2.3用公式法求解一元二次方程（第1课时）—北师大版数学九年级上册课时训练
一、选择题
1．关于 的一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
2．（2023·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
3．（2025八下·莲都期末） 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（ ）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
4．（2025·新疆维吾尔自治区）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
5．（2025·扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
二、填空题
6．（2020·漳平模拟）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的取值为 ．
7．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 .
8．（2025八下·苍南期末）若关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为 （写出一个即可）.
9．（2024九上·嘉祥月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
10．关于x的方程 有以下三个结论：
①当m=0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；
③无论m 取何值时，方程都有一个负数解.
其中正确的是 .
三、解答题
11．（2020九上·武昌月考）解方程：
12．（2021九下·福州开学考）解方程：.
13．（2025九下·中山月考）解方程：．
14．（2021八下·槐荫期末）解方程： ．
15．（2025八下·温州期末）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若方程的一个根为2，求的值，
（2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根.
16．已知关于x的方程
（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根.
（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长.
17．（2025八下·义乌月考）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若中，和BC的长是方程的两根，判断的形状并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程为，
∴△=m2-4×1×（-1）=m2+4，
∵△=m2+4＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2，
∴ac<0，
∴a≠0.
在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】将题目中的不等式进行化简，得出关于a和c的关系，然后利用根的判别式来判断方程的根的情况.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根
∴
解得：a>1
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程无实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据方程求出，得到方程根的情况解答即可.
6．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意，
得
故答案为4
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即 ，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．
7．【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
8．【答案】1（答案不唯一，k<）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根 ，
∴△=b2-4ac=(-5)2-4k×5=25-20k<0，
∴k<，
∵1<，
∴k=1，
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，这样可以知道一元二次方程判别式的值△=b2-4ac>0，这样可以求出k的取值范围，即可判断k的值.
9．【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，
解得a＜3且a≠﹣1．
故答案为：a＜3且a≠﹣1．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到：a+1≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分，解答即可．
10．【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，
，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x-m+1=0分解为(x+1)(mx-m+1)=0
当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；
故答案为：①③.
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而填空.
11．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先找出a，b，c，再求出 ，然后代入求根公式即可求出答案.
12．【答案】解：
.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，而且方程的左边不能在有理数范围内分解因式，一次项的系数不是偶数，故利用公式法求解，首先找出二次项系数、一次项系数及常数项，求出判别式的值，根据判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式进行计算.
13．【答案】解：∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项将一元二次方程化成一般形式，再利用“公式法”解一元二次方程即可.
14．【答案】解：
a=1，b=-6，c=4
∴△=36-16=20
∴
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解方程即可。
15．【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴方程有两个实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)利用根的定义代入求解代数式的值；
(2)通过计算判别式并利用已知条件证明方程有两个实数根.
16．【答案】（1）证明：∵Δ=b2-4ac=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根
（2）解：①b=c时，
∵方程x2-(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=(k-2)2=0，解得k=2，
∴此时方程为x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，
∴△ABC周长为5；
②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
∵把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得
1-(k+2)+2k=0，
解得k=1，
∴此时方程为x2-3x+2=0，
解得x1=1，x2=2，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴所求△ABC的周长为5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出Δ≥0可知方程总有实数根；
(2)根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长.
17．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴
解得： 且
（2）解：将 代入原方程得：
解得：
当 时，原方程为
解得：
是等边三角形
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
(2)根据等腰三角形的性质，把 代入计算即可求出k的值，进而求出方程的另一根，即可确定出三角形的形状.
1 / 12.3用公式法求解一元二次方程（第1课时）—北师大版数学九年级上册课时训练
一、选择题
1．关于 的一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程为，
∴△=m2-4×1×（-1）=m2+4，
∵△=m2+4＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
2．（2023·北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴m=，
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
3．（2025八下·莲都期末） 已知a，b，c为常数， 且满足， 则关于x的方程的根的情况是（ ）.
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有一根为0
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵(a-c)2=a2+c2-2ac>a2+c2，
∴ac<0，
∴a≠0.
在方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】将题目中的不等式进行化简，得出关于a和c的关系，然后利用根的判别式来判断方程的根的情况.
4．（2025·新疆维吾尔自治区）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根
∴
解得：a>1
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程无实根，则判别式，解不等式即可求出答案.
5．（2025·扬州）关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据方程求出，得到方程根的情况解答即可.
二、填空题
6．（2020·漳平模拟）关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的取值为 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由题意，
得
故答案为4
【分析】要使方程有两个相等的实数根，即 ，则利用根的判别式即可求得一次项的系数．
7．（2025·广东）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是 .
【答案】有两个不相等的实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：对于一元二次方程2x2+x - 1 = 0，其中二次项系数a = 2，一次项系数b = 1，常数项c = - 1；
将a = 2，b = 1，c = - 1代入Δ =b2-4ac；
得Δ=12-4×2×（-1）=9＞0；
∴该方程有两个不相等的实数根。
故答案为：有两个不相等的实数根 .
【分析】：可根据一元二次方程根的判别式Δ =b2-4ac（其中a、b、c分别是一元二次方程ax2+bx + c = 0(a≠0)的二次项系数、一次项系数和常数项 ）来判断方程根的情况.
8．（2025八下·苍南期末）若关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根，则k的值可以为 （写出一个即可）.
【答案】1（答案不唯一，k<）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程kx2-5x+5=0有两个不相等的实数根 ，
∴△=b2-4ac=(-5)2-4k×5=25-20k<0，
∴k<，
∵1<，
∴k=1，
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，这样可以知道一元二次方程判别式的值△=b2-4ac>0，这样可以求出k的取值范围，即可判断k的值.
9．（2024九上·嘉祥月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴a+1≠0且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，
解得a＜3且a≠﹣1．
故答案为：a＜3且a≠﹣1．
【分析】
根据一元二次方程的定义得到：a+1≠0，根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到且△=（﹣4）2﹣4（a+1）＞0，然后解两个不等式得到它们的公共部分，解答即可．
10．关于x的方程 有以下三个结论：
①当m=0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；
③无论m 取何值时，方程都有一个负数解.
其中正确的是 .
【答案】①③
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；
当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，
，方程有两个实数解，②错误；
把mx2+x-m+1=0分解为(x+1)(mx-m+1)=0
当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；
故答案为：①③.
【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x-m+1=0根的情况，进而填空.
三、解答题
11．（2020九上·武昌月考）解方程：
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先找出a，b，c，再求出 ，然后代入求根公式即可求出答案.
12．（2021九下·福州开学考）解方程：.
【答案】解：
.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】此方程是一元二次方程的一般形式，而且方程的左边不能在有理数范围内分解因式，一次项的系数不是偶数，故利用公式法求解，首先找出二次项系数、一次项系数及常数项，求出判别式的值，根据判别式的值大于0得出方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式进行计算.
13．（2025九下·中山月考）解方程：．
【答案】解：∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项将一元二次方程化成一般形式，再利用“公式法”解一元二次方程即可.
14．（2021八下·槐荫期末）解方程： ．
【答案】解：
a=1，b=-6，c=4
∴△=36-16=20
∴
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解方程即可。
15．（2025八下·温州期末）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）.
（1）若方程的一个根为2，求的值，
（2）当b-ac=1时，求证：方程有两个实数根.
【答案】（1）解：把代入，得，
∴，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
∴方程有两个实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)利用根的定义代入求解代数式的值；
(2)通过计算判别式并利用已知条件证明方程有两个实数根.
16．已知关于x的方程
（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根.
（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长.
【答案】（1）证明：∵Δ=b2-4ac=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根
（2）解：①b=c时，
∵方程x2-(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2-4ac=(k-2)2=0，解得k=2，
∴此时方程为x2-4x+4=0，解得x1=x2=2，
∴△ABC周长为5；
②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
∵把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得
1-(k+2)+2k=0，
解得k=1，
∴此时方程为x2-3x+2=0，
解得x1=1，x2=2，
∴方程另一根为2，
∵1、1、2不能构成三角形，
∴所求△ABC的周长为5
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出Δ≥0可知方程总有实数根；
(2)根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长.
17．（2025八下·义乌月考）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若中，和BC的长是方程的两根，判断的形状并说明理由。
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴
解得： 且
（2）解：将 代入原方程得：
解得：
当 时，原方程为
解得：
是等边三角形
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；等边三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
(2)根据等腰三角形的性质，把 代入计算即可求出k的值，进而求出方程的另一根，即可确定出三角形的形状.
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