2.2用配方法求解一元二次方程（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2020九上·平顶山期末）用配方法解方程 ，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019九上·南丰期中）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·上杭开学考）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·孝感月考）用配方法解方程时，应将其变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·成都期中）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023九上·通榆月考）若将方程x2+4x=m化为(x+2)2=5，则m= ．
7．（2022九上·五台期中）将方程用配方法化为，则的值是 ．
8．（2023九上·禄劝期中）将一元二次方程配方为，则k的值是 ．
9．（2024九上·北京市开学考）已知方程可以配方成的形式，那么 ．
10．（2021九上·青龙期中）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为 ．
三、解答题
11．（2024九上·丰满期末）解方程：．
12．（2023九上·玉林期中）解方程：.
13．解方程：x2+4x=5．
14．（2023九上·潮南期中）用配方法解方程：．
15．（2023九上·简阳期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵
∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知等腰的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长；
（3）已知，求的值．
16．（2023九上·通川期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）若x2-4x+5可配方成（x-m）2+n（m，n为常数），求mn的值；
（3）已知S＝x2+4y2+4x-12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， ，整理后得，
，
故答案为：D.
【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-1=0，
x2-4x=1，
x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
故答案为：D．
【分析】根据移项，配方，即可得出选项．
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，移项，得，方程两边同加上16，得，即.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到等号右边，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方即可.
4．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤"首先将常数项移到等号的右侧，当二次项系数为1时，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式"即可求解．
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即：，
故答案为：D .
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方，即可得解.
6．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：由(x+2)2=5得，
，
∴，
∵方程x2+4x=m可化为(x+2)2=5，
∴m=1
故答案为：1.
【分析】把方程变形进行对比即可得答案。
7．【答案】7
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴x2-6x+9-n=0，
∵，
∴-m=-6，9-n=8，
则m=6，n=1．
∴m+n=6+1=7
故答案为：7．
【分析】利用完全平方公式可得x2-6x+9-n=0，再结合利用待定系数法可得-m=-6，9-n=8，求出m、n的值，最后将m、n的值代入m+n计算即可。
8．【答案】6
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】根据配方法的定义即可求出答案.
9．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤可得，再利用待定系数法可得p、q的值，最后将其代入p-q计算即可.
10．【答案】（x﹣4）2=17．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
故答案为 ．
【分析】利用配方法的步骤求解即可。
11．【答案】解：
或
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解方程即可求出答案.
12．【答案】解：
，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程进行计算，即可求解.
13．【答案】解：∵x2+4x=5，
∴x2+4x+4=5+4，
∴x2+4x+4=9，
∴（x+2）2=9，
∴x+2=±3，
∴x1=1，x2=﹣5．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】首先把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后进行开方即可．
14．【答案】解：，
，
，
，
，
所以，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查解一元二次方程－配方法.先把移到方程的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，据此可把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，再利用开平方法可求出方程的解.
15．【答案】（1）解：
，
，
解得：b=-1，a=3，则，a-b=4
（2）解：
则a-1=0，b-3=0，解得a=1，b=3
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3
的周长为1+3+3=7.
（3）解：
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用配方法把原式变形，再根据非负数的性质求解；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系求解；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质求解。
16．【答案】（1）解：∵29是“完美数”，
∴29＝52+22．
（2）解：∵x2-4x+5＝（x2-4x+4）+1＝（x-2）2+1=（x-m）2+n，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2×1＝2.
（3）解：当k＝13时，S是完美数，理由如下：
S＝x2+4y2+4x-12y+13＝x2+4x+4+4y2-12y+9＝（x+2）2+（2y-3）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y-3也是整数，
∴S是一个“完美数”．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据完美数的定义，将29写成a2+b2的形式，即29＝52+22；
（2）先x2-4x+5配方成（x-2）2+1，从而得（x-2）2+1=（x-m）2+n，可求得m、n的值，即可求出mn的值；
（3）先将S多项式变形，即S＝（x+2）2+（2y-3）2，再由x，y是整数，可得x+2，2y-3也是整数，进而得出S是一个完美数.
1 / 12.2用配方法求解一元二次方程（第1课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2020九上·平顶山期末）用配方法解方程 ，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， ，整理后得，
，
故答案为：D.
【分析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
2．（2019九上·南丰期中）一元二次方程 配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-1=0，
x2-4x=1，
x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
故答案为：D．
【分析】根据移项，配方，即可得出选项．
3．（2023九上·上杭开学考）一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，移项，得，方程两边同加上16，得，即.
故答案为：A.
【分析】先将常数项移到等号右边，再在方程两边同加上一次项系数一半的平方即可.
4．（2024九上·孝感月考）用配方法解方程时，应将其变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤"首先将常数项移到等号的右侧，当二次项系数为1时，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式"即可求解．
5．（2021九上·成都期中）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即：，
故答案为：D .
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方，即可得解.
二、填空题
6．（2023九上·通榆月考）若将方程x2+4x=m化为(x+2)2=5，则m= ．
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 解：由(x+2)2=5得，
，
∴，
∵方程x2+4x=m可化为(x+2)2=5，
∴m=1
故答案为：1.
【分析】把方程变形进行对比即可得答案。
7．（2022九上·五台期中）将方程用配方法化为，则的值是 ．
【答案】7
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴x2-6x+9-n=0，
∵，
∴-m=-6，9-n=8，
则m=6，n=1．
∴m+n=6+1=7
故答案为：7．
【分析】利用完全平方公式可得x2-6x+9-n=0，再结合利用待定系数法可得-m=-6，9-n=8，求出m、n的值，最后将m、n的值代入m+n计算即可。
8．（2023九上·禄劝期中）将一元二次方程配方为，则k的值是 ．
【答案】6
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：
故答案为：6
【分析】根据配方法的定义即可求出答案.
9．（2024九上·北京市开学考）已知方程可以配方成的形式，那么 ．
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤可得，再利用待定系数法可得p、q的值，最后将其代入p-q计算即可.
10．（2021九上·青龙期中）一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为 ．
【答案】（x﹣4）2=17．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
故答案为 ．
【分析】利用配方法的步骤求解即可。
三、解答题
11．（2024九上·丰满期末）解方程：．
【答案】解：
或
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解方程即可求出答案.
12．（2023九上·玉林期中）解方程：.
【答案】解：
，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】根据配方法解一元二次方程进行计算，即可求解.
13．解方程：x2+4x=5．
【答案】解：∵x2+4x=5，
∴x2+4x+4=5+4，
∴x2+4x+4=9，
∴（x+2）2=9，
∴x+2=±3，
∴x1=1，x2=﹣5．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】首先把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后进行开方即可．
14．（2023九上·潮南期中）用配方法解方程：．
【答案】解：，
，
，
，
，
所以，
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查解一元二次方程－配方法.先把移到方程的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方1，据此可把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，再利用开平方法可求出方程的解.
15．（2023九上·简阳期中）阅读材料：若，求、的值．
解：∵
∴．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知等腰的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：
，
，
解得：b=-1，a=3，则，a-b=4
（2）解：
则a-1=0，b-3=0，解得a=1，b=3
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3
的周长为1+3+3=7.
（3）解：
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用配方法把原式变形，再根据非负数的性质求解；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系求解；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质求解。
16．（2023九上·通川期末）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式；
（2）若x2-4x+5可配方成（x-m）2+n（m，n为常数），求mn的值；
（3）已知S＝x2+4y2+4x-12y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k值．
【答案】（1）解：∵29是“完美数”，
∴29＝52+22．
（2）解：∵x2-4x+5＝（x2-4x+4）+1＝（x-2）2+1=（x-m）2+n，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2×1＝2.
（3）解：当k＝13时，S是完美数，理由如下：
S＝x2+4y2+4x-12y+13＝x2+4x+4+4y2-12y+9＝（x+2）2+（2y-3）2，
∵x，y是整数，
∴x+2，2y-3也是整数，
∴S是一个“完美数”．
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）根据完美数的定义，将29写成a2+b2的形式，即29＝52+22；
（2）先x2-4x+5配方成（x-2）2+1，从而得（x-2）2+1=（x-m）2+n，可求得m、n的值，即可求出mn的值；
（3）先将S多项式变形，即S＝（x+2）2+（2y-3）2，再由x，y是整数，可得x+2，2y-3也是整数，进而得出S是一个完美数.
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