2.5一元二次方程的根与系数的关系—北师大版数学九年级上册课时训练
一、选择题
1．（2025·河北）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，即x2+2x-3=0
∴x1+x2=-2=m
x1x2=-3=n
∴点即为(-2，-3)，再第三象限
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m，n，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
2．（2025·湖北） 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个实数根为
∴
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
3．若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，且x1=3x2 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2 ，
解得x1=6，x2=2，
∴m=x1·x2=6×2=12.
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=8，结合x1=3x2 ， 求出为x1、x2， 利用m=x1·x2即可求解.
4．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
5．（2023·菏泽）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而根据代入求值即可求解。
二、填空题
6．（2025·苏州）已知. 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，其中 则 .
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程 的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得的值，将的值代入即可求出的值.
7．（2025·眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后整体代入计算解题即可.
8．（2024·眉山） 已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为， ，
∴x1+x2=-1，x1x2=-2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=-1，x1x2=-2，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
9．（2024九上·青羊期中）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
即，
，
，
解得，．
检验：当时，原方程可化为，
，
方程有实数根，符合题意；
当时，原方程可化为，
，
方程无实数根，不符合题意．
故答案为：
【分析】对于一元二次方程的两个根，，则有，．
10．（2024·烟台中考）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，
∴ 3m2﹣4m+n2=2m2﹣4m+m2+n2=1+（m+n）2-2mn
=1+22-2×（）=6.
故答案为：6.
【分析】由根与系数的关系可得2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，将原式化为2m2﹣4m+（m+n）2-2mn，再代入计算即可.
三、解答题
11．（2023·襄阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
【答案】（1）解：，
有两个不相等的实数，
，
解得：；
（2）解：方程的两个根为，，
，
，
解得：，（舍去）．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意，有两个不等的实数根，可得b2－4ac>0，代入即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，可以表示出αβ，代入可得关于k的一元二次方程，求解即可.注意k的取值范围.
12．（2022·十堰）已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.
【答案】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知① ， ②，由③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
13．（2023·老河口模拟）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两个根分别为，，若，求的值及方程的根．
【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得
（2）解：，
，
由根与系数的关系可得，，
即，
解得，
方程为，
因式分解得：，
解得，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2，x1x2，再将等式转化为x1x2-（x1+x2）+1=0，然后代入可得到关于k的方程，解方程求出k的值，将k的值代入方程，然后求出方程的解.
14．（2021八下·安徽期末）已知关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若方程的两个根的平方和等于5，求k的值．
【答案】（1）证明：∵方程kx2+（2k+1）x+2=0为一元二次方程，
∴k≠0．
∵△=（2k+1）2﹣4×2k=（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取任何实数时（k≠0），方程总有实数根
（2）解：设方程kx2+（2k+1）x+2=0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=5，即（﹣ ）2﹣ =5，
整理，得：k2=1，
解得：k=±1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断求解即可；
（2）先求出 x1+x2=﹣ ，x1x2= ，再利用完全平方公式计算求解即可。
15．（2021·黄石模拟）已知关于 的方程 有两个实数根 、 .
（1）求 的取值范围.
（2）若 、 满足等式 ，求 的值.
【答案】（1）解：∴ ，解得： 且
（2）解：由（1）可得 ，∴
∴
，
∴
解得： （不合题意舍去），
∴k的值为-1.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个实数根，可建立关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2，再整体代入，可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值.
1 / 12.5一元二次方程的根与系数的关系—北师大版数学九年级上册课时训练
一、选择题
1．（2025·河北）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·湖北） 一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，且x1=3x2 ，则m的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．（2021·南充）已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2021 D．-2021
5．（2023·菏泽）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
6．（2025·苏州）已知. 是关于 x 的一元二次方程 的两个实数根，其中 则 .
7．（2025·眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
8．（2024·眉山） 已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
9．（2024九上·青羊期中）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为 ．
10．（2024·烟台中考）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 ．
三、解答题
11．（2023·襄阳）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
12．（2022·十堰）已知关于 的一元二次方程 .
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值.
13．（2023·老河口模拟）已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两个根分别为，，若，求的值及方程的根．
14．（2021八下·安徽期末）已知关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若方程的两个根的平方和等于5，求k的值．
15．（2021·黄石模拟）已知关于 的方程 有两个实数根 、 .
（1）求 的取值范围.
（2）若 、 满足等式 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，即x2+2x-3=0
∴x1+x2=-2=m
x1x2=-3=n
∴点即为(-2，-3)，再第三象限
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得m，n，再根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个实数根为
∴
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵方程x2-8x+m=0的两根为x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x1=3x2 ，
解得x1=6，x2=2，
∴m=x1·x2=6×2=12.
故答案为：C.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=8，结合x1=3x2 ， 求出为x1、x2， 利用m=x1·x2即可求解.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】∵方程 的两根分别为 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ = = = = =-1.
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系分别求出x1+x2和x1x2的值，同时还可以得到x2=2021x1-1，然后整体代入可求解.
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，进而根据代入求值即可求解。
6．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程 的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：-3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得的值，将的值代入即可求出的值.
7．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程 的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：-2.
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后整体代入计算解题即可.
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程的两根分别为， ，
∴x1+x2=-1，x1x2=-2，
∴.
故答案为：.
【分析】利用一元二次方程根与系数，可得到x1+x2=-1，x1x2=-2，再将代数式转化为，然后整体代入求值.
9．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
即，
，
，
解得，．
检验：当时，原方程可化为，
，
方程有实数根，符合题意；
当时，原方程可化为，
，
方程无实数根，不符合题意．
故答案为：
【分析】对于一元二次方程的两个根，，则有，．
10．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，
∴ 3m2﹣4m+n2=2m2﹣4m+m2+n2=1+（m+n）2-2mn
=1+22-2×（）=6.
故答案为：6.
【分析】由根与系数的关系可得2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，将原式化为2m2﹣4m+（m+n）2-2mn，再代入计算即可.
11．【答案】（1）解：，
有两个不相等的实数，
，
解得：；
（2）解：方程的两个根为，，
，
，
解得：，（舍去）．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意，有两个不等的实数根，可得b2－4ac>0，代入即可求得k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，可以表示出αβ，代入可得关于k的一元二次方程，求解即可.注意k的取值范围.
12．【答案】（1）证明： ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根
（2）解： 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）此题就是证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2） 由根与系数关系可知① ， ②，由③，联立①③可求出α，β的值，再代入②求出m值即可.
13．【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得
（2）解：，
，
由根与系数的关系可得，，
即，
解得，
方程为，
因式分解得：，
解得，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2，x1x2，再将等式转化为x1x2-（x1+x2）+1=0，然后代入可得到关于k的方程，解方程求出k的值，将k的值代入方程，然后求出方程的解.
14．【答案】（1）证明：∵方程kx2+（2k+1）x+2=0为一元二次方程，
∴k≠0．
∵△=（2k+1）2﹣4×2k=（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取任何实数时（k≠0），方程总有实数根
（2）解：设方程kx2+（2k+1）x+2=0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=5，即（﹣ ）2﹣ =5，
整理，得：k2=1，
解得：k=±1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断求解即可；
（2）先求出 x1+x2=﹣ ，x1x2= ，再利用完全平方公式计算求解即可。
15．【答案】（1）解：∴ ，解得： 且
（2）解：由（1）可得 ，∴
∴
，
∴
解得： （不合题意舍去），
∴k的值为-1.
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用已知方程有两个实数根，可建立关于k的不等式组，然后求出不等式组的解集.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2和x1x2，再整体代入，可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值.
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