，设，根据勾股定理列方程求出x值即可解题．
16．（2023·雅安）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接PC，如图所示：
由勾股定理得，
∵，，，
∴四边形EPDC为矩形，
∴ED=PC，
∴当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，
∴，
代入数据解得，
∴的最小值为，
故答案为：
【分析】连接PC，先根据勾股定理即可求出AB的长，进而运用矩形的判定与性质即可得到ED=PC，从而根据垂线段最短得到当PC⊥BA时，此时PC最小，ED的值也最小，再运用代入数据即可求解。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2025·贵州）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 利用垂直平分线的性质（中点 + 垂直 → 垂直平分 ），结合菱形判定（邻边相等的平行四边形 ），证明结论.
（2）通过等腰三角形EB = EF，CE = CF的角关系，结合直角三角形BE⊥AC求角度；再利用菱形性质（边相等、平行 ）和等边三角形判定，推导线段长度；最后用三角形面积公式计算.
18．（2024·江西）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
【答案】（1）解：如图：
答：直线BD即为所求.
（2）解：方法一：
如图：连接CE并延长交DA的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AF//BC，
∴∠AFE=∠BCE，∠FAE=∠CBE，
又∵点E为AB中点，
∴AE=BE，
∴△AFE≌△BCE(AAS)
∴AF=BC.
∴四边形AFBC是平行四边形.
∴BF//AC.
故直线BF即为所求.
方法二：
如图：连接BD和CE，产生交点G，连接AG并延长，与DC的延长线交于点F，
∴点G为三角形各边中线的交点，
∴点O为BC边中点.
由方法一，可证四边形ABFC是平行四边形，
∴BF//AC，
答：直线BF即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，对角线互相垂直，作过点B和D的直线，即得到所求作的直线；
（2）方法一：连接CE并延长交DA的延长线于点F，证明四边形AFBC是平行四边形，即可得到AC的平行线；
方法二：连接BD和CE，产生交点G，连接AG并延长，与DC的延长线交于点F，即可根据方法一的思路得到AC的平行线.
19．（2023·随州）如图，矩形的对角线，相交于点O，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：矩形的面积为，
∴的面积为，
∴菱形的面积为．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由题意可得四边形OCED为平行四边形，根据矩形的性质可得OC=OD，然后利用菱形的判定定理进行证明；
（2）首先求出矩形ABCD的面积，然后求出△BCD的面积，结合点O为BD的中点可得△COD的面积，进而可得菱形OCED的面积.
20．（2025九下·沛县月考）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，，
在和中，
，
；
（2）证明：∵四边形为正方形，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质利用SAS证明即可；
（2）根据正方形和全等三角形的性质得到∠DEC的度数，然后根据三角形的外角求出∠DCE的度数，即可得到结论．
（1）证明：∵四边形为正方形，
，
在和中，
，
；
（2）∵四边形为正方形，
，
，
，
，
，
，
．
21．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，的中线BD，CE交于点，点F，G分别是OB，OC的中点.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD=CE时，求证：是矩形.
【答案】（1）∵BD为△ABC中线
∴E、D为AB、AC中点
∴
∵F、G为OB、OC中点
∴
∴
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）证明：的中线，交于点，
点是的重心，
，．
又点，分别是，的中点，
，，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据中线得到E、D为AB、AC中点，进而根据中位线得到，，等量代换得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据三角形的重心得到，，再根据中点得到，，从而得到，再根据矩形的判定结合题意即可求解。
22．（2025·安徽） 已知点 在正方形 ABCD 内，点 E 在边 AD 上，BE 是线段的垂直平分线，连接.
（1） 如图 1， 若 的延长线经过点 D， ， 求 AB 的长；
（2） 如图 2， 点 F 是 的延长线与 CD 的交点，连接 .
(a) 求证： ；
(b) 如图 3， 设 AF， BE 相交于点 G， 连接， 若 ， 判断 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解： 由垂直平分线的性质知，，，又，
所以，从而，
又，所以是等腰直角三角形，
于是，，
故。
（2）解：(a) 证明：由题意知，，且 ，.
于是
.
所以 .
(b) 解： 是等腰直角三角形. 理由如下：
（方法一）作 交 BG 于点 M， 交 AB 于点 N.
由题意知， M 为 BG 的中点.
又 ，所以 ，故 MN 是 的中位线，.
因为 ，
，且 ，
所以 ，故 ，即 E 为 AD 的中点.
又 ，所以 ，于是 .
同理可证 ，因此 .
所以 是等腰直角三角形.
（方法二）设 ，则 .
因为 ，所以 .
又因为 ，.则 ，于是 .
因此 ，所以 .
于是 ，所以 .
因此 .
故 .
由于 ，，所以 .
于是 ，.
由 (a) 知 ，从而 .
又 ，所以 为等腰直角三角形
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可证得A'E=AE，BA'=BA，利用SSS可证得△EA'B'≌△EAB，利用全等三角形的性质可求出∠EA'B的度数，由此可证得△A'DE是等腰直角三角形，可得到A'E、DE的长，然后求出AB的长.
（2）(a) 利用正方形的性质和折叠的性质可证得BA=BA'=BC，同时可证得∠BAA'=∠BA'A，∠BCA'=∠BA'C，再求出∠AA'C的度数，然后求出∠CA'F的度数；(b)（方法一）作 交 BG 于点 M， 交 AB 于点 N，易证点M是BG的中点，同时可证得MN是△ABG的中位线，，利用SAS可证得△ABE≌△BCN，利用全等三角形的性质可证得，由此可推出点E为AD的中点；同理可知，利用全等三角形的性质可证得A'D=AG=A'G，由此可证得结论；（方法二）设 ，则 .，
23．（2021·北部湾）（1）（阅读理解）如图1， ， 的面积与 的面积相等吗？为什么？
（2）（类比探究）问题①，如图2，在正方形 的右侧作等腰 ， ， ，连接 ，求 的面积.
解：过点 作 于点 ，连接 .
请将余下的求解步骤补充完整.
（3）（拓展应用）问题②，如图3，在正方形 的右侧作正方形 ，点 ， ， 在同一直线上， ，连接 ， ， ，直接写出 的面积.
【答案】（1）解：相等，在 和 中，分别作 ， ，垂足分别为 ， .
，
.
，
四边形 是平行四边形，
.
又 ， ，
.
（2）解：过点 作 于点 ，连接 ，
∵在正方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵在正方形 中， ，
∴ ；
（3）②
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（3）② ，
过程如下：如解图3，连接CE，
∵在正方形 、正方形 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在正方形 中， ， ，
∴ .
【分析】阅读理解：过点A作AE⊥l2，过点D作DF⊥l2，可证得∠AEF=∠DFC=90°，再证明四边形AEFD是平行四边形，可证得AE=DF；再利用三角形的面积公式可证得△ABC和△DBC的面积相等.
类比探究：问题① 过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，利用正方形的性质可证得EF∥AD，易证△ADE和△ADF的面积相等；再利用等腰三角形的性质，可证得DF=CD，利用正方形的性质及三角形的面积公式，可求出△ADF的面积，即可得到△ADE的面积；②如图3，连接CE，利用正方形的性质可证得∠BDC=∠FCE=45°，由CF∥BD，可证得△BDF的面积和△BDC的面积相等，再利用正方形的边长，可求出△BDC的面积，即可得到△BDF的面积.
24．（2025·吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
（1）【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
（2）【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
（3）【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
【答案】（1）解：四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，
∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形；
（2）证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，
∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴DEAD，BMBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
（3）解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，
∴∠AET＝30°，
∴ATAE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ETx＝GK，
∵E为AD中点，
∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KNGKx＝3x，
∵BN＝BMBCAD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NHy，
∵四边形GFHN是菱形，
∴GF＝FH＝NH＝GNy，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EGy，GW＝AEy，
∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴WN＝GWy，
∴AB＝AW+WN+BNyyyy，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】【探究发现】由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE =GE， DF=GF， 而DF =DE， 故GE=DE=DF=GF， 从而四边形DEGF是菱形；
【探究证明】同【探究发现】可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE =BM，AD∥NH，又DE=FG，FG∥AD，故FG=DE=BM=HN，FGIINH， 从而四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时， 过G作GK⊥AB于K， 过E作ET⊥AB于T， 设AT =x， 则AE =2x， 可得AD=2AE =4x， DE =AE =2x， 求出AB=AT+TK+KN+BN =x+2x+3x+2x=8x，即可得到比值；当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W， 设AD= y， 求出 ，即可得到比值.
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