2.2用配方法求解一元二次方程（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025·浙江模拟）在实数范围内，代数式的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2-4a+7=(a-2)2+3≥3，
∴选项D不可能，
故答案为：D.
【分析】利用配方法得，逐个判断即可.
2．（2022九上·海口期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
则，
即，
故答案为：A.
【分析】将方程变形为x2-x=，给两边同时加上，然后将左边的式子利用完全平方公式分解即可.
3．（2020七下·灯塔月考）已知xy=－3，x+y=－4，则 值为（ ）
A．1 B．7 C．13 D．31
【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】原式= +xy=16+(－3)=13.
【分析】利用配方将原式化为= +xy，然后代入计算即可.
4．（2025八下·临平月考）如图，用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①为两边同乘以2，正确；
②为两边同加上1，正确；
③为方程左边写成平方，正确；
④为开平方，结果有两个，漏了一个x=，错误.
故答案为：D.
【分析】根据所给的步骤，逐一计算验证，找出错误.
5．（2025八下·浙江月考）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2） B．（1）（3）
C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故答案为：C．
【分析】先将代数式进行配方，根据完全平方式的非负性即可求得代数式的范围，再逐一判断.
二、填空题
6．（2022·四川）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．
【答案】6
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： ∵a－b2＝4，
∴b2＝a-4，
a2－3b2＋a－14
=a2-3(a-4)+a-14
=a2-2a-2
=(a-1)2-3，
∵b2＝a-4≥0，
∴a≥4，
∵当a>1时，a2-2a-2的值随a增加而增大，
∴当a=4时，a2-2a-2的最小值为6，
即a2－3b2＋a－14的最小值是6.
故答案为：6.
【分析】由a－b2＝4得出b2＝a-4，将其代入原式得到一个关于a的二次三项式，先求出a的范围为a≥4，然后根据二次函数的性质求最值即可.
7．已知 则 的值为 .
【答案】7
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，即
∴a+1=0，b-2=0
解得：a=-1，b=2
∴
故答案为： 7
【分析】根据配方法将等号左边化简，再根据偶次方的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
8．（2024九上·凉州月考）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
与是“同族二次方程”，
∴，，
∴，
由①得，，
代入②得，
解得：，
∴，
，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据“同族二次方程”定义列关系式，得到关于m和n的方程组，求出与的值，然后代入化为顶点式求出最值即可．
9．（2021九上·盐城月考）对于有理数 ，定义 的含义为：当 时， ；当 时， .若 ，则 的值等于 .
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；偶次方的非负性；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵min{13，6m-4n-m2-n2}=13，
∴13≤6m-4n-m2-n2.
整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，
∴m-3=0，n+2=0.
解得m=3，n=-2.
∴mn=3-2= .
故答案为： .
【分析】由新定义可得关于m、n的不等式13≤6m-4n-m2-n2，整理并根据平方的非负性可求得m、n的值，然后由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可求解.
10．（2021九上·燕山期末）下面是用配方法解关于x的一元二次方程的具体过程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：，
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 ．
【答案】④①③②
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
三、解答题
11．用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1=0．
【答案】解：2x2﹣4x﹣1=0，
2x2﹣4x=1，
x2﹣2x=，
配方得：x2﹣2x+1=+1，
（x﹣1）2=，
开方得：x﹣1=，
解得：x1=，x2=．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
12．（2024八上·上海市期中）解方程：2x2﹣4x+1=0.(用配方法)
【答案】解：2x2﹣4x+1=0，
移项得：2x2﹣4x=－1，
二次项系数化为1得：x2﹣2x=－，
配方得：x2﹣2x+12=－+12，即（x－1）2=，
解得：x－1=±，
即x1=1+，x2=1－.
∴原方程的解为：x1=1+ ，x2=1﹣.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据用配方法解一元二次方程的一般步骤"（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数."计算即可求解.
13．用配方法解方程： ．
【答案】解：
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
2、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
3、再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
4、若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
14．用配方法解方程：．
【答案】解：，
，
，
，
即
，
，
.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先去括号，再移项合并同类项后得到，再配方，开方即可求得.
15．（2024八下·南海期中）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式因式分解：
①
②求多项式的最小值．
②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为-1．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式因式分解；
（2）求多项式的最小值：
【答案】（1）解：；
（2）解：，
，
，
多项式的最小值-25．
【知识点】偶次方的非负性；因式分解-分组分解法；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用配方法，先在式子中加上一次项系数一半的平方“4”，为了使式子的值不变，再减去4，然后将x2+4x+4利用完全平方公式分解因式，进而将整个式子再利用平方差公式进行分解即可；
（2）先利用配方法将式子变形为(m+4)2-25，然后结合偶数次幂的非负性，求解即可.
16． 求多项式 的最小值时， 我们可以这样处理：
解： 原式 ．
的最小值为 0 ，
当 时， ，
原多项式的最小值是 -22 ．
根据上面的解题思路， 解决下列问题：
（1）求多项式 的最小值，并写出此时 的值．
（2） 求多项式 的最大值， 并写出此时 的值．
【答案】（1）解：
∵，∴的最小值为0，
∴；
（2）解：原式=
∵∴，
∴
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干的解题思路，先根据配方法将多项式变形，再根据偶次方的非负性可得的最小值，进而求得 的最小值；
（2）参照题干的解题思路，先根据配方法将多项式变形，再根据偶次方的非负性可得的最大值 ，进而求得 的最大值.
17．（2023八上·自贡月考）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=（a+3）2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：∵（a-b）2≥0，∴当a=1时，M有最小值．
2．请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
当时，有最小值；
（3）解：
解得
则．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；偶次方的非负性；配方法的应用；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算结合完全平方公式、平方差公式因式分解即可求解；
（2）根据完全平方公式结合不等式的性质即可求解；
（3）先根据整式的混合运算结合题意得到，进而根据非负性即可求解。
1 / 12.2用配方法求解一元二次方程（第2课时）—北师大版数学九（上）课堂达标卷
一、选择题
1．（2025·浙江模拟）在实数范围内，代数式的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·海口期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020七下·灯塔月考）已知xy=－3，x+y=－4，则 值为（ ）
A．1 B．7 C．13 D．31
4．（2025八下·临平月考）如图，用配方法解方程x2-x-2=0的四个步骤中，出现错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．（2025八下·浙江月考）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2） B．（1）（3）
C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
二、填空题
6．（2022·四川）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ．
7．已知 则 的值为 .
8．（2024九上·凉州月考）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
9．（2021九上·盐城月考）对于有理数 ，定义 的含义为：当 时， ；当 时， .若 ，则 的值等于 .
10．（2021九上·燕山期末）下面是用配方法解关于x的一元二次方程的具体过程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：，
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 ．
三、解答题
11．用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1=0．
12．（2024八上·上海市期中）解方程：2x2﹣4x+1=0.(用配方法)
13．用配方法解方程： ．
14．用配方法解方程：．
15．（2024八下·南海期中）学习了公式法后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式因式分解：
①
②求多项式的最小值．
②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为-1．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式因式分解；
（2）求多项式的最小值：
16． 求多项式 的最小值时， 我们可以这样处理：
解： 原式 ．
的最小值为 0 ，
当 时， ，
原多项式的最小值是 -22 ．
根据上面的解题思路， 解决下列问题：
（1）求多项式 的最小值，并写出此时 的值．
（2） 求多项式 的最大值， 并写出此时 的值．
17．（2023八上·自贡月考）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=（a+3）2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：∵（a-b）2≥0，∴当a=1时，M有最小值．
2．请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2-4a+7=(a-2)2+3≥3，
∴选项D不可能，
故答案为：D.
【分析】利用配方法得，逐个判断即可.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
，
则，
即，
故答案为：A.
【分析】将方程变形为x2-x=，给两边同时加上，然后将左边的式子利用完全平方公式分解即可.
3．【答案】C
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】原式= +xy=16+(－3)=13.
【分析】利用配方将原式化为= +xy，然后代入计算即可.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①为两边同乘以2，正确；
②为两边同加上1，正确；
③为方程左边写成平方，正确；
④为开平方，结果有两个，漏了一个x=，错误.
故答案为：D.
【分析】根据所给的步骤，逐一计算验证，找出错误.
5．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故答案为：C．
【分析】先将代数式进行配方，根据完全平方式的非负性即可求得代数式的范围，再逐一判断.
6．【答案】6
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解： ∵a－b2＝4，
∴b2＝a-4，
a2－3b2＋a－14
=a2-3(a-4)+a-14
=a2-2a-2
=(a-1)2-3，
∵b2＝a-4≥0，
∴a≥4，
∵当a>1时，a2-2a-2的值随a增加而增大，
∴当a=4时，a2-2a-2的最小值为6，
即a2－3b2＋a－14的最小值是6.
故答案为：6.
【分析】由a－b2＝4得出b2＝a-4，将其代入原式得到一个关于a的二次三项式，先求出a的范围为a≥4，然后根据二次函数的性质求最值即可.
7．【答案】7
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，即
∴a+1=0，b-2=0
解得：a=-1，b=2
∴
故答案为： 7
【分析】根据配方法将等号左边化简，再根据偶次方的非负性可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
与是“同族二次方程”，
∴，，
∴，
由①得，，
代入②得，
解得：，
∴，
，
则代数式的最小值是．
故答案为：．
【分析】根据“同族二次方程”定义列关系式，得到关于m和n的方程组，求出与的值，然后代入化为顶点式求出最值即可．
9．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；偶次方的非负性；定义新运算；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵min{13，6m-4n-m2-n2}=13，
∴13≤6m-4n-m2-n2.
整理，得（m-3）2+（n+2）2≤0，
∴m-3=0，n+2=0.
解得m=3，n=-2.
∴mn=3-2= .
故答案为： .
【分析】由新定义可得关于m、n的不等式13≤6m-4n-m2-n2，整理并根据平方的非负性可求得m、n的值，然后由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可求解.
10．【答案】④①③②
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；
第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；
第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；
故答案为：④①③②．
【分析】利用配方法解一元二次方程即可。
11．【答案】解：2x2﹣4x﹣1=0，
2x2﹣4x=1，
x2﹣2x=，
配方得：x2﹣2x+1=+1，
（x﹣1）2=，
开方得：x﹣1=，
解得：x1=，x2=．
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
12．【答案】解：2x2﹣4x+1=0，
移项得：2x2﹣4x=－1，
二次项系数化为1得：x2﹣2x=－，
配方得：x2﹣2x+12=－+12，即（x－1）2=，
解得：x－1=±，
即x1=1+，x2=1－.
∴原方程的解为：x1=1+ ，x2=1﹣.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据用配方法解一元二次方程的一般步骤"（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）解出未知数."计算即可求解.
13．【答案】解：
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
1、将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；
2、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
3、再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
4、若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.
14．【答案】解：，
，
，
，
即
，
，
.
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】先去括号，再移项合并同类项后得到，再配方，开方即可求得.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：，
，
，
多项式的最小值-25．
【知识点】偶次方的非负性；因式分解-分组分解法；配方法的应用
【解析】【分析】（1）利用配方法，先在式子中加上一次项系数一半的平方“4”，为了使式子的值不变，再减去4，然后将x2+4x+4利用完全平方公式分解因式，进而将整个式子再利用平方差公式进行分解即可；
（2）先利用配方法将式子变形为(m+4)2-25，然后结合偶数次幂的非负性，求解即可.
16．【答案】（1）解：
∵，∴的最小值为0，
∴；
（2）解：原式=
∵∴，
∴
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照题干的解题思路，先根据配方法将多项式变形，再根据偶次方的非负性可得的最小值，进而求得 的最小值；
（2）参照题干的解题思路，先根据配方法将多项式变形，再根据偶次方的非负性可得的最大值 ，进而求得 的最大值.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：
当时，有最小值；
（3）解：
解得
则．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；偶次方的非负性；配方法的应用；不等式的性质
【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算结合完全平方公式、平方差公式因式分解即可求解；
（2）根据完全平方公式结合不等式的性质即可求解；
（3）先根据整式的混合运算结合题意得到，进而根据非负性即可求解。
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