2.4用因式分解法求解一元二次方程—北师大版数学九年级上册课时训练
一、选择题
1．（2024·贵州）一元二次方程的解是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x=0，
x(x-2)=0，
∴x=0或x-2=0，
∴x1=0，x2=2.
故答案为：B.
【分析】此一元二次方程是一元二次方程的一般形式，且缺常数项，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
2．（2025八下·柯桥月考）方程（x－2）2=4（x-2）（ ）
A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x-2)2=4(x-2)，
移项，得(x-2)2-4(x-2)=0，
整理，得(x-2)(x-2-4)=0.
∴x-2=0或x-6=0.
∴x1=2，x2=6.
故答案为：D.
【分析】将方程右边移到左边，整理后提取公因式(x-2)，再利用零乘积定理求解.
3．（2025七下·椒江期末） 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、，A选项不符合；
B、2x+1没有公因式，不属于因式分解，B选项不符合；
C、平方差公式逆运算，C选项不符合；
D、属于因式分解，D选项正确；
故答案为： D.
【分析】根据因式分解的方法，A选项根据公式法因式分解，，A选项不符合，B选项根据提取公因式的方法，2x+1没有公因式，B选项不符合；C选项是平方差公式的逆运算不属于因式分解，C选项不符合，根据公式法，D选项根据平方差公式进行因式分解，D选项正确.
4．（2025·凉州模拟）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程，
得或，
∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根，
，
．
故选：D．
【分析】解一元二次方程得或，即可得到，求出m值即可．
5．（2025八下·义乌月考）已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
二、填空题
6．（2025九下·宝安开学考）一元二次方程的解为 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用因式分解法求解可得。
7．（2025八下·温州期中）写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一）
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 已知方程的两个根为x1=4和x2=5，根据因式分解法，可将方程表示为：
(x - 4)(x - 5) = 0，
故答案为：(x - 4)(x - 5) = 0.
【分析】 根据题目要求，需要构造一个以x1=4和x2=5为解的一元二次方程。一元二次方程的标准形式为ax2+bx+c=0，其中a≠0。已知方程的两个根，可以通过根与系数的关系（韦达定理）构造方程，答案不唯一，可展开后变其系数，得到其他方程。
8．（2025八下·浙江期中）如果一元二次方程x(x-8)=4(x-8)的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 .
【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得： x(x-8)=4(x-8)，
移项合并得：(x－4)(x-8)=0，
解得： ，。
∵方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，
∴有两种情况：
①边长为8、8、4，此时满足三角形三边关系，这个三角形的周长为：8+8+4=20；
②边长为4、4、8，此时4+4=8，无法构成三角形，可舍去。
故答案为：20.
【分析】解方程得 ，；根据题意和等腰三角形的性质可得两种情况：①边长为8、8、4；②边长为4、4、8；分别讨论三角形的存在性并计算周长即可.
9．（2020八下·八步期末）已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程 的根，则这个三角形的周长是
【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解： ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
解得： ，
①三角形的三边为2，5，5，符合三角形三边关系定理，即三角形的周长是2+5+5=12；
②三角形的三边为2，5，2，
∵2+2=4 ，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
故答案为：12.
【分析】求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可.
10．（2021九上·三台期中）方程的解是 ．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
【分析】利用因式分解法解方程即可.
三、解答题
11．（2024八上·黄浦期末）解方程：．
【答案】解：
∴
∴
∴或
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
12．（2023九上·汝城期中）解方程：
【答案】3x（x+1）-（2x+2）=0，
3x（x+1）-2（x+1）=0，
（x+1）（3x-2）=0，
∴x+1=0，3x-2=0，
∴x1=-1，x2=；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
13．（2024九上·广州期中）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【答案】解：，
∴
∴或
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
14．（2025八下·永康期末）以下是小数同学解方程x（x-1）=2（x-1）的过程。
解：方程两边同除以（x-1），得x=2。
根据小数的解题过程，回答下列问题：
（1）小π同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因。
（2）请你写出正确的解答过程。
【答案】（1）解：两边同乘以不为0的数或式，等式依然成立，而(x-1)可能为0.
（2）解：x(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(x-2)=0
X1=2，x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)由于(x-1)可以等于0，则方程两边并不能同时除以(x-1)，所以小数的解题过程不对；
(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为两个一次方程，解两个一次方程即可.
15．（2023九上·衡南期中）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程，
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：，，
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____；
（2）请用“平均数法”解方程：．
【答案】（1）；
（2）解：原方程可变形为．
，
，
．
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：原方程可变形，得：．
，
．
解得：．
上述过程中的表示的数分别为，
故答案为：.
【分析】参照题干中的定义及计算方法和步骤分析求解即可.
（1）解：原方程可变形，得：．
，
．
直接开平方并整理，得．
上述过程中的表示的数分别为，
故答案为：；
（2）解：原方程可变形为．
，
，
．
直接开平方并整理，得．
16．（2020九上·上蔡期中）阅读下面材料：
把方程 写成 ，即 ．
因式分解得 ，
即 ．
发现： ， ．
结论：方程 可变形为 ．
应用上面总结的解题方法，解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）解：原方程可化为：
，
∴ 或 ，
∴ ， ．
（2）解：原方程可化为：
，
∴ 或 ，
∴ ， ．
（3）解：原方程可化为：
，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由给定的材料并根据公式x2-(P+q)x+pq=(x-p)(x-q)=0可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（2）由给定的材料并根据公式x2-(P+q)x+pq=(x-p)(x-q)=0可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（3）同理可求解.
1 / 12.4用因式分解法求解一元二次方程—北师大版数学九年级上册课时训练
一、选择题
1．（2024·贵州）一元二次方程的解是 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025八下·柯桥月考）方程（x－2）2=4（x-2）（ ）
A．4 B．－2 C．4或－6 D．6或2
3．（2025七下·椒江期末） 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·凉州模拟）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．（2025八下·义乌月考）已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
二、填空题
6．（2025九下·宝安开学考）一元二次方程的解为 ．
7．（2025八下·温州期中）写一个解为，的一元二次方程 ．（答案不唯一）
8．（2025八下·浙江期中）如果一元二次方程x(x-8)=4(x-8)的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 .
9．（2020八下·八步期末）已知三角形两边的长分别是2和5，第三边的长是方程 的根，则这个三角形的周长是
10．（2021九上·三台期中）方程的解是 ．
三、解答题
11．（2024八上·黄浦期末）解方程：．
12．（2023九上·汝城期中）解方程：
13．（2024九上·广州期中）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
14．（2025八下·永康期末）以下是小数同学解方程x（x-1）=2（x-1）的过程。
解：方程两边同除以（x-1），得x=2。
根据小数的解题过程，回答下列问题：
（1）小π同学认为小数的解题过程有错，请帮小数找出错误原因。
（2）请你写出正确的解答过程。
15．（2023九上·衡南期中）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程，
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：，，
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____；
（2）请用“平均数法”解方程：．
16．（2020九上·上蔡期中）阅读下面材料：
把方程 写成 ，即 ．
因式分解得 ，
即 ．
发现： ， ．
结论：方程 可变形为 ．
应用上面总结的解题方法，解下列方程：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-2x=0，
x(x-2)=0，
∴x=0或x-2=0，
∴x1=0，x2=2.
故答案为：B.
【分析】此一元二次方程是一元二次方程的一般形式，且缺常数项，故利用因式分解法求解较为简单；首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，进而根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
2．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：(x-2)2=4(x-2)，
移项，得(x-2)2-4(x-2)=0，
整理，得(x-2)(x-2-4)=0.
∴x-2=0或x-6=0.
∴x1=2，x2=6.
故答案为：D.
【分析】将方程右边移到左边，整理后提取公因式(x-2)，再利用零乘积定理求解.
3．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：A、，A选项不符合；
B、2x+1没有公因式，不属于因式分解，B选项不符合；
C、平方差公式逆运算，C选项不符合；
D、属于因式分解，D选项正确；
故答案为： D.
【分析】根据因式分解的方法，A选项根据公式法因式分解，，A选项不符合，B选项根据提取公因式的方法，2x+1没有公因式，B选项不符合；C选项是平方差公式的逆运算不属于因式分解，C选项不符合，根据公式法，D选项根据平方差公式进行因式分解，D选项正确.
4．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：解方程，
得或，
∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根，
，
．
故选：D．
【分析】解一元二次方程得或，即可得到，求出m值即可．
5．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
6．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】利用因式分解法求解可得。
7．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 已知方程的两个根为x1=4和x2=5，根据因式分解法，可将方程表示为：
(x - 4)(x - 5) = 0，
故答案为：(x - 4)(x - 5) = 0.
【分析】 根据题目要求，需要构造一个以x1=4和x2=5为解的一元二次方程。一元二次方程的标准形式为ax2+bx+c=0，其中a≠0。已知方程的两个根，可以通过根与系数的关系（韦达定理）构造方程，答案不唯一，可展开后变其系数，得到其他方程。
8．【答案】20
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得： x(x-8)=4(x-8)，
移项合并得：(x－4)(x-8)=0，
解得： ，。
∵方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，
∴有两种情况：
①边长为8、8、4，此时满足三角形三边关系，这个三角形的周长为：8+8+4=20；
②边长为4、4、8，此时4+4=8，无法构成三角形，可舍去。
故答案为：20.
【分析】解方程得 ，；根据题意和等腰三角形的性质可得两种情况：①边长为8、8、4；②边长为4、4、8；分别讨论三角形的存在性并计算周长即可.
9．【答案】12
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解： ，
因式分解得 ，
∴ 或 ，
解得： ，
①三角形的三边为2，5，5，符合三角形三边关系定理，即三角形的周长是2+5+5=12；
②三角形的三边为2，5，2，
∵2+2=4 ，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
故答案为：12.
【分析】求出方程的解，根据三角形三边关系定理判断是否能组成三角形，再求出即可.
10．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项得：，
分解因式得：，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
【分析】利用因式分解法解方程即可.
11．【答案】解：
∴
∴
∴或
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
12．【答案】3x（x+1）-（2x+2）=0，
3x（x+1）-2（x+1）=0，
（x+1）（3x-2）=0，
∴x+1=0，3x-2=0，
∴x1=-1，x2=；
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】移项，提公因式进行因式分解，再解方程即可求出答案.
13．【答案】解：，
∴
∴或
解得：，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
14．【答案】（1）解：两边同乘以不为0的数或式，等式依然成立，而(x-1)可能为0.
（2）解：x(x-1)-2(x-1)=0
(x-1)(x-2)=0
X1=2，x2=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)由于(x-1)可以等于0，则方程两边并不能同时除以(x-1)，所以小数的解题过程不对；
(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为两个一次方程，解两个一次方程即可.
15．【答案】（1）；
（2）解：原方程可变形为．
，
，
．
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）解：原方程可变形，得：．
，
．
解得：．
上述过程中的表示的数分别为，
故答案为：.
【分析】参照题干中的定义及计算方法和步骤分析求解即可.
（1）解：原方程可变形，得：．
，
．
直接开平方并整理，得．
上述过程中的表示的数分别为，
故答案为：；
（2）解：原方程可变形为．
，
，
．
直接开平方并整理，得．
16．【答案】（1）解：原方程可化为：
，
∴ 或 ，
∴ ， ．
（2）解：原方程可化为：
，
∴ 或 ，
∴ ， ．
（3）解：原方程可化为：
，
∴ 或 ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由给定的材料并根据公式x2-(P+q)x+pq=(x-p)(x-q)=0可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（2）由给定的材料并根据公式x2-(P+q)x+pq=(x-p)(x-q)=0可将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解；
（3）同理可求解.
1 / 1
